第2節(jié)空間點、直線、平面之間的位置關系[課程標準要求]1.借助長方體模型,在直觀認識和理解空間點、線、面的位置關系的基礎上,抽象出空間線、面位置關系的定義.2.了解可以作為推理依據(jù)的基本事實和定理.3.能運用基本事實、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關系的簡單命題.積累·必備知識01回顧教材,夯實四基1.與平面有關的基本事實及推論(1)與平面有關的三個基本事實基本事實內(nèi)容圖形符號基本事實1過

.的三個點,有且只有一個平面A,B,C三點不共線?存在唯一的α使A,B,C∈α不在一條直線上基本事實2如果一條直線上的

在一個平面內(nèi),那么這條直線在這個平面內(nèi)A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α?l?α基本事實3如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條

.P∈α,且P∈β?α∩β=l,且P∈l兩個點過該點的公共直線(2)三個推論一條直線推論內(nèi)容圖形作用推論1經(jīng)過

和這條直線外一點,有且只有一個平面確定平面的依據(jù)推論2經(jīng)過

直線,有且只有一個平面推論3經(jīng)過

直線,有且只有一個平面兩條相交兩條平行2.空間點、直線、平面之間的位置關系直線與直線直線與平面平面與平面平行關系圖形語言符號語言a∥ba∥αα∥β相交關系圖形語言符號語言a∩b=Aa∩α=Aα∩β=l獨有關系圖形語言—符號語言a,b是異面直線a?α—3.基本事實4和等角定理(1)基本事實4:平行于同一條直線的兩條直線

.(2)等角定理:如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行,那么這兩個角

.4.異面直線所成的角(1)定義:已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過空間任一點O分別作直線a′∥a,b′∥b,把直線a′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).(2)范圍:

.平行相等或互補1.證明點共線與線共點都需用到基本事實3.2.兩異面直線所成的角歸結(jié)到一個三角形的內(nèi)角時,容易忽視這個三角形的內(nèi)角可能等于兩異面直線所成的角,也可能等于其補角.1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”).(1)若A∈a,a?α,則A∈α.(

)(2)經(jīng)過一條直線和一個點,有且只有一個平面.(

)(3)兩條直線若不是異面直線,則必相交或平行.(

)(4)若直線與平面不相交,則直線與平面平行.(

)√×√×2.(多選題)α是一個平面,m,n是兩條直線,A是一個點,若m?α,n?α,且A∈m,A∈α,則m,n的位置關系可能是(

)A.垂直 B.相交C.異面 D.平行解析:依題意,m∩α=A,n?α,所以m與n可能異面、相交(垂直是相交的特例),一定不平行.故選ABC.√√√3.(2024·河北石家莊模擬)一個正方體的展開圖如圖所示,點B,C,D為原正方體的頂點,點A為原正方體一條棱的中點,那么在原來的正方體中,直線CD與AB所成角的余弦值為(

)√4.已知下列說法:①若兩個平面α∥β,a?α,b?β,則a∥b;②若兩個平面α∥β,a?α,b?β,則a與b一定不相交;③若兩個平面α∥β,a?α,b?β,則a與b平行或異面,其中正確的是

(將你認為正確的序號都填上).

②③解析:①錯誤.a與b也可能異面.②正確.因為α∥β,所以α與β無公共點.又因為a?α,b?β,所以a與b無公共點.③正確.由已知及②知,a與b無公共點,那么a∥b或a與b異面.02提升·關鍵能力類分考點,落實四翼考點一基本事實及其應用[例1]已知在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為D1C1,C1B1的中點,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求證:(1)D,B,F,E四點共面;證明:(1)連接B1D1,因為E,F分別為D1C1,C1B1的中點,所以EF∥B1D1.在正方體AC1中,B1D1∥BD,所以EF∥BD.所以EF,BD確定一個平面,即D,B,F,E四點共面.(2)若A1C交平面DBFE于點R,則P,Q,R三點共線.證明:(2)在正方體AC1中,設平面A1ACC1確定的平面為α,平面BDEF為β.因為Q∈A1C1,所以Q∈α.又Q∈EF,所以Q∈β.則Q是α與β的公共點,同理P是α與β的公共點,所以α∩β=PQ.又A1C∩β=R,所以R∈A1C.所以R∈α,且R∈β,則R∈PQ.故P,Q,R三點共線.(1)判斷、證明點或線共面問題的兩種方法①首先由所給條件中的部分線(或點)確定一個平面,然后再證其余的線(或點)在這個平面內(nèi).②將所有條件分為兩部分,然后分別確定平面,再證兩平面重合.(2)判斷、證明點共線問題的兩種方法①先由兩點確定一條直線,再證其他各點都在這條直線上.②直接證明這些點都在同一條特定直線上.(3)判斷、證明線共點問題的常用方法先證其中兩條直線相交于一點,再證其他直線經(jīng)過該點.[針對訓練](1)(多選題)如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O為DB的中點,直線A1C交平面C1BD于點M,則下列結(jié)論正確的是(

