第5節(jié)三角函數(shù)的圖象與性質[課程標準要求]1.能畫出y=sinx,y=cosx,y=tanx的圖象,了解三角函數(shù)的周期性.2.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在區(qū)間[0,2π]上的性質(如單調性、最大值和最小值、圖象與x軸的交點等),理解正切函數(shù)在區(qū)間()上的單調性.積累·必備知識01回顧教材,夯實四基1.用“五點法”作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖正弦函數(shù)y=sinx,x∈[0,2π]圖象的五個關鍵點是(0,0),(,1),

,(,-1),(2π,0).(π,0)余弦函數(shù)y=cosx,x∈[0,2π]圖象的五個關鍵點是(0,1),(,0),

,(,0),(2π,1).(π,-1)2.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象與性質函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx圖象定義域RR{x|x≠kπ+,k∈Z}值域

R[-1,1][-1,1]單調性遞增區(qū)間:[2kπ-,2kπ+](k∈Z),遞減區(qū)間:[2kπ+,2kπ+](k∈Z)遞增區(qū)間:[2kπ-π,2kπ](k∈Z),遞減區(qū)間:[2kπ,2kπ+π](k∈Z)遞增區(qū)間:(kπ-,kπ+)(k∈Z)奇偶性

奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)對稱性對稱中心(kπ,0)(k∈Z)對稱中心(kπ+,0)(k∈Z)對稱中心(,0)(k∈Z)對稱軸x=kπ+(k∈Z)對稱軸x=kπ(k∈Z)—周期性2π2ππ1.對稱性與周期(1)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是半個周期,相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是個周期.(2)正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是半個周期.2.要注意求函數(shù)y=Asin(ωx+)的單調區(qū)間時A和ω的符號,盡量化成ω>0,避免出現(xiàn)增減區(qū)間混淆的情況.3.對于y=tanx不能認為其在定義域上為增函數(shù),而是在每個區(qū)間(kπ-,kπ+)(k∈Z)內單調遞增.1.思考辨析(在括號內打“√”或“×”).(1)y=sinx在第一、第四象限單調遞增.(

)(2)正切函數(shù)圖象是中心對稱圖形,有無數(shù)個對稱中心.(

)×√(3)由,知是正弦函數(shù)y=sinx(x∈R)的一個周期.(

)×(4)函數(shù)f(x)=tan(x+)的定義域為{x|x≠kπ+,k∈Z}.(

)√√(5)函數(shù)y=cos|x|和y=cosx周期相同.(

)2.函數(shù)y=的定義域為

.

3.(必修第一冊P214習題5.4T10改編)函數(shù)y=-sinx+cosx在[]上的值域是

.

4.(必修第一冊P214習題5.4T16改編)函數(shù)f(x)=,x∈R的單調遞增區(qū)間是

.

5.函數(shù)y=2sin(2x-)-1的最小正周期T為

,最大值A為

.

π1解析:T==π,最大值A=2-1=1.02提升·關鍵能力類分考點,落實四翼考點一三角函數(shù)的定義域、值域√√(3)當x∈[]時,函數(shù)y=-2cos2x+2sinx+3的值域為

.解析:(3)y=-2(1-sin2x)+2sinx+3=2sin2x+2·sinx+1=2(sinx+)2+.當sinx=1時,ymax=5;三角函數(shù)定義域與值域的求法(1)求三角函數(shù)的定義域實際上就是解簡單的三角不等式,常借助三角函數(shù)圖象來求解.(2)求三角函數(shù)的值域(最值)的常見題型及求解策略:①形如y=asinx+bcosx+c的三角函數(shù)化為y=Asin(ωx+)+k的形式,再求最值(值域);②形如y=asin2x+bsinx+c(a≠0)的三角函數(shù),可先設sinx=t,化為關于t的二次函數(shù)求值域(最值).[針對訓練](1)函數(shù)y=的定義域為

.解析:(1)法一要使函數(shù)有意義,必須使sinx-cosx≥0.在同一平面直角坐標系中畫出[0,2π]上y=sinx和y=cosx的圖象,如圖所示.考點二三角函數(shù)的奇偶性、周期性與對稱性[例2](1)(多選題)(2024·廣東惠州模擬)已知函數(shù)f(x)=cos2x,則(

