北師大版（新教材）數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)培優(yōu)備課課件1.5.1角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理第一章

三角形的證明及其應(yīng)用進(jìn)行新課知識(shí)點(diǎn)1角平分線的性質(zhì)OECBAD通過(guò)剛剛的折紙活動(dòng)，你能得出什么結(jié)論？角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。你能證明這個(gè)結(jié)論嗎？已知：如圖，OC

是∠AOB

的平分線，點(diǎn)P

在OC

上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E。求證：PD=PE。OABC12PDE證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，∴∠PDO=∠PEO=90°?！?/p>

∠1=∠2，OP=OP，∴△PDO≌△PEO（AAS）?！?/p>

PD=PE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）。1．如圖，OC平分∠AOB，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OB，PD＝2，則點(diǎn)P到OA的距離是(

)A．4B．3C．2D．1C返回2．如圖，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別為C，D，連接CD，則下列關(guān)系不一定成立的是(

)A．PC＝PD

B．OC＝ODC．CD垂直平分OP

D．PO平分∠CPDC返回定理角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。角平分線的性質(zhì)：應(yīng)用所具備的條件：①角的平分線；②點(diǎn)在該平分線上；③垂直距離。定理的作用：證明線段相等OABPDE定理角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。幾何語(yǔ)言：∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為E，F(xiàn)，∴PE=PF角平分線的性質(zhì)：OABPDE3．[教材P37“例1”變式]如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)D，AC＝8cm，AD＝5cm，DE⊥AB，則AE＝________cm。

4返回4．(4分)[西安交大附中月考]如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E。求證：AB＝BE。

返回練一練如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB。若AC=2，DE=1，則S△ACD=______。1FDF=DE=1S△ACD=AC·DF=

×2×1=1嘗試·思考知識(shí)點(diǎn)2角平分線的判定你能寫出這個(gè)定理的逆命題嗎？定理：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。逆命題：到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上。逆命題它是真命題嗎？角平分線是角內(nèi)部的一條射線，而角的外部也存在到角兩邊距離相等的點(diǎn)。假命題在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上。如何證明？已知：如圖，點(diǎn)P

為∠AOB

內(nèi)一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E

，且PD=PE。求證：OP平分∠AOB。OAB12PDE證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，∴∠ODP=∠OEP=90°。∵

PD=PE，OP=OP，∴Rt△DOP≌Rt△EOP（HL）?！?/p>

∠1=∠2（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）?！郞P平分∠AOB。定理在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上。角平分線的判定：應(yīng)用所具備的條件：①位置關(guān)系：點(diǎn)在角的內(nèi)部；②數(shù)量關(guān)系：該點(diǎn)到角的兩邊距離相等。定理的作用：判斷點(diǎn)是否在角平分線上OABPDE定理在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上。角平分線的判定：OABPDE幾何語(yǔ)言：∵PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上5．如圖，OC是∠MON內(nèi)部一條射線，P為射線OC上一點(diǎn)，PA⊥ON于點(diǎn)A，PB⊥OM于點(diǎn)B。下面不能判定OP是∠MON的平分線的是(

)A．∠MOC＝∠NOC

B．PA＝PBC．OA＝OB

D．PB＝OBD返回6．如圖，DA⊥AC，DE⊥BC，若AD＝5cm，DE＝5cm，∠ACB＝58°，則∠DCE＝(

)A．26°B．29°C．58°D．32°B返回例1

如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，點(diǎn)D在邊BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，且DE=DF，求DE的長(zhǎng)。ABCDEF解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，且DE=DF，∴AD平分∠BAC(在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上)。又∵∠BAC=60°，∴∠BAD=30°。在Rt△ADE中，∠AED=90°，AD=10，∴

DE=AD=×10=5(在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半)。練一練如圖，BD=CE，BE⊥AC于點(diǎn)E，CD⊥AB于點(diǎn)D，BE，CD交于點(diǎn)F。求證：點(diǎn)F在∠A的平分線上。證明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠FDB=∠FEC=90°。又∵∠BFD=∠CFE，BD=CE，∴△BDF≌CEF（AAS）?！郌D=FE。又∵FE⊥AC，F(xiàn)D⊥AB，∴點(diǎn)F在∠A的平分線上。角平分線的性質(zhì)角平分線的判定圖形已知條件結(jié)論OP

平分∠AOBPD⊥OA

于DPE⊥OB

于

EPD=PEOP平分∠AOBPD=PEPD⊥OA于

DPE⊥OB

于

E歸納：OABPDEOABPDE7．如圖，已知點(diǎn)P為∠AOB內(nèi)部一點(diǎn)，PA⊥OA，PB⊥OB，PA＝PB，C為OP上一點(diǎn)，CD⊥OB于點(diǎn)D，且CD＝7，則點(diǎn)C到OA的距離是________。

7返回8．(4分)如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F(xiàn)，BE＝CF。求證：AD是△ABC的角平分線。

返回9．

如圖，在紙上畫有∠AOB，將兩把直尺按圖示擺放，直尺邊緣的交點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，則(

)A．d1與d2一定相等B．d1與d2一定不相等C．l1與l2一定相等D．l1與l2一定不相等A返回3返回11．[咸陽(yáng)月考]如圖，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中點(diǎn)，DE平分∠ADC，若∠ADC＝120°，連接AE，則∠BAE＝________°。

30返回12．[東營(yíng)中考]如圖，在△ABC中，AB＝6，∠BAC＝30°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M，N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM＋MN的最小值是________。

3返回13．(8分)如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，直線DE是AB的垂直平分線，與AB交于點(diǎn)E，與BC交于點(diǎn)D，連接AD。

(1)求證：AD平分∠BAC；證明：∵DE是AB的垂直平分線，∴AD＝BD，∴∠DAB＝∠B＝30°，∵∠C＝90°，∴∠CAD＝90°－∠B－∠DAB＝30°，∴∠CAD＝∠DAE?！郃D平分∠BAC。(2)若CD＝2，求△ABD的面積。返回14．(8分)如圖①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AC上的一點(diǎn)(不與點(diǎn)A，C重合)，連接BD，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BD，交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E。(1)若BD是∠ABC的平分線，求證：BD＝2AE；證明：如圖，延長(zhǎng)BC，AE，相交于點(diǎn)F，∵AE⊥BE，∴∠AEB＝∠FEB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACF＝90°＝∠ACB，∠ACB＝∠AEB。∵∠BDC＝∠ADE，∴易得∠CBD＝∠CAF。又∵BC＝AC，∴△BCD≌△ACF，∴BD＝AF?！連D是∠ABC的平分線，∴∠ABE＝∠FBE。∵BE＝BE，∴∠AEB＝∠FEB＝90°，∴△ABE≌△FBE(ASA)，∴AE＝FE，∴AF＝2AE