2025-2026學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考卷02

(考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.【可答選擇題時(shí)，選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡卜對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng),用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.測(cè)試范圍：人教A版2019必修第一冊(cè)第一章空間向量與立體幾何?第二章2.3直線。

第一部分(選擇題共58分)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共4()分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。

1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)尸(-1,2,-3)關(guān)于宜勿平面的對(duì)稱點(diǎn)，的坐標(biāo)為()

A.(1,2,-3)B.(-1,-2,-3)

C.(-1,2,3)D.(1,-2-3)

2.直線/:屈-y-3=0的傾斜角為()

A.30°B.60°C.120°D.90°

3.已知空間向量力=21-35+35,q=3a+b+c,則萬+*以｛部同為單位正交基底時(shí)的坐標(biāo)為()

A.(5,-3,4)B.(5-2,4)C.(2,-3,3)D.(3,1,1)

4.過點(diǎn)(-3,0)和(0,4),的直線的一般式方程為()

A.4x+3y+12=0B.4x+3y-12=0

C.4x-3y+12=0D.4x-3^-12=0

5.已知空間向量a=(JJ,o,i),/；=(g,o，￥),則G在石上的投影的模為()

A.百B.1C.2D.y

6.已知直線a—a+y=0,且與以點(diǎn)4(2,1),8(0,碼為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，則直線/斜率k的取值范圍

為()

A.卜8,一石]B.[l,+oolC.-V3JD.(-CO,->/3]U[1,-KO)

7.已知力(一3,—4),/6,3)兩點(diǎn)到直線/：仆+丁+1=0的距離相等，則a的值為()

1

A?5

1/18

8.在空間直角坐標(biāo)系。一平中,04=（-1,2,1）,9=（1,1,2）,而=（2,1,1）,點(diǎn)。在直線。夕上運(yùn)動(dòng)，則遢.西

的最小值為（）

32-23

A.——B.——C.-D.-

2332

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分,在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.（多選）將正方形48co沿4c折疊如圖所示，其中點(diǎn)反產(chǎn)分別為力。,。。的中點(diǎn)，點(diǎn)凡7將線段4c三

等分，則（）

A.RT=|EFB.而+而=3游

C.~AB=DCD.~EB=~AB-^AD

10.已知直線/：（〃+2）x+ay-2=0與〃：（a-2）x+3y-6=0,下列選項(xiàng)正確的是（）

A.若///〃，則4=6或4=-1

B.若/_L〃，貝lja=1

C.直線/恒過點(diǎn)（1,7）

D.若直線〃在x軸上的截距為6,則直線〃的斜截式為y=2

11.如圖，在棱長(zhǎng)均為2的平行六面體力88中，底面48co是正方形，且

=下列優(yōu)項(xiàng)正確的是（）

A.BD、長(zhǎng)為2百B.異面直線力C與所成角的余弦值為逅

3

C.4c_L8QD.441BD

2/18

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知〉=(2,7,4),6=(-1,5-2),"=(1,4㈤，若G、B、干三向量共面，則實(shí)數(shù)人等于—.

13.若某直線被兩平行線4：x-y+i=()與/2：入,^+3=()所截得的線段的長(zhǎng)為20，則該宜線的傾斜角大小

為.

14.如圖，在正四校錐尸-46C。中，PF=~FD,PE=2EB,設(shè)立面力后/與直線PC交于點(diǎn)G,而=之面，

則人.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(13分)己知。，4B,C,D,E,F,G,H為空間的9人點(diǎn)(如圖所示)，并且無=夜5,

OF=kOByOH=kOD^~AC=~AD+m7B.EG=EH+mEF.求證：

(1)4B,C,。四點(diǎn)共面，E,F,G,〃四點(diǎn)共面；

(2)AC//EG：

(3)0、G、C二點(diǎn)共線.

16.（15分）已知直線4：x-2y+3=012：2x+3y-8=0.

