專題四概率統(tǒng)計的綜合問題

總分：70分建議用時：60分鐘

三、解答題

17、為了預防某種流感擴散，某校醫(yī)務室采取積極的處理方式，對?感染者進行短暫隔離直到康復.假設

某班級已知6位同學中有1位同學被感染，需要通過化驗血液來確定被感染的同學，血液化驗結果呈陽

性即被感染，呈陰性即未被感染.下面是兩種化驗方案.

方案甲：逐個化驗，直到能確定被感染的同學為止.

方案乙：先任取3個同學，將他們的血液混在一起化驗，若結果呈陽性則表明被感染同學為這3位中的1

位，后再逐個化驗，直到能確定被感染的同學為止；若結果呈陰性，則在另外3位同學中逐個檢測.

（1）求方案甲所需化驗次數(shù)等于方案乙所需化驗次數(shù)的概率；

（2）〃表示方案中所需化驗次數(shù)，。表示方案乙所需化驗次數(shù)，假設每次化驗的費用都相同，請從經(jīng)濟

角度考慮哪種化驗的方案最佳.

18、端午節(jié)（每年農(nóng)歷五月初五），是中國傳統(tǒng)節(jié)日，有吃粽子的習俗.某超市在端午節(jié)這一天，每售出

1依粽子獲利潤5元，未售出的粽子每1依虧損3元.根據(jù)歷史資料，得到銷售情況與市場需求量的頻

率分布表，如下表所示.該超市為今年的端午節(jié)預購進了140奴粽子.以X（單位：kg,KX）WXW150）

表示今年的市場需求最，Y（單位：元）表示今年的利潤.

市場需求量（依）[100,110)1110,120)[120,130)[130,140)[140,150]

頻率0.10.20.30.250.15

（I）將丫表示為X的函數(shù)；

（2）在頻率分布表的市場需求量分組中，以各組的區(qū)間中間值代表該組的各個值，需求量落入該區(qū)間

的頻率作為需求量取該區(qū)間中間值的概率（例如：若需求量XW[U0,120）,則取X=115,且X=U5

的概率等于需求量落入W0,120）的頻率0.2）,求y的數(shù)學期望.

19、某幾位大學生自主創(chuàng)業(yè)創(chuàng)辦了一個服務公司提供A、3兩和民生消費產(chǎn)品（人們購買時每次只買其中

?種）服務，他們經(jīng)過統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn)：第?次購買產(chǎn)品的人購買A的概率為2,購買8的概率為』，

33

而前一次購買4產(chǎn)品的人下一次來購買A產(chǎn)品的概率為工，購買8產(chǎn)品的概率為3,前一次購買8產(chǎn)

44

品的人下一次來購買A產(chǎn)品的概率為▲、購買8產(chǎn)品的概率也是遼，如此往復.記某人第〃次來購買

22

A產(chǎn)品的概率為

（1）求〃2，并證明數(shù)列｛P12｝是等比數(shù)列；

n5

（2）記第二次來公司購買產(chǎn)命的3個人中有X個人購買A產(chǎn)品，求X的分布列并求E（X）；

（3）經(jīng)過一段時間的經(jīng)營每天來購買產(chǎn)品的人穩(wěn)定在800人，假定這800人都已購買過很多次該兩款

產(chǎn)品，那么公司每天應至少準備A、8產(chǎn)品各多少份.（直接寫結論、不必說明理由）.

2。、在中華人民共和國成立70周年之際，《我和我的祖國》、《中國機長》、《攀登者》三大主旋律大片在

國慶期間集體上映，拉開國慶檔電影大幕.據(jù)統(tǒng)計《我和我的祖國》票房收入為31.71億元，《中國機

長》票房收入為29.12億元，《攀登者》票房收入為10.98億元.已知國慶過后某城市文化局統(tǒng)計得知

大量市民至少觀看了一部國慶檔大片，在已觀影的市民中隨機抽取了100人進行調(diào)查，其中觀看了《我

和我的祖國》的有49人，觀看了《中國機長》的有46人，觀看了《攀登者》的有34人，統(tǒng)計圖如圖.

