二、多選題(每小題6分，共18分)

2025-2026(上)高二第三次月考數(shù)學(xué)試卷

組題人：9.已知點(diǎn)P(-1,2)到直線l:4x-3y+C=0的距離為1,則C的值可以是()

一、單選題(每小題5分，共40分)A.5B.10C.-5D.15

1.雙曲線的漸近線方程為()10.設(shè)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=-√3(x-1)過拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，且與C交于M,N兩

點(diǎn)，1為C的準(zhǔn)線，則().

A.y=±4xB.C.D.y=±16x

2.經(jīng)過點(diǎn)P(0,1),且與直線y=2x-1垂直的直線方程是()A.p=2B.

A.y=2x+1B.C.以MN為直徑的圓與1相切D.△OMN為等腰三角形

C.D.11.棱長為2的正方體ABCD-AB?C?D?中，點(diǎn)E為側(cè)面BB?C?C內(nèi)一點(diǎn)(包括邊界),則以下說法正確

3.設(shè)向量a=(1m,2),b=(0,-1,2),若a1b,則m=()的是()

A.-2B.-1C.1D.4

4.空間直角坐標(biāo)系0-xyz中，已知兩點(diǎn)P(1-2,1),P?(-2,1,3),則這兩點(diǎn)間的距離為()

A.√21B.√22C.3√2D.18

5.已知P為橢圓上的一點(diǎn)，F(xiàn)、F?是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，∠FPF?=60°,則△F?PF?的面積值

為()

A.BC.D.√3

6.在直三棱柱ABC-AB?G中，AB⊥BC,BB?=2√2,AB=BC=2,M,N分別是B?C,AB的

中點(diǎn)，則直線BM與直線CN所成角的余弦值為()A.若點(diǎn)F為下底面ABCD內(nèi)一點(diǎn)(包括邊界),則EF的最大值為2√2

B.若AE=√5,則C?E的最小值為2√2-1

C.當(dāng)點(diǎn)E在棱B?G上，且,平面BDE截該正方體的外接球所得截面的面積為

D.若點(diǎn)E到直線BB?的距離是它到直線C?D?距離的2倍，則點(diǎn)E的軌跡是雙曲線的一部分

三、填空題(每小題5分，共15分)

ABC.D.12.用0,1,2,3這4個(gè)數(shù)字，可組成個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)(用數(shù)字作答)

7.已知橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為F,F?,下頂點(diǎn)為A,直線AF交C于另一點(diǎn)B,△ABF?的內(nèi)切13.P是拋物線y2=4x上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q(3,0)是x軸上的定點(diǎn)，則|PQ|的最小值為

圓與BF?相切于點(diǎn)P、若|BP|=|FF|,則C的離心串為()14.橢圓的光學(xué)性質(zhì)，從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線都匯聚到橢圓的另一個(gè)

B.C.D.

A.焦點(diǎn)上.已知橢圓C:,F,F?為其左、右焦點(diǎn).M是C上的動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)直線/為此橢圓C的切

8.已知直線：mx-y-3m+1=0與直線：x+my-3m-1=0相交于點(diǎn)P,線段AB是圓

線，右焦點(diǎn)F?關(guān)于直線I的對(duì)稱點(diǎn)P(x,y);S=|3x+4y?-22|,則S的取值范圍為___.

C:(x+12+(v+12=4的一條動(dòng)弦，且|AB|=2√3,點(diǎn)D是線段AB的中點(diǎn)，則PD|的取值范圍是()

A.[2√2,4√2]B.[2√2-1,4√2+1]

C.D..(2√2-1,4√2+1)

1

四、解答題(77分)

18.(17分)如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ACFD是菱形.AB⊥平面ACFD,平面DEF⊥平

15.(13分)已知直線4:x+y-3=0與直線l?:x-3y+1=0相交于點(diǎn)C,以C為圓心的圓過點(diǎn)A(0,1).面ACFD,且△ADF與ADEF都是正三角形.

(1)求圓C的方程：(1)求證：AC⊥BE.

(2)求過點(diǎn)B(4,5)的圓C的切線方程.

(2)若AB=2√3,AC=2,點(diǎn)G在棱EF上，且點(diǎn)C到平面AGB的距離為

(i)求AG:

(ii)求平面AGB與平面AGC夾角的余弦值.

16.(15分)如圖，在長方體ABCD-AB?C?D?中，AB=AD=2,AM=2√2,M為棱DD?的中點(diǎn).

(1)證明：AM1平面ACD;

(2)求直線BD?與平面ACD所成角的正弦值.19.(17分)從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)過雙曲線的反射后，反射光線是散開的.反射光線

的反向延長線過另一個(gè)焦點(diǎn)，它們就好像是從另一個(gè)焦點(diǎn)射出的一樣，雙曲線的這一光學(xué)性質(zhì)也被人

們廣泛應(yīng)用.如圖，已知雙曲線的漸近線方程為y=±2√2x.0為坐標(biāo)原點(diǎn).

