概率論與數(shù)理統(tǒng)計期末試卷

一、填空(每小題2分.共10分)

1.設(shè)口是三個隨機事室則□至少發(fā)生兩個可表示為0

2.擲一顆骰子，口表示“出現(xiàn)奇數(shù)點”，口表示“點數(shù)不大于3”，則□表示o

3.已知互斥的兩個事件口滿足口,則口。

4.設(shè)口為兩個隨機事仁口.口.則口o

5.設(shè)口是三個隨機事仁口.□.□、□,則□至少發(fā)生一個的概率為o

二、單項選擇(每小題的四個選項中只有一個是正確答案.請將正確答案的番號填在括號內(nèi)。每小題2分.共

20分)

I.從裝有2只紅球，2只白球的袋中任取兩球，記口”取到2只白球”，則口()。

(I)取到2只紅球的取到I只白球

(0沒有取到白球(//)至少取到I只紅球

2.對擲一枚硬幣的試驗，“出現(xiàn)正面”稱為()。

(.4)隨機事件的必然事件

(。不可能事件⑺樣本空間

工設(shè)A.B為隨機事件.則口()o

(<)A(H)if

(0IB{II)力

L設(shè)口和□是任意兩個概率不為零的互斥事件,則卜列結(jié)論中肯定正確的是()o

(I)彳與否互斥的7與否不互斥

P(A}UP(B)/(A-8)=P?

5.設(shè)□為兩隨機事件,且則下列式子正確的是()。

U)=/(期=尸(3)

/(8|4)=F⑻/伊叫=?⑻-?⑷

6.設(shè)□相互獨立□.則口()。

2J

(1)3的9

191

(027(//)27

7.設(shè)口是三個隨機事件.且有口.則口()o

(I)0.1的(1.6

(Q0.8(//)0.7

8.進行一系列獨立的試驗.每次試驗成功的概率為p.則在成功2次之前已經(jīng)失敗3次的概率為()。

(I)問一，))(協(xié)JP(I-PP

(。5P?(l-p)3曲爐(1一州

9.設(shè)A.R為兩隨機事件,且口,則下列式子正確的是()。

(9戶(3號)=尸伊)期尸(3-4)=2(3)-尸(⑷

10.設(shè)事件A與B同時發(fā)生時.事件(:一定發(fā)生，則()。

0)/*(.1的一P?儼)P⑸十P的一P(0WI

(0P(4)+P0)-P2I(II)P(A)+P幽)WP?

三、計算與應(yīng)用題(每小題8分.共61分)

1.袋中裝有5個白球，3個黑球。從中一次任取兩個。

求取到的兩個球顏色不同的概率。

2.1(1把鑰匙有3把能把門鎖打開。今任取兩把。

求能打開門的概率。

3.一間宿舍住有6位同學(xué).

求他們中有I個人的生日在同一個月份概率。

以個產(chǎn)品中有16個合格品與I個次品.從中一次抽取3個，

求至少取到一個次品的概率。

5.加工某種零件.需經(jīng)過三道工序.假定第一、二、三道工序的次品率分別為0.2.并且任何一道工序是否

出次品與其它各道工序無關(guān)。

求該種零件的次品率。

6.已知某品的合格率為0.95.而合格品中的一級品率為(加。

求該產(chǎn)品的一級品率。

7.一箱產(chǎn)品共皿》件.其中次品個數(shù)從。到2是等可能的。開箱檢驗時;從中隨機抽取I。件.如果發(fā)現(xiàn)有次品.則認

為該箱產(chǎn)品不合要求而拒收。若已知該箱產(chǎn)品已通過驗收,

求其中確實沒有次品的概率。

8.某廠的產(chǎn)品.□按甲工藝加工.□按乙工藝加工.兩種工藝加工出來的產(chǎn)品的合格率分別為0.8與0.9。現(xiàn)從該

廠的產(chǎn)品中有放回地取5件來檢驗，

求其中最多有一件次品的概率。

四、證明題（共6分）

設(shè)口.□□<,證明

3之1（川8）2駕二1

D0

試卷一

參考答案

一、填空

1.□或口

2.出現(xiàn)的點數(shù)恰為5

3.口

74與5互斥

?尸(dU6)=尸(⑷+尸(6)則尸(6)=F(/U6)-尸傳)=一P

1.0.6

???P(A-B)=P(A)-P(AB)

=06-0.2

=0.4

故P(AB)>P(AB)

=1-0.4

=0.6

5.口

至少發(fā)生一個，即為

又由ABCaAB^F(A￡C)^()

故P(/U5UC)=P(4)+P(B)+P(O-P(,AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

31

=一—一

46

7

=正

二、單項選擇

!.□

2.A

3.A

利用集合的運算性質(zhì)可得.

