上師大附中閔分2025-2026學年第一學期高三年級數(shù)學月考一、填空題（本大題共有12題,滿分54分,第1-6題每題4分,第7-12題每題5分）

考生應在答題紙的相應位置直接填寫結(jié)果．

1．設集合，則．

2．已知函數(shù)為奇函數(shù)，則．

3．若，則.

4．記i是虛數(shù)單位，設復數(shù)且，則復數(shù)的虛部為．

5．已知扇形圓心角所對的弧長，則該扇形面積為．

6．已知冪函數(shù)的圖象關于軸對稱，則實數(shù)的值是．

7．若正數(shù)滿足，則的最小值為.

8．已知是函數(shù)的導函數(shù)，若函數(shù)的圖象大致如圖所示，則的極大值點為（從中選擇作答）．

9．已知函數(shù)，若對任意的實數(shù)都成立，則的最小值為．

10．i為虛數(shù)單位，若復數(shù)滿足，復數(shù)滿足，則的最小值為．

11．已知函數(shù)．若有2個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為．

12．設函數(shù)在上存在導數(shù)，對任意實數(shù)有，且當時，若，則實數(shù)的取值范圍是．

二、選擇題（本大題共4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且只有一個正確選項，考生應在答題紙的相應位置，將代表正確選項的小方格涂黑．13．已知角的終邊經(jīng)過點，將角的終邊繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)得到角的終邊，則等于（）.

A．B．C．D．

14．＂＂的一個必要非充分條件是（）.

A．B． C．D．

15．已知函數(shù)的定義域為，則下列條件中，能推出1一定不是的極小值點的為（）.

A．存在無窮多個，滿足 B．對任意有理數(shù)，均有

C．函數(shù)在區(qū)間上為嚴格減函數(shù)，在區(qū)間上為嚴格增函數(shù)

D．函數(shù)在區(qū)間上為嚴格增函數(shù)，在區(qū)間上為嚴格減函數(shù)

16．對于函數(shù)，設：對任意的，均有：對任意的，均有函數(shù)為偶函數(shù)，則（）.

A．中僅是的充分條件 B．中僅是的充分條件 C．均是的充分條件 D．均不是的充分條件

三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的相應位置寫出必要的步驟．

17．（本題滿分14分，第1小題滿分7分，第2小題滿分7分）

已知全集為實數(shù)集，集合．

（1）求；

（2）若，求實數(shù)的取值范圍．

18．（本題滿分14分，第1小題滿分7分，第2小題滿分7分）

已知點是坐標原點．

（1）若，求的值；

（2）若實數(shù)滿分，求的最大值．

19．（本題滿分14分，第1小題滿分7分，第2小題滿分7分）

某公園有一個矩形地塊（如圖所示），邊長千米，長4千米．地塊的一角是水塘（陰影部分），已知邊緣曲線是以A為頂點，以所在直線為對稱軸的拋物線的一部分，現(xiàn)要經(jīng)過曲線上某一點（異于兩點）鋪設一條直線隔離帶，點分別在邊上，隔離帶占地面積忽略不計且不能穿過水塘．設點到邊的距離為（單位：千米），的面積為（單位：平方千米）．

（1）請以A為原點，所在的直線為軸建立平面直角坐標系，求出關于的函數(shù)解析式；

（2）是否存在點，使隔離出來的的面積超過2平方千米？并說明理由．

20．（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）已知橢圓為坐標原點．

（1）求的離心率；

（2）設點，點在上，求的最大值和最小值；

（3）點，點在直線上，過點且與平行的直線與交于兩點．試探究：是否存在常數(shù)，使得恒成立；若存在，求出該常數(shù)的值；若不存在，說明理由．

21．（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）

定義：設和均為定義在R上的函數(shù)，它們的導函數(shù)分別為和，若不等式對任意實數(shù)恒成立，則稱和為＂相伴函數(shù)＂．

（1）給出兩組函數(shù)，①和；②和，分別判斷這兩組函數(shù)是否為＂相伴函數(shù)＂（只需直接給出結(jié)論，不需論證）；

（2）若是定義在R上的可導函數(shù)，是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，，證明：和為＂相伴函數(shù)＂；

（3），寫出＂和為相伴函數(shù)＂的充要條件，并證明你的結(jié)論．

參考答案一、填空題1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.11．已知函數(shù)．若有2個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為．【答案】【解析】由函數(shù)，可得有2個不同的實數(shù)根，

即有2個不同的實數(shù)根，

所以，

設，則有2個不同的實數(shù)根，

所以當時，與的圖象有2個不同的交點，

結(jié)合函數(shù)圖象可得．故答案為：．12．設函數(shù)在上存在導數(shù)，對任意實數(shù)有，且當時，若，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】∵當時，∴當時，

令，∴為偶函數(shù)，

∵當時，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，

∵，等價于即，則當時，即時，由函數(shù)在上單調(diào)遞減，得，解得，

當時，即時，

由為偶函數(shù)，得，由函數(shù)在上單調(diào)遞減，得，解得，

綜上，的取值范圍為，故答案為：．二、選擇題13.A14.B15.D16.C15．已知函數(shù)的定義域為，則下列條件中，能推出1一定不是的極小值點的為（）.

A．存在無窮多個，滿足 B．對任意有理數(shù)，均有

C．函數(shù)在區(qū)間上為嚴格減函數(shù)，在區(qū)間上為嚴格增函數(shù)

D．函數(shù)在區(qū)間上為嚴格增函數(shù)，在區(qū)間上為嚴格減函數(shù) 【答案】D【解析】由極值的定義可知，當函數(shù)在處取得極小值時，

在左側(cè)的函數(shù)圖象存在點比處的函數(shù)值小，

在右側(cè)的函數(shù)圖象存在點比處的函數(shù)值小，故排除；

對于，函數(shù)在區(qū)間上為嚴格減函數(shù)，

在區(qū)間上為嚴格增函數(shù)，則是函數(shù)的極小值點；

對于，函數(shù)在區(qū)間上為嚴格增函數(shù)，

在區(qū)間上為嚴格減函數(shù)，則不是函數(shù)的極小值點．故選：D.三、解答題17.（1）（2）18.（1）（2）19.（1）（2）不存在20．（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）已知橢圓為坐標原點．

（1）求的離心率；

（2）設點，點在上，求的最大值和最小值；

（3）點，點在直線上，過點且與平行的直線與交于兩點．試探究：是否存在常數(shù)，使得恒成立；若存在，求出該常數(shù)的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）（2）當時，取得最小值為，當時，取得最大值為（3）存在，使得恒成立．【解析】（1）設的半長軸長為，半焦距為，則，所以．

（2）設

因為，所以當時，取得最小值為，當時，取得最大值為（3）設，則直線，

將直線方程代入橢圓方程得．

所以，，得，所以存在，使得恒成立．21．（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）

定義：設和均為定義在R上的函數(shù)，它們的導函數(shù)分別為和，若不等式對任意實數(shù)恒成立，則稱和為＂相伴函數(shù)＂．

（1）給出兩組函數(shù)，①和；②和，分別判斷這兩組函數(shù)是否為＂相伴函數(shù)＂（只需直接給出結(jié)論，不需論證）；

（2）若是定義在R上的可導函數(shù)，是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，，證明：和為＂相伴函數(shù)＂；

（3），寫出＂和為相伴函數(shù)＂的充要條件，并證明你的結(jié)論．【答案】（1）第①組是，第②組不是（2）證明見解析（3）【解析】（1）①和，,所以這兩組函數(shù)是＂相伴函數(shù)＂