第2節(jié)排列與組合[課程標準要求]1.理解排列、組合的概念.2.能利用計數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式.3.能利用排列、組合解決簡單的實際問題.積累·必備知識01回顧教材,夯實四基排列與組合排列與排列數(shù)組合與組合數(shù)定義排列:一般地,從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素,并按照

排成一列,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列組合:一般地,從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素

,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合一定的順序作為一組排列數(shù):從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有

的個數(shù),叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù),用符號

表示組合數(shù):從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的

的個數(shù),叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù),用符號

表示不同排列所有不同組合n(n-1)(n-2)…(n-m+1)n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1排列數(shù)、組合數(shù)常用公式(3)(n+1)!-n!=n·n!.1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”).(1)兩個排列相同的充要條件是兩個排列的元素完全相同,且元素的排列順序也相同.(

)(2)10個朋友聚會,每兩人握手一次,是排列問題.(

)(3)選擇兩人去參加同一項活動時無先后順序.(

)√(4)若組合式

成立,則x=m.(

)×√×2.等于(

)A.35 B.47 C.45 D.57√3.從3名男生與2名女生中選2人去參加同一個會議,要求至少有一名女生,選派的方法種數(shù)為(

)A.6 B.7 C.8 D.14√4.(選擇性必修第三冊P37T1改編)三名歌手和她們各自的指導(dǎo)老師合影,要求每名歌手與她們的老師站一起,這六人排成一排,則不同的排法種數(shù)為(

)A.24 B.48 C.60 D.96解析:先將三名歌手和她們各自的指導(dǎo)老師捆綁在一起,記為三個不同元素進行全排,再將各名歌手和她的指導(dǎo)老師進行全排,則不同的排法種數(shù)N==48.故選B.√02提升·關(guān)鍵能力類分考點,落實四翼考點一與排列數(shù)、組合數(shù)有關(guān)的計算[例1](1)(多選題)下列有關(guān)排列數(shù)、組合數(shù)的計算,正確的是(

)√√4即n(n-2)+6n-12=4(n+1),整理得n2=16,解得n=4或n=-4(舍去),即n=4.合理選擇以下兩種形式(1)運算求解類問題,常常使用“連乘積”形式;(2)在證明類或運算類的化簡過程中,多用“階乘”形式.[針對訓(xùn)練](1)若(n≥3),則正整數(shù)n的值為

.

8所以5+6=n+1,解得n=10.(2)(2024·安徽六安模擬)若,則正整數(shù)n的值等于

.

10考點二排列問題[例2]甲、乙、丙、丁等6人按下列要求排隊,試計算分別有多少種不同的排法.(1)甲不站兩端;(2)甲、乙必須相鄰;解:(2)把甲、乙看成一個整體然后與其余4人進行全排列,共有=240種排法.(3)甲、乙不相鄰;解:(3)先把除甲、乙外的4個人全排列,然后再把甲、乙插入其余4人形成的5個空隙中,共有=480種排法.(4)甲、乙之間間隔兩人;(5)甲、乙、丙互不相鄰;(6)甲、乙、丙3人與其他3人相互間隔排列;(7)6人排好后,從左向右看甲、乙、丙3人的順序一定;解:(7)由于甲、乙、丙3人的順序一定,則滿足條件的排法共有=120種.(8)甲不站最左邊,乙不站最右邊;(9)排成前后兩排,前排2人,后排4人.求解排列應(yīng)用問題的6種主要方法直接法直接利用排列數(shù)公式列式計算優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置捆綁法把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列,同時注意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法不相鄰問題,先考慮不受限制的元素的排列,再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空隙當中定序問題除法處理對于定序問題,可先不考慮順序限制,排列后,再除以定序元素的全排列間接法正難則反、等價轉(zhuǎn)化的方法[針對訓(xùn)練](1)(多選題)把5件不同產(chǎn)品A,B,C,D,E擺成一排,則下列說法正確的是(

)A.A與B相鄰有48種擺法B.A在C的左邊有30種擺法C.A,B相鄰又A,C相鄰,有12種擺法D.A與B相鄰,且A與C不相鄰有36種擺法√√√(2)(2024·湖北宜昌模擬)形如45132的數(shù)稱為“波浪數(shù)”,即十位數(shù)字,千位數(shù)字均比它們各自相鄰的數(shù)字大,由1,2,3,4,5構(gòu)成的無重復(fù)數(shù)字的五位“波浪數(shù)”的個數(shù)為(

)A.13 B.16 C.20 D.25解析:(2)依題意,由1,2,3,4,5構(gòu)成的無重復(fù)數(shù)字的五位“波浪數(shù)”的十位、千位數(shù)字為5與4或5與3,√考點三組合問題[例3]某課外活動小組共13人,其中男生8人,女生5人,并且男、女生各指定一名隊長.現(xiàn)從中選5人主持某種活動,依下列條件各有多少種選法?(1)只有1名女生;解:(1)由題知應(yīng)選出1名女生,4名男生,故共有=350種.(2)兩隊長當選;解:(2)將兩隊長作為一組,其他11人作為一組,故共有=165種.(3)至少有1名隊長當選;解:(3)法一至少有1名隊長當選包括兩類情況:只有1名隊長當選和2名隊長都當選.(4)至多有2名女生當選;解:(4)至多有2名女生包括三類情況:有2名女生、只有1名女生、沒有女生,故選法有=966種.(5)既要有隊長,又要有女生當選.組合問題的2種題型及解法題型解法“含”與“不含”的組合問題“含”,則先將這些元素取出,再由另外元素補足;“不含”,則先將這些元素剔除,再從剩下的元素中選取

