2025新教材數(shù)學(xué)高考第一輪復(fù)習(xí)

4.3導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用

五年高考

考點(diǎn)1利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

1.（2023天津,20節(jié)選，中）已知函數(shù)/（工）=&+頡2+1）.

⑴求曲線產(chǎn)/W在x=2處切線的斜率；

（2）當(dāng)x>o時(shí),證明:小）>1.

2.（2017課標(biāo)〃/,21』2分，中）已知函數(shù)/（X尸lnx+Q/+（2a+l）x.

（1）討論/（x）的單調(diào)性；

⑵當(dāng)a<0時(shí)，證明火x）金總

3.(2021全國(guó)乙理,20,12分，中)設(shè)函數(shù)/(x)=ln(a-x),已知x=0是函數(shù)尸貝x)的極值點(diǎn)

⑴求。；

⑵設(shè)函數(shù)蛉)丹得.證明:g(x)vl.

4.(2021新高考/,22,12分，難)已知函數(shù)於

(1)討論"0的單調(diào)性；

(2)設(shè)a,b為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且h\na-a\n/>=〃-/),證明:2<：+*e.

考點(diǎn)2利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒（能）成立問題

1.（2019課標(biāo)/文,20,12分，中）已知函數(shù)/（x）=2sinx?xcos.E-x,/Q訥/（x）的導(dǎo)數(shù).

⑴證明:/。）在區(qū)間（0,兀）存在唯一零點(diǎn)；

（2）若［0,兀］時(shí),/（x）Fx,求a的取值范圍.

2.（2020新高考1,21,12分灘）已知函數(shù)/（X尸ae'"-lnx+lna.

⑴當(dāng)a=e時(shí)，求曲線片/（x）在點(diǎn)（1川））處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積;

⑵若加閆,求a的取值范圍.

3.(2020課標(biāo)II文,21,12分，難)已知函數(shù)危尸21nx+L

(1)若/(x)02x+c,求c的取值范圍；

(2)設(shè)A0,討論函數(shù)g(x)-"工⑷的單調(diào)性.

4.(2022新高考II,22,12分，難)已知函數(shù)危尸泄嘰心

⑴當(dāng)。=1時(shí)，討論./(X)的單調(diào)性；

⑵當(dāng)x>0時(shí)J(x)v?l,求a的取值范圍；

(3)設(shè)〃eN*,證明:高+矗+…+高小田).

考點(diǎn)3利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問題

1.(2021全國(guó)甲文,20,12分，中)設(shè)函數(shù)小尸心2+儀.3皿#1,其中a>0.

(1)討論/U)的單調(diào)性；

(2)若y=/(x)的圖象與x軸沒有公共點(diǎn)，求a的取值范圍.

2.(2020課標(biāo)/文,20,12分，中)已知函數(shù)/(X尸e%(x+2).

⑴當(dāng)a=1時(shí)，討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

3.(2022新高考/,22,12分，難)已知函數(shù)/(工尸小口丫和g(x)=or-lnx有相同的最小值.

⑴求。；

⑵證明:存在直線產(chǎn)仇其與兩條曲線歹=/(x)和尸g(x)共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的

三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

4.(2021全國(guó)甲理,21,12分，難)已知心0R存1,函數(shù).危){%>0).

⑴當(dāng)a=2時(shí)，求危)的單調(diào)區(qū)間;

⑵若曲線月2與直線y=l有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍.

三年模擬

綜合拔高練1

1.(2024屆湖北宜昌一中月考,22)已知函數(shù)/(x)=lnx嚀■0%)=幽用二.

(1)討論函數(shù)段)的單調(diào)性;

⑵求證:當(dāng)0<6f<l時(shí)

2.(2024屆山東煙臺(tái)?？寄M預(yù)測(cè),21)設(shè)函數(shù)7(x)=(x2-2x)e\g(x)=e21nx-aex.

