2025年龍崗二模數(shù)學真題及答案

一、填空題（每題2分，共20分）1.若集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x^2-ax+1=0}，且A∪B={1,2}，則實數(shù)a的值為______。2.函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值為______。3.在等比數(shù)列{a_n}中，若a_1=2，a_3=8，則公比q=______。4.已知圓C的方程為(x-1)^2+(y-2)^2=r^2，若圓C與直線y=x+1相切，則r=______。5.若復數(shù)z=1+i，則|z|=______。6.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，且a=√3，則b=______。7.某校高三年級有1000名學生，隨機抽取200名學生進行體檢，已知樣本中身高在170cm以上的有40人，則該校高三年級身高在170cm以上的人數(shù)估計為______人。8.已知函數(shù)f(x)=e^x-ax在x=1處取得極值，則a=______。9.在直角坐標系中，點P(x,y)在曲線y=1/x上運動，則點P到直線x+y=1的距離的最小值為______。10.若向量a=(1,2)，b=(3,-4)，則向量a與向量b的夾角θ的余弦值為______。二、判斷題（每題2分，共20分）1.若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，則f(0)=0。（√）2.不等式|2x-1|>3的解集為{x|x>2或x<-1}。（√）3.在等差數(shù)列{a_n}中，若a_5=10，d=2，則a_10=18。（×）4.若圓C的方程為(x-1)^2+(y-2)^2=4，則圓心C到原點的距離為√5。（√）5.若復數(shù)z=2+3i，則z的共軛復數(shù)為2-3i。（√）6.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，則角C=75°。（×）7.樣本估計總體時，樣本量越大，估計越準確。（√）8.函數(shù)f(x)=x^3在x=0處取得極值。（×）9.若向量a=(1,0)，b=(0,1)，則向量a與向量b垂直。（√）10.在直角坐標系中，點P(x,y)在曲線y=√(1-x^2)上運動，則點P到原點的距離為1。（√）三、選擇題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)中，在定義域上單調(diào)遞增的是（C）。A.f(x)=x^2B.f(x)=1/xC.f(x)=e^xD.f(x)=log_x2.若集合A={x|x>0}，B={x|x≤1}，則A∩B=（A）。A.{x|0<x≤1}B.{x|x>1}C.{x|x≤1}D.?3.在等比數(shù)列{a_n}中，若a_2=4，a_4=16，則a_6=（D）。A.32B.64C.128D.2564.已知圓C的方程為(x-1)^2+(y-2)^2=9，則圓C的面積為（B）。A.9πB.36πC.81πD.144π5.若復數(shù)z=1+i，則z^2=（C）。A.2B.-2C.2iD.-2i6.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，且a=√3，則b=（A）。A.2B.2√2C.2√3D.47.某校高三年級有1000名學生，隨機抽取200名學生進行體檢，已知樣本中身高在170cm以上的有40人，則該校高三年級身高在170cm以上的學生比例估計為（C）。A.20%B.30%C.40%D.50%8.已知函數(shù)f(x)=e^x-ax在x=1處取得極值，則a=（B）。A.1B.eC.e^2D.1/e9.在直角坐標系中，點P(x,y)在曲線y=1/x上運動，則點P到直線x+y=1的距離的最小值為（A）。A.1/√2B.1C.√2D.210.若向量a=(1,2)，b=(3,-4)，則向量a與向量b的夾角θ的余弦值為（D）。A.-1/5B.1/5C.-3/5D.3/5四、簡答題（每題5分，共20分）1.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，求f(x)的極值點。解：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0，得x=0或x=2。當x<0時，f'(x)>0；當0<x<2時，f'(x)<0；當x>2時，f'(x)>0。故f(x)在x=0處取得極大值，在x=2處取得極小值。2.已知圓C的方程為(x-1)^2+(y-2)^2=4，求圓C的圓心和半徑。解：圓心為(1,2)，半徑為2。3.已知復數(shù)z=1+i，求z的模和共軛復數(shù)。解：|z|=√(1^2+1^2)=√2，z的共軛復數(shù)為1-i。4.已知函數(shù)f(x)=e^x-ax在x=1處取得極值，求a的值。解：f'(x)=e^x-a，令f'(1)=0，得e-a=0，即a=e。五、討論題（每題5分，共20分）1.在等差數(shù)列{a_n}中，若a_1=3，d=2，求a_10的值。解：a_n=a_1+(n-1)d，故a_10=3+(10-1)×2=23。2.已知圓C的方程為(x-1)^2+(y-2)^2=4，求圓C與直線y=x+1的交點坐標。解：聯(lián)立方程組：(x-1)^2+(y-2)^2=4y=x+1代入得(x-1)^2+(x+1-2)^2=4，即(x-1)^2+(x-1)^2=4，化簡得2(x-1)^2=4，即(x-1)^2=2，解得x=1±√2，故交點坐標為(1+√2,2+√2)和(1-√2,2-√2)。3.已知復數(shù)z=2+3i，求z的模和輻角主值。解：|z|=√(2^2+3^2)=√13，輻角主值θ滿足tanθ=3/2，θ∈(0,π)，故θ=arctan(3/2)。4.在直角坐標系中，點P(x,y)在曲線y=1/x上運動，求點P到直線x+y=1的距離的最小值。解：點P到直線x+y=1的距離d=|x+y-1|/√2，令f(x)=x+1/x，求f(x)的最小值，f'(x)=1-1/x^2，令f'(x)=0，得x=1，f''(x)=2/x^3，f''(1)>0，故x=1處取得極小值，故最小值為f(1)=2，故d的最小值為|2-1|/√2=1/√2。答案和解析一、填空題1.12.33.24.√25.√26.2√27.8008.e9.1/√210.-3/5二、判斷題1.√2.√3.×4.√5.√6.×7.√8.×9.√10.√三、選擇題1.C2.A3.D4.B5.C6.A7.C8.B9.A10.D四、簡答題1.極值點為x=