PAGE1植樹(shù)問(wèn)題（邏輯推理模塊）專項(xiàng)TOC\o"1-2"\h\u一、植樹(shù)問(wèn)題——核心方法論與知識(shí)體系構(gòu)建 2（一）題型本質(zhì)與核心特征深度剖析 2（二）典型例題解構(gòu)與解題策略精講 2（三）核心知識(shí)速記+應(yīng)用遷移：學(xué)一道會(huì)一類 7（四）易錯(cuò)坑避坑指南 10二、分層進(jìn)階專題精練——基礎(chǔ)夯實(shí)?能力進(jìn)階?思維躍遷 11（一）基礎(chǔ)夯實(shí)篇——單一知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)落地 11（二）能力進(jìn)階篇——復(fù)合運(yùn)算綜合應(yīng)用突破 12（三）思維躍遷篇——跨模塊融合+隱藏條件挖掘 14三、精準(zhǔn)解析與解題范式——思路拆解?步驟規(guī)范?驗(yàn)證邏輯 15（一）基礎(chǔ)夯實(shí)篇?解題范式與驗(yàn)證邏輯 15（二）能力進(jìn)階篇?解題范式與驗(yàn)證邏輯 15（三）思維躍遷篇?解題范式與驗(yàn)證邏輯 16一、植樹(shù)問(wèn)題——核心方法論與知識(shí)體系構(gòu)建（一）題型本質(zhì)與核心特征深度剖析植樹(shù)問(wèn)題圍繞“直線或封閉線路上的點(diǎn)數(shù)與間隔數(shù)的關(guān)系”展開(kāi)，核心是“化繁為簡(jiǎn)思想”——通過(guò)分析簡(jiǎn)單案例找到點(diǎn)數(shù)與間隔數(shù)的規(guī)律，再遷移解決復(fù)雜場(chǎng)景問(wèn)題。關(guān)鍵是區(qū)分“兩端都種、一端種一端不種、兩端都不種”三種核心情況，以及封閉線路（如圓形、方形）的特殊規(guī)律，解決長(zhǎng)度計(jì)算、棵數(shù)求解、間隔距離推導(dǎo)等衍生問(wèn)題。（二）典型例題解構(gòu)與解題策略精講?題型一：基礎(chǔ)核心型（三種直線情況+封閉線路）例題1（兩端都種：棵數(shù)與間隔數(shù)的關(guān)系）在一條長(zhǎng)120米的公路一旁植樹(shù)，每隔8米栽一棵（兩端都要栽），一共需要栽多少棵樹(shù)苗？???解題方法：兩端都種規(guī)律（棵數(shù)=間隔數(shù)+1，間隔數(shù)=總長(zhǎng)度÷間隔距離）（1）定意義：兩端都種時(shí)，起點(diǎn)和終點(diǎn)都有樹(shù)，棵數(shù)比間隔數(shù)多1；（2）找關(guān)鍵量：總長(zhǎng)度=120米，間隔距離=8米，先求間隔數(shù)；（3）注意事項(xiàng)：“一旁植樹(shù)”無(wú)需乘2，若題目明確“兩旁”需再乘2。?解題步驟：（1）計(jì)算間隔數(shù)：120÷8=15（個(gè)）；（2）計(jì)算棵數(shù)：15+1=16（棵）；（3）檢驗(yàn)：反向推導(dǎo)，若棵數(shù)16棵，間隔數(shù)=16-1=15（個(gè)），總長(zhǎng)度=15×8=120米，與已知條件一致，正確。例題2（一端種一端不種：棵數(shù)與間隔數(shù)的關(guān)系）在一個(gè)長(zhǎng)方形花壇的長(zhǎng)邊一側(cè)植樹(shù)，長(zhǎng)邊長(zhǎng)度為90米，每隔6米栽一棵，一端靠墻不栽，一共要栽多少棵樹(shù)？???