第2節(jié)用樣本估計總體[課程標(biāo)準(zhǔn)要求]1.能用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)(平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、百分位數(shù)),理解集中趨勢參數(shù)的統(tǒng)計含義.2.能用樣本估計總體的離散程度參數(shù)(標(biāo)準(zhǔn)差、方差、極差),理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計含義.積累·必備知識01回顧教材,夯實(shí)四基1.百分位數(shù)(1)第p百分位數(shù)的定義:一般地,一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值,它使得這組數(shù)據(jù)中至少有

的數(shù)據(jù)小于或等于這個值,且至少有(100-p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.(2)四分位數(shù):25%,50%,75%這三個分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份,因此稱為

,其中第25百分位數(shù)也稱為

或

,第75百分位數(shù)也稱為

或

.p%四分位數(shù)第一四分位數(shù)下四分位數(shù)第三四分位數(shù)上四分位數(shù)第50百分位數(shù)就是中位數(shù),中位數(shù)是百分位數(shù)的特例,百分位數(shù)是中位數(shù)的推廣.2.總體集中趨勢的估計(1)平均數(shù):=

.(2)中位數(shù):將一組數(shù)據(jù)按從小到大或從大到小的順序排列,處在最

的一個數(shù)據(jù)(當(dāng)數(shù)據(jù)個數(shù)是奇數(shù)時)或最中間兩個數(shù)據(jù)的

(當(dāng)數(shù)據(jù)個數(shù)是偶數(shù)時).(3)眾數(shù):一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)

的數(shù)據(jù)(即頻數(shù)最大值所對應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)).中間平均數(shù)最多(1)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)分別從不同角度描述了一組數(shù)據(jù)的特征,刻畫了一組數(shù)據(jù)的大致情況.平均數(shù)表示“一般水平”,中位數(shù)表示“中等水平”,眾數(shù)表示“多數(shù)水平”.(2)一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)都是唯一的.眾數(shù)不一定唯一,且眾數(shù)一定是原數(shù)據(jù)中的數(shù),而平均數(shù)和中位數(shù)都不一定是原數(shù)據(jù)中的數(shù).3.總體離散程度的估計1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”).(1)若一組樣本數(shù)據(jù)的第10百分位數(shù)是23,則在這組數(shù)據(jù)中有10%的數(shù)據(jù)大于23.(

)(2)平均數(shù)受數(shù)據(jù)的極端值的影響較大.(

)(3)方差反映了一組數(shù)據(jù)的離散程度.(

)(4)如果一組數(shù)中每個數(shù)減去同一個非零常數(shù),則這組數(shù)的平均數(shù)改變,方差不變.(

)(5)樣本數(shù)據(jù)的方差越小,說明樣本數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性越差.(

)(6)數(shù)據(jù)2,3,4,5的標(biāo)準(zhǔn)差是數(shù)據(jù)4,6,8,10的標(biāo)準(zhǔn)差的一半.(

)×√√√×√2.數(shù)據(jù)7,4,2,9,1,5,8,6的第70百分位數(shù)為(

)A.5 B.6 C.7 D.8√解析:將數(shù)據(jù)從小到大重新排列為1,2,4,5,6,7,8,9,共8個數(shù)據(jù),由于8×70%=5.6,所以第70百分位數(shù)為7.故選C.3.(多選題)(2024·遼寧沈陽模擬)某團(tuán)隊(duì)共有20人,他們的年齡分布如表所示,年齡28293032364045人數(shù)1335431有關(guān)這20人年齡的眾數(shù)、極差、百分位數(shù)說法正確的是(

)A.眾數(shù)是32 B.眾數(shù)是5C.極差是17 D.25%分位數(shù)是30√√√解析:年齡為32的有5人,故眾數(shù)是32,A正確,B錯誤;45-28=17,極差為17,C正確;因?yàn)?0×25%=5,(30+30)÷2=30,故25%分位數(shù)是30,D正確.故選ACD.4.已知一組數(shù)據(jù)4,2a,3-a,5,6的平均數(shù)為4,則a的值是

,該組數(shù)據(jù)的方差是

.2解析:由已知,得4+2a+3-a+5+6=20,所以a=2.02提升·關(guān)鍵能力類分考點(diǎn),落實(shí)四翼考點(diǎn)一總體百分位數(shù)的估計角度一離散型數(shù)據(jù)的百分位數(shù)[例1]按從小到大順序排列的9個數(shù)據(jù):10,16,25,33,39,43,m,65,70,若這組數(shù)據(jù)的第一四分位數(shù)與第三四分位數(shù)的和是73,則m等于(

)A.40 B.48 C.50 D.57√解析:因?yàn)?×25%=2.25,所以第一四分位數(shù)為第3個數(shù)25;因?yàn)?×75%=6.75,所以第三四分位數(shù)為第7個數(shù)m,所以25+m=73,解得m=48.故選B.計算一組n個數(shù)據(jù)的p%分位數(shù)的步驟角度二連續(xù)型數(shù)據(jù)的百分位數(shù)[例2]某小學(xué)對在校學(xué)生開展防震減災(zāi)教育,進(jìn)行一段時間的展板學(xué)習(xí)和網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)后,學(xué)校對全校學(xué)生進(jìn)行問卷測試(滿分100分).現(xiàn)隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的答卷,得分的頻數(shù)統(tǒng)計表和對應(yīng)的頻率分布直方圖如圖所示:得分[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]人數(shù)6a2418(1)求a,b的值;解:(1)由頻率分布直方圖可知,得分在[20,40)的頻率為0.005×20=0.1,故抽取的學(xué)生答卷數(shù)為6÷0.1=60,由6+a+24+18=60,得a=12.(2)根據(jù)頻率分布直方圖,估計樣本數(shù)據(jù)的15%和85%分位數(shù).解:(2)由圖可知,[20,40)內(nèi)的比例為10%,[40,60)內(nèi)的比例為20%,[60,80)內(nèi)的比例為40%,[80,100]內(nèi)的比例為30%.因此,15%分位數(shù)一定位于[40,60),85%分位數(shù)一定位于[80,100],頻率分布直方圖中第p百分位數(shù)的求解方法可以模仿中位數(shù)的求解思路:(1)確定第p百分位數(shù)所在的區(qū)間[a,b).(2)確定小于a和小于b的數(shù)據(jù)所占的百分比分別為fa%,fb%,[針對訓(xùn)練](1)(角度二)如圖是根據(jù)某班學(xué)生在一次數(shù)學(xué)考試中的成績畫出的頻率分布直方圖,則由直方圖得到的25%分位數(shù)為(