⑴求經(jīng)過點(diǎn)”(1,4)且與直線乙垂直的直線方程;

(2)求經(jīng)過直線4與的交點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程.

17.(15分)已知空間中三點(diǎn)力(TL1),8(0,21)，C(-2,l,3).

⑴設(shè)同=2&,且而，求0的坐標(biāo);

3/18

(2)若四邊形/也C。是平行四邊形，求頂點(diǎn)。的坐標(biāo)；

⑶求V/8C的面積.

—1—>

18.(17分)如圖,在直四棱柱”CD-451Gp中,AB1ACt力B=l,AC=A4=2,AD=CDf—AA].

(1)求證：8￡_L平面/〃￡；

(2)求平面。/C與平面B、AC夾角的余弦值:

(3)若F為線段8上的動(dòng)點(diǎn)，求尸到直線BE距離的最小值.

C

19.(17分)已知產(chǎn)是棱長(zhǎng)為2的正方體44GR表面上一動(dòng)點(diǎn)，M,N分別是線段與C和CG的

中點(diǎn)，點(diǎn)。滿足閑=高加(04/1勺)，且4尸，。。，設(shè)P的軌跡圍成的圖形為多邊形Q.

。1____________C,

⑴證明：。為平行四邊形：

(2)是否存在力，使得C和底面48。的夾角為若存在，求出義的值，若不存在，請(qǐng)說明理由.

(3)證明：點(diǎn)8和。形成的多面體的體積為定值.

4/18

2025-2026學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考卷02

參考答案

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共4（）分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

91011

ADACACD

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

A

12.213.15。或75°14.-

3

四,解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.（13分）

【詳解】（I）證明：由/萬+m而，EG=EH+mEF^知A,B,C,D四點(diǎn)共面，E,F,G,H四點(diǎn)

共面.（3分）

⑵證明：由詼=%而，OF=kOB>OH=kOD^=+=OH-OE+m（0F-OE）

=k（0D-0A）+km（0B-0Aj>=kAD+kmAB=k（AD+=kAC,：.~ACHEG，（8分）

（3）證明：由⑵知的=k元，所以南=的-由一而）二〃雙，OG=kOC.

即詬//。？，又方與反有一個(gè)公共點(diǎn)，所以。、G、。三點(diǎn)共線.（13分）

16.（15分）

7Q9

【詳解】（1）由直線/2：2》+3丁-8=0=丁=-5工+；可得斜率為-5，

所以根據(jù)垂直關(guān)系可設(shè)所求直線方程為N=則依題意有4=,x1+/）,解得6

乙乙乙

所以所求直線方程為y=整理得3x-2y+5=0.（6分）

5/18

x-2y+3=0\x=1

（2）聯(lián)立）；Q八，解得，，即直線4與12的交點(diǎn)為（1,2）,

2x+3y-8=0IN=2

當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，滿足題意，假設(shè)直線方程為^=云，代入。，2）得〃=2,此時(shí)y=2x；（10分）

a-b

當(dāng)直線的截距都不為（）時(shí)，假設(shè)直線方程為與+q=15,6工0）,依題意12解得。=8=3,此時(shí)直

ab—+—=1

ab

線方程為二+上=1,即x+?—3=0.（14分）

33

綜上所述：所求直線方程為》=21或x+y-3=0.（15分）

17.（15分）

【詳解】（1）由已知得萬=（0,2,1）-（-1//）=（1,1,0）.因?yàn)榧骸ň钥稍O(shè)己=4萬，所以

|c|=p|-|^|=|A|xVl+1+0=V212|=272,解得義=±2,所以？=2布=（2,2,0）或不=-2萬=（-2,—2,0）.（5分）

（2）設(shè)。（x,y,z）,因?yàn)?8C。是平行四邊形，所以初二成，由力（-1,1/），8（0,2,1）,。（-2,1,3）,

-2-x=1x=-3

得通=(1,1,0),DC=(-2-x,l-v,3-z),所以<1—歹=1=><y=0,故。(-3,0,3).(9分)