解題方法：一端種一端不種規(guī)律（棵數(shù)=間隔數(shù)）（1）定意義：一端靠墻不栽時(shí)，樹(shù)的棵數(shù)與間隔數(shù)相等，無(wú)額外增減；（2）關(guān)鍵要點(diǎn)：明確“不栽”的一端無(wú)需額外加1或減1，直接用總長(zhǎng)度÷間隔距離。?解題步驟：（1）計(jì)算間隔數(shù)：90÷6=15（個(gè)）；（2）確定棵數(shù)：棵數(shù)=間隔數(shù)=15（棵）；（3）檢驗(yàn)：15×6=90米，與長(zhǎng)邊長(zhǎng)度一致，正確。例題3（兩端都不種：棵數(shù)與間隔數(shù)的關(guān)系）在一條長(zhǎng)72米的走廊兩側(cè)安裝燈籠，每隔9米裝一盞，兩端都不裝，一共需要多少盞燈籠？???解題方法：兩端都不種規(guī)律（棵數(shù)=間隔數(shù)-1）（1）定意義：兩端都不裝時(shí)，棵數(shù)比間隔數(shù)少1；（2）注意事項(xiàng)：“兩側(cè)安裝”需先算一側(cè)再乘2，避免遺漏。?解題步驟：（1）計(jì)算一側(cè)間隔數(shù)：72÷9=8（個(gè)）；（2）計(jì)算一側(cè)棵數(shù)：8-1=7（盞）；（3）計(jì)算兩側(cè)總棵數(shù)：7×2=14（盞）；（4）檢驗(yàn)：一側(cè)間隔數(shù)=7+1=8（個(gè)），總長(zhǎng)度=8×9=72米，正確。例題4（封閉線路：棵數(shù)與間隔數(shù)的關(guān)系）一個(gè)圓形池塘的周長(zhǎng)是150米，在池塘周圍每隔5米種一棵柳樹(shù)，一共能種多少棵柳樹(shù)？???解題方法：封閉線路規(guī)律（棵數(shù)=間隔數(shù)，與一端種一端不種一致）（1）定意義：封閉線路（圓形、方形等）中，起點(diǎn)和終點(diǎn)重合，棵數(shù)與間隔數(shù)相等；（2）關(guān)鍵區(qū)分：封閉線路無(wú)需考慮兩端增減，直接用周長(zhǎng)÷間隔距離。?解題步驟：（1）計(jì)算間隔數(shù)：150÷5=30（個(gè)）；（2）確定棵數(shù)：棵數(shù)=間隔數(shù)=30（棵）；（3）檢驗(yàn)：30×5=150米，與周長(zhǎng)一致，正確。?題型二：提高型（間隔距離/總長(zhǎng)度推導(dǎo)+生活場(chǎng)景應(yīng)用）例題1（逆向推導(dǎo)：求間隔距離）在一條長(zhǎng)為180米的公路兩旁植樹(shù)，兩端都栽，一共栽了42棵樹(shù)，求每?jī)煽脴?shù)之間的間隔距離是多少米？???解題關(guān)鍵：先求一側(cè)棵數(shù)，再反推間隔數(shù)，最后算間隔距離（1）兩側(cè)棵數(shù)→一側(cè)棵數(shù)：42÷2=21（棵）；（2）一側(cè)棵數(shù)→間隔數(shù)：21-1=20（個(gè)）；（3）總長(zhǎng)度÷間隔數(shù)=間隔距離。?解題步驟：（1）計(jì)算一側(cè)棵數(shù)：42÷2=21（棵）；（2）計(jì)算一側(cè)間隔數(shù)：21-1=20（個(gè)）；（3）計(jì)算間隔距離：180÷20=9（米）；（4）檢驗(yàn)：20×9=180米，20+1=21棵，21×2=42棵，正確。例題2（生活場(chǎng)景：鋸木頭問(wèn)題）一根木頭長(zhǎng)12米，要把它鋸成3米長(zhǎng)的小段，每鋸一次需要5分鐘，全部鋸?fù)晷枰嗌俜昼姡???解題關(guān)鍵：鋸木頭問(wèn)題中，“鋸的次數(shù)=段數(shù)-1”（本質(zhì)是兩端都不種的變形）（1）先求段數(shù)：總長(zhǎng)度÷每段長(zhǎng)度=12÷3=4（段）；（2）再求鋸的次數(shù)：4-1=3（次）；（3）總時(shí)間=鋸的次數(shù)×每次時(shí)間。?