瀘州市納溪中學(xué)教育集團(tuán)2025-2026學(xué)年上學(xué)期九年級(jí)期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：每小題3分，共36分。1．下列方程中，是關(guān)于x的一元二次方程的是（）A．a(chǎn)x2+bx+c＝0 B．x2+3y＝2x2﹣2 C．3（x+1）2＝2（x+1） D．2x2+3x＝2x2﹣22．下列標(biāo)志中，是中心對(duì)稱(chēng)圖形的圖形有（）A．4 B．3 C．2 D．13．下列一元二次方程有實(shí)數(shù)根的是（）A．x2﹣2x﹣2＝0 B．x2+2x+2＝0 C．x2﹣2x+2＝0 D．x2+2＝04．要得到拋物線y＝（x﹣1）2+3，可以將y＝x2（）A．向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度 C．向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度5．一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的解是（）A．x1＝1，x2＝2 B．x1＝1，x2＝﹣2 C．x1＝﹣1，x2＝﹣2 D．x1＝﹣1，x2＝26．用配方法解方程x2+8x+9＝0，變形后的結(jié)果正確的是（）A．（x+4）2＝﹣7 B．（x+4）2＝﹣9 C．（x+4）2＝7 D．（x+4）2＝257．若x＝﹣1是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝0（a≠0）的一個(gè)根，則2019﹣2a+2b的值等于（）A．2015 B．2017 C．2019 D．20228．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，以直角頂點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC旋轉(zhuǎn)到△A′B′C的位置，其中A′、B′分別是A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，且點(diǎn)B在斜邊A′B′上，直角邊CA′交AB于D，則旋轉(zhuǎn)角等于（）A．70° B．80° C．60° D．50°9．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．（2，1） B．（﹣2，1） C．（2，﹣1） D．（﹣2，﹣1）10．已知關(guān)于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍為（）A．k＞1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＞1且k≠2 D．k＜111．如圖所示，函數(shù)y＝ax2（a≠0）和y＝﹣ax+b（a≠0）在同一坐標(biāo)系中的圖象可能為（）A． B． C． D．12．拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝1，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），與y軸交點(diǎn)為（0，3），其部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．a(chǎn)﹣b+c＝0 B．關(guān)于x的方程ax2+bx+c﹣3＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 C．a(chǎn)bc＞0 D．當(dāng)y＞0時(shí)，﹣1＜x＜3二、填空題：（每小題3分，共12分）13．已知方程x2+mx+3＝0的一個(gè)根是1，則它的另一個(gè)根是．14．若是一元二次方程，則m的值是．15．若點(diǎn)A（a，4）與點(diǎn)B（﹣3，b）關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，則a+b＝．16．如圖，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝2，點(diǎn)A、B是拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0），在對(duì)稱(chēng)軸上有一點(diǎn)P，使PA+PC的值最小的P的坐標(biāo)為．三、解答題：（共13分）17．（6分）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝幸辉畏匠蹋海?）（x+1）2＝2（x+1）；（2）3x2+7x+2＝0．18．（7分）某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，今年產(chǎn)量為200件，計(jì)劃通過(guò)技術(shù)改造，使今后兩年的增長(zhǎng)率都相同，三年后產(chǎn)量達(dá)到288件，求增長(zhǎng)率．四、解答題：（共24分）19．（8分）已知x1，x2是方程2x2+2kx+k﹣1＝0的兩個(gè)根，且（x1+1）（x2+1）＝4．（1）求k的值；（2）求的值．20．（8分）如圖，P是正三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PA＝6，PB＝8，PC＝10，若將△PAC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到△P′AB．（1）求點(diǎn)P與點(diǎn)P′之間的距離；（2）求∠APB的大小．21．（8分）某超市購(gòu)進(jìn)一種單價(jià)為40元的籃球，如果以單價(jià)50元出售，那么每月可售出500個(gè)，根據(jù)銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn)，售價(jià)每提高1元，銷(xiāo)售量相應(yīng)減少10個(gè)，如果超市將籃球售價(jià)定為x元（x＞50），每月銷(xiāo)售這種籃球獲利y元．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）超市計(jì)劃下月銷(xiāo)售這種籃球獲利8000元，又要吸引更多的顧客，那么這種籃球的售價(jià)應(yīng)定為多少元？五、解答題：（共35分）22．