1.□

74與5互斥

:.P(AB)=0

故尸(/-8)=尸⑷-尸(幽門⑷

5.□

vBe.A

AB-B

故尸(四)=尸(6)

6.0

743,C相互獨立

二F(一U￡UC)=I-F(4UEUC)

=1-P0P(5)P?

*圖

19

=—

27

7.D

vAz)B.ADC

OSC且P(fUQ=F(5C)

=0.8

則心-80=尸⑼-RBC)

=09-0.2

=0.7

?.□

9.B

KI.B

vABuC

..F\AB)=+P⑷+P(ff)-P(AuB)￡P(guān)(C)

故P(A)+岫_p(°WI

三、計算與應(yīng)用題

I解

設(shè)口表示“取到的兩球顏色不同”,則口

而樣本點總數(shù)〃=C；

尸⑷=，=警喘

故”5

2.解：

設(shè)口表示“能把門鎖打開"，則口，而口

C衿+Cf8

（A）

/=7=is

3解

設(shè)口表示“有I個人的生日在同一月份”，則口

而樣本點總數(shù)為丹二12，

=玄==0.0073

故n12°

4解

設(shè)□表示“至少取到?個次品”,因其較復(fù)雜,考慮逆事件口二“沒有取到次品”

則N包含的樣本點數(shù)為"彳=c%。而樣本點總數(shù)為彩=c*

P{A)=1-尸(力=1-%=0.2255

故Go

5.解：

設(shè)4=”任取一個零件為次品”

由題意要求口.但較復(fù)雜，考慮逆事件口”任取一個零件為正品”.□表示通過三道工序都合格.

則P(A)=(l-02)(l-01)(1-01)=0.648

于是F(i4)=l-P(4l=l-0648=0352

6.解:

設(shè)口表示“產(chǎn)品是一極品”.□表示“產(chǎn)品是合格品”

顯然□.則口

于是/，)=PW=尸(8)尸(川功=o95x。65=0.6175

即該產(chǎn)品的?級品率為06175

工解:

設(shè)口“箱中有□件次品”，由題設(shè).有口，

又設(shè)口”該箱產(chǎn)品通過驗收”，由全概率公式，有

氏3)=￡尸(4)尸(叫4)

ix2.71

尸(4|3)=

于是

r1

$2.71

=271

=037

M解

依題意.該廠產(chǎn)品的合格率為.口

于是,次品率為口

設(shè)口表示“有放回取；件.最多取到一件次品”

貝U尸(<)=C?p%S+C%d

=(0.82)5+5x018x(0.82)*=：0.78

四、證明題

證明

由概率的性質(zhì)知ABaA則

P(AB)<P[A)^a

乂...P(AB)^P(A}+P{B)-P(AUB)

|L0<P(A<J5)<1

故b

試卷二

一、填空（每小題2分.共10分）

I.若隨機變量□的概率分布為口.□.則口________。

2.設(shè)隨機變量□,且□.則口________。

3.設(shè)隨機變量□.則□。

I

.設(shè)

隨機

變量

□,

則

□_

0貫

.若

隨機

變量

口的

概率

2

分布

為

0.2050.3

則D3x)=

二、單項選擇（每題的四個選項中只有一個是正確答案.請將正確答案的番號填在括號內(nèi)。每小題2分.共

20分)

I.設(shè)口與口分別是兩個隨機變量的分布函數(shù)，為使口是某一隨機變量的分布函數(shù)，在下列給定的各組數(shù)

