統(tǒng)計(jì)、成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析第九章第1節(jié)隨機(jī)抽樣、統(tǒng)計(jì)圖表[課程標(biāo)準(zhǔn)要求]1.理解隨機(jī)抽樣的必要性和重要性.2.會用簡單隨機(jī)抽樣方法從總體中抽取樣本,了解分層隨機(jī)抽樣方法,掌握分層隨機(jī)抽樣的樣本均值和樣本方差.3.理解統(tǒng)計(jì)圖表的含義.積累·必備知識01回顧教材,夯實(shí)四基放回簡單隨機(jī)抽樣不放回簡單隨機(jī)抽樣一般地,設(shè)一個總體含有N(N為正整數(shù))個個體,從中

抽取n(1≤n<N)個個體作為樣本如果抽取是放回的,且每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個個體被抽到的概率都

,把這樣的抽樣方法叫做放回簡單隨機(jī)抽樣如果抽取是不放回的,且每次抽取時(shí)總體內(nèi)

的各個個體被抽到的概率都相等,把這樣的抽樣方法叫做不放回簡單隨機(jī)抽樣1.簡單隨機(jī)抽樣(1)簡單隨機(jī)抽樣的概念逐個相等未進(jìn)入樣本(2)實(shí)現(xiàn)簡單隨機(jī)抽樣的方法常有抽簽法(適用于總體中個體數(shù)不多的情形)、隨機(jī)數(shù)法(適用于個體數(shù)較多的情況).2.分層隨機(jī)抽樣(1)分層隨機(jī)抽樣的定義:一般地,按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體,每個個體屬于且僅屬于一個子總體,在每個子總體中獨(dú)立地進(jìn)行

抽樣,再把所有子總體中抽取的樣本

作為總樣本,這樣的抽樣方法稱為分層隨機(jī)抽樣,每一個子總體稱為層.簡單隨機(jī)合在一起(2)分層隨機(jī)抽樣的應(yīng)用范圍:當(dāng)總體是由

的幾個部分組成時(shí),往往選用分層隨機(jī)抽樣.(3)比例分配的分層隨機(jī)抽樣所獲得樣本的均值與方差:利用比例分配的分層(兩層)隨機(jī)抽樣獲得的樣本中,第一層的樣本量為n1,差異明顯分層隨機(jī)抽樣中,每層抽取的個體的比例是相同的.3.統(tǒng)計(jì)圖表統(tǒng)計(jì)圖表主要應(yīng)用扇形圖直觀描述各類數(shù)據(jù)占總數(shù)的比例條形圖和直方圖直觀描述不同類別或分組數(shù)據(jù)的頻數(shù)和頻率折線圖描述數(shù)據(jù)隨時(shí)間的變化趨勢4.頻率分布直方圖的制作步驟(1)求極差:極差為一組數(shù)據(jù)中

與最小值的差.(2)決定組距與組數(shù):當(dāng)樣本量不超過100時(shí),常分成

組,一般取等長組距,并且組距應(yīng)力求“取整”.(3)將數(shù)據(jù)分組.(4)列頻率分布表:一般分四列,即分組、

、頻數(shù)、

.其中頻數(shù)合計(jì)應(yīng)是樣本量,頻率合計(jì)是

.(5)畫頻率分布直方圖:橫軸表示樣本數(shù)據(jù),縱軸表示.最大值5～12頻數(shù)累計(jì)頻率11.對于簡單隨機(jī)抽樣和分層隨機(jī)抽樣,不論哪種抽樣方法,總體中的每一個個體被抽到的概率是相等的.2.頻率分布直方圖中,小長方形的高=;小長方形的面積=組距×=頻率;各個小長方形的面積的總和等于1.1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”).(1)簡單隨機(jī)抽樣中,每個個體被抽到的機(jī)會不一樣,與先后有關(guān).(

)(2)分層隨機(jī)抽樣中,每個個體被抽到的可能性與層數(shù)及分層有關(guān).(

)(3)分層抽樣中,不含簡單隨機(jī)抽樣.(

)(4)頻率分布直方圖中,小長方形的面積越大,表示樣本數(shù)據(jù)落在該區(qū)間的頻率越大.(

)×××√2.下列情況中,適合用全面調(diào)查的是(

)A.檢查某人血液中的血脂含量B.調(diào)查某地區(qū)的空氣質(zhì)量狀況C.乘客上飛機(jī)前的安檢D.調(diào)查某市市民對垃圾分類處理的意識√解析:C選項(xiàng)乘客上飛機(jī)前的安檢適合用全面調(diào)查,只有確認(rèn)每一位乘客所攜帶的物品都安全才能保證航空安全,A,B,D選項(xiàng)都適合抽樣調(diào)查.故選C.3.在120個零件中,一級品24個,二級品36個,三級品60個,從中抽取容量為20的一個樣本,則每個個體被抽到的概率為(

