2026年長(zhǎng)春市高三畢業(yè)班質(zhì)量監(jiān)測(cè)(一)

數(shù)學(xué)

本試卷共4頁(yè)。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

注意事項(xiàng)：1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確

粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡

的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書

寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正

帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知集合A={x|3<x<7},B={x|2<x<6},則A∩B=

A.{x|2<x<7}B.{x|3<x<6}

C.{x|2<x<3}D.{x|6<x<7}

2.已知向量a=(4,1),b=(2,m),a⊥b,則m=

A.B.-1C.-4D.-8

3.復(fù)數(shù)的虛部是

A.-1B.1C.D.

4.記S,為公比q≠1的等比數(shù)列{a,}的前n項(xiàng)和，若首項(xiàng),則a?=

A.2B.1C.D.-1

5.若,則sin2x=

BC.D.

6.已知log?[log?(log?x)]=0,則x=

A.8B.27C.125D.243

數(shù)學(xué)試卷第1頁(yè)(共4頁(yè))

7.如圖，在平行六面體ABCD-A?B?C?D?中，若

BD?=xAB+yAD+zAA,則(x,y,z)=

A.(-1,1,1)B.(1,-1,1)

C.(1,1,-1)D.(-1,-1,-1)

8.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(x)+f(x-2)=0,且f(-1)=2,則

f(1)+f(2)+……+f(2026)=

A.4B.2C.0D.-2

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

9.已知函數(shù),則

A.函數(shù)f(x)的最小正周期為π

B.函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減

C.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱

D.將函數(shù)f(x)的圖象向左平移個(gè)單位得到的函數(shù)為奇函數(shù)

10.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F(1,0),A,B為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，M為

線段AB的中點(diǎn)，N(3,2),則

A.p=2

B.若|AF|+|BF|=10,則點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為4

C.|AN|+|AF|的最小值為4

D.若AF=2FB,則

11.已知正方體ABCD-A?B?C?D的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)P是側(cè)面

BCC?B?上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(含邊界),點(diǎn)E和點(diǎn)F分別是棱CC?

和AA的中點(diǎn)，則

A.平面D?EF截該正方體所得的截面圖形是正方形

B.平面D?EF⊥平面BDD?B?

C.若|AP|=√5,則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為

D.若點(diǎn)P在BB?上，則|PD|+|PE|的最小值為√17

(長(zhǎng)春一模)數(shù)學(xué)試卷第2頁(yè)(共4頁(yè))

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.過(guò)A(0,0),B(1,√3),C(4,0)三點(diǎn)圓的方程為_·

13.若函數(shù)f(x)=ae?-x,且(x-2)f'(x)≥0恒成立，則實(shí)數(shù)a=_·

14.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)了

橢圓的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)射出的光線，經(jīng)橢

圓反射，其反射光線必經(jīng)過(guò)橢圓的另一焦點(diǎn).設(shè)橢圓

M1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F?、F?,

若從F?發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)M上的點(diǎn)A和點(diǎn)B反射后，滿

足AB⊥AD,,則M的離心率為

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

15.(13分)

已知橢圓1(a>b>0)的離心率為,右焦點(diǎn)F(1,0).

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過(guò)F且傾斜角為45°的直線1與橢圓相交于A,B兩點(diǎn)，求|AB|.

16.(15分)

在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若且△ABC的

面積為

(1)求ac的值；

(2)若bsinC=2√2,求AC邊上的高BD.

17.(15分)

已知S,為數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和，若S?=6,S?=42,且為等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列{b,}的首項(xiàng)為2,且,求數(shù)列{b,}的前n項(xiàng)和Tn.

數(shù)學(xué)試卷第3頁(yè)(共4頁(yè))

18.(17分)

如圖，底面為銳角三角形的直棱柱ABC-A?B?C?中，

AC=BC,AA?=AB,點(diǎn)D在線段AB?上，且滿足AD=λAB?,

點(diǎn)E為BB的中點(diǎn).

(1)當(dāng)時(shí)，證明：DE/I平面A?BC;

(2)若平面AA?C?與平面AB?C?所成角的余弦值為

(i)求異面直線AB,與CE所成角的大?。?/p>

(ii)已知直線CD與平面AB?C?所成角的正弦值為,求λ的值.

19.(17分)

已知函數(shù)f(x)=xlnx.

(1)求f(x)在x=1處的切線方程；

(2)若Vx∈(0,π),使f(x+1)+asinx>0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)證明：

(長(zhǎng)春一模)數(shù)學(xué)試卷第4頁(yè)(共4頁(yè))

2026年長(zhǎng)春市高三畢業(yè)班質(zhì)量監(jiān)測(cè)(一)(1)求ac的值：

(2)若bsinC=2√2,求AC邊上的高BD.