值中應(yīng)?。ǎ?/p>

I3

“2,二a=一,

(0的2

16=

-91

(02

2.設(shè)隨機變量□的概率密度為□，則口（

(|)2的1

(0%⑺°

3.下列函數(shù)為隨機變量分布密度的是（

smx>0ex<yanx，0<x<

Z>W-p(x)一

0其它0其它

(I)(If)

sanx.0<x<<snx?0<x<2r

z>W-

0其它0其它

(0

I.下列函數(shù)為隨機變量分布密度的是（

(0g

?《川

（0"標h

(H)2v<

.5.設(shè)隨機變量口的概率密度為口.口.則□的概率密度為（)o

（產(chǎn)（〉）

產(chǎn)⑵

6.設(shè)口服從二項分布口.則()o

同RQX-?=2np"(JAM)-)+1

(°E(2￥+1)=4叨+l的￡)(2Y7)=4鞏-p)

7.設(shè)□.則口()。

(*)2的4

(00⑺1

8.設(shè)隨機變量口的分布密度為□.則口(

(1)2的1

(01/2Mi

9.對隨機變量口來說.如果口,則可斷定口不服從

(?)二項分布腳指數(shù)分布

(0正態(tài)分布(0)泊松分布

io.設(shè)口為服從正態(tài)分方□的隨機變量.則口(

(09的6

(0I的-3

三、計算與應(yīng)用題(每小題8分.共61分)

L盒內(nèi)有12個乒乓球，其中9個是新球，3個是舊球。采取不放回抽取，每次取一個，直到取到新球為止。

求抽取次數(shù)X的概率分布。

2.車間中有6名工人在各自獨立的工作，已知每個人在I小時內(nèi)有12分鐘需用小吊車。

求(I)在同一時刻需用小吊車人數(shù)的最可能值是多少？

(2)若車間中僅有2臺小吊車,則因小吊車不夠向耽誤工作的概率是多少？

工某種電子元件的壽命口是隨機變量.其概率密度為

C

x>100

P（x）=7

0x<100

求(I)常數(shù)C；

(2)若將3個這種元件串聯(lián)在一條線路上,試計算該線路使用I劉小時后仍能正常工作的概率。

L某種電池的壽命(單位:小時)是一個隨機變量口,且口。

求(I)這樣的電池壽命在瀏小時以上的概率；

(2)口.使電池壽命在口內(nèi)的概率不小于0.9。

5.設(shè)隨機變量口。

求Y=戶概率密度外（?。?。

6.若隨機變量口服從泊松分布，即口.且知口。

求兄4叱

7.設(shè)隨機變量口的概率密度為口。

求和

8.一汽車沿一街道行使.需要通過三個均沒有紅綠燈信號燈的路口.每個信號燈為紅或綠與其他信號燈為紅或

綠相互獨立.求紅或綠兩種信號燈顯示的時間相等。以口表示該汽車未遇紅燈而連續(xù)通過的路口數(shù)。

求（I）X的概率分布；

⑵"島1

四、證明題（共6分）

設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布。

證明:□在區(qū)間口上.服從均勻分布。

試卷二

參考答案

一、填空

1.6

￡*丫=月=1

由概率分布的性質(zhì)有U1

即口，

得C=6。

2.口

，則

尸{XN1)=1-尸{X=O}=l-(l-p)‘

3.0.5

v4)

:.P{X+1<O}=P{X<-1}

叫下一卜中⑼=0.5

vX~“2)

EX=LDX=L

24

貝U/=￡)%+(因2

I1

=一4一

44

=1

2

5.0.25

由題設(shè).可設(shè)口

P{Y=0}=?{smZ=0}=P{AT=0}+{sinX=^}=0.2+0.3=0.5

尸{y=i)=尸{M》=I)=2，x=g>=0.5

Y01

P0.50.5

則s（y）=op{y=o}+ip{y=i}=o,5

F（ra）=o3尸（y=o}+P,p{y=i}=o.5

D（r）=5（r3）-（s（r））2=05-05:025

二、單項選擇

i.（口）

由分布函數(shù)的性質(zhì).知口

則口，經(jīng)驗證只有□滿足.□選口

2.（□）

由概率密度的性質(zhì)，有口□

工（口）

由概率密度的性質(zhì).有口□

1.(□)

