2025-2026學(xué)年湖北省水果湖高級(jí)中學(xué)高二上學(xué)期10月月考

數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.直線(xiàn)心近后%+，虧、+3=0的傾斜角為（）

AAR-C―口U2

-3S66-3

2.直線(xiàn)（a+1）無(wú)+y—1=0,%：2x+ay+a—2=0,則“匕//?！钡某湟獥l件是（）

A.a=1B.a=-2C.a=1或一2D.以上均不對(duì)

3.袋子中有大小、形狀、質(zhì)地完全相同的4個(gè)小球，分別寫(xiě)有“風(fēng)”、“展”、“紅”、“旗”四個(gè)字，

若有放回地從袋子中任意摸出一個(gè)小球，直到寫(xiě)有“紅”、“旗”的兩個(gè)球都摸到就停止摸球利用電腦隨

機(jī)產(chǎn)牛1到4之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù).用1.2.3,4分別代表“風(fēng)”、“展”、“紅”、“旗”這四個(gè)字.

以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，表示摸球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下20組隨機(jī)數(shù)：

411231324412112443213144331123

114142111344312334223122113133

由此可以估計(jì)，恰好在第三次就停止摸球的概率為（）

2A—10B—20口C-5D-4

4.已知正四棱錐P-4BCD的所有棱長(zhǎng)均為1,0為底面48CD內(nèi)一點(diǎn)，且m=J耳？+4而+；4QW

R）,則而?麗=（）

57「3p.4

AA.五BnnC4D-3

5.已知空間向量間=，B,Bl=5,且五與坂夾角的余弦值為一駕，貝皈在板上的投影向量為（）

11bo

AA9/l3rDB9/137「C9Tbn9真

--——"-25D-25h

6.同時(shí)拋擲一白一紅兩枚質(zhì)地均勻的骰子，用工表示白色骰子的點(diǎn)數(shù)，y表示紅色骰子的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事件

力="X+y=6"，事件B="xy為偶數(shù)”，事件C=">>3”，則下列結(jié)論正確的是（）

人.,4與8對(duì)立B.P（BQ=C.A與。相互獨(dú)立D.8與C相互獨(dú)立

7.如圖，在三棱柱為巾，M,N分別是當(dāng)加上的點(diǎn)，且BM=24M,CiN=2&N.設(shè)而=

a,AC=b^麗=3若N/MC=90。，LBAAr=LCAAr=60°,AB=AC=AAr=1,則下列結(jié)論中正

第1頁(yè)，共10頁(yè)

確的是（）

A.而=京+頡+家B.\MN\=l

C.ABX1BCrD.cos（ABi，BC^=

8.如圖，在直三棱柱ABC-Ci中，△248c為腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，月.AB>47,CCt=2,

AB=2AE>P為平面力i"內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則P4+PE的最小值是（）

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中?有多項(xiàng)符合題目要求。

9.二、多選題下列四個(gè)命題中正確的有（）

A.過(guò)點(diǎn)（3,1）,且在x軸和y軸上的截距的絕對(duì)值相等的直線(xiàn)方程為％+y-4=0,x-y-2=0

B.若直線(xiàn)履+y-k+1=。和以M（—3,1）,N（3,2）為端點(diǎn)的線(xiàn)段相交，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（-8,-||u

原+8）

C.若三條直線(xiàn)％+y=0,x-y=0,x+ay=3-Q不能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)a所有可能的取值組成的集合

為

D.若直線(xiàn)I沿x軸向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再沿y軸向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后，回到原來(lái)的位置，則該直線(xiàn)I的

斜率為。

IO在一個(gè)不透明的袋子中，裝有大小、材質(zhì)相同的2個(gè)紅球和3個(gè)綠球，從袋中依次抽取2個(gè)球，記

Ri="第i次取到紅球“，Gj=”第i次取到綠球"，其中i=l,2,則下列說(shuō)法正確的是（）

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A.若有放I可地抽取，則戶(hù)R)=P(/?2)=P(GD=Pg=1

B.若有放回地抽取,則PKG?)=攝

C.若不放回地抽取，則PRG2)=4

D.若不放回地抽取，則戶(hù)(%+G2)=4

11.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體/18。0—a8心。1中，E為A&的中點(diǎn)，點(diǎn)F滿(mǎn)足布=〃百瓦(0W/lW1)，

A.當(dāng)入=0時(shí)，ACX1平面80F

B.注意4€[0,1],三楂錐尸一80E的體積是定值

C.存在Ae[0,1],使得4c與平面BD尸所成的角為?

D.當(dāng);I二:時(shí)，平面3DF截該正方體的外接球所得截面的面積為意n

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.直線(xiàn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)力(0,1),且傾斜角為直線(xiàn)、=-03-1的傾斜角的一半，則，的方程為.