)A.C1,M,O三點共線B.C1,M,O,C四點共面C.C1,O,A,M四點共面D.D1,D,O,M四點共面√√√解析:(1)連接AC,A1C1(圖略),由題意知點O為BD,AC的交點,且平面C1BD∩平面A1ACC1=C1O,因為直線A1C交平面C1BD于點M,所以點M∈直線C1O,所以C1,M,O三點共線,故選項A正確;因為C1,M,O三點共線,所以C1,M,O,C四點共面,故B正確;因為C1,M,O三點共線,所以C1,M,O,A四點共面,故C正確;因為直線OM∩CC1=C1,DD1∥CC1,所以DD1與OM不平行,所以D1,D,O,M四點不共面,故D錯誤.故選ABC.(2)在四面體A-BCD中作截面PQR,若PQ與CB的延長線交于點M,RQ與DB的延長線交于點N,RP與DC的延長線交于點K,給出以下命題:①直線MN?平面PQR;②點K在直線MN上;③M,N,K,A四點共面.其中正確結(jié)論的序號為

.

①②③解析:(2)如圖所示,在四面體A-BCD中作截面PQR,PQ與CB的延長線交于點M,RQ與DB的延長線交于點N,RP與DC的延長線交于點K,對于①,M∈PQ,PQ?平面PQR,所以M∈平面PQR;同理,N∈平面PQR,所以直線MN?平面PQR,①正確;對于②,點M∈平面PQR,M∈平面BCD,點N∈平面PQR,點N∈平面BCD,所以平面PQR∩平面BCD=MN,又K∈平面PQR,點K∈平面BCD,所以點K∈直線MN,即點K在直線MN上,②正確;對于③,由②知點M,N,K三點共線,則點M,N,K,A四點共面,③正確.綜上,正確的結(jié)論序號是①②③.[例2](1)若直線l1和l2是異面直線,l1在平面α內(nèi),l2在平面β內(nèi),l是平面α與平面β的交線,則下列結(jié)論正確的是(

)A.l與l1,l2都不相交B.l與l1,l2都相交C.l至多與l1,l2中的一條相交D.l至少與l1,l2中的一條相交考點二空間兩條直線的位置關系√解析:(1)如圖1,l1與l2是異面直線,l1與l平行,l2與l相交,故A,B不正確;如圖2,l1與l2是異面直線,l1,l2都與l相交,故C不正確.故選D.(2)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,與直線BC1異面的棱有(

)A.1條 B.2條 C.3條 D.4條解析:(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1的棱所在的直線中,與直線BC1異面的直線有A1B1,AC,AA1,共3條.故選C.√判斷空間直線的位置關系一般有兩種方法:一是構(gòu)造幾何體(如長方體、空間四邊形等)模型來判斷;二是排除法.特別地,對于異面直線的判定常用到結(jié)論:“平面外一點A與平面內(nèi)一點B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點B的直線是異面直線.”[針對訓練](1)(多選題)(2024·廣東湛江模擬)對于點A,B,直線l,m與兩不重合平面α,β,下列命題中正確的是(

)A.若A∈l,A∈α,B∈l,B∈α,則l?αB.若A∈l,A∈α,則l∩α=AC.若l?α,l?β,則α∩β=lD.若l⊥α,m⊥α,則l∥m√√√解析:(1)根據(jù)基本事實2,若一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi),則這條直線在這個平面內(nèi),故A正確;當l?α時,l∩α=l,故B錯誤;根據(jù)平面的基本性質(zhì),若l?α,l?β,則α∩β=l,故C正確;垂直于同一個平面的兩條直線平行,故D正確.故選ACD.(2)(多選題)在下圖中,G,H,M,N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點,則表示直線GH,MN是異面直線的圖形是(

)√√解析:(2)A項中,直線GH∥MN;B項中,G,H,N三點共面,但M?平面GHN,因此直線GH與MN異面;C項中,連接MG(圖略),GM∥HN,因此GH與MN共面;D項中,G,M,N三點共面,但H?平面GMN,因此GH與MN異面,所以在B,D項中GH與MN異面.故選BD.[例3](1)(2024·安徽蕪湖模擬)如圖,在正四面體A-BCD中,E,F分別為AB和AC的中點,則兩條異面直線CE與DF所成角的余弦值為(

)考點三求異面直線所成的角√解析:(1)取AE的中點M,連接MF,MD,則∠MFD為兩條異面直線CE與DF所成的角(或其補角),設正四面體A-BCD的邊長為2,(2)(2021·全國乙卷)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,P為B1D1的中點,則直線PB與AD1所成的角為