2025-2026學年湖南省長沙一中教育集團八年級（上）期中數(shù)學試卷

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.每小題只有一個正確選項）

1.（3分）當前，科技與人工智能的迅猛發(fā)展，正引領社會生活方式的深度變革（）

A中BOC.SD典

2.（3分）2025年9月3日，為紀念中國人民抗日戰(zhàn)爭暨世界反法西斯戰(zhàn)爭勝利80周年，北京天安門廣

場舉行了盛大的閱兵儀式.在閱兵儀式上，這款導彈射程超過20000公里，可以覆蓋全球任意角落（）

A.2X1（）4B.0.2X105C.20X103D.2X105

3.（3分）已知三角形兩邊的長分別是1和6,則這個三角形第三邊的長可能為（）

A.7B.6C.5D.4

4.（3分）如圖，一個三角形紙板破損了一個角，如果把它補成完整的三角形紙板（）

5.（3分）如圖，線段48為某景區(qū)纜車的纜繩，N4是纜繩與水平面4。的夾角.已知月8=200米,

則纜車從位置A到位置B,垂直上升的高度6C為（）

A.150米B.10S%米C.100米D.10S及米

6.（3分）長沙市興聯(lián)路大橋是目前湖南省單體投資最大的市政斜拉橋，這座大橋的開通，不僅為市民出

行帶來了便利，興聯(lián)路大橋采用斜拉設計的結(jié)構，使得橋梁更加穩(wěn)固（）

第1頁（共23頁）

A.三角形具有穩(wěn)定性

B.直角三角形兩銳角互余

C.三角形兩邊之和大于第三邊

D.三角形內(nèi)角和等于180。

7.（3分）如圖，有兩根長度相等的木棍8c和E尸分別靠在垂克于地面的墻的兩側(cè)，己知N4BC=NDEF

A.AC=DFB.ZACB=65QC.AB=DED.4ABe冬ADEF

8.（3分）長沙杜甫江閣的屋頂設計采用了等腰三角形結(jié)構，如圖，工程師在檢修時發(fā)現(xiàn)，若NB4C=

120°.則下列結(jié)論：?BD=DCx②△48。是直角三角形；?2AD=AC.其中正確的個數(shù)是（）

A.1個R.2個C.3個D.4個

9.（3分）如圖，已知N"C=/及C8,且點力，要根據(jù)“S4T證明氏則還需要添加的條

件是（)

B.NBAC=/CDBC.AC=DBD./ACB=/DBC

10.（3分）如圖，在等邊△48。中，48=4,點。，￡1分別在邊力/且4）=CE=1.當PQ+PE的值最小

時，8P的長為（）

第2頁（共23頁）

A

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）

11.（3分）等腰三角形的周K為10c，〃，腰K為4c/〃，則底邊的長為cm.

12.（3分）如圖，在△48C中，點。在8C的延長線上，N8=4（）°,則N/CO的度數(shù)是

13.（3分）如圖，已知出△力C8,且點。在3c邊上，ZCJD=20°，則N￡4C=

14.（3分）如圖，在△48C中，點。在8C邊上，若AE=2cm,△48。的周長為8c〃?cm.

15.（3分）如圖，在RiZUBC中，ZJ5C=90°,根據(jù)圖中尺規(guī)作圖的痕跡，可得

16.（3分）如圖，。為△ABC中力C邊上的一點，DC=2AD,AE=3BE,若△OEC的面積為2

三、解答題（本大題共9個小題，第17、18、19題每題6分，第20、21題每題8分，第22、23題每題9

第3頁（共23頁）

分，第24、25題每題10分，共72分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）

17.（6分）計算：（_1）2025包國+1]_&|+沈.

18.（6分）先化簡，再求值:2（a2b+ab3）-3（a2b-ab3）+a2b,其中a=-2,b=1.

19.（6分）已知△48。的各頂點坐標分別為4（-2,3）,8（?5,1）,C（-3,5）.