由密度函數(shù)的性質(zhì).有口

5.(口

是單減函數(shù)，其反函數(shù)為，求導(dǎo)數(shù)得

由公式，的密度為

6.(口)

由已知口服從二項分布口.則口

又由方差的性質(zhì)知,WX-1)=49Q-P)

7.(口)

???4)

：,EX=O,DX=A

于是E[X(X-2)]=-2￡T=DX^(EXf-2EX=4

8.(A)由正態(tài)分布密度的定義，有口

由*x),Kr8丁9<]<+8)=—,,

2〃2a-4■2

90)

???烤服從泊松分布，則￡X?DX?入

.?.如果EXhDX時,只能選擇泊松分布.

10.(0)

???、為服從正態(tài)分布.V(-l.2).EX=.1

A￡(2V-l)=-3

三、計算與應(yīng)用題

I解

設(shè)X為抽取的次數(shù)

只有個舊球，所以的可能取值為：

由古典概型，有

93

?；網(wǎng)…它，

^=2}=lxl=±

P(X=3}=-x—x—=—

iJ121110220

八32191

尸L*=4}=-x-x——x-=——

i;1211109220

則

X?23

3991

rP

444220220

2.解:

設(shè)口表示同一?時刻需用小吊車的人數(shù).則口是一隨機變量,由題意有口.

,于是

(1)口的最可能值為口.即概率口達到最大的口

(2)尸國ST作}=9{X>2)=1-9{XW2)

=1NP{X川

—跳廣

=00989

工解：

r*?

p(x)dx=lnI-Cx-tfxsl

⑴由Ji3可得C=100

(2)串聯(lián)線路正常工作的充要條件是每個元件都能正常工作,而這里三個元件的工作是相互獨立的.因

此,若用口表示“線路正常工作”，則

F(J4)=[F(X>15O)J

而"兀*|

I.解:

〃=300.。=35

250-300]

產(chǎn)｛工>250)=1-產(chǎn)｛￥?250｝=1-0

(I)35)

=1-6(幻)

網(wǎng)X>250)=1-(1-6(1428))

=6(1428)(查正態(tài)分布表)

=09236

zi?“A、」3g+a-300113OO-a-3OO1

產(chǎn)(300-」<300+d｝二6------------一①--------------

由題意I<X；I35JI35J

=09

1+0.9…

6—z—=0195

即查表得a=57.75o

3.解:

對應(yīng)的函數(shù)單調(diào)增加，其反函數(shù)為，求導(dǎo)數(shù)得，

l<x<2

Px⑶=，

其它

乂由題設(shè)知0,

故由公式知：口

6.解:

，則

而EX=DX=a

由題設(shè)知EX2=2

即女+(甘)2=；1+7=2

可得N=1

31

尸(XN4)=1-F(￡〈4)=1-Z」“

故

查泊松分布表得.口

=1-0,981

=0019

工解:

由數(shù)學(xué)期望的定義知*!>(梃臼二

x"以=0

而EX”=［二dr(1)h=；［二2岑制dx=『八-"=

2

故以=/_(時=2

8.解:

(i)X的可能取值為°，L2,3且由題意,可得

尸{x=o}=T

產(chǎn){X=1]=；X；=；

P(X=2]=^X2X1=1

''2228

p{X=3)=ixlxl=I

,'2228

X0i23

1J

p2

2A88

（2）由離散型隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，有

￡|—|=—xP{Ar=O)+—XP{^=1}+—XP{AF=2)+—xP(Jf=3)

十人/l+U-1

1111111

=一+-X—?-x-+—x-

2243848

67

=---

96

四、證明題

證明：

由已知X服從才跳分布「（2）則

,、［2產(chǎn)x>0

以"，［&x<0

又由口得口連續(xù),單調(diào).存在反函數(shù)

…產(chǎn)且%1-y）

當口時.口則口

故々（H?Ar［g（y）］D|gbX

［^^x—L—,

20<y<1

*j2（?y）

其它

10<y<l

"to,其它

即y服從（Q.1削均勻分布U（Q1）

試卷三

一、填空（請將正確答案直接填在橫線上。每小題2分.共10分）

1.設(shè)二

維隨機變01%

量口的聯(lián)

合分布律

為，

\

Y

X

0a

彳2

1J

1b

32

.設(shè)

隨

機

變

量

□

和

□

相

互

獨

立

-11-11

其

概

率

分

布

分

別

為

I1工J

222

則尸依小

3.若隨機變量□與□相互獨立.且

則x+y服從分布.