(1)若函數(shù)躍》)在(e,+8)上存在最大值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)當(dāng)。=2時(shí)，求證:/⑴>雙。

3.（2024屆河北邯鄲?？寄M,21）已知函數(shù)/（工）=%2/*〃ER）

⑴已知曲線"）在（0,火0））處的切線與圓x2+y2-2x-2y-3=0相切,求實(shí)數(shù)a的值;

⑵已知x>0,f（x）<-x2-ax-a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

4.（2024屆江蘇南京二中?？?22）已知函數(shù)y（x）=41nx?a5號(hào)（破0）.

⑴當(dāng)樂|時(shí)，求?。┑臉O值；

⑵當(dāng)a>\時(shí)，設(shè)g（x尸2eM#2d若存在枚,2卜使得?/卜）>娘2）,求實(shí)數(shù)a的取值范

圍.（e=2.71828…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

綜合拔高練2

1.(2024屆江蘇南京期中,8)設(shè)函數(shù)y(x)=cY2x-l)?ax+a,其中。<1,若存在唯一的整數(shù)項(xiàng)使得

.Kxo)vO,則a的取值范圍是()

A[3r33\

4卜3，1)D

C?朋)D心1)

2.(2024屆福建漳州三中月考,22)函數(shù)"v,Psinx,g(x)=(x+l)cosx-V2cv.

(1)求/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)WX1?,VX2&[o,,,使/Ul)+g(X2心加成立,求實(shí)數(shù)M的取值范圍；

⑶設(shè)/[(刈:今:風(fēng)燈-〃win2x,n為正實(shí)數(shù)，討論力(x)在(0,g)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

3.(2023湖北武漢武昌質(zhì)檢,22)已知函數(shù)/(X)-“'與g(x)Tog<Ma>0,.n.存1).

⑴求曲線?尸g(x)在點(diǎn)(1￡(1))處的切線方程；

⑵若a>l,〃(x)=/(x)?g(x)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

4.（2023江蘇蘇州聯(lián)考,21）設(shè)函數(shù)./U尸a（2x-1）+（2屋+l）In（-x）,a4R

⑴討論;U）在定義域上的單調(diào)性；

⑵當(dāng)吟0時(shí)，討論./（X）在［一1,一4上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

4.3導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用

五年高考

考點(diǎn)1利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

1.(2023天津,20節(jié)選，中)已知函數(shù).危尸G+g)ln(x+l).

⑴求曲線y=/(x)在x=2處切線的斜率；

⑵當(dāng)x>0時(shí)，證明:於)>1.

解析(1,'(X)-:-白3+1),故曲線廣企)在x=2處的切線斜率為"2)=4-T-

⑵指數(shù)找朋友法.

證明:當(dāng)x>0時(shí),/(x)>l=lna+l).鳥>0,令g(x)=lna+l)島Q0g(x尸抄2>0,故gG)在

XI乙4I乙IwXIAJ(入'I4)

(0,+8)上單調(diào)遞增，因此g(x)>g(0)=0,原不等式得證.

2.(2017課標(biāo)〃/,21,12分，中)已知函數(shù)｛x)=lnHax2+(2a+l)x

(1)討論/)的單調(diào)性;

⑵當(dāng)a<0時(shí)，證明AX)<~2.

解析的定義域?yàn)?O.+8)J(X)W+2QX+2Q+1="牛也.

若位0,則當(dāng)x￡(0,+oo)時(shí)

故在(0,+8)單調(diào)遞增.

若。<0,則當(dāng)(0,-J時(shí),/'(x)>0;

當(dāng)(一2+8)時(shí)

故/⑺在(0,—3單調(diào)遞增，在(-3+8)單調(diào)遞減.

⑵證明油(1)知，當(dāng)a<0時(shí)在尸斗取得最大值，最大值為/(一9=

所以於H4-2等價(jià)于In(-J一1一得三一高2,

即ln(T)+%a

設(shè)g(x)=lnx-x?1,

則四斗1.

當(dāng)x￡(O,l)時(shí),gq)>0;當(dāng)x￡(l,+8)時(shí)ga)vo.所以g(x)在(0,1)單調(diào)遞增，在(1,+8)單調(diào)遞減.

故當(dāng)x=\時(shí),g(x)取得最大值，最大值為g⑴=0.所以當(dāng)x>0時(shí),g(x)<0.從而當(dāng)

"0時(shí),、(一/)+^+號(hào)0,即./)士￡2.

