第四節(jié)二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題

考綱解讀

1.會從實際情境中抽象出二元一次不等式組

2.了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元?次不等式組

3.會從實際情境中抽象出一些簡單的線性規(guī)劃問題及一些簡單非線性問題加以解決

命令題趨勢探究

1.從內(nèi)容上看，線性規(guī)劃是高考的熱點之考查內(nèi)容涉及最優(yōu)解、最值等，通常通過畫

可行域、移線、用數(shù)形結(jié)合的思想方法解題

2.從題型上看，題目類型多為選擇題和填空題，為容易題或中檔題，多數(shù)情況下可用特殊

位置法求解.

3.從能力要求上看，主要考查學生數(shù)形結(jié)合的思想與運算求解能力。

知識點精講

一、一元二次不等式表示平面區(qū)域

一般地，二元一次不等式Ar+8.v+C＞（）（AwO或8工（））在平面直角坐標系中表示

直線—+優(yōu)，+。=0某一側(cè)所有點組成的平面區(qū)域，通常把直線畫成虛線以表示區(qū)域不包

括邊界直線，而在坐標系中畫不等式AY+3），+C2O所表示的平面區(qū)域時，此區(qū)域應(yīng)包括

邊界直線，則把邊界線畫成實線。

二、二元一次不等式表示平面區(qū)域的快速判斷法

二元一次不等式表示平面區(qū)域的快速判斷法如表7-1所示，主要看不等式的符號與B的

符號是否同向，若同向，則在直線上方；若異向，則在直線下方，簡記為“同上異下”，這

叫B值判斷法.

區(qū)域B>()8<()

不等式

Av+^+C>0直線Ar+8y+C=O上方直線At+8.y+C=O下方

直線Av+3y+C=O下方直線At+B），+C=O上方

三、線性規(guī)劃

（1）二元一次不等式組是一組變量為），的約束條件，這組約束條件都是關(guān)于為），的一次不

等式，所以又稱為線性約束條件氣

（2）（a,b￡R）是欲達到最大值或最小值所涉及的變量勺解析式，叫做目標函數(shù).由

于z=ax+by又是X,y的一次解析式，所以又叫做線性目標函數(shù)

（3）求線性目標函數(shù)在約束條件下的最大值或最小值的問題，稱為線性規(guī)劃問題.滿足線性

約束條件的解",），）叫可行解，由所有可行解組成的集合叫可行域.使目標函數(shù)取得最大值

或最小值的可行解叫做該問題的最優(yōu)解.

四、線性規(guī)劃的實際應(yīng)用

線性規(guī)劃的實際應(yīng)用，一是給一定數(shù)量的人力、物力資源，問怎么運用這些資源使完成的任

務(wù)量和收到的效益最大：二是給定一項任務(wù)，問怎樣統(tǒng)籌安排，使完成這項任務(wù)耗費的人力、

物力發(fā)源最小.

題型歸納及思路提示

題型96二元一次不等式組的平面區(qū)域

思路提ZK

線性規(guī)劃中的可行域，實質(zhì)上就是一個二元一次不等式的平面區(qū)域，因而解決簡單線性規(guī)劃

問題是以二元?次不等式表示平面區(qū)域的知識為基礎(chǔ)的.

例7.21在平面直角坐標系X。），中，滿足不等式組《I」的點（x,y）的集合的陰影表示為

IH<1

下列圖中的（）

x-y>0

2x+y<2

變式1若不等式組《表示的平面區(qū)域是一個三角形，則。的取值范圍是

y>0

x+y<a

x-2y+5>0'

變式2設(shè)機為實數(shù)，若，（內(nèi)）3-x>0>q|(x,y)\x2+)3<25},則m的取值范

nix+y>0

圍是_______________

題型97平面區(qū)域的面積

思路提示

要求平面區(qū)域的而枳，先依據(jù)條件畫出所表達的區(qū)域，再根據(jù)區(qū)域的形狀求其面枳.

x>0

例7.22不等式組（x+3），24所表示的平面區(qū)域的面積等于（）

3x+y<4

x>0

4

變式1若不等式組《x+3），>4所表示的平面區(qū)域被直線y=kx+-分成面積相等的兩部

3x+y<4'

分，則無的值為:)

