20252026學年上學期高二數(shù)學北師大版期末必刷?？碱}之一元

線性回歸

一.選擇題（共6小題）

1.某書店為了分析書籍銷量與宣傳投入之間的關系，對宣傳投入x（千元）和書籍銷量（百本）的情況

進行了調研，并統(tǒng)計得到如表中幾組對應數(shù)據，同時用最小二乘法得到關于x的線性回歸方程為

y=12r+1.6,則下列說法不正確的是（）

x3456

y56.27.4in

A.變量k、y之間呈正相關

B.預測當宣傳投入2千元時，書籍銷量約為400本

C.in—8.8

D.擬合誤差。=0.48

2.已知變量x,），的4組相關數(shù)據分別為（1,8）,（2,7）,（3,5）,（4,4）,則），關于x的線性回歸直線

必經過點（）

A.（2,7）B.（2.5,6）C.（3,5）D.（3.5,4.5）

3.某同學用收集到的6組數(shù)據對（r,V）（/=1,2,3,4,5,6）制作成如圖所示的散點圖（點旁的數(shù)

據為該點坐標），并由最小二乘法計算得到回歸直線人的方程：y=b,x+alf相關系數(shù)為門，相關指

數(shù)為瞪；經過殘差分析確定點E為“離群點”（對應殘差過大的點），把它去掉后，再用剩下的5組數(shù)

據計算得到回歸直線/2的方程：y=b2x+a2,相關系數(shù)為2相關指數(shù)為疑.則以下結論中，不正確

的是（）

酩5）

y?

?DB3）"，4.〃

.?C22.3）

------------------------------------------------------------------?

OX

A.r\>0,rz>0B.瓦>0,b2>0

C.bi>b2D.Rl>Rj

4.2023年第5屆藏博會在拉薩舉行，藏博會上本地核桃油深受大家喜愛，某商家統(tǒng)計了最近5個月銷量,

如表所示：

時間X12345

銷售量W萬瓶5.74.83.83.22.5

若），與x線性相關，且線性回歸方程為y=-0.8x+a,則下列說法不正確的是（）

A.由題中數(shù)據可知，變量y與x負相關

B.樣本中心點為（3,4）

C.可以預測當x=6時銷量約為1.8萬瓶

D.線性回歸方程、二-0.8%+。中。=6.4

5.下列命題中錯誤的是（）

A.在回歸分析中，相關系數(shù)，?的絕對值越大，兩個變量的線性相關性越強

B.若變量y與x之間存在線性相關關系，且根據最小二乘法得到的經驗回歸方程為y=2%+Q,樣本

點中心為（3,6.5）,則樣本點（2.5,7）的殘差為1.5

C.在回歸分析中，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好

D.對分類變量x與匕它們的隨機變量K的觀測值上越小，說明“x與y有關系”的把握越大

6.已知某一家旗艦店近五年“五一”黃金周期間的成交額如下表:

年份20202021202220232024

年份代號/12345

成交額y（萬50607080100

元）

若y關于/的線性回歸方程為y=12￡+a,則根據回歸方程預測該店2025年“五一”黃金周的成交額

是（）

A.84萬元B.96萬元C.108萬元D.120萬元

二.多選題（共3小題）

（多選）7.下列說法正確的是（）

A.若隨機變量X服從正態(tài)分布X（3,co2）,且P（XW4）=0.7,則P（3<XV4）=0.2

B.一組數(shù)據10,11,11,12，13,14,16,18,20,22的第60百分位數(shù)為14

C.若線性相關系數(shù)H越接近1,則兩個變量的線性相關性越強

D.對具有線性相關關系的變量x,），，其線性回歸方程為y=0.3x-m,若樣本點的中心為（m,2.8）,

則實數(shù)的值是?4

（多選）8.下列說法正確的是（）

A.對丁獨立性檢驗，隨機變量x2的值越小，判定“兩變量有關系”犯錯誤的概率越小

B.以模型y=c3”去擬合一組數(shù)據時，為了求出回歸方程,設2=。?），,將其變換后得到線性方程z=3x+l,

則c,々的值分別是e,3

C.根據一組樣本數(shù)據的散點圖判斷出兩個變量線性相關，日最小二乘法求得其回歸直線方程為

y=0.4x+a,若其中一個散點坐標為（-4,5.4）,則4=9

D.將兩個具有相關關系的變最X,1y的一組數(shù)據（XI,>,1）,（X2,”），…，（xn,川）調整為（XI,>,1+3）,

（.V2,*+3）,…，（X”，州+3）,決定系數(shù)不變

（多選）9.下列說法正確的是（）

A.數(shù)據1,8,9,4,5,5,8,2,3,10的下四分位數(shù)是3

B.若隨機變量X服從正態(tài)分布N（ao2）,P（X<-2）=P（X>4）=0.14,則P（1V>V4）=0.36

C.變量x,y滿足經驗回歸方程為y=0.4x-2m,若樣本點中心為（〃?，3.2）,則/〃=-4

D.已知數(shù)據耳，.⑵…，冊的平均數(shù)為6,方差為10,現(xiàn)加入5和7兩個數(shù)，則這8個數(shù)的方差S2二￥

三.填空題（共4小題）

10.已知變量x和y的統(tǒng)計數(shù)據如表

X12345

y467m8

若x,y線性相關，且經驗I可歸方程為y=1.2x+〃，則5n-m=

II.馬鞍山市某月連續(xù)四天的最低氣溫如下表所示:

第x天1234

最低氣溫y（單位C）14171514

由最小二乘法得到經驗回歸方程y=-0.2x+a,則a的值為

12.根據變量丫和工的成對樣本數(shù)據，由一元線性回歸模型｛1；)匕;°；(：)=》得到經驗回歸模型y=

bx+。對應的殘差如圖所示，下列表述正確的有.(填序號)

①變量y和x之間關系可以用一元線性函數(shù)模型描述.

②模型誤差滿足一元線性回歸模型的E(e)=0的假設.

③模型誤差不滿足一元線性回歸模型的。(e)=。2的假設.

④模型誤差不滿足一元線性回歸模型的E(e)=0和D(e)=。2的假設.

殘差

3?

2

0?????????,???：???：?、

0-0.51.0*：\1.5..*2.0??24...3.0*x

-2?*

-3

13.紅鈴蟲(PeciinophoragossypMlla)是棉花的主要害蟲之一，其產卵數(shù)與溫度有關.現(xiàn)收集到一只紅鈴

蟲的產卵數(shù))，(個)和溫度x(C)的8組觀測數(shù)據，制成圖I所示的散點圖.現(xiàn)用兩種模型①)，=*計"，

②y=c/+〃分別進行擬合，由此得到相應的回歸方程并進行殘差分析，進一步得到圖2所示的殘差圖.

A產卵數(shù)W個

140-

120-?

100-

80-?

60-

40-?

20-.?

0(一?fT；111111A

182022242628303234溫度

圖1產卵數(shù)散點圖圖2兩種模型的殘差圖

根據收集到的數(shù)據，計算得到如下值:

XZEsf=i(陽?sf=ia「z：=]⑵-

可?)22)1二)

y)(q-0

252.964616842268850.470308

表中zi=lnya布ti=xf；t=gSf=1

（1）根據殘差圖，比較模型①、②的擬合效果，模型比較合適？

（2）根據（1）中所選擇的模型，求出），關于x的回歸方程.

附：對于一組數(shù)據（31,VI）,（32,V2）,…，（0）/1,V/?）?其回歸直線U=。+的斜率和截距的最小

211（3「豆）（《一切

二乘估計分別為/?=a=v-/?0>.

%3「砌2'

四.解答題（共2小題）

14.某奶茶連鎖店研制了新品，在五個店按不同的價格進行試銷售，通過一天的試銷售得到的數(shù)據如表：

單價x（元/杯）1010.51111.512

銷售量y（杯/店）3028252220

通過分析，發(fā)現(xiàn)該新品的銷化:量y（杯/店）與單價x（元/杯）具有線性相關關系.

（1）根據上表提供的數(shù)據，月最小二乘法求出y關于x的回歸直線方程；

（2）已知此奶茶連鎖店一共有50（）家奶茶店，若為了提高銷量，此奶茶連鎖店規(guī)定該新品的單價是9

元/杯，根據（1）所得的回歸直線方程，請估計此奶茶連鎖店關于此新品一天的總銷售量.