3.(2021全國(guó)乙理,20,12分，中)設(shè)函數(shù)./(x)=ln(4-x),已知x=0是函數(shù)產(chǎn)v/(x)的極值點(diǎn)

⑴求。；

⑵設(shè)函數(shù)g(x)丹震.證明:g(x)<L

町I町

解析(1)第一步，利用尸0是函數(shù)尸叭X)的極值點(diǎn)求。

由題意得y=xj[x}=x\n(67-A-)rVe(-8,〃)，

1x

—(-1)=ln(?-x)--,

Vx=0是函數(shù)片猶x)的極值點(diǎn)，

；?可得〃=1.

Q—0

第二步，證明求出的。滿足條件.

當(dāng)。=1時(shí),y=ln(l-x)/c￡(-8,l),

1-X

令p(x)=ln(1e(-00,1),

1-X

則-+=品，

易知當(dāng)x￡(?8,l)時(shí)次。)<0恒成立.

???p(x)在(?8,1)上為減函數(shù)，又p(0)=0,

當(dāng)(-8,0)時(shí),p(x)>0;當(dāng)(0,1)時(shí),p(x)v。，

函數(shù)產(chǎn)U(x)=xln(1㈤在(-x),0)上為增函數(shù)，在(0,1)上為減函數(shù).

???當(dāng)a=1時(shí)k0是函數(shù)y=-(/(x)的極值點(diǎn).二a=1.

(2)證明:由⑴知a=1,.*./(x)=ln(1㈤/e(-coJ),

當(dāng)x￡(0』)時(shí)，八外=ln(l?x)<0,

???M(x)<0;

當(dāng)xW(-8,0)時(shí),/(x)=ln(1-x)>0,

/.A/(X)<0,

???要證以刈=學(xué)?<1(g(》)的定義域?yàn)?-8,0)U(0』)),只需證x+j{}>xf[x\

XJ\X)x

只需證x*ln(l-x)>xln(1-x),

只需證x+(l-x)ln(l-x)>0,

令h(x)=x+(1-x)ln(l-x),x<1且石電

則h'(x)=l-ln(l-x)-l=-ln(l-x),

???當(dāng)x￡(O,l)時(shí)"(x)>O/(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x￡(?8,0)時(shí)用x)vO,g)單調(diào)遞減,

???當(dāng)xe(-oo,0)U(0,1)時(shí),〃。)>加0尸0,

/.x十(1-x)ln(l-x)>0在(-8,0)U(0,1)上恒成立.

4.(2021新高考/,22,12分，難)已知函數(shù)｛x)=x(l-lnx).

⑴討論./(X)的單調(diào)性；

⑵設(shè)a,b為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且b\na-Hn6=a也證明:2v：+1<e.

解析(1)函數(shù)/W的定義域?yàn)?0,+8),/Q)=-lnA?，令解得0<x<l,令/(x)<0,解得x>l,

所以函數(shù)./W在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減.

(2)證明:由Mna-alnb=a-b得31+lna)=1(l+lnb),即—ln^=一In)

令xi=^^2=1,則x1K2為j(x)=k的兩個(gè)實(shí)根，當(dāng)x—0一時(shí)0;當(dāng)x->+8時(shí),y(x)->-co,K/(l)=l,

故咐0,1),

不妨令xi￡(0,1)日6(1,e),則2-xi>l,e-xi>l,

先證明加+工2>2,即證X2>2-?,

即證/(X2)=/(?)V/(2-Xl).

令以])=/)]/(2*^￡(0,1),

則〃Q)=/'QH/'(2?x尸-Inx-ln(2-x)

=-ln[x(2-x)].

Vxe(0,l),/.x(2-x)e(0,l),

：.h\x)>0恒成立，

??./?(x)為增函數(shù),

h(x)<h(1)=0.

??漢刈哄2MV0,即《川欣2M,

?*?y(X2)</(2-Xl),.\X2>2-X1,.*.X\+X2>2.

再證xi+x2<e.