R-C.-

373

x>0

例7.23若。20力之0,且當)，>0時，恒有cix+by<1，則由點P(a,b)所形成的平面

x+y<1

區(qū)域的面積等于()

A-B.-C.1D.-

242

A<()

變式1若A為不等式組?)？()表示的平面區(qū)域，則當“從一2變化到1時，動直線

y-x<2

x+y=〃掃過A中的那部分區(qū)域的面積為

例7.24在平面直角坐標系xOy中，已知平面區(qū)域A={(x,y),+)，《1,且￥之(),>20},則

平面區(qū)域3={。+%.)，)|。,)”八}的面積為()

A2B.\C.-D.-

24

變式1在平面直角坐標系中，點集人=｛*廣）卜2+9小卜

B=｛（x,y）\x<4,y>0,3x-4y>0｝，

則：（1）點集尸=｛*,），）k=入+3,y=y+3,（內(nèi),y）eA｝所表示的區(qū)域而積為：

（2）Q=｛（x,y）\x=xi+x2iy=yi+y2,,y,）eA,（x2,y2）e￡?!所表示的區(qū)域的面積為

題型98求解目標函數(shù)的取值范圍或最值

思路提示

線性規(guī)劃問題實質(zhì)上就是求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值問題.

（1）在線性約束條件下求線性目標函數(shù)最值（線性規(guī)劃問題）：

形如z=ax+外的含參數(shù)的目標函數(shù)，可變形為斜截式，進而考查》軸上截距的取值

范圍.具體步驟為①確定目標函數(shù)移動方向；②確定最優(yōu)解.

（2）在線性約束條件下求非線性目標函數(shù)最值（要明確非線性的目標函數(shù)的幾何意

義）：對于形如：z="也（奴工0）的分式目標函數(shù)，可基于斜率公式化歸成

y--b

z=---勺，從而將問題化歸為可行域內(nèi)的點（X,），）與定點（-4,—2）確定的直線斜率

cv一〃ca

x----

C

的

C

對于形如Z=（x—a）2+（y-與2的目標函數(shù)，可化歸成可行域中的動點P（x,y）與定點

M（a,b）的距離的平方.

對于形如z=|A￥+6），+C|的目標函數(shù)，因為z=J1可將Z的

最值化歸成可行域內(nèi)的點（x,y）到直線Av+By+C=O的距離的最值的VA2+B2倍，或者

先求出z,=Av+By+C的取值范圍，然后再求z=區(qū)|的范圍即可.

y<2

例7.25（2012年廣東理5）已知變量乂），滿足約束條件，工+），21,則z=3x+y的最

x-y<\

大值為（）

A12R11C.3D.-1

x+2y>2

變式1（2012山東理5）設(shè)變量x,y滿足約束條件,則目標函數(shù)z=3x-y

4x-y>-1

的取值范圍是（）

31「3"1「3-

A.—,6B.—,—1C.[r—1,61D.-6,一

22L」2

0<x<\[2

變式2已知平面直角坐標系上的區(qū)域D由不等式組\y<2給定.若M（x,y）為

x<42y

。上的動點，點A的坐標為（3,1）,則z=OM?OA的最大值為（）

A.4x/28.3&C.4D.3

例7.26若實數(shù)滿足則?的取值范圍是()

A(0,1)A(0,1]C.(l,+a>)￡>.(l,+x>)

x-y+2<0

變式1已知變量蒼y滿足約束條件，則上的取值范圍是（）

X

x+y-7<0

B.f—U[6,+oo)

Ap6C.(-oo,3]J[6,+o))D.[3,6]

x-y+\>0

變式2如果滿足約束條件（y+120則3x+2）~5的取值范圍是

x-\

x+>>+l<0

2x-y+2>0

例7.27如果點P在平面區(qū)域r—2y+140上，點。在曲線/+（,，+2尸二|上，那么

x+y-240

|PQ|的最小值為（〉

AV5-1C.2V2-1D.V2-1

x+y<4

變式1已知點P(x,y)的坐標滿足條件，)，2x，點O為坐標原點，那么|PO|的最小值

等于；最大值等于

x-y+\>0

變式2已知點P(x,y)的坐標滿足條件x+y—320,點。為坐標原點，那么|PO|的最

x<2

小值為()