)√解析:每個個體被抽取到的概率是.故選D.4.(多選題)某學(xué)生社團(tuán)有男生32名,女生24名,從中隨機(jī)抽取一個容量為7的樣本,某次抽樣結(jié)果為:抽到3名男生和4名女生,則下列說法正確的是(

)A.這次抽樣可能采用的是抽簽法B.這次抽樣不可能是按性別分層隨機(jī)抽樣C.這次抽樣中,每個男生被抽到的概率一定小于每個女生被抽到的概率D.這次抽樣中,每個男生被抽到的概率不可能等于每個女生被抽到的概率√√解析:根據(jù)抽樣結(jié)果,此次抽樣可能采用的是抽簽法,A正確;若按性別分層抽樣,則抽得的男、女生人數(shù)應(yīng)分別為4,3,所以這次抽樣不可能是按性別分層隨機(jī)抽樣,B正確;若用抽簽法,則每個男生被抽到的概率和每個女生被抽到的概率均相等,C,D錯誤.故選AB.5.如圖是100名居民月均用水量的頻率分布直方圖,則月均用水量在[2,2.5)范圍內(nèi)的居民有

人.25解析:由頻率分布直方圖可知,月均用水量在[2,2.5)范圍內(nèi)的居民所占頻率為0.50×0.5=0.25,所以月均用水量在[2,2.5)范圍內(nèi)的居民人數(shù)為100×0.25=25.02提升·關(guān)鍵能力類分考點(diǎn),落實(shí)四翼考點(diǎn)一簡單隨機(jī)抽樣[例1](1)下列抽取樣本的方式屬于簡單隨機(jī)抽樣的個數(shù)為(

)①從無限多個個體中抽取100個個體作為樣本;②從20件玩具中逐個抽取3件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn);③某班有56名學(xué)生,指定個子最高的5名學(xué)生參加學(xué)校組織的籃球賽;④盒子中共有80個零件,采用抽簽法從中選出5個零件作為樣本.A.0B.1C.2D.3√解析:(1)①從無限多個個體中抽取100個個體作為樣本,不滿足總體個數(shù)為有限個;③某班有56名學(xué)生,指定個子最高的5名學(xué)生參加學(xué)校組織的籃球賽,不滿足隨機(jī)抽取;根據(jù)簡單隨機(jī)抽樣的概念可知②④正確.故選C.√(2)利用簡單隨機(jī)抽樣,從n個個體中抽取一個容量為10的樣本.若抽完第一個個體后,余下的每個個體被抽到的概率為,則在整個抽樣過程中,每個個體被抽到的概率為(

)解析:(2)由題意可得,故n=37,所以每個個體被抽到的概率為.故選D.簡單隨機(jī)抽樣需滿足:①被抽取的樣本總體的個體數(shù)有限;②逐個抽取;③是等可能抽取.[針對訓(xùn)練](1)下列抽樣中適合用抽簽法的是(

)A.從某廠生產(chǎn)的3000件產(chǎn)品中抽取600件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)B.從某廠生產(chǎn)的兩箱(每箱15件)產(chǎn)品中抽取6件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)C.從甲、乙兩廠生產(chǎn)的兩箱(每箱50件)產(chǎn)品中抽取6件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)D.從某廠生產(chǎn)的3000件產(chǎn)品中抽取10件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)

√解析:(1)對于選項(xiàng)A,D,由于總體的個體數(shù)較多,不適合用抽簽法,故選項(xiàng)A,D錯誤;對于選項(xiàng)C,由于甲、乙兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量可能差別較大,也不適合用抽簽法,故選項(xiàng)C錯誤;對于選項(xiàng)B,總體容量和樣本容量都較小,適合用抽簽法,故選項(xiàng)B正確.故選B.(2)假設(shè)要抽查某企業(yè)生產(chǎn)的某種品牌的袋裝牛奶的質(zhì)量是否達(dá)標(biāo),現(xiàn)從850袋牛奶中抽取50袋進(jìn)行檢驗(yàn).利用隨機(jī)數(shù)表抽取樣本時(shí),先將850袋牛奶按001,002,…,850進(jìn)行編號,如果從隨機(jī)數(shù)表第3行第1組數(shù)開始右讀,最先讀到的4袋牛奶的編號是614,593,379,242,請你以此方式繼續(xù)向右讀數(shù),隨后讀出的4袋牛奶的編號是

