2026年陳省身杯數(shù)學(xué)競賽模擬一、代數(shù)部分多項式的根與系數(shù)關(guān)系多項式是代數(shù)中的重要研究對象，其根與系數(shù)之間存在著緊密的聯(lián)系。對于一個n次多項式(P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0)（(a_n\neq0)），如果它的根為(r_1,r_2,\cdots,r_n)，那么根據(jù)韋達(dá)定理，我們有：(r_1+r_2+\cdots+r_n=-\frac{a_{n-1}}{a_n})(r_1r_2+r_1r_3+\cdots+r_{n-1}r_n=\frac{a_{n-2}}{a_n})(\cdots)(r_1r_2\cdotsr_n=(-1)^n\frac{a_0}{a_n})在2026年陳省身杯數(shù)學(xué)競賽模擬中，可能會出現(xiàn)利用韋達(dá)定理解決的問題。例如：已知多項式(x^3-3x^2+2x-1=0)的三個根為(a,b,c)，求(a^2+b^2+c^2)的值。根據(jù)韋達(dá)定理，(a+b+c=3)，(ab+bc+ca=2)，那么(a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=3^2-2\times2=9-4=5)。函數(shù)方程函數(shù)方程是指含有未知函數(shù)的等式，求解函數(shù)方程需要根據(jù)給定的條件確定未知函數(shù)的表達(dá)式。常見的函數(shù)方程類型有一次函數(shù)型、二次函數(shù)型、指數(shù)函數(shù)型、對數(shù)函數(shù)型等。例如，求解函數(shù)方程(f(x+y)=f(x)+f(y))對所有實數(shù)(x,y)成立。如果函數(shù)(f(x))是連續(xù)的，那么它的解是(f(x)=kx)（(k)為常數(shù)）。我們可以通過數(shù)學(xué)歸納法來證明：當(dāng)(x=n)（(n)為正整數(shù)）時，(f(n)=f(1+1+\cdots+1)=nf(1)=kn)；當(dāng)(x=\frac{m}{n})（(m,n)為正整數(shù)）時，(nf(\frac{m}{n})=f(m)=km)，所以(f(\frac{m}{n})=\frac{km}{n})；對于負(fù)數(shù)(x)，(f(0)=f(x)+f(-x))，又因為(f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0))，所以(f(0)=0)，則(f(-x)=-f(x))，即函數(shù)是奇函數(shù)。二、幾何部分平面幾何中的相似三角形相似三角形是平面幾何中的重要概念，兩個三角形相似意味著它們的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例。相似三角形的判定定理有：兩角分別相等的兩個三角形相似；兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似；三邊成比例的兩個三角形相似。在競賽中，相似三角形常常用于證明線段比例關(guān)系或求解線段長度。例如，在(\triangleABC)中，(DE\parallelBC)，交(AB)于(D)，交(AC)于(E)，則(\triangleADE\sim\triangleABC)，所以(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC})。如果已知(AD=2)，(AB=5)，(BC=10)，那么(\frac{2}{5}=\frac{DE}{10})，解得(DE=4)。立體幾何中的體積與表面積立體幾何主要研究空間中的幾何體，如棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、球等。對于這些幾何體，我們需要掌握它們的體積和表面積計算公式。幾何體體積公式表面積公式長方體(V=a\timesb\timesc)（(a,b,c)為長、寬、高）(S=2(ab+bc+ac))正方體(V=a^3)（(a)為棱長）(S=6a^2)圓柱(V=\pir^2h)（(r)為底面半徑，(h)為高）(S=2\pir^2+2\pirh)圓錐(V=\frac{1}{3}\pir^2h)(S=\pir^2+\pirl)（(l)為母線長，(l=\sqrt{r^2+h^2})）球(V=\frac{4}{3}\piR^3)（(R)為半徑）(S=4\piR^2)例如，一個圓錐的底面半徑為(3)，高為(4)，則它的母線長(l=\sqrt{3^2+4^2}=5)，體積(V=\frac{1}{3}\times\pi\times3^2\times4=12\pi)，表面積(S=\pi\times3^2+\pi\times3\times5=9\pi+15\pi=24\pi)。