)A.66.5 B.67 C.67.5 D.68√解析:(1)因?yàn)榈谝唤M的頻率為0.010×10=0.1,前兩組的頻率之和為(0.010+0.020)×10=0.3,所以25%分位數(shù)在[60,70)內(nèi),(2)(角度一)某學(xué)校為了解該校學(xué)生開展志愿者活動的情況,隨機(jī)抽取了40名學(xué)生,對他們本學(xué)期參與志愿者活動的時長進(jìn)行了統(tǒng)計,已知統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表所示:時長/小時7891011人數(shù)/人610987則該校學(xué)生開展志愿者活動時長的第40百分位數(shù)是

.

8.5解析:(2)40×40%=16,故第40百分位數(shù)是第16個數(shù)和第17個數(shù)的平均數(shù),[例3](多選題)某學(xué)校共有2000名男生,為了了解這部分學(xué)生的身體發(fā)育情況,學(xué)校抽查了100名男生的體重情況.根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制樣本的頻率分布直方圖如圖所示,則下列結(jié)論正確的是(

)C.樣本平均數(shù)的估計值為66D.該校男生體重不低于70kg的人數(shù)大約為600考點(diǎn)二總體集中趨勢的估計√√√對于B,設(shè)樣本的中位數(shù)為x,觀察頻率分布直方圖可知該中位數(shù)位于[65,70)之間,對于C,由直方圖估計樣本平均數(shù)為57.5×0.15+62.5×0.25+67.5×0.3+72.5×0.2+77.5×0.1=66.75,C錯誤;對于D,2000名男生中體重不低于70kg的人數(shù)大約為2000×5×(0.04+0.02)=600,D正確.故選ABD.用頻率分布直方圖估計眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)(1)眾數(shù):取最高小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)作為眾數(shù).(2)中位數(shù):把頻率分布直方圖劃分為左右兩個面積相等的部分的分界線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)作為中位數(shù).(3)平均數(shù):等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.[針對訓(xùn)練](多選題)(2024·浙江金華模擬)某公司開發(fā)了一款運(yùn)動監(jiān)測軟件,用戶可以通過軟件查看自己每天行走的步數(shù),同時也可以和其他用戶進(jìn)行運(yùn)動量的PK或點(diǎn)贊,為了解用戶每周行走的步數(shù),從女性用戶、男性用戶中分別隨機(jī)調(diào)查了200名用戶,得到女性用戶和男性用戶每周行走步數(shù)的頻率分布直方圖,如圖所示.若女性用戶和男性用戶每周行走步數(shù)的中位數(shù)分別為x1,x2,平均數(shù)分別為y1,y2,則(

)A.x1>x2 B.x1<x2C.y1>y2 D.y1<y2解析:由頻率分布直方圖,因?yàn)?0.015+0.02)×10=0.35,(0.015+0.02+0.025)×10=0.6,(0.005+0.02)×10=0.25,(0.005+0.02+0.035)×10=0.6,√√則x1∈[60,70),x2∈[70,80),顯然每周行走步數(shù)的中位數(shù)x1<x2,故B正確;y1=45×0.15+55×0.2+65×0.25+75×0.2+85×0.1+95×0.1=67,y2=55×0.05+65×0.2+75×0.35+85×0.25+95×0.15=77.5,所以每周行走步數(shù)的平均數(shù)y1<y2,故D正確.故選BD.考點(diǎn)三總體離散程度的估計[例4](2021·全國乙卷)某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備,為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無提高,用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品,得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下:舊設(shè)備9.810.310.010.29.9新設(shè)備10.110.410.110.010.1舊設(shè)備9.810.010.110.29.7新設(shè)備10.310.610.510.410.5解:(1)由表格中的數(shù)據(jù)易得,(2)判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高.(如果

則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高,否則不認(rèn)為有顯著提高)利用樣本的數(shù)字特征解決優(yōu)化決策問題的依據(jù)平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平,標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小.標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大,數(shù)據(jù)的離散程度越大,越不穩(wěn)定;標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小,數(shù)據(jù)的離散程度越小,越穩(wěn)定.[針對訓(xùn)練](2023·全國乙卷)某廠為比較甲乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng),進(jìn)行10次配對試驗(yàn),每次配對試驗(yàn)選用材質(zhì)相同的兩個橡膠產(chǎn)品,隨機(jī)地選其中一個用甲工藝處理,另一個用乙工藝處理,測量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率,甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為xi,yi(i=1,2,…,10),試驗(yàn)結(jié)果如下:試驗(yàn)序號i12345678910伸縮率xi545533551522575544541568596548伸縮率yi