13.已知向量力以｛乙丸可為基底時(shí)的坐標(biāo)為(2,-3,2),則戶(hù)以值-21,五+方,d+己為基底時(shí)的坐標(biāo)

為.

14.如圖，圓錐S。的頂點(diǎn)為S,點(diǎn)A,B,C,。在底面圓。的圓周上，且4C,80的交點(diǎn)為圓心0,AB=

2y[2,AC=4,SO=2,則平面S4B與平面SC。夾角的余弦值為:若P是母線(xiàn)SC上一點(diǎn)，且CP=

^CS,Q是平面SBO內(nèi)一點(diǎn)，則ACPQ周長(zhǎng)的最小值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

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15.(本小題13分)

為弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化，某校舉辦了傳統(tǒng)文化知識(shí)競(jìng)賽，滿(mǎn)分為100分，所有參賽學(xué)生的成績(jī)都不低于50分.現(xiàn)

從中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的成績(jī),按照［50,60),［60,70),…，［90,100］分成5組,制成了如圖所示的頻率分布

(1)求頻率分布直方圖中工的值，并估計(jì)所抽取的50名學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)、中位數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組

區(qū)間的中點(diǎn)值代表)；

(2)若利用分層抽樣的方法從樣本中成績(jī)不低于70分的學(xué)生中抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人，求恰有

1人成績(jī)?cè)冢?0,90)的概率.

16.(本小題15分)

已知A的三個(gè)頂點(diǎn)是人(4,0),8(2,4),C(0,3).

(1)求邊48上的中線(xiàn)所在直線(xiàn)的一般式方程；

(2)過(guò)點(diǎn)8做直線(xiàn)力。的垂線(xiàn)80,求垂足。的坐標(biāo).

17.(本小題15分)

如圖，四棱錐P-/18CZ)中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，「。1平面；48。。，PA=PC=3,E,F,G分別

是P4PGPD上的點(diǎn),且4E=CF=1.

(1)證明：BG1AC；

(2)已知四點(diǎn)共面,求DG的長(zhǎng).

18.(本小題17分)

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如圖，已知在矩形ABC。中，AB=3/2,BC=6,點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，DE與AC相交于點(diǎn)H,現(xiàn)將△4CD

沿4c折起，點(diǎn)D的位置記為。'，此時(shí)M是的中點(diǎn).

(1)求證：BM〃平面O'HE；

(2)求證：CA平面D'HE；

(3)求二面角4-D'E-〃的余弦值.

19.(本小題17分)

已知一條動(dòng)直線(xiàn)3(7n+l)x+(7n-l)y-6zn-2=0,直線(xiàn)，過(guò)動(dòng)直線(xiàn)的定點(diǎn)P,且直線(xiàn)I與x軸、y軸的正

半軸分別交于4B兩點(diǎn)、,0為坐標(biāo)原點(diǎn).

⑴是否存在直線(xiàn)［滿(mǎn)足下列條件：①△408的周長(zhǎng)為12；②△408的面積為6.若存在，求出直線(xiàn)/的方

程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2)當(dāng)|PA|+||PB|取得最小值時(shí)，求直線(xiàn)1的方程.

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參考答案

\.D

2.B

3.B

4.5

5.0

6.B

7.0

8.B

9.BD

1(.).BCD

1l.ACD

12.y=y/~3x+1

13.(1,-1,2)

15.【詳解】(1)由已知可得(0.01x2+0.03x2+x)x10=1,解得x=0.02,

所抽取的50名學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)為55x0.1+65x0.3+75x0.3+85x0.24-95x0.1=74(分)，

由于前兩組的頻率之和為0.1+0.3=0.4,前三組的頻率之和為0.1+0.3X2=0.7,

所以，中位數(shù)QW(70,80),由題意可得0.4+(a-70)x0.03=0.5,解得。=竽(分).

(2)由(1)可知，后三組中的人數(shù)分別為15,10,5,故這三組中所抽取的人數(shù)分別為3,2,1,

記成績(jī)?cè)冢?0,80)這組的3名學(xué)生分別為a,瓦c,成績(jī)?cè)冢?0,90)這組的2名學(xué)生分別為d,e,成績(jī)?cè)?90,100］這

組的1名學(xué)生為

則從中任抽取2人的所有可能結(jié)果為(a,b)、(a,c)、(a,d)、(a,e)、(a,f)、(瓦c)、(b,d)、(b,e)、(b,f)、

(c,d)、(c,e)、(c,f)、?,e)、(d,f)、(e,f),共15種.

其中恰有1人成績(jī)?cè)冢?0,90)為(a,d)、(a,e)、(b,d)、(瓦e)、(c,d)、(c,e)、(d,/)、(e,f)共8種.

