第3節(jié)平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用[課程標(biāo)準(zhǔn)要求]1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.2.了解平面向量的數(shù)量積與投影向量的關(guān)系.3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式,會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.4.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角,會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.5.會(huì)用向量的方法解決某些簡單的平面幾何問題.積累·必備知識(shí)01回顧教材,夯實(shí)四基1.平面向量數(shù)量積的有關(guān)概念向量的夾角已知兩個(gè)非零向量a,b,O是平面上的任意一點(diǎn),作

則∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角數(shù)量積的定義已知兩個(gè)非零向量a與b,它們的夾角為θ,把|a||b|cosθ叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作a·b,即a·b=

|a||b|cosθ

規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為

,即0·a=

投影向量

叫做向量a在b上的投影向量,其中

是與b方向相同的單位向量數(shù)量積的幾何意義a·b=(|a|cos<a,b>)·|b|,故兩個(gè)非零向量a,b的數(shù)量積等于a在b上的投影向量的數(shù)量與b的模的乘積00|a|cosθee2.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a與b的夾角為θ項(xiàng)目幾何表示坐標(biāo)表示模|a|=

|a|=

夾角cosθ=

cosθ=

a⊥b的充要條件(a,b≠0)

|a·b|與|a||b|的關(guān)系|a·b|≤

(當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時(shí),等號(hào)成立)|x1x2+y1y2|≤

a·b=0x1x2+y1y2=0|a|·|b|3.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律對(duì)于向量a,b,c和實(shí)數(shù)λ,有交換律a·b=

結(jié)合律(λa)·b=

=

分配律(a+b)·c=

b·aλ(a·b)a·(λb)

a·c+b·c向量的數(shù)量積不滿足消去律.1.兩個(gè)向量a,b的夾角為銳角?a·b>0,且a,b不共線;兩個(gè)向量a,b的夾角為鈍角?a·b<0,且a,b不共線.2.平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2.(2)(a+b)2=a2+2a·b+b2.(3)(a-b)2=a2-2a·b+b2.3.設(shè)O為△ABC所在平面上一點(diǎn),內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,則√1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”).(1)兩個(gè)向量的夾角的范圍是[0,].(

)(2)向量在另一個(gè)向量方向上的投影為數(shù)量,而不是向量.(

)(3)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù),向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算結(jié)果是向量.(

)(4)若a·b=a·c(a≠0),則b=c.(

)××√√3.已知向量a=(2,2),b=(0,-3),則a與b的夾角的余弦值為(

)解析:因?yàn)橄蛄縜=(2,2),b=(0,-3),√4.已知向量a=(1,1),b=(-2,3),那么|a-2b|等于(

)√解析:因?yàn)橄蛄縜=(1,1),b=(-2,3),所以a-2b=(5,-5),|a-2b|=.故選B.√02提升·關(guān)鍵能力類分考點(diǎn),落實(shí)四翼考點(diǎn)一平面向量數(shù)量積的運(yùn)算√(2)已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn),則

的取值范圍是(

)A.(-2,6) B.(-6,2)C.(-2,4) D.(-4,6)√平面向量數(shù)量積的三種運(yùn)算方法(1)當(dāng)已知向量的模和夾角時(shí),可利用定義法求解,即a·b=|a||b|cos<a,b>.(2)當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí),可利用坐標(biāo)法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a·b=x1x2+y1y2.(3)利用數(shù)量積的幾何意義求解,數(shù)量積a·b=|a|·cos<a,b>·|b|為其中一個(gè)向量長度乘另一個(gè)向量在其方向上的投影向量的數(shù)量.[針對(duì)訓(xùn)練](1)a=(2,1),b=(2,-1),c=(0,1),則(a+b)·c=

,a·b=

.

解析:(1)因?yàn)閍=(2,1),b=(2,-1),c=(0,1),所以a+b=(4,0),所以(a+b)·c=4×0+0×1=0,a·b=2×2+1×(-1)=3.03-1解析:(2)如圖,在等腰△ABE中,易得∠BAE=∠ABE=30°,故BE=2.考點(diǎn)二平面向量數(shù)量積的應(yīng)用角度一平面向量的模[例2](1)(2023·新課標(biāo)Ⅱ卷)已知向量a,b滿足|a-b|=,|a+b|=|2a-b|,則|b|=

.

解析:(1)因?yàn)閨a+b|=|2a-b|,即(a+b)2=(2a-b)2,則a2+2a·b+b2=4a2-4a·b+b2,整理得a2-2a·b=0,又因?yàn)閨a-b|=,即(a-b)2=3,則a2-2a·b+b2=b2=3,所以|b|=.(2)已知向量a,b滿足|a|=6,|b|=4,且a與b的夾角為60°,則|a+b|=

,|a-3b|=

.