.已

知

□

與

□

相

互

獨

立

同

9

則w）=.

5.設(shè)隨機變量口的數(shù)學(xué)期里為口、方差□.則由切比雪天不等式有

P[\X-u\^.2a}

二、單項選擇（在每題的四個選項中只有一個是正確答案.請將正確答案的番號填在括號內(nèi)。每小題2分.共

2。分）

I.若二維隨機變量□的我合概率密度為口口，則系數(shù)□（）.

24

（I）n的儲

_2

（01的兀

2.設(shè)兩個相互獨立的隨機變量□和□分別服從正態(tài)分布口和□，則下列結(jié)論正確的是（）.

F{x+yso}=1

(I)的

的九＞。）產(chǎn){—}=；

的

3.設(shè)隨機向量（\八）的聯(lián)合分布密度為□.則（

（I）（XJ）服從指數(shù)分布（明[與}不獨立

（0.，與）相互獨立?砌X,1）#0

1.設(shè)隨機變量口相互獨立且都服從區(qū)間|0』|上的均勻分他則下列隨機變量中服從均勻分布的有（）.

的X+Y

價因丫）

5.設(shè)隨機變量口與隨機變量口相互獨立且同分布.且口

2.則下列各式中成立的是（）.

P(X=K)=1v\1尸(x+y=o)=LP(^T=1)=-

曲尸

(I)2(X=y)=Lo4的4

6.設(shè)隨機變量□的期望與方差都存在.則下列各式中成立的是().

㈤E(X+Y)=+曲E(XY)^EXEY

，八D(X+y)=DX+DYllhD(XY)=DX-DY

(I)W)

7.若隨機變量□是口的線性函數(shù).口且隨機變量口存在數(shù)學(xué)期望與方差，則口與口的相關(guān)系數(shù)口().

(1)。的/(0°(//)1

X.設(shè)口是一維隨機變量，則隨機變量口與口不相關(guān)的充要條件是().

^EX^EY

，li}EX^(EX^EY^(EY^

(f)叱+上,:用舊時

W)EX2=EY2

。.設(shè)口是□個相互獨立同分布的隨機變量.口,□

則對于口.有口().

<±<1

U)海的9

>].±>2

(0汕的9

10.設(shè)口.為獨立同分布隨機變量序列.且\i(i=12…)服從參數(shù)為X的指數(shù)分布,正態(tài)分布N(0.l)的密度函數(shù)為口.

則().

4VM〃￡匹-〃

口產(chǎn)——Sx-4>(x)(8)limP<—Sx，-4>(x)

,

之X「A江7

口l---Mx,-4*(x)(D)hm」?三!-----<x，?e(x)

……nX

三、計算與應(yīng)用題(每小題8分.共61分)

1.將2個球隨機地放入:5個盒子，設(shè)口表示第一個盒子內(nèi)放入的球數(shù),口表示有球的盒子個數(shù).

求二維隨機變量(X'')的聯(lián)合概率分布.

2.設(shè)二維隨機變量口的聯(lián)合概率密度為

/、[啟x>ay>o

心力0,其它

(I)確定力的值;

⑵求產(chǎn){0MXM1，0WYW2}

3.設(shè)口的聯(lián)合密度為

15小,0<x<y<1

P(X,y)

o.其它

（I）求邊緣密度Px。）和PYG'）；

（2）判斷x與y是否相互獨立.

I.設(shè)口的聯(lián)合密度為

/\229XN1,JN1

p（x，力=<

0,其它

z=￡

求Y的概率密度.

5.設(shè)口,□,且□與□相互獨立.