3-z=0z=3

222

（3）由題可得有=（1。-2）,C5=（2,l-2）,所以問=#+0+（—2）2=逐,p|=>/2+l+（-2）=3,

/TTi7^D\CACB62y/5

所以8sge六高同:雙二可，⑴分）

又用詞日0,可，所以sin件,兩=』1一cos?"同=昌

所以V48C的面積S=』W用sin（B,赤）,x有x3x近=3.（15分）

2252

18.（17分）

【詳解】（1）證明：由直四棱柱/8CO-4用GR知力/_!.底面48CO,

因?yàn)榱u平面所以4/_L4C,又48工力C,AXA[\AB=A,44,48u平面力88/，

所以/C_L平面/出片4，因?yàn)?E二平面/2所以4C18E.

一1一AE1AB

因?yàn)榱?=1,AC=AAi=2,AE=-AA{,所以-7^=7==~，4EAB=ZABB、=90：

4AD2DD{

所以△力8E?△B8/,所以NABE=N,4BiB,

因?yàn)镹B/喝+48/=90。，所以48力4+//8E=90。，所以8￡_1_/增，

又ACcABi=A,AC,力用u平面/Cg,所以BE1平面水汽.（6分）

（2）因?yàn)?，底?AC。，.48,.4Cu平面/BCD,所以44，力",4得，力。，

6/18

因?yàn)榱4/1C,所以4C,兩兩垂直，所以以A為原點(diǎn)，AC,AB,所在直線分別為x軸，V

軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,則力（0,0,0）,8（0,1,0）,C（2,0,0）,0（1,-2,0）,D,（1,-2,2）,

即心）

由（1）知，麗=。,1,一；]為平面48c的一個(gè)法向量.設(shè)萬=（///）為平面的一個(gè)法向量,

n-AD=0x—2y+2z=0,、

因?yàn)楹?,一2,2）,就=（2,0,0）,所以，y即2x=0'令z=1，可得五=(0刈?

n-AC=0

所以cos萬，麗=占魯=2=坐,所以平面。與平面8/C夾角的余弦值為叵.（12分）

同惘卜卜亞1010

（3）設(shè)醞=4而=（一％—2%0）,0W2W1,貝IJ產(chǎn)（2-4—24,0）,EF=2-2,-22,

設(shè)F到直線8￡的距離為4,則d=|EF|71-COS2￡B,EF=卜『—（*苜：）

=…2⑷*止二色―鼠耳十絲,

[4J；丫555VI9；9

所以當(dāng)時(shí)，4詢=：，即/到直線班;距離的最小值為:.117分）

19.（17分）

【詳解】（1）,:4尸，。。，六。。，截面C,當(dāng)。在點(diǎn)M處時(shí),。。在平面544百內(nèi)的射影為ZK,

當(dāng)。在點(diǎn)N時(shí)，。。在平面ABCD內(nèi)的射影為。。，令瓦歹分別為力dQC的中點(diǎn)，過4的截面AfiFD,與AK

和QC均垂直，即與。。垂直，即截面C為4￡尸〃，當(dāng)。在點(diǎn)M處時(shí)，。。在平面844與內(nèi)的射影為力K,

。。在平面48。。內(nèi)的射影為。”，過4的截面為4ECG與力K和?！ň怪保磁c。。垂直，即截面。為

A.ECG,當(dāng)。在MN上移動(dòng)時(shí)，我面。繞4轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)。在點(diǎn)汽時(shí)。，。。在面48CQ射影為OC,

7/18

由面面平等的性質(zhì)可知截面。總為平行四邊形：（6分）

（2）不存在

理由：以力為坐標(biāo)原點(diǎn)，DADC,0A所在直線分別為x軸，軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