,，,*VXiy:-nxy，*

附：在回歸直線方程、=匕％+。中，匕=號------------,a=y—bx,xf=607.5.

x?—nx2

Z—i=1

15.近些年汽車市場發(fā)生了翻天覆地的變化，新能源汽車發(fā)展迅速，下表統(tǒng)計了2021年到2024年某地新

能源汽車銷量（單位：千輛）

年份2021202220232024

年份代號X1234

銷量），336993129

22i（陽一動（y19）

附rIJ??1相1-1關八系K數(shù)如r--

y（-2(y-y)2

\=i=]

回歸方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為b=a，i=y-bx.

說is-乃

E：=ixtyi=966,k=i（y：-y）2=4896,V170?13.04.

（1）試根據樣本相關系數(shù)「的值判斷該地汽車銷量），與年份代號X的線性相關性強弱（0.75WWW1,

則認為），與x的線性相關性較強，MV0.75,則認為），與工的線性相關性較弱）：（精確至IJ0.001）

（2）建立），關于x的線性回歸方程，并預測該地2025年的新能源汽車銷量.

20252026學年上學期高二數(shù)學北師大版（2019）期末必刷常考題之一元

線性回歸

參考答案與試題解析

一.選擇題（共6小題）

題號123456

答案CBDCDC

二.多選題（共3小題）

題號789

答案ACDBDABD

一.選擇題（共6小題）

I.某書店為了分析書籍銷量與宣傳投入之間的關系，對宣傳投入x（千元）和書籍銷量y（百本）的情況

進行了調研，并統(tǒng)計得到如表中幾組對應數(shù)據，同時用最小二乘法得到,，關于x的線性回歸方程為

y=L2r+1.6,則下列說法不正確的是（）

x3456

y56.27.4m

A.變量x、之間呈正相關

B.預測當宣傳投入2千元時，書籍銷量約為400本

C.77?—8.8

D.擬合誤差Q=0.48

【考點】經驗回歸方程與經驗回歸直線：一元線性回歸模型.

【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解.

【答案】C

【分析】根據線性回歸方程的性質可判斷ABC,根據擬合誤差公式可判斷Q.

【解答】解：對于4由線性回歸方程為y=1.2x+1.6可知，變量X、），之間呈正相關，故A正確；

對于8,預測當宣傳投入2千元時，書籍銷量約為1.2X2+16=4（百本），故8正確；

—3+4+5+6/u-5+6.2+7.4+77118.6+m

對于c,由題意可知,%=-4—=457=--------4--------=-4-

因為線性回歸方程y=1.2x+L6過點(匕y),

18.6+m

所以=1.2X4.5+1.6,

4

解得〃?=9.4,故C錯誤;

對于。，擬合誤差。=[5-(1.2X3+1.6)]2+[6.2-(1.2X4+L6)]2+[7.4-(1.2X5+1.6)]2+[9.4-(1.2

X6+1.6)12=0.48,故。正確.

故選：C.

【點評】本題主要考查了線性回歸方程的性質，屬于基礎題.

2.已知變量x,)，的4組相關數(shù)據分別為(1,8),(2,7),(3,5),(4,4),則y關于x的線性回歸直線

必經過點()

A.(2,7)B.(2.5,6)C.(3,5)D.(3.5,4.5)

【考點】經驗回歸方程與經驗回歸直線.

【專題】對應思想；定義法；概率與統(tǒng)計；運算求解.

【答案】B

【分析】根據線性回歸直線方程性質可解.

【解答】解：己知變量x,y的4組相關數(shù)據分別為(1,8),(2,7),(3,5),(4,4),

則5=1+2*4=25,?=8+7[5+4=6,

則其中心點為(2.5,6),

而,，關于x的線性同歸直線必經過中心點.

故選：B.

【點評】本題考查線性回歸直線方程性質，屬于基礎題.

3.某同學用收集到的6組數(shù)據對(H,y)(/=1,2,3,4,5,6)制作成如圖所示的散點圖(點旁的數(shù)

據為該點坐標)，并由最小二乘法計算得到I可歸直線人的方程：y=b1X+alf相關系數(shù)為門，相關指

數(shù)為儲；經過殘差分析確定點￡為“離群點”(對應殘差過大的點)，把它去掉后，再用剩下的5組數(shù)

據計算得到回歸直線/2的方程：y=匕2工+的，相關系數(shù)為⑵相關指數(shù)為賬.則以下結論中，不正確

的是()

E（55）

y?