求（I）（”丫）的聯(lián)合概率密度；

（,）儀2*+4。

（3）儀3）

6.設(shè)□的聯(lián)合概率密度為

p[^y）=W（x+"0<x<2,0<^<2

o.其它

求cov（X,丫）及加

7.對敵人陣地進行100次炮擊。每次炮擊命中目標的炮彈的數(shù)學(xué)期望是I標準差是1.5.

求1（10次炮擊中有涮至磔課炮彈命中目標的概率.

8抽樣檢杳產(chǎn)品質(zhì)量時,如果發(fā)現(xiàn)次品數(shù)多于10個,則認為這批產(chǎn)品不能接受.

問應(yīng)檢查多少個產(chǎn)品才能使次品率為10%的這批產(chǎn)品不被接受的概率達0.9.

四、證明題（共6分）

設(shè)隨機變量口的數(shù)學(xué)期望存在.證明隨機變量口與任一常數(shù)□的協(xié)方差是零.

試卷三

參考解答

一、填空

I.D

由聯(lián)合分布律的性質(zhì)及聯(lián)合分布與邊緣分布的關(guān)系得

1

11-

4-

1

6-

2.口

產(chǎn){x=y}=p{x=-i,r=-i}+p{z=i,r=i)

11111

——X-4-X-=-

22222

3.口

???相互獨立的正態(tài)變量之和仍服從正態(tài)分布必4％,Y+6)

且口.

.^+7027(3,25)

1.□

.；nXY)=RXXRY=(EX)2

=(0x01+1x09)2

=081

5.D

??.-122小芻

a2

=才

=1

4

二、單項選擇

則

由口取一爪1n叱品

2.冊

由題設(shè)可知.口

故將y標準化得「｛犬+y"D

飛)

=例0)

=1

2

，選擇（冰

3.(0

1六1，

??,由p(x>)=7rg知,尸0,則CO?Ky)=0

2^r

故x.y相互獨立.

???選擇◎

他

???隨機變量x與丫相互獨立且都服從區(qū)間WI上的均勻分布.則

1,OWxjWl

其它

P(xj)=px(x)prCy)=%

???選擇O

5.(A)

vKX=Y)=P{X=DF(y=1)+P(X=-l)P(r=-1)

11111

=—X--X-=一

22222

工選擇(4

6.(A)

???由期望的性質(zhì)知

￡(x+y)=￡￥+ay

工選擇俳

翻)

EXY-EX0EY,八

Pxi"ylDXDyfby(”,)

EX(aX^b)-EXUE(aX^b)

-百口軻aX+b)

aUDX

=麗

a

=同

=1

???選擇以

8邛)

u=x+y與不相關(guān)的充要條件是〃)=。

即鯉(x+y”-y)]-E(x+y)a(x-y)=o

則君=@)2=”2-(即2

，選擇例

9.(()

DZ=-

Vn_

,叩-竿

=1-—

9n

，選擇。

IO.(A)

Xi(i=12…)服從參數(shù)為入的指數(shù)分布，則

???選擇他

三、計算與應(yīng)用題

I.解

顯然x的可能取值為°，1'2：y的可能取值為1,2

注意到將2個球隨機的放入3個盒子共有3^種放法.則有

2

巴=OY=-

9

2

==--Y==O

Y=9

□G4

2=-

Y=9

^21

7=J=

*Y=l彳=工P(Z=2.Y=2)=0

即（乂丫）的聯(lián)合分布律為

(i)由概率密度的性質(zhì)有

匚匚

川工小”

=4*%-"dxx力

=A

12

=1

可得4=12

(2)設(shè)口.則

p{o<jf<i,o<r<2}=p((xr)eD)

=J[p(x，y)d^fy

D

=(1-尸)(]_/)

3.解

⑴P*(x)=J二P(x,y\fy(0<x<l)

=J：15x，M=(1-x3)

《2

/、0<X<1

0.其它

&3=匚。3"（o<^<i）

即口.

（2）當0<X<l,0<尸<1時

網(wǎng)（戲蚪（田=白，（1■刁口5八p（K.刃

故隨機變量x與丫不相互獨立.

4.解

先求口的分布函數(shù)□顯然.隨機變量□的取值不會為負因此

當口時

當口時.口