A孝B當C.75D.岳

x>\

例7.28設(shè)不等式組<4-2)，+320所表示的平面區(qū)域。1,平面區(qū)域Q?與5關(guān)于直線

y<x

3x—4y-9=0對稱，對于A中的任意一點A與C?中的任意一點B,的最小值等于

()

9Q12

A—84C.—D.2

55

x+2y<10

變式1設(shè)。是不等。式組2"+）’23表示的平面區(qū)域，則。中的點P（x,y）到直線

0<x<4

”1

x+y=10距離的最大值是

變式2已知實數(shù)x,y滿足則z=|3x+4y-5|的最大值為（）

[|x-y區(qū)1

A.1B.2C.8D.9

x-}'+2>0

變式3不等式組（x+y+220所確定的平面區(qū)域記為。，若圓。：Y+）,2=產(chǎn)的所有

2x-y-2<0

點都在區(qū)域。內(nèi)，則圓。的面積的最大值是.

題型99求解目標函數(shù)中參數(shù)的取值范圍

思路提示

對于含參數(shù)的目標函數(shù)，如z=ax+〃y型，可變形為斜截式，進而考查y軸上截距的取

值情況；如>="（。>0且型，可根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，又恒過定點（0,1）的性

質(zhì)，讓指數(shù)函數(shù)的圖像“動起來”，即先找到第一個與可行域的交點（臨界狀態(tài)），然后向某

個方向（順時針或逆時針）旋轉(zhuǎn)，直到與可行域中最后一個交點（臨界狀態(tài)）相交后停止.

x+y<6

x-y<2

例7.29已知變量x,y滿足條件1工〉；,若目標函數(shù)

y<0

z=+y（其中。>0）僅在點（4,2）處取得最大值，則〃的取

值范圍是.

圖7-16

變式1已知平面區(qū)域。由以A（l,3）,8（5,2）,C（3,l）為頂點的三角形內(nèi)部和邊界組成.

若在區(qū)域。上有無數(shù)多個點（》,y）可使目標函數(shù)z=x+my取得最小值，則〃，=()

A.-2B.-1C.1D.4

x+y>1

變式2若x,），滿足約束條件,目標函數(shù)2=冰+2），僅在點（1,0）處取得最

2x-y<2

小值，則。的取值范圍是（）

A.（-1,2）B.（-4,2）C.（-4,0]D.（-2,4）

x+3y-3>0

變式3若實數(shù)x,y滿足不等式組12工一>一340,且x+y的最大值為9,則實數(shù)陽=

X-/7ZV4-1>0

()

A.-2B.-1C.1D.2

”1

變式4已知實數(shù)％,y滿足—1,如果目標函數(shù)z=;v—y的最小值為一1,則實數(shù)

x+y<m

m等于（）

A.7B.5C.4D.3

變式5設(shè)集合4={*,），）|）亞5|1-2|,120},8={（x,y）|），K-|x|+》}，

（1）〃的取值范圍是;

（2）若（乂），）￡（4。8）,且x+2y的最大值為9,則匕的值是.

y>x

變式6設(shè)"?>1,在約束條件'y4〃a下，目標函數(shù)z=x+my的取值范圍為（）

x+y<1

A.(1,1+V2)B.(l+V2,+oo)C.(1,3)I).(3,+oo)

x+2y-19>0

例7.30設(shè)二元一次不等式組?x-），+820所表示的平面區(qū)域為M,使函數(shù)

2x+y-14<0

），=ax（a>0,。工1）的圖像過區(qū)域M的。的取值范圍是（）

A.[1,3JB.[2,V10]C.[2,9)D.[x/10,9]

x+y-ll>（）

變式1設(shè)不等式組134-y+320表示的平面區(qū)域為。，若指數(shù)函數(shù)），="的圖像上存

5x-3y+9<0

在區(qū)域。中的點，則實數(shù)a的取值范圍是（）

A.（1,3]B.[2,3]C.（1,2]D.[3,+00）

變式2若函數(shù)），=2、圖像上存在點），）滿足約束條件

x+y-340

，x—2y—340,則實數(shù)機的最大值為（）

x>m

3

B.1C.D.2

42

3x-y-6<0

例7.31設(shè)x,y滿足約束條件，工一），+220，若目標函數(shù)z=o￥+〃y3>0,〃>0）的最

x>0,^>0

23

大值為12,則—^丁的最小值為（）

2x-y+2>0

變式1設(shè)x,y滿足約束條件，8工一了一440,若目標函數(shù)z=〃/次+y（。>0,〃>0）的最

x>0,j>0

大值為8,則〃的最小值是.