（1）畫出△/IBC向右平移5個單位長度后的圖形△由陰Ci；

（2）畫出△*6。關丁x釉對稱的圖形△出歷C2；

20.（8分）某校為幫助學生在體育鍛煉中享受樂趣、增強體質(zhì)、預防近視，促進學生身心全面發(fā)展，開設

了多種體育特色課：A.籃球，C.排球，D.羽毛球，要求每位學生必須參加且限報一項，該校從全體

學生中隨機抽取部分學生進行調(diào)查，繪制了如下兩幅統(tǒng)計圖：

事人數(shù)

根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息，解答下列問題:

第4頁（共23頁）

（1）本次共調(diào)查了名學生，在扇形統(tǒng)計圖中，〃的值是,扇形統(tǒng)計圖中E所對

圓心角的度數(shù)為

（2）請補全條形統(tǒng)計圖；

（3）若該校共有3600名學生，根據(jù)抽樣調(diào)查的結(jié)果，請你估計該校最喜歡特色課。的學生人數(shù).

21.（8分）如圖，在△49C中，NACD=NB

（1）求證：△ACB為直角三角形；

（2）若/4C8的平分線CE交力8于點CDtAB于點D,/B=60°

22.（9分）“湘超”聯(lián)賽（湖南省足球超級聯(lián)賽）的成功舉辦，在全省范圍內(nèi)極大地促進了校園足球運動

的開展.為響應此熱潮，為表彰優(yōu)秀參賽隊伍，學校決定采購/

①購買1個A類足球與3個B類足球，花費290元；

②購買3個4類足球與3個4類足球，花費390元.

（1）A類足球和B類足球的單價分別為多少元？

（2）若學校計劃采購48兩類足球的總數(shù)量為60個，并要求同時滿足以下兩個條件：①采購4類

足球的數(shù)量不超過22個

23.（9分）如圖，在四邊形處?CO中，ZABC=ZC=90a,且和力￡分別是NC。力和NQ46的角平

分線，OE的延長線和48的延長線交于點立

（1）求證：△/￡</四△/EO；

（2）若。。=2,48=3,求線段力。的長度.

24.（10分）在平面直角坐標系巾，我們將點尸關于x軸的對稱點記作點P，再將點P關于）軸的對稱點

記作點尸2，則稱點為點Q關于x軸和y軸的“一中對稱點”.例如：點P（3,1）關于x軸的對稱點

為點尸1（3,-1）,點。1（3,-1）關于y軸的對稱點為點P2（-3,-1）,所以點P（3,1）關于x

軸和y軸的''一中對稱點”為點尸2（-3,-1）.

第5頁（共23頁）

(1)點力(3,-4)關于x軸和y軸的“一中對稱點”前的坐標是;

(2)點、B(2a+b,a-b)關于x軸和)，軸的“一中對稱點”取的坐標是(-8,4),求a司人的值；

(3)若點C(x-w+1,9掰+3-4x)關于x軸和y軸的“一中對稱點”C2在第三象限，且滿足條件的x

的整數(shù)解恰有兩個，求機的取值范圍.

25.(10分)如圖，△48c與△力E短均為等腰三角形，AB=AC,NEAD=NBAC,。為線段8c上一個動

備用圖

(1)求證：BE=DC；

(2)將△48c分為△ACT)和△月兩部分，記S^ABD=S2；將△力。七分為△4EG

SS-

和△XQG兩部分，記SjEG=S3，5力￡>6=54.求證：一-=—―:

S2S4

(3)若AE工AC,且NBAD=2NBDE,BD=4

第6頁(共23頁)

2025-2026學年湖南省長沙一中教育集團八年級（上）期中數(shù)學試卷

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

題號12345678910

答案DA.BBCABDAC

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.每小題只有一個正確選項）

1.（3分）當前，科技與人工智能的迅猛發(fā)展，正引領社會生活方式的深度變革（）

A毋BOC.8JD典

【解答】解：A,8,C選項中的圖形都不能找到這樣的一條直線，直線兩旁的部分能夠互相重合；

。選項中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，所以是軸對稱圖形；

故選：O.