三、數(shù)論部分整除性問題整除性是數(shù)論中的基本概念，如果整數(shù)(a)除以整數(shù)(b)（(b\neq0)）的商是整數(shù)且沒有余數(shù)，那么稱(b)整除(a)，記作(b\mida)。常見的整除性質(zhì)有：如果(a\midb)且(a\midc)，那么(a\mid(b+c))；如果(a\midb)，那么(a\midbc)（(c)為整數(shù)）等。例如，證明(3\mid(10^n-1))對所有正整數(shù)(n)成立。我們可以用數(shù)學(xué)歸納法：當(dāng)(n=1)時，(10^1-1=9)，(3\mid9)，成立；假設(shè)當(dāng)(n=k)時，(3\mid(10^k-1))，即(10^k=3m+1)（(m)為整數(shù)），那么當(dāng)(n=k+1)時，(10^{k+1}-1=10\times10^k-1=10\times(3m+1)-1=30m+10-1=30m+9=3(10m+3))，所以(3\mid(10^{k+1}-1))，由歸納法可知，對所有正整數(shù)(n)成立。同余問題同余是數(shù)論中的重要概念，如果兩個整數(shù)(a)和(b)除以整數(shù)(m)（(m>0)）的余數(shù)相同，那么稱(a)和(b)模(m)同余，記作(a\equivb\pmod{m})。同余的性質(zhì)有：如果(a\equivb\pmod{m})且(c\equivd\pmod{m})，那么(a+c\equivb+d\pmod{m})，(ac\equivbd\pmod{m})等。例如，求(2^{100})除以(7)的余數(shù)。因為(2^3=8\equiv1\pmod{7})，所以(2^{100}=2^{3\times33+1}=(2^3)^{33}\times2^1\equiv1^{33}\times2=2\pmod{7})，即余數(shù)為(2)。四、組合數(shù)學(xué)部分排列組合排列是指從(n)個不同元素中取出(m)個元素（(m\leqn)），按照一定的順序排成一列，排列數(shù)記為(P(n,m)=\frac{n!}{(n-m)!})。組合是指從(n)個不同元素中取出(m)個元素（(m\leqn)），不考慮順序組成一組，組合數(shù)記為(C(n,m)=\frac{n!}{m!(n-m)!})。例如，從(5)個不同的元素中取出(3)個元素進(jìn)行排列，排列數(shù)(P(5,3)=\frac{5!}{(5-3)!}=\frac{5\times4\times3\times2\times1}{2\times1}=60)；從(5)個不同的元素中取出(3)個元素進(jìn)行組合，組合數(shù)(C(5,3)=\frac{5!}{3!(5-3)!}=\frac{5\times4\times3\times2\times1}{3\times2\times1\times2\times1}=10)。容斥原理容斥原理是組合數(shù)學(xué)中的重要原理，用于計算多個集合的并集的元素個數(shù)。對于兩個集合(A)和(B)，有(\vertA\cupB\vert=\vertA\vert+\vertB\vert-\vertA\capB\vert)；對于三個集合(A,B,C)，有(\vertA\cupB\cupC\vert=\vertA\vert+\vertB\vert+\vertC\vert-\vertA\capB\vert-\vertA\capC\vert-\vertB\capC\vert+\vertA\capB\capC\vert)。例如，求不超過(100)的正整數(shù)中，能被(2)或(3)整除的數(shù)的個數(shù)。設(shè)(A)為能被(2)整除的數(shù)的集合，(B)為能被(3)整除的數(shù)的集合，則(\vertA\vert=\lfloor\frac{100}{2}\rfloor=50)，(\vertB\vert=\lfloor\frac{100}{3}\rfloor=33)，(\vertA\capB\vert=\lfloor\frac{100}{6}\rfloor=16)，所以(\vertA\cupB\vert=50+33-16=67)。五、概率與統(tǒng)計部分概率的基本概念概率是衡量事件發(fā)生可能性大小的量，取值范圍在(0)到(1)之間。事件(A)的概率記為(P(A))，如果一個試驗有(n)個等可能的基本事件，事件(A)包含(m)個基本事件，那么(P(A)=\frac{m}{n})。