,

,

,

.(下面摘取了隨機(jī)數(shù)表第1行至第5行)第1行78226

85384

40527

48987

60602

16085

29971

61279第2行43021

92980

27768

26916

27783

84572

78483

39820第3行61459

39073

79242

20372

21048

87088

34600

74636第4行63171

58247

12907

50303

28814

40422

97895

61421第5行42372

53183

51546

90385

12120

64042

51320

22983203722104088解析:(2)最先讀到的4袋牛奶的編號是614,593,379,242,向右讀得到203,722,104,再下一個數(shù)是887,887大于850,故舍去,再下一個數(shù)是088.考點(diǎn)二分層隨機(jī)抽樣角度一比例分配的分層隨機(jī)抽樣[例2](1)某校為了解學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情況,采用分層抽樣的方法從高一年級600人、高二年級680人、高三年級720人中,抽取50人進(jìn)行問卷調(diào)查,則高一、高二、高三年級抽取的人數(shù)分別是(

)A.15,16,19 B.15,17,18C.14,17,19 D.14,16,20√(2)(2024·河北秦皇島模擬)為實(shí)現(xiàn)鄉(xiāng)村生態(tài)振興,走鄉(xiāng)村綠色發(fā)展之路,鄉(xiāng)政府采用按比例分配的分層抽樣的方式從甲村和乙村抽取部分村民參與環(huán)保調(diào)研,已知甲村和乙村人數(shù)之比是3∶1,被抽到的參與環(huán)保調(diào)研的村民中,甲村的人數(shù)比乙村多8人,則參與調(diào)研的總?cè)藬?shù)是(

)A.16B.24C.32D.40√解析:(2)設(shè)被抽取參與調(diào)研的乙村村民有x人,則根據(jù)按兩村人口比例分層抽樣,甲村被抽取參與調(diào)研的有3x人,所以3x-x=8,即x=4,所以參與調(diào)研的總?cè)藬?shù)x+3x=16.故選A.角度二分層隨機(jī)抽樣的樣本均值與方差[例3](1)(2024·陜西咸陽模擬)某學(xué)校團(tuán)委舉辦了黨史知識競賽(滿分100分),其中高一、高二、高三年級參賽選手的人數(shù)分別為1200,900,900.現(xiàn)用分層抽樣的方法從三個年級中抽取樣本,經(jīng)計(jì)算可得高一、高二年級參賽選手成績的樣本平均數(shù)分別為85,90,全校參賽選手成績的樣本平均數(shù)為88,則高三年級參賽選手成績的樣本平均數(shù)為(

)A.87B.89C.90D.91√解析:(1)由分層抽樣定義可知,高一,高二,高三年級參賽選手的樣本數(shù)之比為1200∶900∶900=4∶3∶3,設(shè)高三年級參賽選手成績的樣本平均數(shù)為x,則,解得x=90,故高三年級參賽選手成績的樣本平均數(shù)為90.故選C.(2)(2024·廣東廣州模擬)某校高三(1)班(45人)和高三(2)班(30人)進(jìn)行比賽,按照分層抽樣的方法從兩個班共抽取10名學(xué)生,相關(guān)統(tǒng)計(jì)情況如下:高三(1)班抽取的學(xué)生答對題目的平均數(shù)為1,方差為1;高三(2)班抽取的學(xué)生答對題目的平均數(shù)為1.5,方差為0.35,則這10人答對題目的方差為(

)A.0.61B.0.675C.0.74D.0.8√分層抽樣中有關(guān)計(jì)算的方法(1)在分層隨機(jī)抽樣中,抽樣比

.根據(jù)這個抽樣比,可以直接求出各層抽取的樣本數(shù),也可以據(jù)此列方程求解有關(guān)未知量.(2)已知分層隨機(jī)抽樣各層的均值和方差,可以直接根據(jù)公式計(jì)算總的均值和方差,這兩個公式的結(jié)構(gòu)也體現(xiàn)了按比例分配.[針對訓(xùn)練](1)(角度一)(2024·江蘇宿遷模擬)某大學(xué)共有本科生5000人,其中一、二、三、四年級的人數(shù)比為4∶3∶2∶1,要用分層抽樣的方法從所有本科生中抽取一個容量為200的樣本,則應(yīng)抽取三年級學(xué)生的人數(shù)為(