（1）計算圖中c的值；

（2）文化局從只觀看了兩部大片的觀眾中采用分層抽樣的方法抽取了7人，進行觀影體驗的訪談，了

解到他們均表示要觀看第三部電影，現(xiàn)從這7人中隨機選出4人，用x表示這4人中將要觀看《我和

我的祖國》的人數(shù)，求x的分布列及數(shù)學期望和方差.

21、2020年某市教育主管部門為了解近期舉行的數(shù)學競賽的情況，隨機抽取500名參賽考生的數(shù)學競賽

成績進行分析，并制成如下的頻率分布直方圖：

（1）求這500名考生的本次數(shù)學競賽的平均成績工（精確到整數(shù)）；

（2）由頻率分布直方圖可認為：這次競賽成績X服從正態(tài)分布其中〃近似等于樣本的平均

數(shù)天，。近似等于樣本的標準差s,并已求得5=18.用該樣本的頻率估計總體的概率，現(xiàn)從該市所有考

生中隨機抽取10名學生，記這次數(shù)學競賽成績在（86140］之外的人數(shù)為y,求尸（丫=2）的值（精確到

0.001）.

附：（1）當X~時，P（〃一。＜X/iJt/+b）=0.6827,P（〃-2。vX//+2cr）=0.9545；（2）

0.8186sx0.18142?0.0066.

22、為響應習近平總書記在黨的十九大報告中提出的“綠水青山就是金山銀山〃的號召，某市旅游局籌劃共

投入4千萬元，對全市各旅游景區(qū)的環(huán)境進行綜合治理，并且對各旅游景區(qū)收益的增加值作了初步的估

計，根據(jù)旅游局的治理規(guī)劃方案，針對各旅游景區(qū)在治理后收益的增加值繪制出如圖所示頻率分布直方

圖，由于操作失誤，橫軸的數(shù)據(jù)丟失，但可以確定橫軸是從0開始計數(shù)的.

頻率

收益的增加值（萬元）

(1)旅游局在投入4千萬元的治理經(jīng)費下，估計全市旅游景區(qū)收益增加值的平均數(shù)為多少萬元(以各組的

區(qū)間中點值代表該組的取值)：

(2)若旅游局投入不同數(shù)額的經(jīng)費，按照以上的研究方法，得到以下數(shù)據(jù):

投入的治理經(jīng)費x(單位：千萬

1234567

元)

收益的增加值y(單位：萬元)232779

將第(1)問結果填入表格后，數(shù)據(jù)顯示x與y之間存在線性相關關系.在優(yōu)化環(huán)境的同時，旅游局還謀劃

使全市旅游景區(qū)收益的總額至少增加10萬元，試估計在此目標下，旅游局應該對全市旅游景區(qū)至少投入

多少千萬元的治理經(jīng)費？(答案精確到0.01).

參考公式：回歸直線方程》二八+G中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為

、2(七一亍)日一力Zzi一位5人

b=--------=-------,a=y-bx

￡(七-工『加-戒2

1=11=1

答案解析

17、【解】設A*=1,2,345)表示方案甲所需化臉次數(shù)為i次;即/=2,3)表示方案乙所需化臉的次數(shù)為j次,

方案甲與方案乙相互獨立.

(1)P(A1)=P(A2)=W3)=P(/U)=1,P(A5)=|,

產(chǎn)供)=懸+晶=；，/W=l一尸(歷)=*

用事件。表示方案甲所需化驗次數(shù)等于方案乙所需化驗次數(shù)，

則P(D)=P(A2B2+A3&)=P(A2)P(B2)+P(A3)P(83)=看溫+14=看.

(2)〃的可能取值為123,4,54的可能取值為2,3.