題型100簡單線性規(guī)劃問題的實際應(yīng)用

思路提K

常見問題有物費調(diào)運、產(chǎn)品安排和下料問題等.思想是先從實際問題中抽象出數(shù)量關(guān)系,

然后確定其函數(shù)意義.

其解題步驟為：

（1）模型建立.

（2）模型求解.畫出可行域，并結(jié)合所建立的目標函數(shù)的特點，選定可行域中的特殊點

作為最優(yōu)解.

（3）模型應(yīng)用.將求解出來的結(jié)論反饋到具體的實例中，設(shè)計出最佳方案.

例7.32某加工廠用某原料由甲車間加工出力產(chǎn)品，由乙車間加工出6產(chǎn)品，甲車間加工一

箱原料需耗費工時10小時可加工出7千克力產(chǎn)品，每千克力產(chǎn)品獲利40元，乙車間加工一

箱原料需耗費工時6小時可加工出4千克B產(chǎn)品,每千克6產(chǎn)品獲利50元.甲、乙兩車間每

天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙兩車間耗費工時總和不超過480小時，甲、

乙兩車間每天總獲利最大的生產(chǎn)計劃為（）

A.甲車間加工原料10箱，乙車間加工原料60箱

B.甲車間加工原料15箱，乙車間加工原料55箱

C.甲車間加工原料18箱，乙車間加工原料50箱

D.甲車間加工原料40箱，乙車間加工原料30箱

分析設(shè)未知數(shù)，確定線性約頁條件和目標函數(shù)，畫出可行域和日

標函數(shù)對應(yīng)的初始直線、平行直線，確定最優(yōu)解，從而求出目標

函數(shù)的最值.

圖7-19

變式1某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品.已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗A原料1千克、3原料2

千克：生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗A原料2千克，8原料1千克.每桶甲產(chǎn)品的利潤是300元，每

桶乙產(chǎn)品的利潤是400元.公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計劃中，要求每天消耗A、3原料都不

超過12千克.通過合理安排生產(chǎn)計劃，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的最

大利潤是（〉A(chǔ).1800元B.2400元C.2800元D.3100

元

變式2在“家電下鄉(xiāng)”活動中，某廠要將100臺洗衣機運往臨近的鄉(xiāng)鎮(zhèn)，現(xiàn)有4輛甲型貨

車和8輛乙型貨車可供使用.每輛甲型貨車運輸費用400元，可裝洗衣機20臺：每輛乙型貨

車運輸費用300元，可裝洗衣機10臺，若每輛車至多運一次，則該廠所花的最少運費為

（）

A.2000元B,2200元C.2400元D.2800元

變式3某農(nóng)戶種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過50畝，投入資金不超過54萬元，假設(shè)種植

黃瓜和韭菜的產(chǎn)量和售價如表7-2所示.

表7-2

年產(chǎn)量/畝年種植成本/畝每噸售價

0.55萬

黃瓜4噸1.2萬元

元

韭菜6噸0.9萬元0.3萬元

為使一年的種植總利潤（總利潤=總銷售收入-總種植成本）最大，那么黃瓜和韭菜的種植面

積（單位：畝）分別為（）

A.50,0B.30,20C.20,30D.0,50

最有效訓練29（限時45分鐘）

y>X—1

1.在坐標平面上，不等式組,一所表示的平面區(qū)域的面積為（）

y<-3|x|+l

4D.2

2.設(shè)動點坐標（x,y）滿足（x-y+l）（x+y-4）N0,x>3.貝!Y+}?的最小值為（）

A.亞B.Vioc.UD.10

2

3.給出平面區(qū)域（包括邊界）如圖7-20所示，若使目標函數(shù)

z=ax+y[a>0）取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個，則a的值為C(l,4.4)

)

A.1

BC.4

4-l4

)'2x

4.已知x,y滿足不等式組XIy<2,且z=2xIy的最大值

圖7-20

x>a

是最小值的3倍，則〃=（)

A.04c-?D.1

x-