4.2.1.2等差數(shù)列的性質(zhì)一．選擇題1.下列說法中正確的是()A.若a,b,c成等差數(shù)列,則a2,b2,c2成等差數(shù)列B.若a,b,c成等差數(shù)列,則log2a,log2b,log2c成等差數(shù)列C.若a,b,c成等差數(shù)列,則a+2,b+2,c+2成等差數(shù)列D.若a,b,c成等差數(shù)列,則2a,2b,2c成等差數(shù)列2.若{an}是等差數(shù)列,且a1+a4+a7=45,a2+a5+a8=39,則a3+a6+a9等于()A.39 B.20 C.19.5 D.333.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題:“今有五人分五錢(‘錢’是古代的一種重量單位),令上二人所得與下三人等.問各得幾何.”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢,甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列.問五人各得多少錢.”這個(gè)問題中,甲所得為()A.54錢 B.43錢 C.32錢 D4.《萊茵德紙草書》是世界上最經(jīng)典的數(shù)學(xué)著作之一.書中有一道題的大意如下:把100個(gè)面包分給5人,使每人的所得成等差數(shù)列,且使較大的三份之和的17是較小的兩份之和.在這個(gè)問題中,最小的一份的量為(A.52個(gè) B.54個(gè) C.53個(gè) D5.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,且a1+a7+a13=4π,則tan(a2+a12)的值為()A.3 B.±3 C.-33 D.-6.(2025·廣西南寧模擬)若方程(x2-4x+m)(x2-4x+n)=0的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為12的等差數(shù)列,則|m-n|=(A.2 B.3C.12 D.二．填空題7.在等差數(shù)列{an}中,若a2+a4+a6+a8+a10=80,則a7-12a8的值為.8.在等差數(shù)列{an}中,已知a1,a99是函數(shù)f(x)=x2-10x+16的兩個(gè)零點(diǎn),則12a50+a20+a80=.9.若m≠n,兩個(gè)等差數(shù)列m,a1,a2,n與m,b1,b2,b3,n的公差分別為d1和d2,則d1d2的值為10.在數(shù)列{an}中,a1=3,且對(duì)任意大于1的正整數(shù)n,點(diǎn)(an,an-1)在直線x-y-3=0上,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為11.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,若點(diǎn)ann,an+1n+1在直線x-y+112.若等差數(shù)列{an}滿足an+1+an=4n-3,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為.

三．解答題13.在等差數(shù)列{an}中,若a1+a2+…+a5=30,a6+a7+…+a10=80,求a11+a12+…+a15.14.甲、乙兩人連續(xù)6年對(duì)某縣農(nóng)村養(yǎng)雞業(yè)規(guī)模進(jìn)行調(diào)查,提供兩個(gè)不同的信息圖如圖.甲調(diào)查表明:從第1年平均每個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)出產(chǎn)1萬(wàn)只雞上升到第6年平均每個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)出產(chǎn)2萬(wàn)只雞.乙調(diào)查表明:由第1年養(yǎng)雞場(chǎng)個(gè)數(shù)30個(gè)減少到第6年10個(gè).請(qǐng)根據(jù)提供的信息,求:(1)第2年養(yǎng)雞場(chǎng)的個(gè)數(shù)及全縣出產(chǎn)雞的總只數(shù).(2)到第6年這個(gè)縣的養(yǎng)雞業(yè)規(guī)模比第1年是擴(kuò)大了還是縮小了?請(qǐng)說明理由.(3)哪一年的規(guī)模最大?請(qǐng)說明理由.15.已知{an}是等差數(shù)列,a1=2,a2=3,若在每相鄰兩項(xiàng)之間插入3個(gè)數(shù),使它和原數(shù)列的數(shù)構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列,求:(1)原數(shù)列的第12項(xiàng)是新數(shù)列的第幾項(xiàng)?(2)新數(shù)列的第29項(xiàng)是原數(shù)列的第幾項(xiàng)?16.已知數(shù)列{an}的所有項(xiàng)均為正數(shù),且a1=1,an+1-an+1=an+(1)數(shù)列{an(2)求an.4.2.1.2等差數(shù)列的性質(zhì)一．