第第頁P(yáng)AGE湖北省襄陽四中2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)，，若，則k=（）A.4 B. C.17 D.2.雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.3.經(jīng)過點(diǎn)作直線l，若直線l與連接，兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，設(shè)l的傾斜角為，l的斜率為k，則（）A. B.C. D.4.已知圓：關(guān)于直線對(duì)稱，圓：，則圓與圓的位置關(guān)系是（）A.內(nèi)含 B.相交 C.外切 D.外離5.、分別為與上任意一點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C.3 D.66.已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡是（）A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線7.設(shè)圓錐曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，若曲線上存在點(diǎn)滿足，則曲線的離心率等于A.或 B.或 C.或 D.或8.如圖，過拋物線的焦點(diǎn)的直線（斜率為正）交拋物線于點(diǎn)兩點(diǎn)（其中點(diǎn)在第一象限），交其準(zhǔn)線于點(diǎn)，若，則到拋物線的準(zhǔn)線的距離為（）A.2 B.4 C.6 D.8二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9.下列命題錯(cuò)誤的是（）A.若事件與事件互斥，則B.若事件與事件相互獨(dú)立，則事件與事件相互獨(dú)立．C.事件與事件同時(shí)發(fā)生的概率一定比與中恰有一個(gè)發(fā)生的概率小．D.拋擲一枚均勻的硬幣，如前兩次都是反面，那么第三次出現(xiàn)正面的可能性就比反面大．10.四棱錐的底面為正方形，平面，，，動(dòng)點(diǎn)在線段上，則（）A.四棱錐的外接球表面積為B.的最小值為C.不存在點(diǎn)，使得D.點(diǎn)到直線的距離的最小值為11.已知橢圓，是其左右焦點(diǎn)，是橢圓上任意一點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.的最大值是4B.的最大值是4C.取最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為D.若也在拋物線上，則到點(diǎn)的最小距離為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.橢圓的焦距為__________．13.教材頁第題：在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，點(diǎn)，點(diǎn)若直線經(jīng)過點(diǎn)，且以為方向向量，是直線上的任意一點(diǎn)，求證：；若平面經(jīng)過點(diǎn)，且以為法向量，是平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，求證：利用教材給出的材料，解決下面的問題：已知平面的方程為，直線是平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為__________．14.已知，則的最大值是___________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.（1）若一條光線從點(diǎn)射出，與軸相交于點(diǎn)，經(jīng)軸反射，求入射光線和反射光線所在直線的方程；（2）若直線經(jīng)過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等，求直線的方程．16.如圖，一個(gè)正八面體八個(gè)面分別標(biāo)以數(shù)字到，任意拋擲一次這個(gè)正八面體，觀察它與地面接觸的面上的數(shù)字，得到樣本空間為記事件“得到的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，記事件“得到的點(diǎn)數(shù)不大于”，記事件“得到的點(diǎn)數(shù)為質(zhì)數(shù)”．（1）請(qǐng)寫出具體的樣本空間；（2）請(qǐng)證明：；（3）連續(xù)拋擲次這個(gè)正八面體，記事件為第次拋擲這個(gè)正八面體事件發(fā)生，求連續(xù)拋擲次這個(gè)正八面體事件只發(fā)生次的概率．17.已知雙曲線的左頂點(diǎn)為，離心率為，是上的兩點(diǎn)．（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若（不在直線上)，證明：直線過定點(diǎn)．18.如圖，已知平行六面體的底面是菱形，且且為銳角．（1）求證：；（2）當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r(shí)，能使平面？請(qǐng)給出證明；（3）若在底面的正投影為菱形的對(duì)角線交點(diǎn)，且，求平面與平面的夾角的余弦值．19.公元前180年，古希臘數(shù)學(xué)家狄俄克利斯（Diocles）獨(dú)立發(fā)明了蔓葉線，其方程為,如左圖所示，蔓葉線與半個(gè)圓周一起，形狀看上去像常春藤蔓的葉子，如右圖所示，平面內(nèi)給定圓和直線,從坐標(biāo)軸原點(diǎn)O引射線分別交圓C和直線于點(diǎn)A、B,在射線上取一點(diǎn)M滿足.（1）求蔓葉線的橫坐標(biāo)的取值范圍；（2）求證：點(diǎn)M在蔓葉線上；（3）已知：直線與蔓葉線交于三點(diǎn),記直線的斜率為,直線與圓C交于點(diǎn),若,求的值.參考公式：若是一元三次方程的三個(gè)根，則,,.參考答案一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.B2.C.3.A4.B5.B6.B7.A8.B二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9.ACD10.ABD11.ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12..13.14.四、解答題：本題共5小題，共77分.15.(1)設(shè)入射光線為，反射光線為，光線從點(diǎn)射出，與軸相交于點(diǎn)，入射光線的方程為，整理得，入射光線的斜率，反射光線的斜率，又反射光線要經(jīng)過點(diǎn)，反射光線的方程為，即.（2）當(dāng)直線的截距為時(shí)，設(shè)直線的方程為.因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)，所以，所以直線方程為，即，當(dāng)直線的截距不為時(shí)，設(shè)直線的方程為，則解得或．若，則直線的方程為，即若則直線的方程為，即.綜上所述，直線的方程為：或或．16.（1）因?yàn)檎嗣骟w八個(gè)面分別標(biāo)以數(shù)字到，任意拋擲一次，與地面接觸的面上的數(shù)字可能是，，，，，，，，所以樣本空間．（2）事件所含的樣本點(diǎn)為：，事件所含的樣本點(diǎn)為：，事件所含的樣本點(diǎn)為：，故事件所含的樣本點(diǎn)為：，所以，又，所以，（3）依題意知每次拋擲這個(gè)正八面體的結(jié)果都互不影響，即互相獨(dú)立，記為第次拋擲這個(gè)正八面體發(fā)生事件，則，所以事件只發(fā)生次的概率為：．17.（1）因?yàn)?，，所以，故的?biāo)準(zhǔn)方程為.（2）證明：設(shè)直線的方程為，，.由，得，則，，，又，則，，因?yàn)?，所以，即，即，即，整理得，解得或，?dāng)時(shí)，直線，直線過點(diǎn)，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，直線，則直線過定點(diǎn).綜上，直線過定點(diǎn)．18.（1）設(shè)，，，，則，由題意可得，則，故，即；（2）當(dāng)時(shí)，平面，證明如下：設(shè)時(shí)，平面，由平面，則，，又，，，有，由，則恒成立，即恒有，有，則，故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，平面；（3）取中點(diǎn)，連接，由，且底面是菱形，故點(diǎn)即為菱形的對(duì)角線交點(diǎn)，且為等邊三角形，則底面，又平面，則，，，則，即有，則，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則即為平面與平面所成角的平面角，由，則，則，則，即平面與平面的夾角的余弦值為.19.（1）點(diǎn)不在方程上，故該式可化為，則且，則且，可得.故蔓葉線的橫坐標(biāo)的取值范圍為.（2）設(shè)，已知直線的方程為，將其代入圓的方程，進(jìn)行整理得解得或，因?yàn)辄c(diǎn)不是原點(diǎn)，所以點(diǎn)橫坐標(biāo)為.已知，設(shè)，根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算，，因?yàn)?，?/p>