F.F?分別為左、右焦點(diǎn)，4,A分別為左、右頂點(diǎn).由其光學(xué)性質(zhì)知.由F?發(fā)出的光線經(jīng)雙曲找C

上一點(diǎn)P。(3,8)反射后，反射光線的反向延長線過點(diǎn)F,連接PF交雙曲線于P,

P也是一個(gè)反射點(diǎn)，連接PF?交雙曲線于P,則P?也是一個(gè)反射點(diǎn)，再連接PF?.

交雙曲線于P,則P也是一個(gè)反射點(diǎn)，..…由各反射點(diǎn)連線得到折線

PP-PP-PP-PP……,設(shè)第n個(gè)反射點(diǎn)為P,(x?,y.)(n=0,1,2,3…).

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求直線PP?的斜率；

17.(15分)已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M(3,m)在拋物線上，且|MF|=5.(3)證明：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，直線OP與直線PP的斜率之積為定值.

(1)求拋物線的方程；

(2)過焦點(diǎn)F的直線1交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若|AB|=16,求直線I的方程.

2

高二第三次月考數(shù)學(xué)參考答案

3r3-10x+3=(x-3)(3x-1)=0.解得.日選項(xiàng)錯(cuò)誤C

題號(hào)1234567891011

選項(xiàng)：設(shè)MN的中點(diǎn)為A,M,N,A到直線/的距離分別為d,d,d,因?yàn)?/p>

答案BCDBCABDADACBC

5.C【詳解】由題意[PF|+|PE|=6,焦距為|FE|=2√5,平方可得|PE2+|PF:P+2|P,||P|=36,即A到直毀/的距離等于JV的一豐，所以以3V為直臣的圓

與直線I相切，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)：直線y=-√5(r-1),即√x+y-√3=0,0到匪線·ray-F=0的

由余弦定理可得FF?P=|PFP+IPF?P-2|PFIIPFlcos60=20,兩式相減可得

距離為,所以三角形OMV的面積為由上述分折可知

所以△FPF?的面積故選：C

6.A【詳解】由題意可知BA,BC,BB,兩兩垂直，故分別以直線BA,BC,BB,為y?=—√3(3-1)=-2√3,.所

x軸，V軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B(0,0,0),C(0,20),M(0,1,2√2)所以三角形OMN不是等腰三角形，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.

N(L0,2√2),所以BM=(0,1,2√2),CN=(1-2,2√2),設(shè)直線BM與直線CN所成角

為θ,,所以直線BM與直線CN所成角的余弦值為

7.B【詳解】設(shè)橢圓的長軸長為2a,短軸長為2b,焦距為2c,則B|P|=|FF|=2c,

|AF?|=a,設(shè)△ABF?的內(nèi)切圓與AF,AF?相切于點(diǎn)M,N,如圖所示，則

|AM|=|AN,|PF?|=|NF?|,|BP|=|BM|=2c,

所以AF?|=|AM|+|NE?|=|AM|+|PF?|=a,所以△ABF?的周長為

|AB|+|AF?|+|BE?|=(BM|+|4MD+(AN|+|NF?D+(BP|+|PF?D=4c+2a,由橢

圓定義可得，|AB|+|AF?|+|BF?|=4a,所以4c+2a=4a,則

:可知外接球半徑為所以截面圓半徑

8.D【詳解】∵直線l:mx-y-3m+1=0,整理得m(x-3)-(y-1)=0,則直線l恒過定點(diǎn)M(3,1),

同理l:x+my-3m-1=0,整理得x-1+m(y-3)=0,則直線l恒過定點(diǎn)N(1,3),

所以所求截面的面積,可知C正確對(duì)于D:因?yàn)辄c(diǎn)E為側(cè)面BB?C?C內(nèi)

∵AA+B?B?=1×m+(-1)×m=0,⊥l,二點(diǎn)P的軌跡為以MN為直徑的圓，

一點(diǎn)(包括邊界),設(shè)E(x,2,z)(x,z∈[0,2]),則點(diǎn)E到直線BB的距高為2-x.

圓心O,(2,2),半徑∵點(diǎn)(3,3)不在直線，上，

因?yàn)镃?D?1平面BB?C?C,C?Ec平面BB?C?C,所以C?D?⊥CE,所以點(diǎn)E到直線C?D?