2.（3分）2025年9月3日，為紀念中國人民抗日戰(zhàn)爭暨世界反法西斯戰(zhàn)爭勝利80周年，北京天安門廣

場舉行了盛大的閱兵儀式.在閱兵儀式上，這款導彈射程超過20000公里，可以覆蓋全球任意角落（）

A.2X104B.0.2X105C.20X103D.2X105

【解答】解：20000=2X104.

故選：A.

3.（3分）已知三角形兩邊的長分別是1和6,則這個三角形第三邊的長可能為（）

A.7B.6C.5D.4

【解答】解：設這個三角形第三邊的長是X，

由三角形三邊關系定理得到：6-Kx<3+1,

A5<x<5,

???這個三角形第三邊的長可能為6.

故選：B.

4.（3分）如圖，一個三角形紙板破損了一個角，如果把它補成完整的三角形紙板（）

第7頁（共23頁）

0°

-50。（

A.50°B.60°C.65°D.70°

【解答】解.：由題知，

因為180°-50。-70。=60°,

所以需要補的角的度數(shù)是60°.

故選：B.

5.（3分）如圖，線段為某景區(qū)纜車的纜繩，N力是纜繩片B與水平面4C的夾角.已知48=200米,

則纜車從位置J到位置B,垂直上升的高度8C為（）

A.15（）米B.100\/§米C.100米D.10S歷米

【解答】解：在中，ZC=90°,48=200米，

則8C=LB=100（米），

2

工纜車從位置力到位置B,垂直上升的高度BC為100米，

故選：C.

6.（3分）長沙市興聯(lián)路大橋是目前湖南省單體投資最大的市政斜拉橋，這座大橋的開通，不僅為市民出

行帶來了便利，興聯(lián)路大橋采用斜拉設計的結(jié)構，使得橋梁更加穩(wěn)固（）

A.三角形具有穩(wěn)定性

B.直角三角形兩銳角互余

C.三角形兩邊之和大于第三邊

D.三角形內(nèi)角和等于180°

第8頁（共23頁）

【解答】解：聯(lián)路大橋采用斜拉設計的結(jié)構，使得橋梁更加穩(wěn)固.

故選：A.

7.（3分）如圖，有兩根長度相等的木棍4c和后b分別靠在垂直于地面的墻的兩側(cè)，已知NABC=/DEF

A.AC=DFB.ZACB=65°C.AB=DED.AABC@/\DEF

【解答】解：由題意可知，NCAB=NFDE=90：

在△力8c與△O￡77中，

rZCAB=ZFDE=90°

'NABC=NDEF=35°，

BC=EF

:?△ABg^DEF(AAS),故選項。正確；

：.AC=DF,AB=DE,C正確：

?：NABC=35°,ZCAB=W,

AZACB=90a-35°=55°,故選項4錯誤;

故選：B.

8.（3分）長沙杜甫江閣的屋頂設計采用了等腰三角形結(jié)構，如圖，工程師在檢修時發(fā)現(xiàn)，若NB4C=

120°.則下列結(jié)論：①BD=DC；②△48。是直角三角形；④2力。=力0其中正確的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【解答】解：???閣樓頂部中線力。恰好也是高線,

???△48。是等腰三角形，△48。是直角三角形,

:,BD=DC,/BAD=/CAD,

VZ^C=120°,

.??N6=NC=3(T,

第9頁（共23頁）

：.2AD=AC,故④正確;

故選：D.