)A.80B.60C.40D.20√解析:(1)三年級要抽取的學(xué)生人數(shù)是200=40.故選C.(2)(角度一)(多選題)某公司生產(chǎn)甲、乙、丙三種型號的轎車,產(chǎn)量分別為1200輛、6000輛和2000輛,為檢驗(yàn)該公司的產(chǎn)品質(zhì)量,公司質(zhì)檢部門用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取46輛進(jìn)行檢驗(yàn),則(

)A.在每一種型號的轎車中可采用抽簽法抽取B.抽樣比為C.三種型號的轎車依次抽取6輛、30輛、10輛D.這三種型號的轎車,每一輛被抽到的概率都是相等的√√√解析:(2)因每一種型號的轎車數(shù)量較多,不適合用抽簽法,故A錯誤;在按比例分配的分層隨機(jī)抽樣中,抽樣比為,故B正確;在按比例分配的分層隨機(jī)抽樣中,三種型號的轎車應(yīng)依次抽取6輛、30輛、10輛,故C正確;在按比例分配的分層隨機(jī)抽樣中,每一輛被抽到的概率是相等的,故D正確.故選BCD.(3)(角度二)某實(shí)驗(yàn)室有A,B,C三批種子,A組有30粒,發(fā)芽率為30%,B組有35粒,發(fā)芽率為60%,C組有35粒,發(fā)芽率為40%,則該實(shí)驗(yàn)室這三批種子的發(fā)芽率為

.解析:(3)這三批種子的發(fā)芽率為44%(4)(角度二)某工廠新、舊兩條生產(chǎn)線的產(chǎn)量比為7∶3,為了解該工廠生產(chǎn)的一批產(chǎn)品的質(zhì)量情況,采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法從兩條生產(chǎn)線抽取樣本并計(jì)算得:新生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)的均值為10,方差為1;舊生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)的均值為9,方差為2,據(jù)此估計(jì)該批產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)的均值為

,方差為

.9.71.51解析:(4)根據(jù)兩條生產(chǎn)線的產(chǎn)量比為7∶3,且新生產(chǎn)線產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)的均值為10,方差為1,舊生產(chǎn)線產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)的均值為9,方差考點(diǎn)三統(tǒng)計(jì)圖表角度一扇形圖、條形圖[例4](多選題)(2024·廣東深圳模擬)某學(xué)校組建了演講、舞蹈、航模、合唱、機(jī)器人五個社團(tuán),全校所有學(xué)生每人都參加且只參加其中一個社團(tuán),校團(tuán)委在全校學(xué)生中隨機(jī)選取一部分學(xué)生(這部分學(xué)生人數(shù)少于全校學(xué)生人數(shù))進(jìn)行調(diào)查,并將調(diào)查結(jié)果繪制成了如下兩個不完整的統(tǒng)計(jì)圖,則(

)A.選取的這部分學(xué)生的總?cè)藬?shù)為500B.合唱社團(tuán)的人數(shù)占樣本總量的40%C.選取的學(xué)生中參加機(jī)器人社團(tuán)的人數(shù)為78D.選取的學(xué)生中參加合唱社團(tuán)的人數(shù)比參加機(jī)器人社團(tuán)的人數(shù)多125√√√解析:由兩個統(tǒng)計(jì)圖表可得參加演講的人數(shù)為50,占選取的學(xué)生總數(shù)的10%,所以選取的總?cè)藬?shù)為50÷10%=500,故選項(xiàng)A正確;合唱社團(tuán)的人數(shù)為200,則合唱社團(tuán)的人數(shù)占樣本總量的×100%=40%,故選項(xiàng)B正確;選取的學(xué)生中參加機(jī)器人社團(tuán)的人數(shù)占樣本總量的1-40%-20%-10%-15%=15%,所以選取的學(xué)生中參加機(jī)器人社團(tuán)的人數(shù)為500×15%=75,故選項(xiàng)C不正確;選取的學(xué)生中參加合唱社團(tuán)的人數(shù)為200,參加機(jī)器人社團(tuán)人數(shù)為75,所以選取的學(xué)生中參加合唱社團(tuán)的人數(shù)比參加機(jī)器人社團(tuán)的人數(shù)多125,選項(xiàng)D正確.故選ABD.角度二折線圖[例5](2024·福建福州模擬)中國營養(yǎng)學(xué)會把走路稱為“最簡單、最優(yōu)良的鍛煉方式”,它不僅可以幫助減肥,還可以增強(qiáng)心肺功能、血管彈性、肌肉力量等.如圖為甲、乙兩人在同一星期內(nèi)日步數(shù)的折線統(tǒng)計(jì)圖:則下列結(jié)論中不正確的是(