設(shè)X2=g，則01,

結(jié)合如lnh+111

±1ILL

a

可得XI(I-Inxi)=X2(l-lnX2)y

即l-lnxi=/(l-lnblnxi),故Inx\-1

t—1

要證xi+x2〈e,即證(什l)xi<e.即證ln(Z+l)+lnxi<l,

即證ln"+1)+],即證?_])]n?+l)-dnr<0,

t—1

令5(0=(M)ln(r+l)-Hnz,r>l,

則S'"尸ln(r+l)+；+：—1—In￡=In(1+—

因?yàn)镮n(x+1)夕(x>?1,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立),

所以可得當(dāng)/>1時(shí),ln(l+：)<!<告，

故S")〈0恒成立，

故S。)在(1,+s)上為減函數(shù)、故￡(f)vS(1)=0,

故(bl)ln(什l)“l(fā)nr<0成立，即x)+x2<e成立.

綜上所述,2g+%e.

考點(diǎn)2利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒（能）成立問題

1.（2019課標(biāo)/文,20,12分，中）已知函數(shù)/（x）=2s分x-xcosK-X,/。）為何）的導(dǎo)數(shù).

⑴證明:/。）在區(qū)間（0㈤存在唯一零點(diǎn)；

（2）若工￡[0川時(shí),/（X）NQX,求a的取值范圍.

解析⑴證明:設(shè)g（x）=/、（X）,

則g（.v）=cosx+xsinx-1,g'（x）=xcosx.

當(dāng)xW（。弓）時(shí),g'（X）＞0；當(dāng)xE&TT）時(shí),gtX）＜0,

所以g（x）在（04）上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

又g（0尸0,g《）＞0,g（兀尸-2,故g（x）在（0,兀）存在唯一零點(diǎn).所以/。）在。兀）存在唯一零點(diǎn).

（2）由題設(shè)知/（兀巨。花,加尸。,可得a＜0.

由⑴知在（0㈤只有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為祀,且當(dāng)工￡（0向時(shí),/3＞0;

當(dāng)xe（xo,7i）時(shí)J?）VO,所以/（x）在（0曲）上單調(diào)遞增，在（X0,兀）上單調(diào)遞減.

又/（0尸0,/（兀尸0,所以，當(dāng)x￡[0,兀]時(shí)＜x）K）.

又當(dāng)。30/￡[0,兀]時(shí),a爛0,故

因此4的取值范圍是（@,0]

2.(2020新高考1,21,12分，難)已知函數(shù)./(x)=ao'Lln;rHna.

⑴當(dāng)。=e時(shí)，求曲線產(chǎn)心)在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；

⑵若./WN1,求。的取值范囿

解析(1)當(dāng)a=e時(shí),/(x)=eMnx+1J(l)=e-l,曲線月(x)在點(diǎn)(141))處的切線方程為

y-(e+l)=(e-l)(x-l),B|Jy=(e-l)x+2.

直線廠(e?l)x+2在x軸樂上的截距分別為高2

因此所求三角形的面積為二易錯(cuò):容易忽略三角形的面積應(yīng)大于0而把結(jié)果寫成三.

e-le-1

(6分)

(2)當(dāng)0<。<1時(shí)尸o+ln

當(dāng)a=1W，Xx)=er-l-lnxJQ尸尸一.當(dāng)x￡(0』)時(shí)/Q)<0;當(dāng)x￡(1,+8)時(shí)JQ)>0.所以當(dāng)x=1

時(shí)J")取得最小值，最小值為/(1)=1,從而,小舊

當(dāng)a>\時(shí),./(x)=aeN-lnx+lna>eE-lnx2L

綜上/的取值范圍是［1,+8).(12分)

3.(2020課標(biāo)II文,21,12分，難)已知函數(shù)網(wǎng)=21nx+l.

(1)若<x)W2x+c,求c的取值范圍；

(2)設(shè)心0,討論函數(shù)g(x)-八?二⑷的單調(diào)性.

解析⑴設(shè)h(x)=fix)-2x-c^\A(x)=21nx-2x+\-c,

其定義域?yàn)?0,+8)/?)三一2=X詈.