?DB3）*”,4.0

??CQ23）

.4/0,1.5）（B，12）

------------------------------------------------?

O---------------------------X

AA

A.r\>0?rz>0B.bx>0,b2>0

AA

C.bx>b2D.Rf>Rj

【考點】經驗回歸方程與經驗回歸直線.

【專題】對應思想；轉化法；概率與統(tǒng)計.

【答案】D

【分析】根據圖象上升，判斷正相關，根據擬合效果的優(yōu)劣判斷相關指數(shù)的大小，代入點的坐標到直線

方程判斷是否在直線匕根據圖象判斷相關系數(shù)的大小.

【解答】解：結合圖象，呈正相關，A,4正確：

顯然已<6，c正確；

去掉離群點，解約趨向于1,故及2〈42,。錯誤；

故選：D.

【點評】本題考查了線性回歸方程的應用問題，也考查r相關指數(shù)的應用問題.

4.2023年第5屆藏博會在拉薩舉行，藏博會上本地核桃油深受大家喜愛，某商家統(tǒng)計了最近5個月銷量，

如表所示：

時間X12345

俏售量w萬瓶5.74.83.83.22.5

若），與/線性相關，且線性回歸方程為y=-0.8x+a,則下列說法不止確的是（）

A.由題中數(shù)據可知，變量,，與x負相關

B.樣本中心點為（3,4）

C.可以預測當x=6時銷量約為1.8萬瓶

D.線性回歸方程y=-0.8x+Q中Q=6.4

【考點】經驗回歸方程與經驗回歸直線.

【專題】函數(shù)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解.

【答案】C

【分析】對于A,利用表中的數(shù)據變化情況分析判斷，對于以利用計算平均數(shù)即可求出樣本中心點,

對于C,利用回歸方程可求出預測值，對于。，利用回歸方程一定過樣本中心點即可求解.

【解答】解：對于選項A,由表中數(shù)據可知，隨x的增大而減小，所以變量），與X負相關，故A正確；

對于選項以由表中數(shù)據可知,受=1+2+7+4+5=3,歹=5.7+4.8+3；8+3.2+2.5=4,

則樣本中心點為（3,4）,故B正確；

對于選項C,因為線性回歸方程、=-0.8%+。過樣本中心點為（3,4）,

所以4=-0.8X3+。，

解得a=6.4,

所以線性回歸方程為y=-0.8.r+6.4,

當x=6時，y=-0.8x6+6.4=1.6,

所以可以預測當x=6時銷量約為1.6萬瓶，故C錯誤：

對于選項D,由選項C可得Q=6.4,故。正確.

故選：C.

【點評】本題主要考查了線性回歸方程的性質，屬于基礎題.

5.下列命題中錯誤的是（）

A.在回歸分析中，相關系數(shù)/?的絕對值越大，兩個變量的線性相關性越強

B.若變量y與x之間存在線性相關關系，且根據最小二乘法得到的經驗回歸方程為y=2%+a,樣本

點中心為（3,6.5）,則樣本點（2.5,7）的殘差為1.5

C.在回歸分析中，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好

D.對分類變最x與匕它們的隨機變晶片的觀測值A越小，說明“x與丫有關系”的把握越大

【考點】經驗回歸方程與經驗回歸直線；獨立性檢驗；樣本相關系數(shù).

【專題】轉化思想：綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解.

【答案】D

【分析】根據經驗回歸方程的性質即可求解.

【解答】解：4相關系數(shù)/?的絕對值越接近I,線性相關性越強，正確；

B：將樣本中心點(3,6.5)代入y=2x+a,得6.5=2X3+m解得〃=0.5,方程為y=2x+0.5,

樣本點(2.5,7)的預測值為2X2.5+O.5=5.5,殘差7-5.5=1.5,正確/

C：殘差平方和越小，模型對數(shù)據的擬合效果越好，正確；

D：分類變量x與y的K2觀測值k越大，"x與y有關系”的把握才越大，女越小，把握越小，錯誤.

故選：D.

【點評】本題考查了經驗回歸方程，屬于基礎題.