)A.這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的中位數(shù)為11600B.乙的日步數(shù)星期四比星期三增加了1倍以上C.這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的平均值大于乙D.這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的方差大于乙√解析:對于A,甲的步數(shù):16000,7965,12700,2435,16800,9500,11600.從小到大排列為:2435,7965,9500,11600,12700,16000,16800.中位數(shù)是11600.故A正確.對于B,乙的星期三步數(shù)7030,星期四步數(shù)12970.因?yàn)樗詻]有增加1倍以上,故B不正確.角度三頻率分布直方圖[例6](2024·天津武清區(qū)模擬)某校對高三年級學(xué)生的數(shù)學(xué)成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析.全年級同學(xué)的成績?nèi)拷橛?0分與150分之間,將他們的成績按照[80,90),[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150]分組后得到的頻率分布直方圖如圖所示.現(xiàn)從全體學(xué)生中根據(jù)成績采用分層抽樣的方法抽取80名學(xué)生的試卷進(jìn)行分析,則從成績在[120,130)內(nèi)的學(xué)生中抽取的人數(shù)為(

)A.28B.36C.20D.24√解析:成績在[120,130)內(nèi)的頻率為1-(0.005+0.010+0.010+0.015+0.025+0.005)×10=0.3.因?yàn)閺娜w學(xué)生中根據(jù)成績采用分層抽樣的方法抽取80名學(xué)生的試卷進(jìn)行分析,則從成績在[120,130)內(nèi)的學(xué)生中抽取的人數(shù)為80×0.3=24.故選D.(1)通過扇形圖可以很清楚地表示出各部分?jǐn)?shù)量同總數(shù)之間的關(guān)系.(2)折線圖可以顯示隨時(shí)間(根據(jù)常用比例放置)而變化的連續(xù)數(shù)據(jù),因此非常適用于顯示在相等時(shí)間間隔下數(shù)據(jù)變化的趨勢.(3)頻率分布直方圖的數(shù)據(jù)特點(diǎn):①頻率分布直方圖中縱軸上的數(shù)據(jù)是各組的頻率除以組距的結(jié)果,不要誤以為縱軸上的數(shù)據(jù)是各組的頻率,不要和條形圖混淆.②頻率分布直方圖中各小長方形的面積之和為1,這是解題的關(guān)鍵,常利用頻率分布直方圖估計(jì)總體分布.[針對訓(xùn)練](1)(角度一)(多選題)(2024·湖南校聯(lián)考)某統(tǒng)計(jì)機(jī)構(gòu)對1000名擁有汽車的人進(jìn)行了調(diào)查,對得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理并制作了如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖表,下列關(guān)于樣本的說法錯誤的是(

)A.30歲以上人群擁有汽車的人數(shù)為720B.40～45歲之間的人群擁有汽車的人數(shù)最多C.55歲以上人群每年購買車險(xiǎn)的總費(fèi)用最少D.40～55歲之間的人群每年購買車險(xiǎn)的總費(fèi)用,比18～30歲和55歲以上人群購買車險(xiǎn)的總費(fèi)用之和還要多√√√解析:(1)對于A,由1000×(1-18%)=820,知30歲以上人群擁有汽車的人數(shù)為820,故A錯誤;對于B,圖表當(dāng)中并沒有40～45歲的擁有汽車的人群比例,所以由圖得不出40～45歲之間的人群擁有汽車的人數(shù)最多,故B錯誤;對于C,55歲以上人群每年購買車險(xiǎn)的總費(fèi)用為1000×17%×3100=527000(元),18～30歲之間的人群每年購買車險(xiǎn)的總費(fèi)用為1000×18%×2800=504000(元),故C錯誤;對于D,40～55歲之間的