解題步驟：（1）計(jì)算段數(shù)：12÷3=4（段）；（2）計(jì)算鋸的次數(shù)：4-1=3（次）；（3）計(jì)算總時(shí)間：3×5=15（分鐘）；（4）檢驗(yàn)：鋸3次得4段，4×3=12米，正確。例題3（生活場(chǎng)景：爬樓梯問(wèn)題）小明從1樓爬到5樓用了8分鐘，照這樣計(jì)算，他從1樓爬到9樓需要多少分鐘？???解題關(guān)鍵：爬樓梯問(wèn)題中，“樓層間隔數(shù)=終點(diǎn)樓層-起點(diǎn)樓層”（本質(zhì)是兩端都種的變形）（1）1樓到5樓的間隔數(shù)：5-1=4（個(gè)）；（2）先求爬一個(gè)間隔的時(shí)間：總時(shí)間÷間隔數(shù)；（3）1樓到9樓的間隔數(shù)：9-1=8（個(gè)），再算總時(shí)間。?解題步驟：（1）計(jì)算1樓到5樓的間隔數(shù)：5-1=4（個(gè)）；（2）計(jì)算爬一個(gè)間隔的時(shí)間：8÷4=2（分鐘）；（3）計(jì)算1樓到9樓的間隔數(shù)：9-1=8（個(gè)）；（4）計(jì)算總時(shí)間：8×2=16（分鐘）；（5）檢驗(yàn)：4個(gè)間隔8分鐘，每個(gè)間隔2分鐘，8個(gè)間隔16分鐘，正確。?題型三：綜合型（跨場(chǎng)景融合+復(fù)雜條件分析）例題1（跨場(chǎng)景：封閉線路+直線線路結(jié)合）一個(gè)長(zhǎng)方形操場(chǎng)，長(zhǎng)100米，寬60米，在操場(chǎng)的四條邊上每隔10米插一面彩旗，四個(gè)角都要插，一共需要多少面彩旗？???解題關(guān)鍵：長(zhǎng)方形屬于封閉線路，可直接用周長(zhǎng)÷間隔距離，或分四條邊計(jì)算（注意四個(gè)角重復(fù)計(jì)數(shù)）（1）方法一：計(jì)算周長(zhǎng)→封閉線路棵數(shù)=周長(zhǎng)÷間隔距離；（2）方法二：分邊計(jì)算，長(zhǎng)邊上的彩旗數(shù)（兩端都種）+寬邊上的彩旗數(shù)（兩端都種），再減去四個(gè)角重復(fù)的4面。?解題步驟（方法一）：（1）計(jì)算操場(chǎng)周長(zhǎng)：(100+60)×2=320（米）；（2）計(jì)算彩旗數(shù)：320÷10=32（面）；（3）檢驗(yàn)（方法二）：長(zhǎng)邊每邊彩旗數(shù)=100÷10+1=11（面），寬邊每邊彩旗數(shù)=60÷10+1=7（面），總彩旗數(shù)=11×2+7×2-4=22+14-4=32（面），正確。例題2（復(fù)雜條件：不同間隔結(jié)合）在一條長(zhǎng)200米的公路一旁，先每隔20米栽一棵楊樹(shù)，再在每?jī)煽脳顦?shù)之間每隔5米栽一棵柏樹(shù)，一共栽了多少棵柏樹(shù)？???解題關(guān)鍵：先求楊樹(shù)的間隔數(shù)，再算每個(gè)楊樹(shù)間隔內(nèi)的柏樹(shù)棵數(shù)（兩端都不種）（1）計(jì)算楊樹(shù)間隔數(shù)：200÷20=10（個(gè)）；（2）每個(gè)楊樹(shù)間隔內(nèi)的距離是20米，每隔5米栽柏樹(shù)，兩端是楊樹(shù)，所以柏樹(shù)棵數(shù)=20÷5-1=3（棵）；（3）總柏樹(shù)棵數(shù)=每個(gè)間隔柏樹(shù)棵數(shù)×楊樹(shù)間隔數(shù)。?