18.L2分式的基本性質(zhì)（第2課時(shí)約分通分）

教學(xué)設(shè)計(jì)

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1.內(nèi)容

本節(jié)課通過(guò)類(lèi)比分?jǐn)?shù)的約分與通分，學(xué)習(xí)分式的約分與通分。分式的約分是利用分式的基本性質(zhì)約去

公因式，將分式變形為最簡(jiǎn)分式或者整式。分式通分的依據(jù)仍然是分式的基本性質(zhì)，關(guān)鍵在于確定最簡(jiǎn)公

分母。

2.內(nèi)容分析

本節(jié)課是“分式的基本性質(zhì)”的第二課時(shí)，核心內(nèi)容是分式的約分與通分。分式的約分與通分都是重

要的分式變形，它是學(xué)習(xí)分式運(yùn)算的前提和基礎(chǔ)，是分式加減運(yùn)算的關(guān)鍵。課程設(shè)計(jì)通過(guò)類(lèi)匕分?jǐn)?shù)的約分

與通分展開(kāi)，體現(xiàn)“數(shù)式通性”的數(shù)學(xué)思想，幫助學(xué)生借助已有知識(shí)（分?jǐn)?shù)運(yùn)算）遷移理解新內(nèi)容（分式

運(yùn)算），降低認(rèn)知難度。

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為：能利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行約分、通分。

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

1.目標(biāo)

（1）能利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行約分、通分，并化簡(jiǎn)分式。

（2）通過(guò)類(lèi)比分?jǐn)?shù)的名勺分與通分來(lái)探索分式的的分與通分，體會(huì)數(shù)式通性和類(lèi)比的思想。

2.目標(biāo)解析

（1）學(xué)生需明確約分的依據(jù)（分式的基本性質(zhì)）：能準(zhǔn)確我出分子、分母的公因式；會(huì)通過(guò)約去公因

式將分式化為最簡(jiǎn)分式或整式。學(xué)生能判斷一個(gè)分式是否為最簡(jiǎn)分式，并理解最簡(jiǎn)分式是分式化簡(jiǎn)的最終

形式。學(xué)生需知道最簡(jiǎn)公分母是各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與因式的最高次基的積；能針對(duì)具體分式確定最

簡(jiǎn)公分母。

（2）學(xué)生能回憶分?jǐn)?shù)的約分與通分的過(guò)程和依據(jù)（分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)），井將其遷移到分式中，理解分

式的約分與通分的操作原理。學(xué)生能認(rèn)識(shí)到“分?jǐn)?shù)”與“分式”在形式和運(yùn)算規(guī)則上的共性，理解“用己

知知識(shí)探索未知知識(shí)”的類(lèi)比方法，為后續(xù)學(xué)習(xí)分式的四則運(yùn)算奠定思想基礎(chǔ)。

三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析

學(xué)生可能出現(xiàn)的問(wèn)題：對(duì)“最簡(jiǎn)分式”的判斷不準(zhǔn)確，學(xué)生可能認(rèn)為分子、分母沒(méi)有相同字母就是最

簡(jiǎn)分式，忽略系數(shù)的約分；確定最簡(jiǎn)公分母時(shí)存在困難，不會(huì)分解因式，導(dǎo)致無(wú)法確定最簡(jiǎn)公分母。

應(yīng)對(duì)策略：通過(guò)對(duì)比練習(xí)，給出可繼續(xù)約分和不可約分的分式，讓學(xué)生辨析并說(shuō)明理由，強(qiáng)化“是否

有公因式”的核心判斷標(biāo)準(zhǔn)，適當(dāng)設(shè)計(jì)分母含負(fù)號(hào)、約分結(jié)果為整式的特殊練習(xí)，打破思維定式，鞏固對(duì)

基本性質(zhì)的理解；針對(duì)最簡(jiǎn)公分母的確定設(shè)計(jì)分層練習(xí)，先練單項(xiàng)式分母，再練含多項(xiàng)式的分母，最后練

混合類(lèi)型。

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為：掌握分式的約分與通分。

四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

(一)復(fù)習(xí)引入

問(wèn)題回想一下，分式的基本性質(zhì)是什么？請(qǐng)用符號(hào)表示分式的基本性質(zhì).

答分式的分子與分母乘(或除以)同一個(gè)不等于0的整式.分式的值不變.

其中A,B,C(C/O)是整式.