當(dāng)0令<1時(shí)”(<)>0;當(dāng)工>1時(shí)”(x)〈0.所以貼)在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞增,在區(qū)間(1,+8)單調(diào)遞減

從而當(dāng)x=\時(shí)/(x)取得最大值，最大值為/7(l)=-l-c.

故當(dāng)且僅當(dāng)?1YO,即c>-l時(shí),/(x)W2x+c.

所以。的取值范圍為8,+8).

(((

r、/、J(x)-fa)2(lnx-lna)_ZAx，/、2?+lna-ln。21q+叫)

(2)g(x)—=—^工七(°。)U(d+8),g(x)-(y_Q)2=

取c=?l得h(x)=2lnx-2x+2,〃(l)=0,則由⑴知，當(dāng)日1時(shí),貽)<0,即1-x+lnx<0.故當(dāng)

x￡(0,a)U&+8)時(shí),1—+ln%0,從而gQ)〈0.所以g(x)在區(qū)間(0逐),(3+8)單調(diào)遞減

4.(2022新高考H,22,12分，難)已知函數(shù)小尸xe"9.

⑴當(dāng)4=1時(shí)，討論危)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)x>0時(shí),危)<-1,求a的取值范圍；

⑶設(shè)〃eN*,證明:君者十泰十…十言*帥+1).

解析⑴當(dāng)。=1時(shí)J(x)=xe9,則/Q)~e,

當(dāng)x￡(?oo,0)時(shí),/。)<0,危)單調(diào)遞減,

當(dāng)%W(0,+8)時(shí)單調(diào)遞增.

(2)當(dāng)Q0時(shí)，危)<?1,

即xe“x-ey-l在(0,+8)上恒成立，

令F(.r)=xeav-ev+1(x>0),

則F(x)<0在(0,+oo)上恒成立.

易得20尸0尸(X尸ea'+area'e尸(0尸0,

F,,(x)=aeax+aeax+a2xeax-ex,F"(0)=2a-1.

若Fw(0)>0,

則尸。)必定存在一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間(0工))，

又尸(0尸0,

???A(x)也必定存在一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間(O*o).

于是F(x)>F(O)=O在(OXo)上恒成立，與F(x)<0矛盾,.""(OK。,，

丁e"'4e2在。+8)上成立，

AF(x)<xe^-ev+l在(0,+s)上成立，

故只需證xeE-e'+lV)在(0,+oo)上成立.

令G(.r)=xe2-ev+1(x>0),

貝ijGz(x)=e24-^e2-ex=e2^1+^-談).

在(0,十8)上成立，

>91在(0,+8)上成立

???GO)vO,故G(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

???G(x)<G(O尸0.

.,.xe^-ev+l<0在(0,+8)上成立.

故當(dāng)時(shí)Ke"-ey-l在(0,+8)成立.

.,.<7的取值范圍為(一83.

(3)構(gòu)造函數(shù)力(x)=x—-21nx(x>l),

則/>。尸1修-：=學(xué)=第，

易知hV)>0,???貼)在(1,+8)上單調(diào)遞增,

/.h(x)>h(1)=0,/.x-i>21nx,令x=l1+

'高+焉+…+高>Zn1+ln|+...+ln『ln（〃+1）.原式得證.

考點(diǎn)3利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問題

1.（2021全國(guó)甲文,20,12分，中）設(shè)函數(shù)/（無尸層r+axanx+l,其中a>0.

（1）討論/U）的單調(diào)性；

⑵若月（x）的圖象與x軸沒有公共點(diǎn)，求a的取值范圍.

解析（1）由題意得/。尸2*X+Q?|=（2仆+3}1）入金Q+g）.<。>0^>0,二白上>0,當(dāng)

XG（03）時(shí)J'（x）v°；當(dāng)XWg+8）時(shí),/。）>0,?,?函數(shù)/U）在（0,?上單調(diào)遞減，在&+8）

上單調(diào)遞增.

（2）??？=/。）的圖象與x軸沒有公共點(diǎn)，

???函數(shù)人X）在（0,+8）上沒有零點(diǎn)，

又函數(shù)/㈤在（03）上單調(diào)遞減，在&+8）上單調(diào)遞增,???/（x）min=fQ）=3-31ni=3+3ln

>0,???lnA?l,解得故實(shí)數(shù)a的取值范圍是G，+8）.

