第6節(jié)事件的相互獨立性、條件概率與全概率公式[課程標(biāo)準(zhǔn)要求]1.了解兩個事件獨立性的含義,能利用事件的獨立性解決一些實際問題.2.了解條件概率的含義以及條件概率與獨立性的關(guān)系.3.能利用條件概率和全概率公式解決一些實際問題.積累·必備知識01回顧教材,夯實四基1.事件的相互獨立性(1)相互獨立的定義:對任意兩個事件A與B,如果P(AB)=

成立,則稱事件A與事件B相互獨立,簡稱為獨立.P(A)P(B)相互獨立②若事件A與事件B相互獨立,則P(AB)=

.P(A)P(B)相互獨立事件與互斥事件的區(qū)別:相互獨立事件是指兩個事件發(fā)生的概率互不影響,計算公式為P(AB)=P(A)P(B),互斥事件是指在同一試驗中,兩個事件不會同時發(fā)生,計算公式為P(A∪B)=P(A)+P(B).2.條件概率(1)條件概率的概念A(yù)B(2)條件概率的公式(3)條件概率的性質(zhì)設(shè)P(A)>0,則①0≤P(B|A)≤1,P(Ω|A)=1;②如果B和C是兩個互斥事件,則P(B∪C|A)=P(B|A)+

;P(C|A)P(B|A)④概率的乘法公式:對任意兩個事件A與B,若P(A)>0,則P(AB)=

.P(A)P(B|A)3.全概率公式一般地,設(shè)A1,A2,…,An是一組兩兩互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,則對任意的事件B?Ω,有P(B)=

.我們稱其為全概率公式.全概率公式是按照某種標(biāo)準(zhǔn),將一個復(fù)雜事件表示為幾個互斥事件的并事件,再由概率的加法公式和乘法公式求得這個復(fù)雜事件的概率.1.如果A1,A2,…,An相互獨立,那么P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)·…·P(An).2.當(dāng)A,B相互獨立時,P(B|A)=P(B).1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”).(1)對于任意兩個事件,公式P(AB)=P(A)P(B)都成立.(

)(2)若事件A,B互斥,則P(B|A)=1.(

)(3)拋擲2枚質(zhì)地均勻的硬幣,設(shè)“第一枚正面朝上”為事件A,“第2枚正面朝上”為事件B,則A,B相互獨立.(

)(4)若事件A1與A2是對立事件,且P(A1)>0,P(A2)>0,則對任意的事件B?Ω,都有P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)·P(B|A2).(

)××√√√解析:設(shè)“甲獨立地破解出謎題”為事件A,“乙獨立地破解出謎題”為事件B,3.(2024·黑龍江大慶模擬)有一批種子的發(fā)芽率為0.9,出芽后的幼苗成活率為0.8,在這批種子中,隨機(jī)抽取一粒,則這粒種子能成長為幼苗的概率為(

)A.0.72 B.0.8 C.0.9 D.0.5解析:設(shè)“隨機(jī)抽取一粒種子,這粒種子發(fā)芽”為事件A,則P(A)=0.9,“幼苗成活”為事件B,則P(B|A)=0.8,所以這粒種子能成長為幼苗的概率P=P(AB)=P(A)P(B|A)=0.9×0.8=0.72.故選A.√4.(選擇性必修第三冊P50例5改編)某工廠生產(chǎn)了甲、乙兩批次零件,甲批次零件的合格率為80%,乙批次零件的合格率為85%,現(xiàn)將兩批零件放到一起,已知甲批次零件占總數(shù)的40%,乙批次零件占總數(shù)的60%,現(xiàn)從中任取一個零件,則取到合格品的概率為(

)A.0.765 B.0.86 C.0.82D.0.83√解析:將兩批次零件放到一起,從中任取一個零件,取到合格品的概率為80%×40%+85%×60%=0.83.故選D.02提升·關(guān)鍵能力類分考點,落實四翼考點一事件的相互獨立性角度一事件相互獨立性的判斷[例1](2021·新高考Ⅰ卷)有6個相同的球,分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回地隨機(jī)取兩次,每次取1個球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”,丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”,丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”,則(

