2026屆浙江省紹興市諸暨市諸暨中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測試試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，則MN的中點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)О的距離為（）A. B.C.2 D.32．己知F為拋物線的焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線，，直線與C交于A、B兩點(diǎn)，直線與C交于D、E兩點(diǎn)，則的最小值為（）A.24 B.22C.20 D.163．據(jù)有關(guān)文獻(xiàn)記載：我國古代一座層塔共掛了盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)比上一層燈數(shù)都多為常數(shù)盞，底層的燈數(shù)是頂層的倍，則塔的底層共有燈（）A.盞 B.盞C.盞 D.盞4．在棱長為1的正方體中，為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（）A. B.1C. D.5．已知，且，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.3C.4 D.66．如圖所示，直三棱柱中，，，分別是，的中點(diǎn)，，則與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.7．在正方體中，AC與BD的交點(diǎn)為M.設(shè)則下列向量與相等的向量是（）A. B.C. D.8．已知橢圓方程為：，則其離心率為（）A. B.C. D.9．下列數(shù)列中成等差數(shù)列的是（）A. B.C. D.10．如圖所示，一圓形紙片的圓心為O，F(xiàn)是圓內(nèi)一定點(diǎn)，M是圓周上一動點(diǎn)，把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD，設(shè)CD與OM交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡是（）A.圓 B.雙曲線C.拋物線 D.橢圓11．雙曲線C：的漸近線方程為（）A. B.C. D.12．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，且數(shù)列是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，，對一切，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.14．在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，BB1的中點(diǎn)，G為棱A1B1上的一點(diǎn)，且A1G=(0<<2)，則點(diǎn)G到平面D1EF的距離為____.15．已知命題恒成立；，若p，均為真，則實(shí)數(shù)a的取值范圍__________16．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，以F為圓心，以a為半徑的圓與雙曲線C的一條漸近線交于A，B兩點(diǎn).若(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則雙曲線C的離心率為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求的極值；（2）當(dāng)時，，求a的取值范圍.18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，橢圓E：過點(diǎn)，離心率為（1）求E的方程；（2）設(shè)直線（k∈R）與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在定點(diǎn)M，使得對任意實(shí)數(shù)k，直線AM，BM的斜率乘積為定值？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由19．（12分）年月日，中國向世界莊嚴(yán)宣告，中國脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)取得了全面勝利，現(xiàn)行標(biāo)準(zhǔn)下萬農(nóng)村貧困人口全部脫貧，個貧困縣全部摘帽，萬個貧困村全部出列，區(qū)域性整體貧困得到解決，完成了消除絕對貧困的艱巨任務(wù)，困擾中華民族幾千年的絕對貧困問題得到了歷史性的解決！為了鞏固脫貧成果，某農(nóng)科所實(shí)地考察，研究發(fā)現(xiàn)某脫貧村適合種植、兩種經(jīng)濟(jì)作物，可以通過種植這兩種經(jīng)濟(jì)作物鞏固脫貧成果，通過大量考察研究得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：經(jīng)濟(jì)作物的畝產(chǎn)量約為公斤，其收購價格處于上漲趨勢，最近五年的價格如下表：年份編號年份單價（元/公斤）經(jīng)濟(jì)作物的收購價格始終為元/公斤，其畝產(chǎn)量的頻率分布直方圖如下：（1）若經(jīng)濟(jì)作物的單價（單位：元/公斤）與年份編號具有線性相關(guān)關(guān)系，請求出關(guān)于的回歸直線方程，并估計(jì)年經(jīng)濟(jì)作物的單價；（2）用上述頻率分布直方圖估計(jì)經(jīng)濟(jì)作物的平均畝產(chǎn)量（每組數(shù)據(jù)以區(qū)間的中點(diǎn)值為代表），若不考慮其他因素，試判斷年該村應(yīng)種植經(jīng)濟(jì)作物還是經(jīng)濟(jì)作物？并說明理由附：，20．（12分）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和（3）設(shè)，若不等式對一切恒成立，求實(shí)數(shù)取值范圍21．