過。作。Z_L/?C于Z,由題意得。Z_L平面??.次是平面初CQ的一個(gè)法向量,

???加為平面C的一個(gè)法向量，.?./。班為Q和底面44c。的夾角，，如/。02=盥《當(dāng)＜；,

TT7T

,存在4,使得。和底面力ACO的夾角大于§；.?.不否存在4,使得C和底面44CO的夾角為（12分）

（3）設(shè)截面C與。G交于點(diǎn)鳥，與。。交于四棱錐8-4石［鳥被平面笆分成兩個(gè)三棱錐為三棱錐

P「BEP,三棱錐鳥-8￡4,兩個(gè)三棱錐底面無論截面。變化，底面面積均不變，兩個(gè)三棱錐的高均為正

方體的棱長(zhǎng)，???三棱錐呂-8夕，三棱錐鳥-8￡4的體積為定值，.?.點(diǎn)4和Q形成的多面體為定值.（17分）

8/18

2025-2026學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考卷02

(考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.測(cè)試范圍：人教A版2019必修第一冊(cè)第一章空間向量與立體幾何?第二章2.3直線。

第一部分(選擇題共58分)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共4()分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。

1.在空間直角坐標(biāo)示中，點(diǎn)〃-3)關(guān)于xQy平面的對(duì)稱點(diǎn)p的坐標(biāo)為()

A.(1,2,—3)B.(-1,-2,—3)

C.(-1,2,3)D.(1,-2,-3)

【答案】C

【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)夕(-1,2,-3)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)不變，豎坐標(biāo)變?yōu)?/p>

原來的相反數(shù)，即P'(-1,2,3).故選：C.

2.直線/:瓜-y-3=0的傾斜角為()

A.30°B.60°C.120°D.90°

【答案】B

【詳解】因?yàn)橹本€/：Gx-y-3=?？苫癁閥=J%—3,則其斜率為右，設(shè)其傾斜角為。,0?！?lt;180。，

則tan?=石，所以。=60°.故選：B.

3.已知空間向量力=21-35+33,q=3a+b+c,則萬+*以忖6寸為單位正交基底時(shí)的坐標(biāo)為()

A.(5,-3,4)B.(5,-2,4)C.(2,-3,3)D.(3,1,1)

【答案】B

【詳解】空間向量萬=21-35+34，q=3a+b+c,則萬+*=51-23+41,故萬+互以｛5】二｝為單位正交

基底時(shí)的坐標(biāo)為(5,-2,4).故選：B.

4.過點(diǎn)(-3,0)和(0,4),的直線的一般式方程為()

A.4x+3v+12=0B.4.r+3y-12=0

C.4x-3y+12=0D.4x-3^-12=0

9/18

【答案】C

【詳解】由直線過點(diǎn)(-3,0)和(0,4),可得直線的截距式得直線方程為2+4=1,整理得4》-3歹+12=0,

-34

即直線的一般式方程為?-3>，+12=().故選：C.

5.已知空間向量)=(6,0,1)&=(g,0,亭)，則G在B上的投影的模為()

A.6B.1C.2D.y

【答案】A

【詳解】由向量2=點(diǎn)0,1)石=(；,0,亭，得小石=百，出1=1，則，在讓的投影向量為

^■^=V3^=(y,0,1),所以。在/上的投影的模為梧了+。+g)2=的.故選：A

6.已知直線妙-。+尸0,且與以點(diǎn)4(2,1),8(0,碼為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，則直線/斜率k的取值范圍

為()

A.卜8,一句B.[1收)

C.[-6,1D.卜8,—>/5]31，+8)

【答案】D

【詳解】

勢(shì)：：

\\\7

-Z

O/\2：3x

-/:\\?■

直線。丫-4+歹=0恒過定點(diǎn)(1,0),直線/過點(diǎn)A時(shí)，設(shè)直線的斜率為K,所以勺=吳=1,

直線/過點(diǎn)4時(shí)，設(shè)直線的斜率為&2,所以4,=避二多=-石，要使直線/與線段有公共點(diǎn)，則直線/的

0-

斜率的取值范圍為卜8，-6]=[1，+8).故選：D.