)A.甲與丙相互獨立 B.甲與丁相互獨立C.乙與丙相互獨立 D.丙與丁相互獨立√判斷兩個事件是不是相互獨立的方法(1)直接法:直接判斷一個事件發(fā)生與否能不能影響另一事件發(fā)生的概率.(2)定義法:判斷P(AB)=P(A)P(B)是否成立.角度二相互獨立事件的概率解:(1)記“甲隊總得分為3分”為事件A,“甲隊總得分為1分”為事件B.甲隊得3分,即3人都回答正確,(1)分別求甲隊總得分為3分與1分的概率;(2)求甲隊總得分為2分,且乙隊總得分為1分的概率.解:(2)記“甲隊總得分為2分”為事件C,“乙隊總得分為1分”為事件D.甲隊得2分,即甲隊3人中有2人回答正確,1人回答錯誤,求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的方法(1)利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解.(2)正面求解較麻煩(如“至多”“至少”問題)或難以入手時,可從其對立事件入手計算.[針對訓(xùn)練](1)(角度一)(多選題)(2024·河北承德模擬)如圖,一個均勻的正八面體,八個面分別標(biāo)有數(shù)字1到8,任意拋擲一次這個正八面體,觀察它與地面接觸的面上的數(shù)字,得到樣本空間Ω={1,2,3,4,5,6,7,8}.事件A表示“數(shù)字為偶數(shù)”,事件B表示“數(shù)字大于4”,事件C表示“數(shù)字為3,4,5,6中的一個”,則以下結(jié)論正確的是(

)A.事件A與事件B獨立B.事件A與事件C不獨立C.事件B與事件C獨立D.P(ABC)=P(A)P(B)P(C)√√√(1)解析:由題意得,顯然,P(AB)=P(A)P(B),事件A與事件B獨立,故A選項正確;P(AC)=P(A)P(C),事件A與事件C獨立,故B選項錯誤;P(BC)=P(B)P(C),事件B與事件C獨立,故C選項正確;P(ABC)=P(A)P(B)P(C),故D選項正確.故選ACD.(2)(角度二)某校舉行了詩詞知識競賽,在必答題環(huán)節(jié),甲、乙兩名選手分別從3道選擇題、2道填空題中隨機(jī)抽取2道題作答,若甲每道題答對的概率為,乙每道題答對的概率為,且甲、乙答對與否互不影響,各題的結(jié)果也互不影響.求:①甲至少抽到1道填空題的概率;②甲答對的題數(shù)比乙多的概率.解:②設(shè)事件A1,A2分別表示甲答對1道題,2道題,事件B0,B1分別表示乙答對0道題,1道題,記事件C=“甲答對的題數(shù)比乙多”,則C=A1B0∪A2B0∪A2B1,且A1B0,A2B0,A2B1兩兩互斥,A1與B0,A2與B0,A2與B1分別相互獨立,所以P(C)=P(A1B0)+P(A2B0)+P(A2B1)=P(A1)P(B0)+P(A2)P(B0)+P(A2)P(B1)考點二條件概率及其應(yīng)用[例3](1)從1,2,3,4,5中任取兩個不同的數(shù),事件A=“取到的兩個數(shù)之和為偶數(shù)”,事件B=“取到的兩個數(shù)均為偶數(shù)”,則P(B|A)等于(

)√(2)(2024·廣東深圳模擬)某醫(yī)療儀器上有A,B兩個易耗元件,每次使用后,需要更換A元件的概率為0.3,需要更換B元件的概率為0.5,則在第一次使用后就要更換元件的條件下A,B兩個元件都要更換的概率是(