（9分）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+2mx﹣m2+1（m為常數(shù)）．（1）求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)．（2）當(dāng)m為何值時(shí)，該函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)．（3）若函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在第二象限，求m的取值范圍．23．（8分）如圖，已知點(diǎn)A（﹣2，﹣1）、B（﹣5，﹣5）、C（﹣2，﹣3），點(diǎn)P（﹣6，0）．（1）將△ABC繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△A1B1C1，畫(huà)出△A1B1C1，并寫(xiě)出點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C1的坐標(biāo)為；（2）畫(huà)出△ABC關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)的圖形△A2B2C2，并寫(xiě)出點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A2的坐標(biāo)為．24．（8分）已知關(guān)于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．（1）求證：無(wú)論k取何值，此方程總有實(shí)數(shù)根；（2）若等腰△ABC的一邊長(zhǎng)a＝3，另兩邊b、c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求k值多少？25．（10分）如圖，已知拋物線與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)D是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)C、B不重合），過(guò)點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，交直線BC于點(diǎn)E，連接BD、CD．設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，△BCD的面積為S．求S關(guān)于m的函數(shù)解析式及自變量m的取值范圍，并求出S的最大值；（3）已知M為拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，若△MBC是以BC為直角邊的直角三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)．瀘州市納溪中學(xué)教育集團(tuán)2025-2026學(xué)年上學(xué)期九年級(jí)期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共12小題）題號(hào)1234567891011答案CCACDCABBCD題號(hào)12答案C二、填空題：（每小題3分，共12分）13．已知方程x2+mx+3＝0的一個(gè)根是1，則它的另一個(gè)根是3．14．若是一元二次方程，則m的值是1．15．若點(diǎn)A（a，4）與點(diǎn)B（﹣3，b）關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，則a+b＝﹣1．16．如圖，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝2，點(diǎn)A、B是拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0），在對(duì)稱(chēng)軸上有一點(diǎn)P，使PA+PC的值最小的P的坐標(biāo)為（2，﹣2）．三、解答題：（共13分）17．（6分）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝幸辉畏匠蹋海?）（x+1）2＝2（x+1）；（2）3x2+7x+2＝0．【解答】解：（1）原方程變形（x+1）2﹣2（x+1）＝0，即（x+1）（x﹣1）＝0．∴x+1＝0或x﹣1＝0．∴．（2）∵3x2+7x+2＝0，∴（3x+1）（x+2）＝0，∴．18．（7分）某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，今年產(chǎn)量為200件，計(jì)劃通過(guò)技術(shù)改造，使今后兩年的增長(zhǎng)率都相同，三年后產(chǎn)量達(dá)到288件，求增長(zhǎng)率．【解答】解：設(shè)該產(chǎn)品每年的平均增長(zhǎng)率為x，依題意得：200（1+x）2＝288，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合題意，舍去）．答：該產(chǎn)品每年的增長(zhǎng)率為20%．四、解答題：（共24分）19．（8分）已知x1，x2是方程2x2+2kx+k﹣1＝0的兩個(gè)根，且（x1+1）（x2+1）＝4．（1）求k的值；（2）求的值．【解答】解：（1）∵x1，x2是方程2x2+2kx+k﹣1＝0的兩個(gè)根，∴x1+x2＝﹣k，x1x2＝，∵（x1+1）（x2+1）＝4，∴x1x2+（x1+x2）+1＝4，即+（﹣k）+1＝4，解得：k＝﹣7，∴k的值為﹣7；（2）原式＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝（﹣k）2﹣4×＝k2﹣2k+2，當(dāng)k＝﹣7時(shí)，原式＝（﹣7）2﹣2×（﹣7）+2＝65，∴（x1﹣x2）2＝65．20．（8分）如圖，P是正三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PA＝6，PB＝8，PC＝10，若將△PAC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到△P′AB．（1）求點(diǎn)P與點(diǎn)P′之間的距離；（2）求∠APB的大小．【解答】解：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知AP′＝AP＝6，∠P′AB＝∠PAC，∴∠P′AP＝∠BAC＝60°，∴△P′AP是等邊三角形，∴PP′＝6；（2）∵P′B＝PC＝10，PB＝8，∴P′B2＝P′P2+PB2，∴△P′PB為直角三角形，且∠P′PB＝90°，∴∠APB＝∠P′PB+∠P′PA＝90°+60°＝150°．