9.（3分）如圖，己知且點力，要根據(jù)“S/1S"證明△/"。0△。。從則還需要添加的條

件是（)

B./BAC=/CDBC.AC=DBD.AACB=ADBC

【解答】解：添加

在△力BC與ADCB中，

rAB=DC

'ZABC=ZDCB*

BC=CB

:?△ABg^DCB(SAS),

故選：A.

10.（3分）如圖,在等邊△48C中,48=4,點。,￡分別在邊44,且4）=C￡=1.當PQ+PE的值最小

C.3D.3.5

【解答】解：作點。關于8C的對稱點。'，連接E。'交BC于P,最小值為E。'，

???△48C是等邊三角形,

AZABC=ZC=60°,AB=BC=AC,

第10頁（共23頁）

???48=4,AD=CE=\,

:.BC=8,BD=4-1=3,

???點。和關于，C的對稱，

：,BD'=BD=3,/DBC=/D'5c=60°,

BC=NC,

，：NBP?=NCPE,

:./XPCEs叢PBD',

?PC=CE=1

??而BD，百，

?.?PC_1

BC4

,:BC=2,

；,PC=l,

:.BP=4-4=3,

故選：C.

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）

11.（3分）等腰三角形的周長為10c/〃，腰長為4c〃?，則底邊的長為2c〃?.

【解答】解：???等腰三角形的周長為10S〃，腰長為4c/〃，

工底邊的長為10-4X8=2（cw）.

故答案為：2.

12,（3分）如圖，在△48。中，點。在8C的延長線上，N8=40°,則NZC。的度數(shù)是一100°

故答案為：100°.

13.（3分）如圖，己知△力EO出△力C8,且點。在3c邊上，ZCJD=20°,則N￡4C=60°

第11頁（共23頁）

EA

CDB

【解答】解：,:△AETY^XACB、

：?NE/ID=NCAB=80°,

VZCJD=20°,

/.ZEAC=ZEAD-ZCAD=^O°-20°=60°,

故答案為：60°.

14,（3分）如圖，在△48C中，點。在8C邊上，若AE=2cm,△力BQ的周長為8cM12cm.

【解答】解：???。/?是/C的垂直平分線，

；?AD=CD,AE=CE=2.CHI

.\AC=AE+CE=4cmf

???△48。的周長為2°〃，

：.AB+AD+BD=Scni,

：.AB+BD+CD=Scm,

:.AB+BC=6cm,

：.AB+BC+AC=l2cm,

???△力8。的周長為\2cm.

故答案為：12.

15.（3分）如圖，在RtZ\48。中，/ABC=90：根據(jù)圖中尺規(guī)作圖的痕跡，可得N4BD=50

???//=180°-90°-50°=40°,

第12頁（共23頁）

由圖中作圖的痕跡得8O_L4C

:./ADB=90°,

:.NABD=9G-ZA=50°,

故答案為:5().

16.(3分)如圖，。為△/AC中/C邊上的一點，DC=2AD,AE=3BE,若△HEC的面積為2I

:?SADEC=2S^AED，

△。叱=8,

,*?^f\AED=S/.DEC=I；

?；AE=3BE,

:?AB=7BE,

**.SyBC=AS^BEC，

S^ABC=S^AED+S^DEC+S^BEC^

4S^BEC=3+2+5AZ?￡C>

?'?S^BEC=1-

故答案為：8.

三、解答題（本大題共9個小題，第17、18、19題每題6分，第20、21題每題8分,第22、23題每題9

分，第24、25題每題10分，共72分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）

17.（6分）計算：（-1）2025改國+1「我"沈.

【解答】解：原式=-1+3+由-1+2=2X巧.

18.（6分）先化簡，再求值：2（a2b+ab3）-3Ca2b-ab3）Sb,其中。=-2,6=1.

【解答】解：2（a2b+ab6）-3Ca2b-ab4）+a2b

=2a5b+2ab3-3a2b+3ab5+a2b

=5ab4,

當a=-2,b=1時.