（12分）四棱錐，底面為矩形，面，且，點(diǎn)在線段上，且面.（1）求線段的長；（2）對于（1）中的，求直線與面所成角的正弦值.22．（10分）已知圓心為的圓，滿足下列條件：圓心在軸上，與直線相切，且被軸截得的弦長為，圓的面積小于（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的直線與圓交于不同的兩點(diǎn)、，以、為鄰邊作平行四邊形．是否存在這樣的直線，使得直線與恰好平行？如果存在，求出的方程，如果不存在，請說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及空間中兩點(diǎn)之間的距離公式可得解.【詳解】，，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得，所以.故選：A2、A【解析】由拋物線的性質(zhì)：過焦點(diǎn)的弦長公式計(jì)算可得.【詳解】設(shè)直線，的斜率分別為，由拋物線的性質(zhì)可得，，所以，又因?yàn)?，所以，所以，故選：A.3、C【解析】根據(jù)給定條件利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式列式計(jì)算即可作答.【詳解】依題意，層塔從上層到下層掛燈盞數(shù)依次排成一列可得等差數(shù)列，，于是得，解得，，所以塔的底層共有燈盞.故選：C4、B【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行求解即可【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由已知，得，，，，，所以在上的投影為，所以點(diǎn)到直線的距離為故選：B5、B【解析】根據(jù)給定條件利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示計(jì)算作答.詳解】因，且，則有，解得，所以實(shí)數(shù)的值為3.故選：B6、A【解析】取的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，然后可得或其補(bǔ)角即為與所成角，然后在中求出答案即可.【詳解】取的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，，，所以或其補(bǔ)角即為與所成角，設(shè)，則，，在，，故選：A7、C【解析】根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則，推出的向量表示，可得答案.【詳解】，故選：C.8、B【解析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，確定，計(jì)算離心率即可.【詳解】由知，，，，即，故選：B9、C【解析】利用等差數(shù)列定義，逐一驗(yàn)證各個選項(xiàng)即可判斷作答.【詳解】對于A，，A不是等差數(shù)列；對于B，，B不是等差數(shù)列；對于C，，C是等差數(shù)列；對于D，，D不是等差數(shù)列.故選：C10、D【解析】根據(jù)題意知,所以,故點(diǎn)P的軌跡是橢圓.【詳解】由題意知，關(guān)于CD對稱，所以，故，可知點(diǎn)P的軌跡是橢圓.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的定義，屬于中檔題.11、D【解析】根據(jù)給定的雙曲線方程直接求出其漸近線方程作答.【詳解】雙曲線C：的實(shí)半軸長，虛半軸長，即有，而雙曲線C的焦點(diǎn)在y軸上，所以雙曲線C的漸近線的方程為，即.故選：D12、C【解析】利用遞增數(shù)列的定義即可.【詳解】由，∴，即是小于2n+1的最小值，∴，故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】通過分離參數(shù)，得到關(guān)于x的不等式；再構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最值，進(jìn)而求得a的取值范圍【詳解】因?yàn)?，代入解析式可得分離參數(shù)a可得令（）則，令解得所以當(dāng)0＜x＜1，，所以h（x）在（0，1）上單調(diào)遞減當(dāng)1＜x，，所以h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，所以h（x）在x=1時取得極小值，也即最小值所以h（x）≥h（1）=4因?yàn)閷σ磺衳∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，所以a≤h（x）min=4所以a的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題綜合考查了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，分離參數(shù)法，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，屬于中檔題14、【解析】先證明A1B1∥平面D1EF，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)A1到平面D1EF的距離，然后建立空間直角坐標(biāo)系，通過空間向量的運(yùn)算求得答案.【詳解】由題意得A1B1∥EF，A1B1?平面D1EF，EF?平面D1EF，所以A1B1∥平面D1EF，則點(diǎn)G到平面D1EF的距離等于點(diǎn)A1到平面D1EF的距離.以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則D1(0，0，2)，E(2，0，1)，F(xiàn)(2，2，1)，A1(2，0，2)，所以，，.設(shè)平面D1EF的法向量為，則，令x=1，則y=0，z=2，所以平面D1EF的一個法向量.點(diǎn)A1到平面D1EF的距離==，即點(diǎn)G到平面D1EF的距離為.