7.已知4(-3,-4),8(6,3)兩點(diǎn)到直線/：ax+y+\=0的距離相等，則。的值為()

11、71t7

A.-B.--C.—一或—D.一或—

394939

【答案】c

10/18

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)力(-3,-4),8(6,3)到直線/：ar+y+l=O的距離相等，所以卜日"+U」6：3+1],即

yJa~+\yJa-+\

1,7

卜3"3|=|64+4|,化簡(jiǎn)得27/+30a+7=(),解得白=一鼻或白二一弓。

8、在空間直角坐標(biāo)系。-平中，次=(-1,2,1),麗=(1,1,2),麗=(2,1,1),點(diǎn)。在直線O尸上運(yùn)動(dòng)，則逾.曲

的最小值為()

3223

A.—B.—C.—D.—

2332

【答案】D

【詳解】由點(diǎn)。在直線。尸上運(yùn)動(dòng)，故可設(shè)而=xO?=(2x,x,x),XGR,

則07=萬一而=,QB=OB-OQ=(\-2xf\-x,2-x)t

所以西?麗=(一1—2/2—盯1—丫).(1一2&1—號(hào)2—r)

=(-I-2X)(1-2X)+(2-X)-(1-X)+(1-X)(2-X)=6X2-6X+3,故當(dāng)x=5時(shí)，聲.函取得最小值萬.

故選：D.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得()分.

9.(多選)將正方形"8沿4c折疊如圖所示，其中點(diǎn)七,廠分別為力QOC的中點(diǎn)，點(diǎn)凡丁將線段4C三

等分，則()

A.RT=2EF

3

c.JB=DC

【答案】AD

【詳解】對(duì)于A,由點(diǎn)瓦廠分別為力RQC的中點(diǎn)，得EF/MC,EF=；4C,而行=；祝，加=；祝，因

2__________

此方=]而，A正確；對(duì)于B,AB+JD^AC,3RT=AC,B錯(cuò)誤；對(duì)于C,彳反瓦長(zhǎng)度相等，方向不

11/18

同，C錯(cuò)誤；對(duì)于D,EB=EA+AB=AB-^AbfD正確.故選：AD

10.已知直線/：（。+2）工+編一2=0與〃：（?！?）x+3y—6=0,下列選項(xiàng)正確的是（）

A.若〃/〃，則a=6或〃=一1

B.若/_L〃,則a=1

C.直線/恒過點(diǎn)（1廣1）

D.若直線〃在“釉上的截距為6,則直線〃的斜截式為y-gx-2

【答案】AC

【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，若/〃〃，則3（a+2）="a-2）,解得。=-1或。=6,經(jīng)檢驗(yàn)，均符合，放A項(xiàng)正確;

對(duì)于B項(xiàng)，若/_L〃，則（。+2）（。-2）+3。=/+3。-4=（。+4）（。-1）=0,解得〃=1或。=—4,故B項(xiàng)不成

x+y=0x=1

;\八得{所以/恒過點(diǎn)

{2x-2=0=-1

（1,-1）,故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，若直線〃在k軸上的截距為6,即直線〃過點(diǎn)（6,0）,則6（a-2）-6=0,

得a=3,所以直線〃的方程為x+3y-6=o,斜截式為歹=-；工+2,故D項(xiàng)不成立.故選：AC.

11.如圖，在棱長(zhǎng)均為2的平行六面體力8。-44GA中，底面/BCQ是正方形，且

/443=/41。=60°,下列選項(xiàng)正確的是（）

A.8。長(zhǎng)為2G

B.異面直線4C與8"所成角的余弦值為亞

3

C.4C工BQ1

D.AA}1BD

【答案】ACD

【詳解】由題意有：BD^-AB+AD+AA],所以

西（=（西）2=（―而+而+麴「二荔2+而2+可_2荔.而_29刀+2而.怒

=網(wǎng)’+|麗河『-2畫|石卜0$6（）。+2]西|可co$60"=4x3=12,所以|西卜2行，故X正確;