二點(diǎn)P的軌跡方程為(x-2)2+(y-2)2=2,不含點(diǎn)(3,3).圓C:(x+1)2+(y+1)2=4

距離為√2+(z-2)2,所以2-x=2√x2+(z-2)2,所以

是以O(shè)?(-1,-1)為圓心，半徑r=2的圓，圓與圓的位置關(guān)系如下圖所示，連接O?D,

所以點(diǎn)E的軌跡是橢圓的一部分，故D錯(cuò)誤.故選：BC

∵|AB|=2√3,線段AB是動(dòng)弦，D為中點(diǎn)，∴點(diǎn)D的軌跡是以O(shè)?(-1,-1)12.18

13..2√2【詳解】設(shè)P(x,x),則2=4x?,易知P|e|=√(x-3)2+(y。-02=√-6x+9+y

為圓心，半徑是r?=1的圓，方程為(x+1)2+(y+1)2=1,:圓心距|Qo?1=√[2-(-1)]2+[2-(-1]=3√2,

=√-2x?+9=√(?-1)2+8≥2√2,當(dāng)且僅當(dāng)石=1時(shí)取得最小值故答案為：2√2

二副除點(diǎn)(3,3),則oO?|-r-rz?≤|PD|<|oO?|+?+r?,故選：D.

14.[5,45]【詳解】右焦點(diǎn)F?(1,0)關(guān)于直線I的對(duì)稱點(diǎn)P(x,y).設(shè)切點(diǎn)為A,由橢圓的光學(xué)性質(zhì)可得：

9.AD【詳解】由點(diǎn)線距離公式C=5.故選：ADP,A,F?三點(diǎn)共線，所以|FP=|FA+|AP|=|FA+|AF?|=2a=4,即點(diǎn)P(x,y)的軌跡是以(-1,0)為圓心，

10.AC【詳解】A選項(xiàng)：直線y=-3(x-1)過點(diǎn)(1,0),所以拋物線C:y2=2px(p>0)半徑為4的圓，圓心(-1,0)到直線3x+4y-22=0的距離為,則圓上

的焦點(diǎn)F(1,0),所以A選項(xiàng)正確，且拋物線C的方程為y2=4x.B的點(diǎn)到直線3x+4y-22=0的距離最小值為5-4=1,最大值為5+4=9,所以點(diǎn)

P(x,y)到直線3x+4y-22=0的距離為,所以S=|3x?+4y?-22|表示

選項(xiàng)：設(shè)M(x,y?),N(x?,y?),由消去并化簡得

點(diǎn)P(x,y)到直線3x+4y-22=0的距離的5倍，則S=|3x+4y?-22|e[1×5,9×5].即Se[5,45].

3

15.【詳解】(1)由得,即C(21),、由題意圓C的半徑為|AC|=2,設(shè)平面AGB的法向量為π=(x,y,z),則

故圓C的方程為(x-2)2+(y-1)2=4.

(2)當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，方程為x=4,與圓相切，符合題意.當(dāng)切線的斜率存在取y=√3,得π=(0,53,-2),所以點(diǎn)C到平面AGB的距離為,解得

時(shí)，設(shè)斜串為k,則切線方程為：y-5=k(x-4),即-y-4k+5=0,由題意

所以

,即|k-2|=√k2+1,兩邊分別平方得(k-2)2=k2+1,

由知平面的一個(gè)法向量.設(shè)平面AGC

得,故切線方程為,即3x-4y+8=0,綜上過點(diǎn)B(4,5)的圓C的切線方程為x=4,(ii)AC=(0,2,0),(i)AGB

3x-4y+8=0.

的法向量為而=(a,b,c),則即取c=1,得而=(-2,0,1),設(shè)平面AGB與平

16.【詳解】(1)如圖，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB,AD,AA所在直線分別為x軸、

V軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則A(0,0,0),M(0,2√2),4(0,0,2√2),c(22,0),

面AGC的夾角為θ,則即平面AGB與平面AGC夾角的余弦值為

D(0,2,0),D(0,22√2),B(2,0,0),AM=(0,2√2),ZD=(0,2,-2√2),

CD=(-20,0).因?yàn)锳M·AD=0+4-4=0,M·D=0+0+0=0,所以AM⊥?D

19.【詳解X1)因?yàn)镻(3,8)在雙曲線上，聯(lián)立,解則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

AM⊥CD.因?yàn)锳D,CDc平面ACD,ADNCD=D,所以AM1平面ACD.

(2)由(1)得AM是平面ACD的一個(gè)法向量，BD?=(-2,2,2√2).設(shè)直線BD,與平面ACD所成的角

(2)因?yàn)镻(3,8),P(x,y?),F?(-3,0),聯(lián)立,解得或(舍去),則P

為θ,,故

已知F?(3,0),則y..),P.(,y),

則直線BD?與平面ACD所成角的正弦值為?

(3)證明：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，取連續(xù)3個(gè)反射點(diǎn)P(x,y.),P.(x.

17.【詳解】(1)根據(jù)拋物線的定義可知，,即,解得p=4,

則直線P.F的方程為與雙曲線交于點(diǎn)P(xa,y.),1,消去x得

所以拋物線的方程為y2=8x.?

(2)由(1)知，拋物線焦點(diǎn)為F(2,0),若直線1的斜串不存在，則A(2,4),B(2,-4),

則|AB|=8,不滿足題意，所以直線I的斜率存在且不為零，并設(shè)為k,則l:y=k(x-2),

設(shè)A(x,y,),BCx?,y?),聯(lián)立消去y可得，Rx2-(4k2