本節(jié)課，我們將類(lèi)比分?jǐn)?shù)的約分與通分研究分式的約分與通分.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)回顧分式的基本性質(zhì)，建立與本節(jié)課分式約分、通分的知識(shí)關(guān)聯(lián)，讓學(xué)生明確后續(xù)學(xué)

習(xí)的底層邏輯。滲透類(lèi)比思想，引導(dǎo)學(xué)生遷移已有的分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)經(jīng)臉，降低學(xué)習(xí)分式約分、通分的甌生感。

(二)合作探究

思考1聯(lián)想分?jǐn)?shù)的約分，由例3(1)(2),你能想出如何對(duì)分式進(jìn)行約分嗎？

例3(|)與=；⑵2^=.

xzyy6xz(2*)

分析與分?jǐn)?shù)的約分類(lèi)似，在例3(I)中，我們利用分式的基本性質(zhì)，約去學(xué)的分子和分母的公因式

X2,不改變分式的值，把總化為會(huì)

概念像這樣，根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把一個(gè)分式的分子與分母的公因式約去，叫作分式的約分.

經(jīng)過(guò)約分后的分式:其分子與分母沒(méi)有公因式.

y

概念像這樣分子與分母沒(méi)有公因式的分式，叫作最簡(jiǎn)分式.

分式的約分，一般要約去分子和分母所有的公因式，使所得結(jié)果成為最簡(jiǎn)分式或者整式.

思考2聯(lián)想分?jǐn)?shù)的通分，由例3(3)(4),你能想出如何對(duì)分式進(jìn)行通分嗎？

例3⑶々1一最~~-；(4)第=(2*；，(原0).

aba2ba2a2b

分析與分?jǐn)?shù)的通分類(lèi)似，在例3(3)(4)中，我們利用分式的基本性質(zhì)，將分子和分母同乘適當(dāng)?shù)?/p>

整式，不改變分式的值，把白和需化成分母相同的分式.

概念像這樣，根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個(gè)異分母的分式分別化成與原來(lái)的分式相等的同分母的分式,

叫作分式的通分.

概念分式的通分，關(guān)鍵是確定幾個(gè)分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次轅的積作公分母,

它叫作最簡(jiǎn)公分母.

思考3分?jǐn)?shù)和分式在約分和通分的做法上有什么共同點(diǎn)？這些做法的根據(jù)是什么？

約分通分

分?jǐn)?shù)找分子與分母的最大公約數(shù)找所有分母的最小公倍數(shù)

分式找分子與分母的公因式找所有分母的最簡(jiǎn)公分母

依據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)分式的基本性腐

設(shè)計(jì)意圖：“合作探究”環(huán)節(jié)以“類(lèi)比分?jǐn)?shù)”為線索，通過(guò)“思考一實(shí)例一概念一對(duì)比”的層層推進(jìn),

實(shí)現(xiàn)“分式約分、通分”知識(shí)的有效建構(gòu)，提升知識(shí)歸納和自我反思能力，為后續(xù)分式運(yùn)算的學(xué)習(xí)筑牢基

礎(chǔ)，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生類(lèi)比、歸納、合作的教學(xué)能力與素賽。

(三)典例分析

例4約分：

-25a2bc3X2-96x2-12xy+6y2

(1)-----7—；(2)—------；(3)--------..-.

15ab2cX2+6X+93x-3y

分析為約分，要先找出分子和分母的公因式.

(1)定系數(shù)：系數(shù)取分子和分母系數(shù)的最大公約數(shù)：

(2)定字母：字母取分子和分母中都含有的相同字母;

(3)定指數(shù)：相同字母的指數(shù)取分子和分母中的最低指數(shù).

-25a2bc35abc-5ac2Sac2

解⑴

15ab2c5abc-3b3b

分式的分子或分母是多項(xiàng)式因式分解確定公因式約分

x2-0(xI3)(x-3)x-3

(2)

X2+6X+9(X+3產(chǎn)%+3’

⑶6x2-12xy+6y26(%-y)2

=2(.r-y)；

3x-3y3(“y)

例5通分:

3a-b2x,3x

(1)——與(2)———與------

2a2b3ab2c'X2-252X+10

分析為通分，要先確定最簡(jiǎn)公分母.

(1)定系數(shù)：系數(shù)取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；

(2)定字母：字母取各分母中含有的所有字母；

(3)定指數(shù)：相同字母的指數(shù)取各分母中的最高指數(shù).