)A.f(x)的最小正周期為2πB.f(x)的圖象關于點()對稱C.f(x)的最小值為0D.f(x)的圖象關于直線x=對稱√√√有關三角函數(shù)的奇偶性、周期性和對稱性問題的解題思路(1)奇偶性:三角函數(shù)中奇函數(shù)一般可化為y=A·sinωx或y=Atanωx的形式,而偶函數(shù)一般可化為y=Acosωx的形式.若f(x)=Asin(ωx+)(A,ω≠0),則①f(x)為偶函數(shù)的充要條件是=+kπ(k∈Z);②f(x)為奇函數(shù)的充要條件是=kπ(k∈Z).[針對訓練](1)已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx-)(ω>0),其圖象相鄰對稱中心間的距離為,下列說法正確的是(

)A.函數(shù)f(x+)是偶函數(shù)B.函數(shù)f(x)的圖象關于點(,0)對稱C.函數(shù)f(x)的圖象關于直線x=對稱D.函數(shù)f(x)在區(qū)間[]上的值域為[0,2]√解析:(1)因為函數(shù)f(x)=2sin(ωx-)的圖象相鄰對稱中心間的距離為,故最小正周期T=π,=π,得ω=2,所以f(x)=2sin(2x-),對于A,因為f(x+)=2sin2x,所以函數(shù)f(x+)是奇函數(shù),故A選項錯誤;對于B,令2x-=kπ,k∈Z,其對稱中心的橫坐標x≠,所以B選項錯誤;對于C,k∈Z,其對稱軸x≠,所以C選項錯誤;(2)下列函數(shù)中,最小正周期為π且圖象關于原點對稱的函數(shù)是

.(填序號)

①y=cos(2x+);②y=sin(2x+);③y=sin2x+cos2x;④y=sinx+cosx.①解析:(2)y=cos(2x+)=-sin2x,最小正周期T==π,且為奇函數(shù),其圖象關于原點對稱,故①正確;y=sin(2x+)=cos2x,最小正周期為π,且為偶函數(shù),其圖象關于y軸對稱,故②不正確;③④均為非奇非偶函數(shù),其圖象不關于原點對稱,故③④不正確.考點三三角函數(shù)的單調性角度一求三角函數(shù)的單調區(qū)間、比較大小[例3](1)(2024·山東日照模擬)在下列區(qū)間中,函數(shù)f(x)=5sin()單調遞減的是(

)√(2)(2024·安徽宣城模擬)若f(x)=sin(2x-),則(

)A.f(1)>f(2)>f(3) B.f(3)>f(2)>f(1)C.f(2)>f(1)>f(3) D.f(1)>f(3)>f(2)√(3)函數(shù)y=|tanx|的單調遞增區(qū)間為

,單調遞減區(qū)間為

.

解析:(3)作出函數(shù)y=|tanx|的圖象,如圖.觀察圖象可知,函數(shù)y=|tanx|的單調遞增區(qū)間為[kπ,kπ+),k∈Z;單調遞減區(qū)間為(kπ-,kπ),k∈Z.(1)利用三角函數(shù)單調性比較大小,需將待比較的角轉化到同一個單調區(qū)間.(2)求y=Asin(ωx+)(或y=Acos(ωx+))(ω≠0)的單調區(qū)間,需將ωx+看作一個整體,結合相應函數(shù)單調性求解,當ω<0時,要利用誘導公式將x系數(shù)化為正數(shù)再確定其單調性.角度二根據(jù)三角函數(shù)的單調性求參數(shù)[例4]若函數(shù)f(x)=cosx-sinx在區(qū)間[-a,a]上是減函數(shù),則正數(shù)a的最大值為(

)√已知函數(shù)y=Asin(ωx+)的單調性求參數(shù),可先求出t=ωx+的取值范圍(a,b),再根據(jù)(a,b)是函數(shù)y=Asint的單調區(qū)間的子區(qū)間列不等式(組)求解.另外,若是選擇題利用特值驗證排除法求解更為簡捷.[針對訓練](1)(角度一)(2022·北京卷)已知函數(shù)f(x)=cos2x-sin2x,則(

)A.f(x)在()上單調遞減B.f(x)在()上單調遞增C.f(x)在(0,)上單調遞減D.f(x)在()上單調遞增√解析:(1)依題意可知f(x)=cos2x-sin2x=cos2x,對于A選項,函數(shù)f(x)=cos2x在()上