解題步驟：（1）計(jì)算楊樹(shù)間隔數(shù)：200÷20=10（個(gè)）；（2）計(jì)算每個(gè)間隔內(nèi)柏樹(shù)棵數(shù)：20÷5-1=3（棵）；（3）計(jì)算總柏樹(shù)棵數(shù)：10×3=30（棵）；（4）檢驗(yàn)：每個(gè)間隔3棵柏樹(shù)，10個(gè)間隔30棵，20米間隔內(nèi)5米一棵，柏樹(shù)位置為5米、10米、15米處，共3棵，正確。（三）核心知識(shí)速記+應(yīng)用遷移：學(xué)一道會(huì)一類??核心知識(shí)點(diǎn)速記卡1．三大直線情況規(guī)律：情況棵數(shù)與間隔數(shù)關(guān)系關(guān)鍵示例兩端都種棵數(shù)=間隔數(shù)+1公路兩旁植樹(shù)（兩端都栽）一端種一端不種棵數(shù)=間隔數(shù)靠墻植樹(shù)（一端靠墻不栽）兩端都不種棵數(shù)=間隔數(shù)-1走廊裝燈籠（兩端都不裝）2．封閉線路規(guī)律：棵數(shù)=間隔數(shù)（圓形、長(zhǎng)方形、正方形等封閉圖形，四個(gè)角需計(jì)數(shù)時(shí)）；周長(zhǎng)=總長(zhǎng)度（封閉線路），間隔數(shù)=周長(zhǎng)÷間隔距離。3．生活場(chǎng)景變形：場(chǎng)景對(duì)應(yīng)植樹(shù)問(wèn)題類型核心關(guān)系鋸木頭兩端都不種鋸的次數(shù)=段數(shù)-1爬樓梯兩端都種樓層間隔數(shù)=終點(diǎn)樓層-起點(diǎn)樓層插彩旗（封閉）封閉線路彩旗數(shù)=周長(zhǎng)÷間隔距離敲鐘問(wèn)題兩端都種間隔數(shù)=敲鐘次數(shù)-14．關(guān)鍵公式：間隔數(shù)=總長(zhǎng)度÷間隔距離；總長(zhǎng)度=間隔數(shù)×間隔距離；間隔距離=總長(zhǎng)度÷間隔數(shù)；一側(cè)棵數(shù)→兩側(cè)棵數(shù)：×2（注意題目是否明確“兩旁”）。??解題口訣“魔法公式”植樹(shù)問(wèn)題不難辦，先看線路是直線還是圈；直線分三種情況，兩端都種棵數(shù)多一，一端種來(lái)一端不種，棵數(shù)間隔數(shù)相等，兩端都不種少一，牢記規(guī)律不混亂。封閉線路最簡(jiǎn)單，棵數(shù)等于間隔數(shù)，生活場(chǎng)景巧轉(zhuǎn)化，鋸木爬樓找關(guān)聯(lián)，間隔數(shù)先算清楚，后續(xù)計(jì)算不麻煩。??植樹(shù)問(wèn)題類型辨析表類型特征示例應(yīng)用場(chǎng)景基本直線情況單一間隔、明確兩端種植要求公路一旁植樹(shù)（兩端都栽）簡(jiǎn)單線路的棵數(shù)/間隔距離計(jì)算封閉線路情況圓形、長(zhǎng)方形等封閉圖形圓形池塘周圍種樹(shù)封閉區(qū)域的均勻分布問(wèn)題逆向推導(dǎo)情況已知棵數(shù)求總長(zhǎng)度/間隔距離兩旁栽樹(shù)共42棵，求間隔距離反向運(yùn)用規(guī)律解決問(wèn)題生活場(chǎng)景變形鋸木頭、爬樓梯、敲鐘等爬樓梯從1樓到5樓用時(shí)計(jì)算實(shí)際生活中的間隔問(wèn)題復(fù)雜綜合情況不同間隔結(jié)合、多線路結(jié)合楊樹(shù)間栽柏樹(shù)、長(zhǎng)方形操場(chǎng)插彩旗多條件疊加的復(fù)雜分布問(wèn)題（四）易錯(cuò)坑避坑指南錯(cuò)誤類型典型錯(cuò)誤示例修正方法混淆兩端種植情況兩端都種時(shí)，棵數(shù)=總長(zhǎng)度÷間隔距離（漏加1）牢記“兩端都種加1