12/18

AC=AB+AD^所以|阿=20，所以

元?西=(方+就)?卜赤+而+麴)=-宿+前通+礪羽-揚(yáng)而

+力。~+4Q./14=—卜81+|布|44Kos60,+%。『+卜。|卜4kos60=-4+2x2xg+4+2x2x；=4,

7CBD.4

所以cos/lC,BQ[二

|同珂2426一羨，故B錯(cuò)誤;

由直:方+而―麴，麗:防;而一刀，所以汞麗=（而+而一麴）.（_而+而）

而+標(biāo)羽+標(biāo)而+而-赤?麴

=-褶+而怒+而2_而而=可+同詞cos60。+畫2一|珂蜀cos60°

=-4+2x2xl+4-2x2xl

=o,所以4c故c正確;

22

由AA1-BD=AAX?(力￡)一＜8)=AAX-AD-AA1-AB=|JD||AAX|cos690-1/45||jj1|cos60°=2x2x--2x2x—=0,

所以44JL8。，故D正確；故選：ACD.

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知＞=（2,7,4）,5=（-1,5-2）,"=（1,4㈤，若a、B、，三向量共面，則實(shí)數(shù)%等于.

【答案】2

【詳解】因?yàn)槭?、B、d三向量共面，所以存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)XJ,使得1-G+適，

\=2x-yx=\

即(l,4,2)=x(2,-l,4)+y(-1,5,-2),所以，4=-x+5y,解得〈尸1.

A=4X-2y2=2

13.若某直線被兩平行線4：x-y+l=0與4：X7+3=0所截得的線段的長(zhǎng)為2&，則該直線的傾斜角大小

為.

【答案】15?；?5。

【詳解】因?yàn)橹本€/1：x-"l=0與/2：》7+3=0平行，所以乙與4之間的距離”=早=四.設(shè)直線/與//

V2

的夾角為。（0"。490。），因?yàn)橹本€/被直線乙與截得的線段長(zhǎng)為2夜，所以g。=妻=；,解得

a=30。.因?yàn)橹本€4,4的斜率為1,所以其傾斜角均為45。，所以直線/的傾斜角為15?；?5。.

14.在正四棱錐〃-中，即=拓，而=2而，設(shè)平面女尸與直線尸。交于點(diǎn)G,間=義前，則4=

13/18

p

【答案】:2

【詳解】因?yàn)榻?強(qiáng)+尼=方+而+而，所以正=蘇+萬一秒+萬一秒=而+而一成，

因?yàn)樗?而，而=2而，所以麗=2而，而=?而，所以元=：而+2所-蘇，又所=4元，

所以府=W無，所以可=亍1；而+U麗一丁7百，因?yàn)?瓦RG共面，

2+12（2+1）2+12+1

所以上r若-白=］，解得幾$

四、解答題：木題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）已知0,A,B,C,D,E,F,G,”為空間的9個(gè)點(diǎn)（如圖所示），并且應(yīng)=%次,

0F=k0B^0H=k0D^AC=AD+tnAB?的=麗+〃?而.求證：

（1）4B,C,。四點(diǎn)共面，E,F,G,“四點(diǎn)共面：

（2）JC//￡G；

（3）0、G、C三點(diǎn)共線.

【詳解】（I）證明：由正=1萬+〃?在，EG=EH+mEFt知A,B,C,D四點(diǎn)共面，E,F,G,H

四點(diǎn)共面.

（2）證明：由礪=屹5,OF=kOB^OH=kOD，得的=蔭+小阱=麗-布+?。ǘ?瓦）

=k（0D-OA^+km（0B-OA^=kAD+kmAB=k^AD+mAB^=kAC,~^C//￡G-

（3）證明：由（2）知的=左》，所以詬=的一的=女近一攵惑=〃（％-而）=%反?:.OG=kOC.

即旃//反，又說與祝有一個(gè)公共點(diǎn)，所以。、G、。三點(diǎn)共線.

16.（15分）己知直線4—2歹十3-012：2a+3y—8-0.