第13頁（共23頁）

19.(6分)已知△力8c的各頂點坐標分別為Z(-2,3),5(-5,1),C(-3,5).

(1)畫出△力8。向右平移5個單位長度后的圖形△由81。；

畫出△48C關于x軸對稱的圖形△出歷Q；

(2)如圖，△血歷。2即為所求.

第14頁(共23頁)

20.（8分）某校為幫助學生在體育鍛煉中享受樂趣、增強體質(zhì)、預防近視，促進學生身心全面發(fā)展，開設

了多種體育特色課：4籃球，C.排球，D.羽毛球，要求每位學生必須參加且限報一項，該校從全體

學生中隨機抽取部分學生進行調(diào)查，繪制了如卜兩幅統(tǒng)計圖:

根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息，解答下列問題:

（1）本次本調(diào)查了10。名學生，在扇形統(tǒng)計圖中，，〃的值是-24,扇形統(tǒng)計圖中七所對圓心角

的度數(shù)為36

（2）請補全條形統(tǒng)計圖；

（3）若該校共有3600名學生，根據(jù)抽樣調(diào)杳的結(jié)果，請你估計該校最喜歡特色課力的學生人數(shù).

【解答】解：（1）被調(diào)查人數(shù)為184-18%=100（人），

樣本中選擇“D.羽毛球”所占的百分比為24；100義100%=24%；

樣本中選擇“E.其他”所占的百分比為104-100X100%=10%,

故答案為：100,24：

（2）100-18-26-24-10=22（人），補全條形統(tǒng)計圖如下:

（3）3600X24%=864（人），

答：該校3600名學生中最喜歡特色課。的學生人數(shù)大約有864人.

第15頁（共23頁）

21.（8分）如圖，在△48C中，/ACD=/B

（1）求證：△/C8為直角三角形;

（2）若/力@的平分線CE交力4于點￡,CD工人B于點、D,NB=60°

【解答】（1）證明：?:NACD=/B,NBCD=NA,

,NACD+NBCD=/B+NA,

VZA+ZB+ZACD+ZBCD=\SOQ,

A2（ZACD+Z8CD）=180°,

AZACD+ZBCD=90a,

：.ZACB=90°,

???△/CB為直角三角形；

（2）解：*：CDLAB,

；?NCDB=90°,

VZBCD=90°-ZB=90°-60°=30°,

???CE平分N4C8,

:?/ECB=L/ACB=45°,

3

:?/DCE=NECB?/BCD=45°-30°=15°.

22.（9分）“湘超”聯(lián)賽（湖南省足球超級聯(lián)賽）的成功舉辦，在全省范圍內(nèi)極大地促進了校園足球運動

的開展.為響應此熱潮，為表彰優(yōu)秀參賽隊伍，學校決定采購4

①購買1個A類足球與3個B類足球，花費290元；

②購買3個4類足球與3個4類足球，花費390元.

（1）A類足球和B類足球的單價分別為多少元？

（2）若學校計劃采購4,8兩類足球的總數(shù)量為60個，并要求同時滿足以下兩個條件：①采購4類

足球的數(shù)量不超過22個

【解答】解：（1）設4類足球的單價為x元，4類足球的單價為y元，

包隹明二處

根據(jù)題意得：x+3y=290，

3x+3y=390

第16頁（共23頁）

解得：P.

,y=80

答：4類足球的單價為50元，8類足球的單價為80元；

（2）設采購用個片類足球，則采購（60-加）個8類足球，

根據(jù)題意得：（欣22

50m+80（60-mX4200

解得：20WZ22,

又???〃?為正整數(shù)，

???〃？可以為20,21,

???該校共有3種購買方案，

方案1：采購20個4類足球，40個8類足球；

方案6：采購21個4類足球，39個8類足球；

方案3：采購22個4類足球，38個8類足球.