，兩端都不種減1，一端種不加不減”，先判斷類型再計(jì)算忽略“兩旁”與“一旁”題目說(shuō)“公路兩旁植樹(shù)”，只算一側(cè)棵數(shù)審題時(shí)圈出“一旁”或“兩旁”，若為兩旁，最后需乘2封閉線路額外加減圓形池塘種樹(shù)，棵數(shù)=周長(zhǎng)÷間隔距離+1封閉線路棵數(shù)=間隔數(shù)，無(wú)需額外加1或減1，可通過(guò)長(zhǎng)方形分邊計(jì)算驗(yàn)證鋸木/爬樓混淆次數(shù)與段數(shù)鋸木頭鋸3次得3段（實(shí)際得4段）鋸木：次數(shù)=段數(shù)-1；爬樓：間隔數(shù)=樓層數(shù)-1，用簡(jiǎn)單案例（鋸2次得3段）記憶不同間隔結(jié)合漏算楊樹(shù)間隔20米，中間栽柏樹(shù)每隔5米，算成20÷5=4棵柏樹(shù)在楊樹(shù)之間，兩端是楊樹(shù)，屬于兩端都不種，棵數(shù)=20÷5-1=3棵，明確“中間栽”的種植要求單位不統(tǒng)一總長(zhǎng)度1.5千米，間隔距離50米，直接計(jì)算1.5÷50先統(tǒng)一單位（1.5千米=1500米），再計(jì)算間隔數(shù)，避免單位混淆導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤

二、分層進(jìn)階專題精練——基礎(chǔ)夯實(shí)?能力進(jìn)階?思維躍遷（一）基礎(chǔ)夯實(shí)篇——單一知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)落地1．計(jì)算下列各題（直線線路）（1）在一條長(zhǎng)80米的小路一旁植樹(shù)，每隔10米栽一棵，兩端都栽，一共要栽多少棵樹(shù)？（2）在一條長(zhǎng)60米的走廊一側(cè)掛燈籠，每隔6米掛一盞，一端掛一端不掛，一共要掛多少盞燈籠？（3）在一條長(zhǎng)90米的公路兩旁安裝路燈，每隔15米裝一盞，兩端都不裝，一共需要多少盞路燈？2．計(jì)算下列各題（封閉線路）（1）一個(gè)正方形花壇的邊長(zhǎng)是40米，在花壇周圍每隔8米種一棵月季，四個(gè)角都要種，一共能種多少棵？（2）一個(gè)圓形廣場(chǎng)的周長(zhǎng)是240米，在廣場(chǎng)周圍每隔12米放一個(gè)垃圾桶，一共需要多少個(gè)垃圾桶？3．填空（1）在一條長(zhǎng)100米的小路一旁，每隔5米栽一棵桃樹(shù)，兩端都栽，一共需要（）棵桃樹(shù)苗，間隔數(shù)是（）個(gè)；（2）一根鋼管長(zhǎng)36米，要鋸成6米長(zhǎng)的小段，需要鋸（）次，每鋸一次用4分鐘，全部鋸?fù)晷枰ǎ┓昼?；?）一個(gè)長(zhǎng)方形操場(chǎng)長(zhǎng)120米，寬80米，在四周每隔20米插一面彩旗，四個(gè)角都插，一共需要（）面彩旗。4．應(yīng)用題：從1樓到8樓，每層樓梯有18級(jí)臺(tái)階，小明從1樓爬到8樓，一共要走多少級(jí)臺(tái)階？（二）能力進(jìn)階篇——復(fù)合運(yùn)算綜合應(yīng)用突破1．逆向推導(dǎo)題（1）在一條長(zhǎng)150米的公路一旁植樹(shù)，兩端都栽，一共栽了31棵樹(shù)，每?jī)煽脴?shù)之間的間隔距離是多少米？（2）一個(gè)圓形花壇周圍栽了25棵月季花，每隔4米栽一棵，這個(gè)花壇的周長(zhǎng)是多少米？2．生活場(chǎng)景應(yīng)用題（1）一根木頭長(zhǎng)20米，要把它鋸成4米長(zhǎng)的小段，每鋸一次需要6分鐘，鋸?fù)赀@根木頭一共需要多少分鐘？