14/18

(1)求經(jīng)過點(diǎn)41,4)且與直線/：垂直的直線方程；

(2)求經(jīng)過直線4與人的交點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程.

222

【詳解】(1)由直線，2：2X+3)，-8=0ny=—+：可得斜率為—5，

JJJ

335

所以根據(jù)垂直關(guān)系可設(shè)所求直線方程為y=則依題意有4=1+b,解得/)=：,

所以所求直線方程為整理得標(biāo)-2產(chǎn)5=0；

x-2v+3=0fx=1

(2)聯(lián)立，，Q△，解得C，即直線4與4的交點(diǎn)為(1,2),

2x+3y-8=0［了=2

當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，滿足題意，假設(shè)直線方程為)，=匕，代入0,2)得左=2,此時(shí)y=2工；

a=b

當(dāng)直線的截距都不為。時(shí)，假設(shè)直線方程為三+與=1("力工0),依題意I2/解得。=/)=3,

ab-+-=1

ab

此時(shí)直線方程為g++l,即x+y-3=0

綜上所述：所求直線方程為y=2x或x+y-3=0.

17.(15分)已知空間中三點(diǎn)力(一1,1」)，6(0,2/)，C(-2,l,3).

⑴設(shè)同=2近，且［//萬，求^的坐標(biāo)；

(2)若四邊形ABCD是平行四邊形，求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(3)求V45c的面積.

【詳解】⑴由已知得刀=((),2,1)-(一1,1,1)=(1,1,0).因?yàn)榱恕ㄈf，所以可設(shè)3=4而，

所以同=K|.p^=|/l|xjnT兩=夜網(wǎng)=2啦，解得九=±2,所以3=2布=(2,2,0)或1=—2劉=(—2,—2,0).

(2)設(shè)Q(x,y,z),因?yàn)?4CQ是平行四邊形，所以刀二皮，由力(7,1,1),^(0,2,1),0(-2,1,3),

-2-x=1x=-3

得前=(1JO),^C=(-2-x,l-v,3-z),所以y=l=卜=0,故。(—3,0,3).

3-z=01z=3

(3)由題可得刀=(1,0,-2),袍=(2,1,-2),所以問="+0+(—2)2=4,同3+「+(—2)2=3,

一，昂?屈6275

所"4吁同同工二可又(百，通)?0,可,

所以sin便可=Jl-cos?何同=—

5

15/18

所以的面積詞sin(E赤)=，x后x3x亞=1.

2^252

18.(17分)如圖，在直四棱柱48。-44。0］中，/18KC,48=1，力。=44=2,力。=。。=逐，施=：羽.

(1)求證：4石_1_平面片。耳；

(2)求平面。/C與平面B.AC夾角的余弦值；

(3)若b為線段CO上的動(dòng)點(diǎn)，求?到直線即距離的最小值.

【詳解】(1)證明：由直四棱柱//CO—44GA知4力，底面/8CO,

因?yàn)?Cu平面力58,所以力/JL/C,乂AB/AC,A{AC\AB=A,AAK,力Bu平面力行笈陷，

所以4C_L平面力,因?yàn)?E二平面/8片4,所以4C_L8￡.

__1AE1AB

因?yàn)?8=1,AC=AA1=2,AE=-AA,所以^EAB=Z.ABB=90°,

4{AHZtirSyX

所以△48E?△88/,所以=及8,

因?yàn)镹B/1B、+NAB、B=90。,所以+//8E=90。，所以4￡_L44,

乂4Cc/14=4AC,力與u平面力。…所以8E1平面力C4.

(2)因?yàn)?41底面力8。。，力以力Cu平面48CZ),所以同力1>4J.4C,

因?yàn)?8/4C,所以4C,兩兩垂直，所以以A為原點(diǎn)，AC,AB,所在直線分別為x軸，V

軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則力(0,0,0),5(0,1,0),C(2,0,0),Z)(l,-2,0),D,(1,-2,2)