例如，擲一枚均勻的骰子，求出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為(3)的概率。骰子有(6)個面，每個面出現(xiàn)的可能性相等，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為(3)的情況只有(1)種，所以概率(P=\frac{1}{6})。統(tǒng)計中的數(shù)據(jù)處理統(tǒng)計中常用的統(tǒng)計量有平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等。平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)的平均水平，中位數(shù)是將數(shù)據(jù)從小到大排列后位于中間位置的數(shù)（如果數(shù)據(jù)個數(shù)為偶數(shù)，則是中間兩個數(shù)的平均數(shù)），眾數(shù)是數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，方差和標(biāo)準(zhǔn)差反映了數(shù)據(jù)的離散程度。例如，有一組數(shù)據(jù)：(2,3,5,7,8)，平均數(shù)(\bar{x}=\frac{2+3+5+7+8}{5}=\frac{25}{5}=5)；中位數(shù)是(5)；眾數(shù)沒有（每個數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)都是(1)）；方差(s^2=\frac{1}{5}[(2-5)^2+(3-5)^2+(5-5)^2+(7-5)^2+(8-5)^2]=\frac{1}{5}[9+4+0+4+9]=\frac{26}{5}=5.2)；標(biāo)準(zhǔn)差(s=\sqrt{5.2}\approx2.28)。六、綜合應(yīng)用題綜合應(yīng)用題通常會涉及多個數(shù)學(xué)分支的知識，需要考生綜合運(yùn)用所學(xué)知識進(jìn)行求解。例如，在一個邊長為(1)的正方形(ABCD)中，(E)是(AB)的中點(diǎn)，(F)是(BC)的中點(diǎn)，連接(DE)和(AF)交于點(diǎn)(G)，求四邊形(BEGF)的面積。首先，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)(A(0,0))，(B(1,0))，(C(1,1))，(D(0,1))。則(E(0.5,0))，(F(1,0.5))。直線(DE)的方程：過點(diǎn)(D(0,1))和(E(0.5,0))，斜率(k_1=\frac{0-1}{0.5-0}=-2)，方程為(y=-2x+1)。直線(AF)的方程：過點(diǎn)(A(0,0))和(F(1,0.5))，斜率(k_2=\frac{0.5-0}{1-0}=0.5)，方程為(y=0.5x)。聯(lián)立兩條直線的方程：(\begin{cases}y=-2x+1\y=0.5x\end{cases})，解得(0.5x=-2x+1)，(2.5x=1)，(x=0.4)，(y=0.2)，即(G(0.4,0.2))。四邊形(BEGF)的面積可以用梯形面積公式計算，上底(BE=0.5)，下底(FG)：先求(F(1,0.5))到(G(0.4,0.2))的距離？不，其實四邊形(BEGF)是一個四邊形，我們可以用坐標(biāo)法計算面積。將其分割為三角形(BEG)和三角形(BFG)？或者用矩形面積減去其他部分的面積。正方形(ABCD)的面積為(1\times1=1)。三角形(ADE)的面積：(A(0,0))，(D(0,1))，(E(0.5,0))，面積(S_1=\frac{1}{2}\times0.5\times1=0.25)。三角形(ABF)的面積：(A(0,0))，(B(1,0))，(F(1,0.5))，面積(S_2=\frac{1}{2}\times1\times0.5=0.25)。三角形(DGF)的面積？或者計算三角形(AGD)的面積：(A(0,0))，(G(0.4,0.2))，(D(0,1))，面積(S_3=\frac{1}{2}\times0\times(0.2-1)+0.4\times(1-0)+0\times(0-0.2))？不，用坐標(biāo)公式計算三角形面積，對于三點(diǎn)((x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3))，面積為(\frac{1}{2}\vertx_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)\vert)。所以三角形(AGD)的面積(S_3=\frac