（2）時(shí)鐘敲3下用了6秒，照這樣計(jì)算，敲8下需要多少秒？3．綜合應(yīng)用題（1）一個(gè)長(zhǎng)方形果園，長(zhǎng)150米，寬100米，在果園的四條邊上每隔25米栽一棵蘋果樹(shù)，四個(gè)角都要栽，一共需要多少棵蘋果樹(shù)？（2）在一條長(zhǎng)300米的公路兩旁，每隔15米栽一棵柳樹(shù)，兩端都栽，在每?jī)煽昧鴺?shù)之間栽一棵梧桐樹(shù)，一共栽了多少棵梧桐樹(shù)？（三）思維躍遷篇——跨模塊融合+隱藏條件挖掘1．跨模塊：植樹(shù)問(wèn)題+小數(shù)運(yùn)算在一條長(zhǎng)126.8米的小路一旁植樹(shù)，兩端都栽，每隔8.5米栽一棵，一共需要多少棵樹(shù)苗？（結(jié)果保留整數(shù)）2．隱藏條件：生活場(chǎng)景+封閉線路一個(gè)長(zhǎng)方形菜園，用長(zhǎng)48米的籬笆圍起來(lái)，已知長(zhǎng)是寬的2倍，在籬笆周圍每隔4米栽一棵黃瓜苗，四個(gè)角都栽，一共能栽多少棵黃瓜苗？3．復(fù)雜綜合：不同間隔+多線路在一條長(zhǎng)400米的公路一旁，先每隔40米栽一棵樟樹(shù)，再在每?jī)煽谜翗?shù)之間栽2棵桂花樹(shù)（均勻分布），一共栽了多少棵桂花樹(shù)？4．逆向思維+多條件：在一條公路兩旁栽樹(shù)，兩端都栽，每隔12米栽一棵，一共栽了102棵樹(shù)，后來(lái)改成每隔10米栽一棵，兩端都栽，一共需要多少棵樹(shù)？

三、精準(zhǔn)解析與解題范式——思路拆解?步驟規(guī)范?驗(yàn)證邏輯（一）基礎(chǔ)夯實(shí)篇?解題范式與驗(yàn)證邏輯1．直線線路答案：（1）間隔數(shù)=80÷10=8（個(gè)），棵數(shù)=8+1=9（棵），答：一共要栽9棵樹(shù)；（2）間隔數(shù)=60÷6=10（個(gè)），棵數(shù)=10（棵），答：一共要掛10盞燈籠；（3）一側(cè)間隔數(shù)=90÷15=6（個(gè)），一側(cè)棵數(shù)=6-1=5（盞），兩側(cè)總棵數(shù)=5×2=10（盞），答：一共需要10盞路燈。2．封閉線路答案：（1）正方形周長(zhǎng)=40×4=160（米），棵數(shù)=160÷8=20（棵），答：一共能種20棵；（2）棵數(shù)=240÷12=20（個(gè)），答：一共需要20個(gè)垃圾桶。3．填空答案：（1）21，20；（2）5，20；（3）20。4．應(yīng)用題解題步驟：（1）樓層間隔數(shù)=8-1=7（個(gè)）；（2）總臺(tái)階數(shù)=7×18=126（級(jí)）；（3）答：一共要走126級(jí)臺(tái)階。（二）能力進(jìn)階篇?解題范式與驗(yàn)證邏輯1．逆向推導(dǎo)題答案：（1）間隔數(shù)=31-1=30（個(gè)），間隔距離=150÷30=5（米），答：每?jī)煽脴?shù)之間的間隔距離是5米；（2）周長(zhǎng)=25×4=100（米），答：這個(gè)花壇的周長(zhǎng)是100米。2．生活場(chǎng)景應(yīng)用題答案：（1）段數(shù)=20÷4=5（段），鋸的次數(shù)=5-1=4（次），總時(shí)間=4×6=24（分鐘），答：一共需要24分鐘；（2）間隔數(shù)=3-1=2（個(gè)），每個(gè)間隔時(shí)間=6÷2=3（秒），敲8下間隔數(shù)=8-1=7（個(gè)），總時(shí)間=7×3=21（秒），答：敲8下需