6.己知某一家旗艦店近五年“五一”黃金周期間的成交額如下表:

年份20202021202220232024

年份代號/12345

成交額y(萬50607080100

元)

若y關于/的線性回歸方程為y=12￡+a,則根據回歸方程預測該店2025年“五一”黃金周的成交額

是()

A.84萬元B.96萬元C.108萬元D.120萬元

【考點】經驗回歸方程與經驗回歸直線.

【專題】轉化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解.

【答案】C

【分析】求出39根據I可歸直線方程必過樣本中心點求出明即可求出回歸直線方程，再代入/=6計

算可得.

【解答】解：根據題意可知，t=1(14-2+3+4+5)=3,y=1(50+60+70+80+100)=72,

線性回歸方程為y=12t+Q必過點(3y),

所以72=12x3+Q,解得Q=36,所以y=12t+36,

2025年的年份代號為6,所以當/=6時，y=12x6+36=108,

故根據回歸方程預測該店2025年“五一”黃金周的成交額是108萬元.

故選：C.

【點評】本題考查了回歸方程，屬于基礎題.

二,多選題(共3小題)

（多選）7.下列說法正確的是（）

A.若隨機變量X服從正態(tài)分布X（3,a?）,且尸（XW4）=0.7,則尸（3VXC4）=0.2

B.一組數(shù)據10,11,11,12,13,14,16,18,20,22的第60百分位數(shù)為14

C.若線性相關系數(shù)m越接近1,則兩個變量的線性相關性越強

D.對具有線性相關關系的變量x,），，其線性回歸方程為y=0.3%-m,若樣本點的中心為（加，2.8）,

則實數(shù)，〃的值是-4

【考點】經驗回歸方程與經驗回歸直線；命題的真假判斷與應用；正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的

意義；百分位數(shù)；樣本相關系數(shù).

【專題】綜合題；對應思想；分析法；概率與統(tǒng)計；邏輯思維；運算求解.

【答案】ACD

【分析】由題意，根據正態(tài)分布曲線的對稱性即可判斷選項A；結合百分位數(shù)的定義即可判斷選項B：

利用相關系數(shù)的概念即可判斷選項C;根據線性方程必過樣本點中心，將坐標代入即可判斷選項D.

【解答】解：對于選項A：若隨機變量X服從正態(tài)分布X（3,co2）,且P（XW4）=0.7,

WJP（3<X<4）=P（X<4）-0.5=0.2,故選項A正確；

對于選項8：已知一組數(shù)據10,11,11,12,13,14,16,18,20,22,

該組數(shù)據共有10個數(shù)，

因為10X60%=6,

所以第60百分位數(shù)為竺竺二15,故選項3錯誤；

對于選項C若線性相關系數(shù)越接近1,

則兩個變量的線性相關性越強，故選項C正確；

對于選項。：已知線性回歸方程為y=0.3%-m,

因為樣本點的中心為（〃［，2.8）,

所以2.8=0.3，〃in,

解得m=-4,故選項。正確.

故選：ACD.

【點評】本題考查線性回歸方程，相關系數(shù)、正態(tài)曲線以及百分位數(shù)，考查了邏輯推理和運算能力.

（多選）8.下列說法正確的是（）

A.對于獨立性檢驗，隨機變量x2的值越小，判定“兩變量有關系”犯錯誤的概率越小

B.以模型1y=c*士擬合一組數(shù)據時，為了求出回歸力程，設，將其變換后得到線性方程z=3x+l,

則c,2的值分別是e，3

C.根據一組樣本數(shù)據的散點圖判斷出兩個變量線性相關，口最小二乘法求得其回歸直線方程為

y=0.4x+a,若其中一個散點坐標為（-〃，5.4）,則〃=9

D.將兩個具有相關關系的變量x,y的一組數(shù)據（xi,yi）,（X2,只），…，（x〃，y/i）調整為（xi,yi+3）,

（X2,*+3）,…,（XM,y“+3）,決定系數(shù)R?不變

【考點】經驗回歸方程與經驗回歸直線；獨之性檢驗.

【專題】對應思想；定義法；概率與統(tǒng)計；運算求解.

【答案】BD

【分析】根據獨立性檢驗相關知識可解A,根據線性回歸直線方程知識可判斷B,C,根據決定系數(shù)相

關知識可判斷D.