數(shù)學(xué)答案【詳解解答】

(1)△ABC的面積.

題號(hào)12345678

答案

BDBBCCAD乂

題號(hào)91011

答案ACACDBC

則.(6分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.(x-2)2+y2=4或x2+y2-4x=0.(2)b·sinC=c·sinB=2√2,又

13.e?2則c=3,

4由余弦定理，

則

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.(13分)

由面積橋可知!

已知橢圓(a>b>0)的離心率為,右焦點(diǎn)F(1,0).

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(15分)

(2)過(guò)F且傾斜角為45'的直線I與橢圓相交于A,B兩點(diǎn)，求|AB|.

【詳解解答】

17.(15分)

(1)由橢圓(a>b>0)的離心率為,可設(shè)c=1,a=21,則b=√31,

已知S?為數(shù)列(a}的前n項(xiàng)和，若S?=6,S?=42,且數(shù)列為等差數(shù)列.

由右焦點(diǎn)F(L,0),可知c=t=1,則a=2,b=√3,

(1)求數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式：

即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(6分)

(2)若數(shù)列(b)的首項(xiàng)為2,且,求數(shù)列{b.}的前n項(xiàng)和T.

【詳解解答】

(2)過(guò)F且傾斜角為45'的直線I的方程為x=y+1,與橢圓聯(lián)立可得：

(1)由題意，又?jǐn)?shù)列為等差數(shù)列，則{的公差為1.

3(+1)2+4y2-12=0,即7y2+6y-9=0,可得

即則S?=n2+n.

當(dāng)n≥2時(shí)，ag=S?-Sa-1=2n,當(dāng)n=1時(shí)，,即a?=2,

(13分)

數(shù)列{a)的通項(xiàng)公式為a?=2n.(6分)

16.(15分)(2)

在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若,且△ABC的

面積為

數(shù)學(xué)答案第1頁(yè)(共5頁(yè))數(shù)學(xué)答案第2頁(yè)(共5頁(yè))

由△ABC為銳角三角形，則CM=n>1,即取n2=2r2,即n=√21.

又AB?=(-27,0,2r),CE=(-1,n,f)=(-1,√2r,t),

.....

設(shè)異面直線AB,與CE所成角為α,

累乘可得

異面直線AB?與CE所成角的大小為45.

(ii)AD=λAB?=i(-21,0,2/)=(-2Z1,0,2元z),則D(1-221,0,2z/)

由b?=2,

CD=(t-22t,n,221)=(t-2ir,√2r,2λr),n?=(n,t,n)=(√21,r,√2r)

數(shù)列{b。}的前n項(xiàng)和.(15分)設(shè)直線CD與平面AB?C所成角為β,

18.(17分)

如圖，底面為銳角三角形的直棱柱ABC-AB?C?中，則(17分)

AC=BC,A??=AB,點(diǎn)D在線段AB?上，且滿足AD=2.AB,

點(diǎn)E為BB,的中點(diǎn).

(1)當(dāng)時(shí)，證明：DE/1平面ABC;19.(17分)

已知函數(shù)f(x)=xlnx.

(1)求f(x)在x=1處的切線方程：

(2)若平面AAC?與平面ACB?所成角的余弦值為

(2)若Vx∈(0,π),使f(x+1)+asinx>0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(i)求異面直線AB?與CE所成角的大小；

(3)證明：

(ii)已知直線CD與平面AB?C?所成角的余弦值為,求λ的值.

【詳解解答】

【詳解解答】

(1)f'(x)=1+lnx,f'(1)=1且f(1)=0.

(1)由,連結(jié)4B可得：DEIIA?B,則f(x)在x=1處的切線方程為y=x-1.(4分)

(2)由f(x+1)+asinx>0,可得(x+1)In(x+1)+asinx>0,

.(4分)

設(shè)g(x)=(x+1)ln(x+1)+asinx

g'(x)=1+ln(x+1)+acosx

(2)(i)取AB中點(diǎn)M,A?B?中點(diǎn)M,

令h(x)=g'(x)=1+ln(x+1)+acosx

以M為原點(diǎn)，以MA方向?yàn)閤軸，以CM方向?yàn)檩S，

以MM?方向?yàn)?軸，建立如圖所示坐標(biāo)系.(x∈(0,π))且g(0)=0,g'(0)=l+a

設(shè)A4=AB=21,CM=n,

(i)當(dāng)a≥0,x∈(0,π)時(shí)，顯然g(x)中的(x+1)In(x+1)>0,asinx≥0,則g(x)>0

則A(1,0,0),C(0,-n,0),C(0,-n,21),B?(-1,0,21),E(-1,0,1)恒成立.

CA=(1,n,0),CC?=(0,0,21),