)A.0.15 B.0.65 √解析:(2)記事件E=“第一次使用后就要更換元件”,事件F=“A,B兩個元件都要更換”,則P(E)=1-(1-0.3)×(1-0.5)=0.65,P(EF)=0.3×0.5=0.15.由條件概率公式可得P(F|E)=故選C.(1)求條件概率的常用方法①利用定義,分別求P(A)和P(AB),得P(B|A)=②借助古典概型概率公式,先求事件A包含的樣本點數(shù)n(A),再在事件A發(fā)生的條件下,求事件B包含的樣本點數(shù),即n(AB),得P(B|A)=(2)條件概率公式的變形P(AB)=P(A)P(B|A)或P(AB)=P(B)P(A|B).[針對訓(xùn)練](1)(2024·安徽合肥模擬)某學(xué)校高三(1)班至(4)班舉辦研學(xué)游活動,有4個地方可供選擇,且每班只能去1個地方.設(shè)事件M=“4個班去的地方各不相同”,N=“(1)班獨自去1個地方”,則P(M|N)等于(

)√解析:(1)(1)班獨自去1個地方,則有4個地方可選,其余3個班只能在剩下的3個地方中選擇,可能有33=27(種)情況,(2)(2023·全國甲卷)某地的中學(xué)生中有60%的同學(xué)愛好滑冰,50%的同學(xué)愛好滑雪,70%的同學(xué)愛好滑冰或愛好滑雪.在該地的中學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查一位同學(xué),若該同學(xué)愛好滑雪,則該同學(xué)也愛好滑冰的概率為(

)A.0.8 B.0.6 C.0.5 D.0.4解析:(2)同時愛好兩項的概率為0.5+0.6-0.7=0.4,記“該同學(xué)愛好滑雪”為事件A,記“該同學(xué)愛好滑冰”為事件B,則P(A)=0.5,P(AB)=0.4,所以P(B|A)=故選A.√考點三全概率公式及其應(yīng)用[例4](1)某考生回答一道四選一的單項選擇題,假設(shè)他知道正確答案的概率為0.6,知道正確答案時,答對的概率為100%,而不知道正確答案時,猜對的概率為0.2,那么他答對題目的概率為(

)A.0.8 B.0.68 C.0.6 D.0.2√解析:(1)根據(jù)題意,設(shè)“該考生知道正確答案”為事件A,則P(A)=0.6,P()=0.4,那么他答對題目的概率P=P(A)×1+P()×0.2=0.6+0.4×0.2=0.68.故選B.(2)(2024·湖南郴州模擬)已知顏色分別是紅、綠、黃的三個大小相同的口袋,紅色口袋內(nèi)裝有兩個紅球、一個綠球和一個黃球;綠色口袋內(nèi)裝有兩個紅球、一個黃球;黃色口袋內(nèi)裝有三個紅球、兩個綠球(球的大小質(zhì)地相同).若第一次先從紅色口袋內(nèi)隨機(jī)抽取1個球,然后將取出的球放入與球同顏色的口袋內(nèi),第二次從該口袋內(nèi)任取一個球,則第二次取到黃球的概率為(

)√解析:(2)記第一次抽到紅、綠、黃球的事件分別為A1,A2,A3,利用全概率公式求解的思路(1)按照確定的標(biāo)準(zhǔn),將一個復(fù)雜事件分解為若干個互斥事件Bi(i=1,2,…,n).(2)求P(Bi)和所求事件A在各個互斥事件Bi發(fā)生條件下的概率P(A|Bi).(3)代入全概率公式計算.[針對訓(xùn)練](1)(2024·河北衡水模擬)設(shè)甲乘汽車、高鐵前往某目的地的概率分別為0.4,0.6,汽車和高鐵正點到達(dá)目的地的概率分別為0.7,0.9,則甲正點到達(dá)目的地的概率為(

)A.0.78 B.0.8 C.0.82 D.0.84√(1)解析:設(shè)事件A表示“甲正點到達(dá)目的地”,事件B表示“甲乘汽車前往目的地”,事件C表示“甲乘高鐵前往目的地”,由題意知P(B)=0.4,P(C)=0.6,P(A|B)=0.7,P(A|C)=0.9.由全概率公式得P(A)=P(B)P(A|B)+P(C)·P(A|C)=0.4×0.7+0.6×0.9=0.28+0.54=0.82.故選C.(2)