23.（9分）如圖，在四邊形48co中，NA8C=/C=90°,且。E和力七分別是NCD4和ND48的角平

分線，?！甑难娱L線和48的延長線交于點R

（1）求證：AAEF^/\AED；

（2）若DC=2,AB=3,求線段力。的長度.

【解答】(1)證明：???N48C=NC=90°,

???N48C+NC=180°,

:.AB〃DC,

：.ZBAD^ZCDA=\S00,

???OE和4E分別是ZCDA和NZM8的角平分線，

:?NCDA=2NADE,NFBE=NDAE,

???2ND4E+4N/OE=180°,

：.ZDAE+ZADE=90°,

在中，ZJEZ)=180°-C^DAE+ZADE)=90°,

第17頁（共23頁）

即AEVDF,

：.ZAEF=ZAED=90°,

在△力￡b和△/EQ中，

rZFBE=ZDAE

'AE=AE，

NAEF=NAED=90°

:,△AEF/AAED（ASA）：

（2）解：由（1）可知：/且△力瓦），

：.EF=ED,AF=AD,

ZABC=ZC=90a,

:,NFBE=NC=90°,

在△4E/7和△CEO中，

'/FBE=NC=90°

<ZBEF=ZCED，

EF=ED

:?BF=CD,

：.AF=AB+BF=AB+CD,

'：DC=2,AB=3,

；.AF=AB+CD=7,

：.AD=AF=5.

24.（10分）在平面直角坐標系中，我們將點尸關于x軸的對稱點記作點P，再將點Pi關于y軸的對稱點

記作點尸2,則稱點02為點尸關于x軸和y軸的“一中對稱點”.例如：點尸（3,1）關于x軸的對稱點

為點Pl（3,-1）,點尸1（3,-1）關于y軸的對稱點為點22（-3,-1）,所以點尸（3,1）關于x

軸和y軸的“一中對稱點”為點巳（-3,-1）.

（1）點力（3,-4）關于x軸和y軸的“一中對稱點”血的坐標是一（-3,4）；

（2）點〃（2a16,a-b）關于;v軸和y軸的“一中對稱點”處的坐標是（-8,4）,求。河人的值；

（3）若點C9M+3?4x）關于％軸和y軸的“一中對稱點”。2在第三象限，且滿足條件的x

的整數(shù)解恰有兩個，求”的取值范圍.

【解答】解：（1）根據(jù)“一中對稱點”的定義，可以得到兩個點關于原點對稱，

點力（3,-4）關于x軸和），地的“一中對稱點”47的坐標是（-3,

故答案為：（?3,6）；

（2）由題意可得:B（8,-4）,

第18頁（共23頁）

=

8a+b8f

a-b=-4,

.?.a"—-8—,bA--16；

33

（3）由題意可得：點C在第一象限,

.(x-m+7>0,

?**

9m+3-4x>0,

???不等式組的解集為：〃l8VxV塞坦.

6

??”恰有2個整數(shù)解,

則存在這樣的整數(shù)a滿足:

a-l4m-2<a,

a+l<竽<a+2,

4

a<m<a+6,

整理得:4a+1/『4a+5

/4a+5

a42'

為保證不等式組有解:

然<a+1,

4

&〃加p;解得:

5

?"取-1,2,1,

-84m<0，

當4=-1時,可得:+1n得，

此時,-2,<zw<0,

3

04m<1，

當a=2時，可得:

用<m<F

此時工〈〃忘回,

99

8<m<2,

&〃加p;當a=1時,可得:

&〃加P；此時〃7=1.

&〃加p;綜上所述:-豆V〃7V?；颉?或m=1.

396

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25.（10分）如圖，△48C與△4EO均為等腰三角形，AB=AC,ZEAD=ZBAC,。為線段8C上一個動

點

備用圖

(1)求證：BE=DCx

(2)將△48C分為△力CD和△48。兩部分，記Syco=Si,SpBD=Sk48將分為△AEG

SS-

和△，/)G兩部分，記&/￡G=S3，Sa