選擇題1.C因?yàn)閍,b,c成等差數(shù)列,則2b=a+c,所以2b+4=a+c+4,即2(b+2)=(a+2)+(c+2),所以a+2,b+2,c+2成等差數(shù)列.2.D由題意知,a1+a4+a7,a2+a5+a8,a3+a6+a9成等差數(shù)列,即a3+a6+a9=2(a2+a5+a8)-(a1+a4+a7)=33.3.B根據(jù)題意,設(shè)甲、乙、丙、丁、戊所得錢數(shù)分別為a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,由題意可得a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5,①a-2d+a-d=a+a+d+a+2d,②聯(lián)立①②解得a=1,d=-16,則甲所得為1-2×-4.C易得中間的一份為20個(gè)面包,設(shè)最小的一份的量為a1個(gè)面包,公差為d(d>0),根據(jù)題意,有[20+(a1+3d)+(a1+4d)]×17=a1+(a1+d),解得a1=53.故最小的一份的量為53個(gè),5.D由等差數(shù)列的性質(zhì),得a1+a7+a13=3a7=4π,即a7=4π則tan(a2+a12)=tan(2a7)=tan8π3=tan2π6.A設(shè)方程(x2-4x+m)(x2-4x+n)=0的四個(gè)根為x1,x2,x3,x4,則x1+x2=x3+x4=4,x1x2=m,x3x4=n,又因?yàn)榉匠?x2-4x+m)(x2-4x+n)=0的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為12的等差數(shù)列設(shè)x1=12,則x2=7設(shè)等差數(shù)列的公差為d,則3d=72?12=則等差數(shù)列為12所以m=74,n=15則|m-n|=154?7二．填空題7.8根據(jù)題意,由a2+a4+a6+a8+a10=5a6=80,可得a6=16,故a7-12a8=12(2a7-a8)=12(a6+a8-a8)=12a8.由題意,知a1,a99是方程x2-10x+16=0的兩根,則a1+a99=10.因?yàn)閧an}是等差數(shù)列,所以a50=a1+a992=5,故12a50+a20+a80=52a509.由n-m=3d1,得d1=13(n-m)又n-m=4d2,得d2=14(n-m)故d110.3n2由題意知an?an即{an}是首項(xiàng)為3,公差為3的等差數(shù)列得an=3+(n-1)3故an=3n2.11.n2由題意可得ann?a即an+1即數(shù)列ann是以1為公差的等差數(shù)列,故該數(shù)列的通項(xiàng)公式為ann=n,得an=n12.an=2n-5由題意得an+1+an=4n-3,①an+2+an+1=4n+1,②由②-①,得an+2-an=4.由于{an}是等差數(shù)列,設(shè)公差為d,即d=2.因?yàn)閍1+a2=1,所以a1+a1+d=1,則a1=-12故an=2n-52三．解答題13.解:(方法一)由等差數(shù)列的性質(zhì),得a1+a11=2a6,a2+a12=2a7,…,a5+a15=2a10.則(a1+a2+…+a5)+(a11+a12+…+a15)=2(a6+a7+…+a10).故a11+a12+…+a15=2(a6+a7+…+a10)-(a1+a2+…+a5)=2×80-30=130.(方法二)由于數(shù)列{an}是等差數(shù)列,則a1+a2+…+a5,a6+a7+…+a10,a11+a12+…+a15也成等差數(shù)列,即30,80,a11+a12+…+a15成等差數(shù)列,可得30+(a11+a12+…+a15)=2×80,故a11+a12+…+a15=130.14.解:由題圖可知,從第1年到第6年平均每個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)出產(chǎn)的雞數(shù)成等差數(shù)列,記為{an},公差為d1,且a1=1,a6=2;從第1年到第6年的養(yǎng)雞場(chǎng)個(gè)數(shù)也成等差數(shù)列,記為{bn},公差為d2,且b1=30,b6=10.從第1年到第6年全縣出產(chǎn)雞的總只數(shù)記為數(shù)列{cn},cn=anbn.(1)由a1=1,a6=2,得a解得a1=1,d1=0.由b1=30,b6=10,得b解得b1=30,d2=故c2=a2b2=1.2×26=31.2.即第2年養(yǎng)雞場(chǎng)的個(gè)數(shù)為26,全縣出產(chǎn)雞的總只數(shù)為31.2萬(wàn).(2)c6=a6b6=2×10=20<c1=a1b1=30,即到第6年這個(gè)縣的養(yǎng)雞業(yè)規(guī)模比第1年縮小了.(3)∵an=1+(n-1)×0.2=0.2n+0.8,bn=30+(n-1)×(-4)=-4n+34(1≤n≤6),∴cn=anbn=(0.2n+0.8)(-4n+34)=-0.8n2+3.6n+27.2(1≤n≤6).把cn看作關(guān)于n的二次函數(shù),∵二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線n=94∴當(dāng)n=2時(shí),cn最大,即第2年的規(guī)模最大.15.解:因?yàn)樵诘炔顢?shù)列{an}中,a1=2,a2=3,公差d=a2-a1=3-2=1,所以an=a1+(n-1)d=2+(n-1)×1=n+1.設(shè)新等差數(shù)列為{bn},公差為d',根據(jù)題意,知b1=2,b5=3,則d'=b5即bn=2+(n-1)×14(1)a12=12+1=13,令n4+74=故原數(shù)列的第12項(xiàng)是新數(shù)列的第45項(xiàng).(2)b29=294+74=9,