【解答】解：對于A,對于獨立性檢驗，隨機變量乂2的值越小，判定“兩變量有關系”犯錯誤的概率

越大，故A錯誤；

對于從以模型），=比日去擬合一組數(shù)據時，為了求出回歸方程，設2=/〃），，Mz=lnce^=!a+lnc,

乂變換后得到線性方程z=3戶1,則4=3,c=e,故B正確；

對于C,回歸直線方程為y=0.4x+°一定經過中心點y）,但題中沒有明確說明（-%5.4）是中心

點，故C錯誤；

A2人

對于。，由于決定系數(shù)R2=1一胎烏二冬,V變成了），計3,則廠=y十3,7=8距十。+3=%十3,

工之1（y「力

從而％-加yt一歹都不變，則尸=（R'故。正確.

故選：BD.

【點評】本題考查獨立性檢驗，線性回歸直線方程，決定系數(shù)相關知識，屬于中檔題.

（多選）9.下列說法正確的是（）

A.數(shù)據1,8,9,4,5,5,8,2,3,10的下四分位數(shù)是3

B.若隨機變量X服從正態(tài)分布N（4。2）,p（X<-2）=P（X>4）=0.14,則P（1V>V4）=0.36

C.變量x,y滿足經驗回歸方程為y=0.4x-2m,若樣本點中心為（〃?，3.2）,則〃?=-4

D.已知數(shù)據月,4,…，X6的平均數(shù)為6,方差為10,現(xiàn)加入5和7兩個數(shù)，則這8個數(shù)的方差s2=.

【考點】經驗回歸方程與經驗何歸直線；正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義；方差；百分位數(shù).

【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解.

【答案】ABD

【分析】對于4,根據定義計算即可；對于以正態(tài)分布，利用其對稱性即可解題；對于C,根據樣本

點中心為(〃?，3.2)在回歸方程y=0.4x-2〃?上解題即可；對于。，用方差公式直接計算即可.

【解答】解：對于選項4數(shù)據按從小到大順序排列1,2,3,4,5,5,8,8,9,10共10個數(shù)據，

因為10X0.25=2.5,所以其下四分位數(shù)是3,故A正確；

對于選項B,因為P(XV-2)=P(X>4)=0,14,

所以n=2=1,

所以尸(1VXV4)=0.5-P(X>4)=0.5-0.14=0.36,故8正確；

對于選項C,樣本點中心為Cm,3.2)代入回歸方程y=0.4x?2w,得3.2=0.4〃L2加，

解得機=-2,故C錯誤；

對于選項D,川+工2+…+戈6=36,：+%2+…+x6)-36=10,

可得*+后+…+郎=46X6=276,

11O1

現(xiàn)加入5和7兩個數(shù)后，平均數(shù)為)(4+%2+…+/+5+7)=6,s2=^(276+25+49)-36=^

故。正確.

故選：ABD.

【點評】本題主要考查了百分位數(shù)、平均數(shù)和方差的定義，考查了正態(tài)分布曲線的對稱性，以及線性回

歸方程的性質，屬于基礎題.

三.填空題(共4小題)

10.已知變量A-和y的統(tǒng)計數(shù)據如表

X12345

y467tn8

若x,y線性相關，且經驗I可歸方程為y=1.2x+〃，則5〃-m=7

【考點】經驗回歸方程與經驗回歸直線.

【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解.

【答案】見試題解答內容

【分析】根據經驗回歸直線經過樣本中心點泛，歷求解.

1+24-3+44-5—4+6+7+TH+825+m

【解答】解:由表格數(shù)據可得,x==3,

5y=—5—=~5~^

因為經驗回歸直線y=1.2%+n過樣本點的中心(7,歹),

“125+ni

所以-----=1.2X3+71,

整理得5n-m=7.

故答案為：7.

【點評】本題主要考查了經驗回歸直線方程的性質，屬于基礎題.

11.馬鞍山市某月連續(xù)四天的最低氣溫如下表所示：

第x天1234

最低氣溫y(單位℃)14171514

由最小二乘法得到經驗回歸方程y=-0.2x+a,則。的值為15.5

【考點】經驗【可歸方程與經驗回歸直線.

