第6節(jié)函數(shù)y=sin(ωx+)的圖象與性質(zhì)及三角函數(shù)模型的應用[課程標準要求]1.了解函數(shù)y=Asin(ωx+)的物理意義,能畫出y=Asin(ωx+)的圖象,了解參數(shù)A,ω,對函數(shù)圖象變化的影響.2.會用三角函數(shù)解決一些簡單的實際問題,體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型.積累·必備知識01回顧教材,夯實四基1.y=Asin(ωx+)的有關(guān)概念ωx+2.用“五點法”畫y=Asin(ωx+)(A>0,ω>0)一個周期內(nèi)的簡圖時,要找五個關(guān)鍵點如表所示:0π2π3.函數(shù)y=sinx的圖象經(jīng)變換得到y(tǒng)=Asin(ωx+)(A>0,ω>0)的圖象的兩種途徑1.函數(shù)y=Asin(ωx+)+k圖象平移的規(guī)律:“左加右減,上加下減”.2.先平移變換再周期變換(伸縮變換),平移的量是||個單位長度;先周期變換(伸縮變換)再平移變換,平移的量是(ω>0)個單位長度.1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”).√(1)將函數(shù)y=sinx的圖象向左平移個單位長度,得到函數(shù)y=cosx的圖象.(

)(2)將y=sin(-2x)的圖象向右平移個單位長度,得到y(tǒng)=sin(-2x-)的圖象.(

)×(3)利用圖象變換作圖時,可以“先平移,后伸縮”,也可以“先伸縮,后平移”,平移的長度一致.(

)×√√√解析:要得到函數(shù)y=sin(x-)的圖象,可以將函數(shù)y=sinx的圖象向右平移個單位長度.故選B.02提升·關(guān)鍵能力類分考點,落實四翼考點一函數(shù)y=Asin(ωx+)的圖象及變換√√(1)由函數(shù)y=sinx的圖象通過變換得到y(tǒng)=Asin(ωx+)的圖象有兩條途徑:“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”.(2)函數(shù)y=Asin(ωx+)的圖象可用“五點法”作簡圖得到,可通過變量代換z=ωx+計算五點坐標.[針對訓練]√(2)若將函數(shù)f(x)=sin(ωx+)(0<ω<7)的圖象向右平移個單位長度后恰與f(x)的圖象重合,則ω的值是

.

6考點二根據(jù)圖象確定函數(shù)y=Asin(ωx+)的解析式√確定y=Asin(ωx+)+b(A>0,ω>0)的步驟和方法(1)求A,b.確定函數(shù)的最大值M和最小值m,則

(2)求ω.確定函數(shù)的最小正周期T,則(3)求.常用方法如下:把圖象上的一個已知點代入(此時要注意該點在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)或把圖象的最高點或最低點代入.√(2)(2020·全國Ⅰ卷)設函數(shù)f(x)=cos(ωx+)在[-π,π]的圖象大致如圖,則f(x)的最小正周期為(

)√考點三函數(shù)y=Asin(ωx+)圖象與性質(zhì)的綜合問題角度一綜合應用√√解析:由函數(shù)f(x)的最小正周期為π,因為此函數(shù)為奇函數(shù),則經(jīng)過原點(0,0),角度二零點或方程根角度三實際應用[例5](多選題)如圖(1),筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具,因其經(jīng)濟又環(huán)保,至今在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中仍得到使用.如圖(2),一個筒車按照逆時針方向旋轉(zhuǎn),筒車上的某個盛水筒P到水面的距離為d(單位:m)(P在水下則d為負數(shù)),d與時間t(單位:s)之間的關(guān)系是,則下列說法正確的是(

)A.筒車的半徑為3m,旋轉(zhuǎn)一周用時60sB.筒車的軸心O距離水面的高度為1mC.盛水筒P出水后至少經(jīng)過20s才可以達到最高點D.t∈(40,50)時,盛水筒P處于向上運動狀態(tài)√√解得t=20+60k(k∈Z),又t≥0,所以當k=0時,tmin=20s,即盛水筒P出水后至少經(jīng)過20s才可以達到最高點,C正確;(2)方程根的個數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù),與三角函數(shù)有關(guān)的零點個數(shù)問題,常用數(shù)形結(jié)合思想求解.(3)三角函數(shù)模型的應用體現(xiàn)在兩方面:一是已知函數(shù)模型求解數(shù)學問題;二是把實際問題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題,利用三角函數(shù)的有關(guān)知識解決問題.[針對訓練]√√(2)(角度三)如圖,質(zhì)點P在半徑為2的圓周上逆時針運動,其初始位置為P0,角速度為1,那么點P到x軸的距離d關(guān)于時間t的函數(shù)圖象大致為(

)√類型一三角函數(shù)的單調(diào)性、對稱性與ω微點提能6三角函數(shù)中ω的求解三角函數(shù)兩條相鄰對稱軸或兩個相鄰對稱中心之間的“水平間隔”為,相鄰的對稱軸和對稱中心之間的“水平間隔”為,這就說明,可根據(jù)三角函數(shù)的對稱性來研究其單調(diào)性、周期性,解決問題的關(guān)鍵在于運用整體代換的思想,建立關(guān)于ω的不等式組,進而可以研究ω的取值范圍.[拓展演練](2024·湖北黃岡模擬)已知函數(shù)y=f(x)的圖象是由函數(shù)y=cosωx(ω>0)的圖象向左平移個單位長度所得,若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(π,2π)上單調(diào),則ω的取值范圍是

.

類型二三角函數(shù)的零點與ω[典例2](2023·新課標Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)=cosωx-1(ω>0)在區(qū)間[0,2π]有且僅有3個零點,則ω的取值范圍是

.

[2,3)解析:因為0≤x≤2π,所以0≤ωx≤2ωπ,令f(x)=cosωx-1=0,則cosωx=1有3個根,令t=ωx,則cost=1有3個根,其中t∈[0,2ωπ],結(jié)合余弦函數(shù)y=cost的圖象性質(zhì)可得4π≤2ωπ<6π,故2≤ω<3.三角函數(shù)兩個零點之間的“水平間隔”為,根據(jù)三角函數(shù)的零點個數(shù),可以研究ω的取值.類型三三角函數(shù)的最值(極值)與ω[典例3]已知函數(shù)g(x)=sin(ωx+)的部分圖象如圖所示,且g(x)在[0,2π]上恰有一個最大值和一個最小值(其中最大值為1,最小值為-1),則ω的取值范圍是(

)√利用三角函數(shù)的最值(極值