“至少”或“至多”的組合問題解這類題型必須十分重視“至少”與“至多”這兩個關(guān)鍵詞的含義,謹防重復(fù)與漏解.用直接法和間接法都可以求解,通常用直接法,分類復(fù)雜時,考慮逆向思維,用間接法處理[針對訓(xùn)練](2023·新課標Ⅰ卷)某學校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課,學生需從這8門課中選修2門或3門課,并且每類選修課至少選修1門,則不同的選課方案共有

種(用數(shù)字作答).

64解析:(1)當從8門課中選修2門,則不同的選課方案共有=16種.(2)當從8門課中選修3門,①若體育類選修課選修1門,則不同的選課方案共有=24種;②若體育類選修課選修2門,則不同的選課方案共有=24種.綜上所述,不同的選課方案共有16+24+24=64(種).考點四排列與組合的綜合問題角度一分組與分配問題[例4]有6本不同的書按下列方式分配或分組,問:各有多少種不同的分法?(1)分給甲、乙、丙三人,甲得1本,乙得2本,丙得3本;解:(1)分三步完成:甲選1本、乙選2本、丙選剩下的3本,共有=60種分法.(2)分成1本、2本、3本三組;解:(2)由于分成三組,各組之間的本數(shù)不同,因此可直接根據(jù)分步乘法計數(shù)原理得=60種分法.(3)分給甲、乙、丙三人,其中一個人1本,一個人2本,一個人3本;解:(3)由(2)可知分成1本、2本、3本三組,共有60種方法,然后再分給甲、乙、丙三人,所以有60×=360種分法.(4)分成三組,每組都是2本;(5)分給甲、乙、丙三人,每個人2本;(6)分成三組,一組4本,另外兩組各1本;解:(6)只需從6本中選4本一組,有=15種分法,其余2本為2組,因此共有15種分法.(7)分給甲、乙、丙三人,其中一個人4本,其余一人1本;解:(7)在問題(6)的基礎(chǔ)上,將分成的3組分配給甲、乙、丙3個人,有15=90種不同的分法.(8)甲得1本,乙得1本,丙得4本;(9)分給甲、乙、丙、丁4個人,每人至少1本.求解分組與分配問題的方法(1)分配問題中,目標與數(shù)目確定的可以直接利用組合數(shù)及兩個計數(shù)原理求解.(2)對于分配問題,應(yīng)先分組后分配.(3)對于不均分分組問題,即各組個數(shù)均不相同的問題,可以直接按照組數(shù)及各組的元素數(shù)目利用組合數(shù)求解.(4)對于部分均分分組問題,均分的部分可以參考平均分組問題的求解處理.角度二與幾何圖形有關(guān)的排列組合問題[例5](1)(多選題)(2024·山東濟南模擬)如圖所示,各小矩形(鄰邊不相等)都全等,各條線段均表示道路.某銷售公司經(jīng)理從單位A處出發(fā)到達B處和C處兩個市場調(diào)查了解銷售情況,行走順序可以是A→B→C,也可以是A→C→B,該經(jīng)理選擇了最近的路徑進行兩個市場的調(diào)查工作.則他可以選擇的最近的不同路線共有(

)A.31條 B.36條

C.210條 D.315條√√解析:(1)設(shè)小矩形的長為a,寬為b,則從A→B的最近路線為2a+4b,從A→C的最近路線為3a+2b,綜上,該經(jīng)理可以選擇的最近不同路線共有210條或315條.故選CD.(2)由正方體的棱、面對角線和體對角線共可組成

對異面直線.

174幾何圖形背景下的排列組合問題解題策略(1)明確題目要求,能否建立相應(yīng)的“模型”.如本例第(2)小題中異面直線問題,可以轉(zhuǎn)化為四面體問題,因為一個四面體中包含三對異面直線,這就大大提高了解題效率.(2)“正難則反”的策略,當遇到直接解決問題情況較多、分類復(fù)雜等情況,可以考慮間接手段,即可以先不管限制條件得出總數(shù),再減去不合要求的,剩余的就是所求結(jié)果,但要注意,在扣除不合要求的情況時,是否有重復(fù)計數(shù)問題,以免出現(xiàn)多減了的情況.[針對訓(xùn)練](1)(角度一)某班開展閱讀比賽,老師選擇了5本不同的課外書,要求每位同學在3天內(nèi)閱讀完這5本課外書,每天至少選一本閱讀,選擇的課外書當天需閱讀完,則不同的選擇方式有(

)A.540種 B.300種C.210種 D.150種√解析:(1)先將每天讀書的本數(shù)分組,有1,2,2和