第一章第3節(jié)等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)[課程標(biāo)準(zhǔn)要求]1.掌握等式性質(zhì).2.會(huì)比較兩個(gè)數(shù)的大小.3.理解不等式的性質(zhì),并能簡單應(yīng)用.積累·必備知識(shí)01回顧教材,夯實(shí)四基1.兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法>=<2.等式的性質(zhì)性質(zhì)1對(duì)稱性:如果a=b,那么

;性質(zhì)2傳遞性:如果a=b,b=c,那么

;性質(zhì)3可加(減)性:如果a=b,那么a±c=b±c;性質(zhì)4可乘性:如果a=b,那么ac=bc;性質(zhì)5可除性:如果a=b,c≠0,那么b=aa=c性質(zhì)1對(duì)稱性:a>b?

;性質(zhì)2傳遞性:a>b,b>c?

;性質(zhì)3可加性:a>b?a+c>b+c;性質(zhì)4可乘性:a>b,c>0?

;a>b,c<0?

;性質(zhì)5同向可加性:a>b,c>d?

;性質(zhì)6同向同正可乘性:a>b>0,c>d>0?

;性質(zhì)7同正可乘方性:a>b>0?an>bn(n∈N,n≥2).b<a3.不等式的性質(zhì)a>cac>bcac<bca+c>b+dac>bd1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”).(1)同向不等式相加與相乘的條件是一致的.(

)(2)若a+c>b+d,則a>b,c>d.(

)(3)兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b之間,有且只有a>b,a=b,a<b三種關(guān)系中的一種.(

)(4)設(shè)a=x2+2,b=2x,則a>b.(

)××√√2.(必修第一冊(cè)P43習(xí)題2.1T8改編)已知a>b>0,c>0,則(

)√C.a2c>ac2 D.b2c>bc23.已知M=2a(a-2),N=(a+1)(a-3),則M,N的大小關(guān)系是(

)A.M>N B.M≥NC.M<N D.M≤N√解析:M-N=2a(a-2)-(a+1)(a-3)=a2-2a+3=(a-1)2+2>0,即M>N.故選A.4.已知1<a<4,-2<b<2,則y=2a+b的取值范圍是

.

解析:因?yàn)?<a<4,所以2<2a<8,又因?yàn)?2<b<2,所以0<2a+b<10.{y|0<y<10}02提升·關(guān)鍵能力類分考點(diǎn),落實(shí)四翼考點(diǎn)一比較數(shù)與式的大小[例1](1)已知a,b,c為不全相等的實(shí)數(shù),P=a2+b2+c2+3,Q=2(a+b+c),那么P與Q的大小關(guān)系是(

)A.P>Q B.P≥QC.P<Q D.P≤Q√解析:(1)因?yàn)镻=a2+b2+c2+3,Q=2(a+b+c),所以P-Q=a2+b2+c2+3-2(a+b+c)=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2≥0,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1時(shí),取等號(hào),因?yàn)閍,b,c為不全相等的實(shí)數(shù),因此等號(hào)不成立,即P-Q>0,所以P>Q.故選A.(2)(2024·湖北孝感模擬)P=a2+a+1,Q=(a∈R),則P,Q的大小關(guān)系為

.

P≥Q比較大小的常用方法(1)作差法:①作差;②變形;③定號(hào);④得出結(jié)論.(2)作商法:①作商;②變形;③判斷商與1的大小關(guān)系;④得出結(jié)論.[針對(duì)訓(xùn)練]<P<Q解析:(2)依題意可知P>0,Q>0,a≥0,考點(diǎn)二不等式基本性質(zhì)的應(yīng)用[例2](1)若a>0>b,則(

)A.a3>b3 B.|a|>|b|C. D.ln(a-b)>0√解析:(1)因?yàn)閍>0>b,所以a3>0,b3<0,即a3>b3,故A正確;取a=1,b=-2,則|a|>|b|不成立,故B錯(cuò)誤;(2)(多選題)(2024·河北統(tǒng)考模擬)已知a>b>0>c,則下列不等式正確的是(

)√√判斷不等式的常用方法(1)利用不等式的性質(zhì)逐個(gè)驗(yàn)證.(2)利用特殊值法排除錯(cuò)誤選項(xiàng).(3)作差法.(4)構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性.[針對(duì)訓(xùn)練](2024·山東棗莊模擬)若a,b,c∈R,且a>b,則下列不等式一定成立的是(

)A.a+c>b-cB.(a-b)c2≥0C.ac>bcD.√解析:若a=2,b=1,c=-2,滿足a>b,但a+c=0,b-c=3,a+c>b-c不成立,A錯(cuò)誤;a>b,c2≥0,則有ac2≥bc2,即(a-b)c2≥0,B正確;a>b,當(dāng)c≤0時(shí),ac>bc不成立,C選項(xiàng)錯(cuò)誤;當(dāng)c2=0時(shí),=0,則D錯(cuò)誤.故選B.考點(diǎn)三不等式性質(zhì)的綜合應(yīng)用[例3](1)已知1<a+2b<2,-2<2a-b<1,則8a+b的取值范圍是(

)√解析:(1)因?yàn)?a+b=2(a+2b)+3(2a-b),1<a+2b<2,-2<2a-b<1,所以2<2(a+2b)<4,-6<3(2a-b)<3,-4<8a+b<7,故8a+b的取值范圍是(-4,7).故選C.(2)已知a>b>c,2a+b+c=0,則的取值范圍是

.

解析:(2)因?yàn)閍>b>c,2a+b+c=0,所以a>0,c<0,b=-2a-c.因?yàn)閍>b>c,所以-2a-c<a,即3a>-c,(-3,-1)求代數(shù)式的取值范圍,一般是利用整體思想,通過“一次性”不等關(guān)系的運(yùn)算求得整體范圍.[針對(duì)訓(xùn)練](1)(2024·江蘇南通模擬)已知a-b∈[0,1],a+b∈[2,4],則4a-2b的取值范圍是(

)A.[1,5] B.[2,7]C.[1,6] D.[0,9]√解析:(1)