故所求概率為P=

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16.【詳解】(1)48中點(diǎn)為(3,2),由直線(xiàn)兩點(diǎn)式方程會(huì)二蕓,

故邊AB上的中線(xiàn)所在直線(xiàn)的一般式方程為％+3y-9=0.

(2)由題意知，服c=^=-3則垂線(xiàn)8。的斜率心°=一/一

Q—U4Me

故直線(xiàn)4c的方程為y=-^(x-4),即3x+4y—12=0,

直線(xiàn)B。的方程為y-4=?(%—2),即4工-3y+4=0,

聯(lián)立4c和BD方程，『：：?：；常,解得垂足嗚卷).

17.【詳解】(1)證明：連接8。與4C,因?yàn)榈酌媪CD是正方形，所以80_L4C,

又因?yàn)镻D1平面4BCD,且ACu平面ABCD,所以PDJL/1C,

因?yàn)?DCiPD=D,月.8D,PZ)u平面PDB,所以力C1平面PDB,

又因?yàn)锽Gu平面PDB,所以BG14C.

(2)解：以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以ZM,0C,Z)P分別為“軸，y軸和z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

如圖所示，因?yàn)?4=&?=3,40=2,所以PD=」產(chǎn)入2一力。2二門(mén),

又因?yàn)?E=CF=1,則知E,F分別是P4和PC上的三分點(diǎn)，

可得3(220),嗚0,多,尸(0片,豺

設(shè)G(0,0,/i),則喬=(-2,一|,學(xué)，麗=(/一2,苧)，前=(-2,-2㈤，

”

z-O

BF?元=-2x—4-3

3">

ZO

(FE-n=--x-2y+3-

令z=V"耳，可得力=亮,yj,所以五二(益,門(mén))，

OO\OO/

因?yàn)锽Gu平面BEF,所以茲?元二0,即一3一+店/1=0,解得力=笑

442

所以DG的長(zhǎng)為苧.

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18.【詳解】⑴法一：在矩形48CD中，連接CM,交0E于點(diǎn)0,則易知四邊形MEC。為矩形,

所以CM與DE互相平分，即點(diǎn)。為CM中點(diǎn)，又因?yàn)辄c(diǎn)E為BC中點(diǎn)，

所以在三棱錐。'-4BC中，E0//BM,

法二：取線(xiàn)段/月的中點(diǎn)N,連接MN、BN,

翻折前,在矩形A8CD中，?.?E為BC的中點(diǎn),BC//AD,

則略=黑=；所以，4〃=2CH,

AHAD2

翻折后，在三棱錐D'—ABC中，N分別為力“、4”的中點(diǎn),

則MN〃0H,MNU平面。'HE,D'Hu平面。'HE,MN〃平面D'HE,

???N為AH的中點(diǎn)，且A”=2CH,則4N=NH=CH,

所以，”為CN的中點(diǎn)，又因?yàn)镋為8c的中點(diǎn)，所以，EH//BN,

???EHu平面。HE,BNU平面D'HE,所以，BN〃平面D'HE,

?：BNCMN=N,所以，平面BMN〃平面DEE,

因?yàn)锽Mu平面BMN,,〃平面D3E；

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D'

(2)在矩形A8CD中，CD=AB=3/2,CE=^BC=3,

AC=VAD2+CD2=3<6，DE=VCD2+CE2=3/3,

因?yàn)镃H=0H,^\CH=\AC=/6,

因?yàn)锽C〃4%E為8c的中點(diǎn)，所以，器=黑=；,則￡H=：ZTH

''DHAD22

所以，EH=、DE=G所以，EH2+CH2=CE2,

所以EH1CH,即

在三棱錐Z/-ABC中,則有AC1EH,ACLDrH,

因?yàn)?。〃CEH=〃，所以，4C1平面

(3)過(guò)點(diǎn)H作1O'E,垂足為點(diǎn)F,連接4凡

???AC1平面D'EH,D'Eu平面。EH,AC1D'E,

因?yàn)閆TE1HF,AHnHF=H,，。七1平面4HF,

-AF(z^AHF,：,D'E1.AF,所以，二面角A--H的平面角為乙4FH.

在中，DrH=273,HE=/3,EDf=/15,

ED,2=D'H2+HE2,：.D'HLEH.HF1D'E,所以，/二^^,

又因?yàn)锳H=AC-HC=3逐一在=2店,所以4尸=CT存存戶(hù)=與竺

故coszAFH=冬=等，因此，二面角力-O'E-H的余弦值為評(píng).

19.【詳解】(l)3(m+l)x+(m-l)y-6m-2=0,即(3x+y-6)m+3x-y-2=0,

由朦？二建：解得故動(dòng)直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)P(Q).

設(shè)直線(xiàn)Z的方程為:+/=l(a>0,b>0),

將P?,2)代入得媒+41.①