解析:(2)法一因?yàn)閨a|=6,|b|=4,a與b的夾角為60°,所以a·b=|a||b|cos<a,b>=6×4×=12,(a+b)2=a2+2a·b+b2=36+24+16=76,(a-3b)2=a2-6a·b+9b2=36-72+144=108,所以|a+b|=,|a-3b|=.法二利用向量加減法的平行四邊形法則和三角形法則畫出兩向量,如圖所示.結(jié)合圖形易求出|a+b|=,|a-3b|=.求向量的模的方法(1)公式法,利用|a|=及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2,把向量的模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運(yùn)算.(2)幾何法,利用向量的幾何意義,即利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量,再利用余弦定理等方法求解.角度二平面向量的夾角[例3](1)已知向量a,b滿足|a|=5,|b|=6,a·b=-6,則cos<a,a+b>等于(

)√解析:(1)因?yàn)閨a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=25-12+36=49,所以|a+b|=7,(2)(2023·全國甲卷)已知向量a=(3,1),b=(2,2),則cos<a+b,a-b>等于(

)√解析:(2)因?yàn)閍=(3,1),b=(2,2),所以a+b=(5,3),a-b=(1,-1),求平面向量的夾角的方法(1)定義法:cosθ=,注意θ的取值范圍為[0,π].(2)坐標(biāo)法:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則cosθ=.(3)解三角形法:可以把所求兩向量的夾角放到三角形中進(jìn)行求解,但要注意向量夾角與三角形內(nèi)角的區(qū)別與聯(lián)系.角度三平面向量的垂直問題√(2)(2023·新課標(biāo)Ⅰ卷)已知向量a=(1,1),b=(1,-1),若(a+λb)⊥(a+μb),則(

)A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1C.λμ=1 D.λμ=-1解析:(2)因?yàn)閍=(1,1),b=(1,-1),所以a+λb=(1+λ,1-λ),a+μb=(1+μ,1-μ),由(a+λb)⊥(a+μb)可得(a+λb)·(a+μb)=0,即(1+λ)(1+μ)+(1-λ)(1-μ)=0,整理得λμ=-1.故選D.√(1)利用坐標(biāo)運(yùn)算證明兩個(gè)向量的垂直問題若證明兩個(gè)向量垂直,先根據(jù)共線、夾角等條件計(jì)算出這兩個(gè)向量的坐標(biāo);然后根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式,計(jì)算出這兩個(gè)向量的數(shù)量積為0即可.(2)已知兩個(gè)向量的垂直關(guān)系,求解相關(guān)參數(shù)的值根據(jù)兩個(gè)向量垂直的充要條件,列出相應(yīng)的關(guān)系式,進(jìn)而求解參數(shù).[針對(duì)訓(xùn)練](1)(角度三)已知向量a=(1,2),b=(2k,3),且a⊥(2a+b),則實(shí)數(shù)k的值為(

)A.-8 B.-2 C.1.5 D.7解析:(1)因?yàn)?a+b=(2,4)+(2k,3)=(2+2k,7),a⊥(2a+b),a=(1,2),所以2+2k+14=0,解得k=-8.故選A.√(2)(角度二)已知a,b為單位向量,且|3a-5b|=7,則a與a-b的夾角為(

)√解析:(2)因?yàn)閍,b為單位向量,|3a-5b|=7,所以(3a-5b)2=49?9a2-30a·b+25b2=49,即9-30a·b+25=49?a·b=-,設(shè)a與a-b夾角為θ,(3)(角度一)已知e1,e2是兩個(gè)單位向量,且|e1+e2|=,則|e1-e2|=

.

1(4)(角度二)若向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),已知2a-3b與c的夾角為鈍角,則k的取值范圍是

.

解析:(4)因?yàn)?a-3b與c的夾角為鈍角,所以(2a-3b)·c<0,即(2k-3,-6)·(2,1)<0,解得k<3.又若(2a-3b)∥c,則2k-3=-12,即k=-.當(dāng)k=-時(shí),2a-3b=(-12,-6)=-6c,此時(shí)2a-3b與c反向,不合題意.綜上,k的取值范圍為(-∞,-)∪(-,3).考點(diǎn)三平面向量的綜合應(yīng)用A.重心 B.垂心 C.內(nèi)心 D.外心√解析:(2)以BC中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,√(3)在日常生活中,我們會(huì)看到兩個(gè)人共提一個(gè)行李包的情境,假設(shè)行李包所受重力為G,作用在行李包上的兩個(gè)拉力分別為F1,F2,且|F1|=|F2|,F1與F2的夾角為θ,下列結(jié)論正確的是(

)A.θ越小越費(fèi)力,θ越大越省力B.θ的范圍為[0,π]C.當(dāng)θ=時(shí),|F1|=|G|D.當(dāng)θ=時(shí),|F1|=|G|√(1)用向量方法解決平面幾何(物理)問題的步驟(2)用向量解決平面幾何問題的三種方法①幾何投影法:解決幾何圖形中的數(shù)量積問題時(shí),可以結(jié)合向量的投影來探尋聯(lián)系,然后應(yīng)用圖形的幾何性質(zhì)來求解.②坐標(biāo)法:把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中,就賦予了有關(guān)點(diǎn)與向量具體的坐標(biāo),這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算,從而使問題得到解決.③基向量法:當(dāng)題目中的點(diǎn)、向量