射洪中學(xué)高級高三上期二?？荚嚁?shù)學(xué)試卷（考試時間：分鐘試卷滿分：分）注意事項：本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上寫在本試卷上無效.小題共分1.已知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)集合的交集的定義進(jìn)行運算即得.【詳解】因為集合，，所以故選：C.2.已知命題，命題，則是成立的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件【答案】B【解析】【分析】分別求得命題對應(yīng)的的解集，再根據(jù)充分、必要條件的定義進(jìn)行判斷.詳解】或，第1頁/共18頁因為成立，但不成立，所以是成立的必要不充分條件.故選：B3.設(shè)復(fù)數(shù)（在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限為（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算，以及復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點的對應(yīng)關(guān)系，判斷結(jié)果.【詳解】由題意得，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，在第四象限；故選：D.4.在正方體中，棱的中點分別為，，則直線與平面所成角的正弦值為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征找到直線與平面所成角，解直角三角形，即可求得答案.【詳解】連接，在正方體中，平面，棱的中點為，則平面，而平面，故，第2頁/共18頁則即為直線與平面所成角，設(shè)正方體棱長為2，則，則，故，故選：C5.已知數(shù)列為等差數(shù)列，的前項和為，，，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的項與和的基本量運算列式，求出數(shù)列的首項和公差，即可求得.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為,則，即，又，即，則由解得，則.故選：B.6.在中，為邊上一點，且滿足，設(shè)，，若存在實數(shù)，第3頁/共18頁AB.C.D.【答案】C【解析】【分析】把用得到，，，再根據(jù)的范圍即可求解.【詳解】以為基底，，又，所以由平面向量基本定理可知，，則，又，所以．故選：C7.已知正四棱臺的上下底面的邊長分別為和）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由棱臺的體積公式可得棱臺的高，再求棱臺的外接球體積即可.【詳解】由題可知，，設(shè)棱臺高為，則，解得，第4頁/共18頁又，，所以，則，所以為直角三角形，故為四邊形外接圓直徑，正四棱臺的外接球半徑，體積.故選：B.8.若點為的外心，且滿足，則的最大值為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)外心的性質(zhì)，以及平面向量的線性運算和數(shù)量積運算，對向量等式進(jìn)行化簡，再根據(jù)余弦定理解三角形，求出角的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)，求出結(jié)果.【詳解】因為點為的外心，所以，因為，即，即，即，化簡得，可知，化簡得，第5頁/共18頁根據(jù)基本不等式可知，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，因為，，所以，所以的最大值為.故選：C.二?小題，每小題分，共分在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選對的得分，部分選對的得部分分，有選錯的得分）9.設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（）A.若mα，nα，則mnB.若mn，mα，則nαC.若mα，nβ，則m，n是異面直線D.若αβ，mα，nβ，則mn或m，n是異面直線【答案】AD【解析】【分析】利用線面垂直的判定，線面平行的判定，線線的位置關(guān)系及面面平行的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】由m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，得：對于A，若mα，nα，則由線面垂直的性質(zhì)定理得mn，故A正確；對于B，若mn，mα，則nα或nα，故B錯誤；對于C，若mα，nβ，則m，n相交、平行或異面，故C錯誤；對于D，若αβ，mα，nβ，則mn或m，n是異面直線，故D正確.故選：AD.【點睛】本題主要考查了線面垂直的性質(zhì)，線面平行的判定和面面平行的性質(zhì).10.已知正實數(shù)a，b滿足，則（）第6頁/共18頁A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】舉出反例可得A、C，借助基本不等式可得B，借助指數(shù)運算及基本不等式可得D.【詳解】對A：取，，此時，但，故A錯誤；對B：，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故B正確；對C：取，，此時，但，故C錯誤；對D：，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故D正確.故選：BD.已知是函數(shù)的極小值點，則（）A.B.若，則C.若，則有3個相異的零點D.方程有3個不同的實數(shù)根【答案】ACD【解析】【分析】利用極值點的性質(zhì)判斷A，利用三角函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷B，先討論的零點個數(shù)，轉(zhuǎn)化為交點問題判斷C，利用換元法結(jié)合零點存在性定理判斷D即可.【詳解】對于A，因為，所以，因為是函數(shù)的極小值點，所以，可得，解得，故A正確，對于B，因為，所以，則，即，第7頁/共18頁由正弦函數(shù)性質(zhì)得，由余弦函數(shù)性質(zhì)得，由已知得，則，令，，令，，可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，得到，故B錯誤，對于C，由已知得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而，得到，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，若討論的零點個數(shù)，則討論的解的個數(shù)，故討論與的交點個數(shù)即可，如圖，作出符合題意的圖象，由圖象可得，當(dāng)時，與有3個相異的交點，即有3個相異的零點，故C正確，對于D，令，若求方程的實數(shù)根，則先求的解的個數(shù)，即求的解的個數(shù)，令，則求的零點個數(shù)，由已知得上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而，，，，第8頁/共18頁由零點存在性定理得存在，作為的零點，則是的兩個解，后續(xù)求解與即可，由已知得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，若，當(dāng)時，，此時無解，排除，當(dāng)時，，此時有一個解，當(dāng)時，，此時有一個解，若，當(dāng)時，，此時無解，排除，當(dāng)時，，此時無解，當(dāng)時，，此時有一個解，綜上，方程有3個不同的實數(shù)根，故D正確.