【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)訂；運算求解.

【答案】15.5.

【分析】求出樣本中心點的坐標，代入回歸直線方程后可求得〃的值.

rh生由左n—1+2+3+4~-14+15+17+14_

【解答】解:由題目可知，x=---------=2o.5,y=-------------=115,

因為回歸直線y=-0.2x+a過點(x,y),即點(2.5,15),

所以?0.2X2.5+a=15,

解得a=15.5.

故答案為：15.5.

【點評】本題主要考查了線性回歸方程的性質，屬于?基礎題.

Yhx4-a4.p*

(￡("=0,D?=/得到經驗回歸模型y=

bx+a對應的殘差如圖所示，下列表述正確的有.(填序號)

①變量丫和X之間關系可以用一元線性函數(shù)模型描述.

②模型誤差滿足一元線性回歸模型的E(e)=0的假設.

③模型誤差不滿足一元線性回歸模型的。(e)=。2的假設.

④模型誤差不滿足一元線性回歸模型的E(e)=0和。(c)=。2的假設.

殘差

3

0*0.5LO?：??1.5??.*2；Q??2.5x

-2*

-3

【考點】經驗回歸方程與經驗回歸直線；殘差及殘差圖.

【專題】數(shù)形結合；數(shù)形結合法；概率與統(tǒng)計；邏輯思維.

【答案】②③.

【分析】利用一元線性回歸模型2,結合殘差圖，再對四個命題逐一分析判斷，即

可求解.

【解答】解：由題知，一元線性回歸模型（藍；：：。：（；）=02得到經驗回歸模型”'+如

根據對應的殘差圖，殘差的均值E（e）=0可能成立，

但明顯殘差的工軸上方和下方的數(shù)據分布不對稱，。（e）=。2不滿足一元線性回歸模型，

則②和③正確，①和④錯誤.

故答案為：②③.

【點評】本題主要考查經驗回歸方程，殘差及殘差圖，考查邏輯推理能力，屬于基礎題.

13.紅鈴蟲（PectinophcragQ$$*ella）是棉花的主要害蟲之一，其產卵數(shù)與溫度有關.現(xiàn)收集到一只紅鈴

蟲的產卵數(shù)y（個）和溫度xCC）的8組觀測數(shù)據，制成圖1所示的散點圖.現(xiàn)用兩種模型①），=於什"，

②尸c/+d分別進行擬合，由此得到相應的回歸方程并進行殘差分析，進一步得到圖2所示的殘差圖.

A產卵數(shù)w個

?殘差

140-

30--------------------------------

120-?

20—r----------------T---------

100-

1U----------------------7-------

80-?0_1__-1-

60-_]0182()2-26率的234溫度

40-?-20---------------上/-----------

20-.?

0（一?fT；111111A-30-------------------------------

182022242628303234溫度一模型①-O-模型②

圖1產卵數(shù)散點圖圖2兩種模型的殘差圖

根據收集到的數(shù)據■，計算得到如下值：

XZt(xfs?=i黑心-

亞IT?0

.(勺-x)y)(G-0

252.964616842268850.470308

表中zi=lnyi\ti=xf；t=gSP=l"；

（1）根據殘差圖，比較模型①、②的擬合效果，模型①比較合適？

（2）根據（1）中所選擇的模型，求出y關于工的回歸方程n=e°29A4.34—.

附：對于一組數(shù)據（31,VI）,（32，V2），…，（<*）/?>V/?）,其回歸直線u=a+的斜率和截距的最小

*>（0>.-6j）（V.-V）**

二乘估計分別為/?="---------L，戊=萬一夕值.

￡%（叫-3）

【考點】殘差及殘差圖.

【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解.

【答案】（I）選模型①比較合適；

(2)y=g0.29x-4.61

【分析】（1）根據殘差圖判斷即可；

（2）令z=/〃）』ijz=a+b，利用參考數(shù)據求出〃，a的值，進而得到產卵數(shù)y關于溫度x的回歸

方程.