故答案為：.15、【解析】根據(jù)題意得到命題為真命題，為假命題，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，命題，均為真命題，可得命題為真命題，為假命題，由命題恒成立，可得，解得；又由命題為假命題，可得，解得，所以，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故答案為：.16、【解析】過F作，利用點(diǎn)到直線距離可求出，再根據(jù)勾股定理可得，，由可得，即可建立關(guān)系求解.【詳解】如圖，過F作，則E是AB中點(diǎn)，設(shè)漸近線為，則，則在直角三角形OEF中，，在直角三角形BEF中，，，則，即，即，則，即，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的求解，解題的關(guān)鍵是分別表示出，，由建立關(guān)系.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）極大值，沒有極小值（2）【解析】（1）把代入，然后對函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可求函數(shù)單調(diào)區(qū)間,即可得解；（2）構(gòu)造函數(shù)，將不等式的恒成立轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性及函數(shù)的性質(zhì)對進(jìn)行分類討論，其中當(dāng)和時易判斷函數(shù)的單調(diào)性以及最小值，而當(dāng)時，的最小值與0進(jìn)一步判斷【小問1詳解】當(dāng)時，的定義域?yàn)椋?當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù).故有極大值，沒有極小值.【小問2詳解】當(dāng)時，恒成立等價于對于任意恒成立.令，則.若，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，符合題意.若，所以在上單調(diào)遞減，，符合題意.若，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，不合題意.綜上可知，a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了不等式恒成立問題，其關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，通過討論參數(shù)在不同取值范圍時函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，解出參數(shù)的范圍.必要時二次求導(dǎo).18、（1）（2）存在，或者【解析】（1）由離心率和橢圓經(jīng)過的點(diǎn)列出方程組，求出，得到橢圓方程；（2）假設(shè)存在，設(shè)出直線，聯(lián)立橢圓，利用韋達(dá)定理得到兩根之和，兩根之積，結(jié)合斜率乘積為定值得到關(guān)于的方程，求出答案.【小問1詳解】由題可得，，①由，得，即，則，②將②代入①，解得，，故E的方程為【小問2詳解】設(shè)存在點(diǎn)滿足條件記，由消去y，得．顯然，判別式＞0，所以，，于是＝＝＝上式為定值，當(dāng)且僅當(dāng)，解得或此時，或所以，存在定點(diǎn)或者滿足條件19、（1），元/公斤；（2）應(yīng)該種植經(jīng)濟(jì)作物；理由見解析【解析】（1）利用表格數(shù)據(jù)求出中心點(diǎn)值，再利用最小二乘法求出回歸直線方程，進(jìn)而利用所求方程進(jìn)行預(yù)測；（2）先利用頻率分布直方圖的每個小矩形面積之和為1求得值，再利用平均值公式求其平均值，再比較兩種作物的畝產(chǎn)量進(jìn)行求解.【詳解】（1），，則關(guān)于回歸直線方程為當(dāng)時，，即估計(jì)年經(jīng)濟(jì)作物的單價為元/公斤（2）利用頻率和為得：，所以經(jīng)濟(jì)作物的畝產(chǎn)量的平均值為：，故經(jīng)濟(jì)作物畝產(chǎn)值為元，經(jīng)濟(jì)作物畝產(chǎn)值為元，應(yīng)該種植經(jīng)濟(jì)作物20、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）利用的關(guān)系，根據(jù)等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)公式.（2）由（1）可得，應(yīng)用裂項(xiàng)相消法求.（3）應(yīng)用錯位相減法求得，由題設(shè)有，討論為奇數(shù)、偶數(shù)求的取值范圍【小問1詳解】當(dāng)時，，可得，當(dāng)時，，可得，∴是首項(xiàng)、公比都為的等比數(shù)列，故.【小問2詳解】由（1），，∴.【小問3詳解】由題設(shè)，，∴，則，∴，由對一切恒成立，令，則，∴數(shù)列單調(diào)遞減，∴當(dāng)為奇數(shù)，恒成立且在上遞減，則，當(dāng)為偶數(shù)，恒成立且在上遞增，則，綜上，.21、（1）1（2）【解析】（1）根據(jù)線面垂直得到，再由相似比得方程可求解；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量，運(yùn)用夾角公式先求線面角的余弦值，再轉(zhuǎn)化為正弦值即可.小問1詳解】面，在矩形中，易得：；【小問2詳解】如四建立空間直角坐標(biāo)系：則，，由題意可知：為平面的一個法向量，，，直線與面所成角的正弦值為.22、（1）；（2）不存在，理由見解析.【解析】（1）設(shè)圓心，設(shè)圓的半徑為，可得出，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的方程，求出的值，可得出的值，進(jìn)而可得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）分析可知直線的斜率存