故選：ACD三、填空題（本題共小題，每小題分，共分）12.已知，，則__________.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)與對數(shù)的關(guān)系，表示出，再根據(jù)對數(shù)的運算法則求值.【詳解】因為，所以.故答案為：213.已知，若在方向上的投影向量為，則與的夾角為_________.【答案】##【解析】在方向上的投影向量為求解即第9頁/共18頁【詳解】因為在方向上的投影向量為，所以，又，且，所以．故答案為：．14.定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時，恒成立.若，則實數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，可得出該函數(shù)為偶函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析出函數(shù)在上單調(diào)遞增，進(jìn)而可得出該函數(shù)在上單調(diào)遞減，將所求不等式變形為，可得，可得出，由此可解得實數(shù)的取值范圍．【詳解】由可得，構(gòu)造函數(shù)，則，所以，函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則該函數(shù)在上單調(diào)遞減，，第10頁/共18頁由得，即，即，則，由于函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，，解得，因此，實數(shù)的取值范圍是．故答案為：．四、解答題：本題共小題，共分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，在三棱錐中，，，分別為棱，的中點，平面.（1）求證：平面；（2）求證：平面.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】1）根據(jù)線面平行的判定定理，證明線面平行即可；（2）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，得到線線垂直，再根據(jù)線面垂直的判定定理，證明結(jié)果即可.【小問1詳解】由于分別為棱的中點，故，又平面，且平面，所以平面；【小問2詳解】由于平面，且平面，故，第11頁/共18頁又，且為棱的中點，故，因為，平面，故平面，16.在中，內(nèi)角所對的邊分別是且.（1）求；（2）已知的角平分線交于點.若，.求面積及的長.【答案】（1）（2），【解析】1）由正弦定理和三角恒等變換的公式，化簡得到，求得，進(jìn)而求得的值；（2）根據(jù)題意，利用余弦定理，求得，結(jié)合三角形的面積公式，求得的面積，再由，結(jié)合面積公式，化簡求得的長.【小問1詳解】因為，由正弦定理得，又因為，所以，因為，可得，所以，可得，又因為，所以.【小問2詳解】由（1）知，又，利用余弦定理，可得，第12頁/共18頁所以的面積為，又因為的角平分線交于點，所以，可得，整理得17.已知，．（1）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，再將圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)的解析式；（2）若，求．【答案】（1）（2）【解析】1）先利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算及降冪公式和輔助角公式得到函數(shù)的平移及伸縮變換得到的解析式；（2）根據(jù)解析式求出，再利用同角關(guān)系求其余弦值，最后利用兩角和的余弦公式求出的值.【小問1詳解】第13頁/共18頁再將圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，則有．【小問2詳解】由題意得，.18.已知數(shù)列的前項和為，，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和；（3）設(shè)，數(shù)列的前項的積為，求證：.【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】1）利用與的關(guān)系可得數(shù)列的遞推式，從而可得數(shù)列是等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項公式求解即可；（2）利用錯位相加求和法求解即可；（3第14頁/共18頁【小問1詳解】因為數(shù)列滿足，所以時，得，兩式相減，得，即，因為，，則所以，所以數(shù)列是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，所以；【小問2詳解】由（1）得，，，兩式相減得解得；【小問3詳解】由（1）得,則，所以要證，只需證，即證，令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以，所以得證．19.已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)在點處的切線方程；第15頁/共18頁（2）對任意的時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）記，若，且，求證：.【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】程；（2）構(gòu)造函數(shù)，對求導(dǎo)，得到，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性間的關(guān)系，可得，再分和兩種情況討論，即可求解；（3）根據(jù)的條件變形，將（其中）用含的式子表示，并代入中，通過分析化簡后表達(dá)式的符號即可得證.【小問1詳解】解：因為，所以，所以，又因為，所以在點處的切線方程為，即；【小問2詳解】解：因為，所以，設(shè)，，則，，令，，則，可得在上為增函數(shù)，即在上為增函數(shù)，第16頁/共18頁當(dāng)時，，此時在上為增函數(shù)，故，即，所以，符合題意．當(dāng)時，，因為在上為增函數(shù)，當(dāng)時，，故存在滿足，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此當(dāng)時，，不合題意；綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為．【小問3詳解】證明：由題意得，，所以，由可得，所以，又，兩邊同時除以，得，因此，所以，令，得，因此，第17頁/共18頁令，，則，所以在上為減函數(shù)，故