【解答】解：（1）應該選擇模型①.由于模型①殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，且?guī)顓^(qū)域

的寬度比模型②的帶狀寬度窄，

所以模型①的擬合精度更高，回歸方程的預報精度相應就會越高，故選模型①比較合適；

（2）令Z=/〃Az與溫度x可以用線性回歸方程來擬合，則z=Q+bx,

「8__

所以b=「積片不50.4

=0.3,

168

y（%「元）2

所以。=z-b1=2.89-0.3X25=-4.61,

即z關于x的線性回歸方程為z=0.29%-4.61.于是有l(wèi)ny=0.29x-4.61,

所以產卵數(shù)y關于溫度x的回歸方程為y=。。-2獎-4.61

故答案為：①；y=。。2隊-4.6】

【點評】本題主:要考查了經驗回歸方程的求解，考查了殘差織的應用，屬于中檔題.

四,解答題（共2小題）

14.某奶茶連鎖店研制了新品，在五個店按不同的價格進行試銷售，通過?天的試銷售得到的數(shù)據如表:

單價x（元/杯）1010.51111.512

銷售量y（杯/店）3028252220

通過分析，發(fā)現(xiàn)該新品的銷售量），（杯/店）與單價1（元/杯）具有線性相關關系.

（1）根據上表提供的數(shù)據，月最小二乘法求出y關于工的回歸直線方程;

（2）已如此奶茶連鎖店?共有500家奶茶店，若為了提高銷量，此奶茶連鎖店規(guī)定該新品的單價是9

元/杯，根據（1）所得的回歸直線方程，請估計此奶茶連鎖店關于此新品一天的總銷售量.

__

A人A人）.Xiyj-nxy*八

附：在回歸直線方程、=bx+Q中，b=-=5^--------，a=y—bx,Sf=1xf=607.5.

y蠟一應z

乙t=i

【考點】一元線性回歸模型.

【專題】計算題；整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解.

【答案】（1）），=-5.2X+82.2；

(2)17700杯.

【分析】（1）根據題意，分別求得工，歹和居貝,利用公式;求得b,a的值，進而求得回歸直線方程;

（2）由（1）中的回歸方程，當x=9時，求得y的值，即可得到答案.

10+10.5+11+11.5+1230+28+25+22+20

=11,y==25?

【解答】解：（1）由題意，可得工=55

且￡?=1勺%=10x30+10.5x28+11x25+11.5x224-12x20=1362,

所以匕=嚼OU/m3X置?L/，1=一5.2,a=25-(-5.2)x11=82.2,

所以），關于x的回歸直線方程是y=-52計822

(2)由(1)知當x=9時，可得)，=-5.2X9+82.2=35.4,

所以估計此奶茶連鎖店關于此新品一天的總銷售量是35.4X500=1770（）（杯）.

【點評】本題考查了線性回歸方程的計算，屬于中檔題.

15.近些年汽車市場發(fā)生了翻天覆地的變化，新能源汽車發(fā)展迅速，下表統(tǒng)計了2021年到2024年某地新

能源汽車銷量（單位：千輛）

年份2021202220232024

年份代號X1234

銷量），336993129

附：相關系數(shù)一晨色:叱刃；

（陽一行Vn（y.-y）2

\=i=lq=i=l

回歸方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為b=%-?T）陽邊,a=y-bx.

X&勺%=966,Xf=i（y,-y）2=4896,V170=13.04.

（1）試根據樣本相關系數(shù)r的值判斷該地汽車銷量），與年份代號工的線性相關性強弱（O.75W|/1W1,

則認為），與x的線性相關性較強，|，1<0.75,則認為），與x的線性相關性較弱）；（精確到0.001）

（2）建立,，關于x的線性回歸方程，并預測該地2025年的新能源汽車銷量.

【考點】一元線性回歸模型；樣本相關系數(shù).

【專題】轉化思想；綜合法：概率與統(tǒng)訂；運算求解.

【答案】（I）r^0.997,y與x具有較強的線性相關關系;

（2）回歸方程為y=312計3；預測該地2025年的新能源汽車銷量為159（千輛）.

【分析】（1）根據題干所給數(shù)據算出2X1（勺一為（為一刃,￡3（陽一可2,詈=]a一切2.代入

相關系數(shù)計算公式計算即可；

（2）根據（I）算出的結果進一步算出，再根據線性回歸方程經過（7,為計算〃，最后把x=5代入回

歸直線方程即可求解.

【解答】解：（1）根據題意可得M=1+2,+4=2.5,_33+69+93+129O1