第5節(jié)指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算1.通過對(duì)有理數(shù)指數(shù)冪、實(shí)數(shù)指數(shù)冪含義的認(rèn)識(shí)，掌握指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì).2.理解對(duì)數(shù)的概念和運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù).3.能夠利用指數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.定義為根指數(shù)，a稱為根底數(shù)性質(zhì)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的n次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)指數(shù)定義數(shù)位于底數(shù)的右上角有理指數(shù)冪的分類零指數(shù)冪a?=1(a≠0)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義有理指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)指數(shù)冪的關(guān)系底數(shù)的限制a>0,且a≠1負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù)常用對(duì)數(shù)：1gN=log1?N自然對(duì)數(shù)InN=logeN(e=2.71828…)對(duì)數(shù)恒等式：alogaN=N運(yùn)算性質(zhì)a>0,且a≠1,M>0,N>0且a≠1;c>0,且c+1;b>0)[教材知識(shí)深化]換底公式的變形：(a,b,c,am均大于0且不等于1,n∈R).logab<0?(a—1)(b-1)<0,其中a>0,ab>0.一、基礎(chǔ)自測(cè)X3.(人教B版必修第二冊(cè)4.2.2節(jié)練習(xí)B第3題)計(jì)算(lg5)2+1g2×1g50的值.解(lg5)2+1g2×1g50=(lg5)2+(1-1g5)×(1+1g5)=(lg5)2+1二、連線高考故選C.解析由log?故選C.例1求值與化簡(jiǎn)：解原式考點(diǎn)一考點(diǎn)一解原式規(guī)律方法規(guī)律方法指數(shù)冪運(yùn)算的一般原則(1)有括號(hào)的先算括號(hào)里的，無括號(hào)的先做指數(shù)運(yùn)算.(2)先乘除后加減，負(fù)指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù).(3)底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號(hào)，底數(shù)是小數(shù)，先化成分(4)若是根式，應(yīng)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，盡可能用冪的形式表示，運(yùn)用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)來解答.(5)運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù)，形式力求統(tǒng)一.[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1]化簡(jiǎn)求值：解原式解原式(4)已知求計(jì)算(lg5)2+1g2×1g5+1g2+(log?2+log?52)×log?5的值等于一一規(guī)律方法對(duì)數(shù)式化簡(jiǎn)與計(jì)算的一般思路(1)合：逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，將同底數(shù)的對(duì)數(shù)的和、冪的運(yùn)算.數(shù)轉(zhuǎn)化為同底數(shù)的對(duì)數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算(3)對(duì)數(shù)的底數(shù)不相同時(shí)，可通過換底公式轉(zhuǎn)化為底數(shù)相同的對(duì)數(shù)再進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算。則的值為[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2](1)(2024·則的值為一一=4.考向2指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的綜合運(yùn)算解析因?yàn)?m=9=6,則m=log?6,n=log?6,所以又a>0且a≠1,兩邊取對(duì)數(shù)，得1n2·1na=ln2變式探究1因此變式探究2=(1+log?9)(1+logg2)=2+log?9+logg2>2+2所以即mn>4p2.一一規(guī)律方法指數(shù)與對(duì)數(shù)綜合運(yùn)算的方法技巧(1)根據(jù)需要，利用指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的關(guān)系α"=N(a>0)?logaN=b(a>0)對(duì)二者進(jìn)行互化；化為對(duì)數(shù)式再進(jìn)行化簡(jiǎn)求值；(3)在冪的指數(shù)中含有對(duì)數(shù)時(shí)，一是運(yùn)用對(duì)數(shù)恒等式化簡(jiǎn)計(jì)算，二是通過等式兩邊取對(duì)數(shù)的方法轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值.考向3指數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用為常數(shù)),若鍶89的半衰期(質(zhì)量衰減一半所用的時(shí)間)為50天，那么質(zhì)量為M?的鍶89經(jīng)過30天衰減后質(zhì)量大約變?yōu)?D),則h=50,所以質(zhì)量為M?的鍶89經(jīng)過30天衰減后，質(zhì)量大約為故選D.考點(diǎn)二自《增廣賢文》,是勉勵(lì)人們專心學(xué)習(xí)的.假設(shè)初始值為1,如果每天的“進(jìn)步率”都是1%,那么一年后是(1+1%)365=1.01365;如果每天的“退步率”都是1%,那么一年后是(1-1%)365=0.99365.一年后“進(jìn)步者”是“退步者”的481倍.照此計(jì)算，“進(jìn)步者”是“退步者”的2倍大約經(jīng)過的一一規(guī)律方法規(guī)律方法指數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算實(shí)際應(yīng)用的解題策略(1)理解題意、弄清題目條件與所求之間的關(guān)系；(2)理解問題中各量的含義及其關(guān)系式中各字母的含(3)根據(jù)已知條件代入求解，如果所求變量在冪的指數(shù)位置上