由(1)知尸(〃=1)=?(〃=2)=P(〃=3)=P(〃=4)=V尸(〃=5)=q,

所以W=ix1+2x1+3x|+4x1+5x1=y,

P(E=2)=尸(B2)=今P(E=3)=P(B3)=日

?28

所以￡?=2義1+3義］=?

因為E(?<E(〃)，所以從經(jīng)濟角度考慮方案乙最佳.

18、【解答】解：(解當XWUOO,140)時，Y=5X-3(140-X)=8X720；

當X￡［140,150］時，7=5X140=700.

'8X-420,100<X<140,

所以Y二

700,140<X<150.

(2)依題意可得y的分布列為

Y420500580660700

P0.10.2030.250.15

所以E(H=420X0.1+500X0.2+580X0.3+660X0.25+700X0.15=586.

19、【解答】解：(I)P2=-X—+—X-.

34323

由題意可知Pn+|=AxP〃+』X(1-Pn)=~—P/J+—,

4242

2-224

53515

..,數(shù)歹ij｛凡-_|｝是首項為尚，公比為-3的等比數(shù)歹ij.

(2)X的可能取值有0,I,2,3,且PCX=k)=d?(工)%(2)3

333

故p（x=o）=（2）3=且，p（x=i）=c!?工.（2）2=-

327339

P(X=2)=c??3)2.2=2,p(X=3)=(A)3=A

339327

故X的分布列為:

X0I23

P8_421

279927

E(X)=0X且+1X_1+2X2+3X_L=1.

279927

(3)由(1)知p〃?2=_￡.(-A)n],故p〃=_L.(-A)"-I+2,

51541545

:.當〃-*+°0時，

5

故準備A產(chǎn)品800x2=320份，準備B產(chǎn)品800x3=480份.

55

27+a+b+4=46

20、【解答】解：（1）由題意可得《30+a+c+4=49，解得《c=6.

18+b+c+4=34b=6

所以a=9,b=6,c=6；

（2）記“同時觀看了《中國機長》和《我和我的祖國》”的為A組，共9人;

“同時觀看了《中國機長》和《攀登者》”為4組，共6人;

“同時觀看《我和我的祖國》和《攀登者》”為C組，共6人;

所以按分層抽樣，A,8,。組被抽取的人數(shù)分別為gx1-二3、6X—=2'6X—=2^

212121

在被抽取的7人中，沒有觀看《我和我的祖國》的有2人，??.X=(),1,2,

4廣1「3

Vc1KAVovc9

則P(X=0)=+4,P(X=1)=，7包=3,P(X=2)=^T1=^

vYvv

所以X的分布列如下：

X012

p_42

777

???x的數(shù)學期望E(X)=O*+1/+2X彳=1

222

X的方差D(X)=(0-y)x1+(l-1)x1+(2-7)X多翁

IIIIIIJL>?

21、【答案】(1)104(分)；(2)0.298.

【詳解】

(1)1=10(65x().(X)28+75x0.0l+85x0.01+95x0.018+105x0.02,

+115x0.018+125x0.0124-135x0.008+145x0.0012)

=10x10.416=104.16^104(分).

(2)由題意知X?H.〃=104Q=18,

所以86=104-18=〃-cr/40=104+18x2=〃+2b,

〃+2。)=°.6827+0?9545

所以P(86<X領140)=PQLC<X=0.8186,

2

所以尸(X,,或X>〃+2o)=l-().8186=().1814,

所以丫?8(10,0.1814),

所以P(丫=2)=C；)x0.1814?x0.8186'?45xO.(X)663工0.298.

22、【答案】（1）5（萬元）；（2）旅游局對全市旅游景區(qū)至少投入8.12千萬元的治理經(jīng)費.

【詳解】

（1）設各小長方形的寬度為〃2,由頻率分布直方圖中各小長方形面積總和為1可得，

（0.08+0.10+0.14+0.12+0.04+0.02）〃?=1,解得m=2.

各小組依次是[0,2）,（2,4）,[4,6）,