3_3-3bc_9bca-b_(a-b>2a_2a2-2ab

2a2b2a2b-3bc6a2b2c*3ab2c3ab2c-2a6a2b2c

分母是多項(xiàng)式因式分解S確定最簡(jiǎn)公分母E9通分

2x2x2x-24x

(?)--------=---------------=------------------=-----------

X2-25(X+5)(X-5)(X+5)(X-5)-22X2-50

3x3x3x-(x-5)3X2-15X

2x+10-2(x+5)-2(x+5)-(x-5)-2x2-50*

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)“分步拆解+實(shí)例示范+流程圖總結(jié)”，將抽象的“約分、通分”方法轉(zhuǎn)化為可操

作的步驟，實(shí)現(xiàn)知識(shí)從“理解”到“應(yīng)用”的轉(zhuǎn)化。通過(guò)不同類(lèi)型的例題強(qiáng)化“類(lèi)比”“轉(zhuǎn)化”的思想方

法，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

(四)鞏固練習(xí)

1.約分:

2bc(%+y)yx2+xyx2-4y2

(1)---；(2)(3)-~~3；(4)-——:4.

acxy2；(x+y)2(x-2y)2

2bc2bc2b

解⑴一=一:

acaca

(x+y)y(x+y)-yx+y

xy2xy-yxy，

…x2+xyx(x+y)x

(3)=-----------=-----?

(x+y)2(x+y)2x+y'

x2-4y2(x+2y)(x-2y)x+2y

(4)=-------------------------------=--------

(x-2y)2(x-2y)2x-2y

2.通分:

x,y2c3ac

⑴一^與r；(2)—與

abbebd4&2；

x,y2xyX

(3)---------與一--；(4)——J片-------.

a(x+2)b(x+2)(x+y)2x2-y2

一、xxcexyy-aay

解(1)--；

ababcabcbebeaabc

2c2c-4b8bcSac3acd3acd

(2)1——；

bdbd-4b4b2d4b24b2'd4b2d

%x-bbxyyaay

a(x+2)Q(X+2)?匕tzD(x4-2)b(x+2)Z?(x+2)-aab(x+2)

2xy2xy-(x-y}2xy(x-y)xxx(x+y)

=----------;=;==------------------

(x+y)2---(x+y)2-(x-y)-----(x+y)2(x-y)----x2-y2-----(x+y)(x-y)-----(x+y)2(x-y)

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)完新知識(shí)后及時(shí)進(jìn)行課堂鞏固練習(xí)，不僅可以強(qiáng)化學(xué)生對(duì)新知的記憶，加深學(xué)生對(duì)新知

的理解，還可以及時(shí)反饋學(xué)習(xí)情近，部助學(xué)生查漏補(bǔ)缺，幫助教師及時(shí)調(diào)整教學(xué)策略。

(五)歸納總結(jié)

分式的約分與通分

根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把一個(gè)分式的分子與分母的公園式約去.

約分

叫作分式的約分.

最簡(jiǎn)

分子與分母沒(méi)有公因式的分式,叫作最簡(jiǎn)分式

分式

根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個(gè)異分母的分式分別化成與原來(lái)的分

通分

式相等的同分母的分式,叫作分式的通分.

最簡(jiǎn)分式的通分，關(guān)鍵是確定幾個(gè)分式的公分母,一般取各分母的所有

公分母因式的最高次版的積作公分母,它叫作最簡(jiǎn)公分母.

分式的約分與通分

為約分，要先找出分子和分母的公因式.

(1)定系數(shù)：系數(shù)取分子和分母系數(shù)的最大公約數(shù)：

(2)定字母：字母取分子和分母中都含有的相同字母;

(3)定指數(shù)：相同字母的指數(shù)取分子和分母中的最低指數(shù).

為通分，要先確定最簡(jiǎn)公分母.

(1)定系數(shù)：系數(shù)取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù);

(2)定字母：字母取各分母中含有的所有字母；

(3)定指數(shù)：相同字母的指數(shù)取各分母中的魚(yú)肛逗.

(六)感受中考

1.(2023?甘肅蘭州)計(jì)算：楚=(D)

a-5

A.a-5B.a+5C.5D.a

2.(2025?湖南)約分：立=x2；

xy—

3.(廣西桂林)分式占與9的