21．（8分）某超市購(gòu)進(jìn)一種單價(jià)為40元的籃球，如果以單價(jià)50元出售，那么每月可售出500個(gè)，根據(jù)銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn)，售價(jià)每提高1元，銷(xiāo)售量相應(yīng)減少10個(gè)，如果超市將籃球售價(jià)定為x元（x＞50），每月銷(xiāo)售這種籃球獲利y元．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）超市計(jì)劃下月銷(xiāo)售這種籃球獲利8000元，又要吸引更多的顧客，那么這種籃球的售價(jià)應(yīng)定為多少元？【解答】解：（1）由題意，得每個(gè)籃球所獲得的利潤(rùn)是（x﹣40）元，籃球每月的銷(xiāo)售量是[500﹣10（x﹣50）]個(gè)，設(shè)銷(xiāo)售這批籃球的利潤(rùn)為y元，由題意，得：y＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]＝﹣10x2+1400x﹣40000；（2）由題意可得：﹣10x2+1400x﹣40000＝8000，x2﹣140x+4800＝0，（x﹣60）（x﹣80）＝0，解得x1＝60，x2＝80，答：銷(xiāo)售定價(jià)為60或80元．五、解答題：（共35分）22．（9分）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+2mx﹣m2+1（m為常數(shù)）．（1）求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)．（2）當(dāng)m為何值時(shí)，該函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)．（3）若函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在第二象限，求m的取值范圍．【解答】（1）證明：∵二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝﹣x2+2mx﹣m2+1，∴Δ＝b2﹣4ac＝4m2+4（﹣m2+1）＝4＞0，∴不論m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)；（2）解：把（0，0）代入y＝﹣x2+2mx﹣m2+1中，得0＝﹣m2+1，解得m＝±1；（3）解：拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝，把x＝m代入y＝﹣x2+2mx﹣m2+1中，得y＝1，∵函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在第二象限，∴m＜0．23．（8分）如圖，已知點(diǎn)A（﹣2，﹣1）、B（﹣5，﹣5）、C（﹣2，﹣3），點(diǎn)P（﹣6，0）．（1）將△ABC繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△A1B1C1，畫(huà)出△A1B1C1，并寫(xiě)出點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C1的坐標(biāo)為（﹣3，4）；（2）畫(huà)出△ABC關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)的圖形△A2B2C2，并寫(xiě)出點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A2的坐標(biāo)為（2，1）．【解答】解：如圖，（1）△A1B1C1即為所求；點(diǎn)C1的坐標(biāo)為（﹣3，4）；（2）△A2B2C2即為所求；點(diǎn)A2的坐標(biāo)為（2，1）．故答案為：（﹣3，4），（2，1）．24．（8分）已知關(guān)于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．（1）求證：無(wú)論k取何值，此方程總有實(shí)數(shù)根；（2）若等腰△ABC的一邊長(zhǎng)a＝3，另兩邊b、c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求k值多少？【解答】（1）證明：∵Δ＝（2k+1）2﹣4×4（k﹣）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2≥0，∴該方程總有實(shí)數(shù)根；（2）x＝∴x1＝2k﹣1，x2＝2，∵a、b、c為等腰三角形的三邊，∴2k﹣1＝2或2k﹣1＝3，∴k＝或2，當(dāng)k＝時(shí)，方程化為x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2，三角形的三邊分別為2、2、3，符合題意；當(dāng)k＝2時(shí)，方程化為x2﹣5x+6＝0，解得x1＝2，x2＝3，三角形的三邊分別為2、3、3，符合題意；∴k的值為或2．25．（10分）如圖，已知拋物線與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)D是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)C、B不重合），過(guò)點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，交直線BC于點(diǎn)E，連接BD、CD．設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，△BCD的面積為S．求S關(guān)于m的函數(shù)解析式及自變量m的取值范圍，并求出S的最大值；（3）已知M為拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，若△MBC是以BC為直角邊的直角三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)．【解答】解：（1）設(shè)拋物線解析式為y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），即﹣3a＝3，解得：a