2.（2020課標(biāo)/文,20,12分，中）已知函數(shù)以尸e%（x+2）.

⑴當(dāng)。=1時(shí)，討論/（X）的單調(diào)性；

（2）若/（X）有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

解析⑴當(dāng)a=\時(shí)J（x戶e"-2,則尸eM.

當(dāng)x<0時(shí),/'a）v0;當(dāng)x>0時(shí),/'（x）>0.

所以/（X）在（-8,0）單調(diào)遞減，在（0,+8）單調(diào)遞增.

（2）若段）有兩個(gè)零點(diǎn)，則e-a（x+2）=0有兩個(gè)解，

由方程可知厘=-2不成立，即。蕓;有兩個(gè)解，將問題轉(zhuǎn)化為曲線產(chǎn)J和直線尸。有兩個(gè)

交占八、、

令〃⑴備年2),則有力0廣氣竽=瑞，

令〃3>0,解得X>-1,令/(X)VO,解得XV?2或?2<XV?1,

所以函數(shù)例x)在(Q,-2)和(-2川)上單調(diào)遞減，在(?1,+8)上單調(diào)遞增，

且當(dāng)xv-2時(shí),/7(X)<0,

當(dāng)X—>-2,時(shí),/z(x)―>+8,當(dāng)X—>+oo時(shí),/?(X)T+CO,

所以當(dāng)有兩個(gè)解時(shí)，有a>/7(-l)A

r+zP

所以滿足條件的a的取值范圍是(%+8).

3.(2022新高考/,22,12分，難)已知函數(shù)人丫尸e%x和g(x尸以-lnx有相同的最小值.

⑴求。；

⑵證明:存在直線嚴(yán)仇其與兩條曲線片(丫)和片g(x供有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的

三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

解析(1)/。尸廿-?！?尸。一.

當(dāng)空0時(shí),/Q)>0恒成立，貢X)在R上無最小值，不符合題意.工?！?。.

令尸0,得x=lna,令g'(x)=0,得x=i.

易矢口/(x)mi</(lna)=a-a\na,

g(x)min=gQ)=l+lna,

a-a\n〃=l+lna,即Ina=^?-

令/ginx會(huì)>0)，

則〃?)三一品=肅含°，

???〃a)在(o,+8)上單調(diào)遞增,

則力(X)最多有一個(gè)零點(diǎn).

又〃(1戶In1/0,

???方程①有且僅有一解，為。=1,即為所求.

(2)由(I)知,/(幻=以工￡。)=X-111工,當(dāng)x<0時(shí),義工)單調(diào)遞減，當(dāng)x>0時(shí),/(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)0<工<1時(shí),g(<)單調(diào)遞減，當(dāng)x>l時(shí)s(x)單調(diào)遞增.

不妨設(shè)直線產(chǎn)力與y=J[x)的圖象的兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1rx2,與尸g(x)的圖象的兩交點(diǎn)

的橫坐標(biāo)分別為X2/3,日X\<X2<Xy

則e"i-xl=eX2?x2=X2?lnX2=X3?lnx3,

eX1—xl=x2—Inx2=elnX2-lnxz.

易知XIe(-00,0)^2￡(0,1),則Inx2e(-oo,0),

又｛x)在(-8,0)上單調(diào)遞減，

/.xi=lnM,同理X2=lnX3/3=e2

又e'2-X2=X2-lnX2,AinX2+eX2=2x2.

/.xi+x3=lnX2+eX2=2x2.

.,.Xl/2/3成等差數(shù)列.

，存在直線產(chǎn)力,其與兩條曲線y=/(x)和尸g(x洪有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)

交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

4.(2021全國(guó)甲理,21,12分，難)已知a>0且存1,函數(shù)仆)予*>0).

(1)當(dāng)。=2時(shí)，求兒丫)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若曲線片/(幻與直線y=l有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求。的取值范圍.

解析(1)當(dāng)。=2時(shí)，

〃、,?,2x-2x-x22x\n2x(2-xln2)

心)/JW=-^2—=——，

令/。尸0,得不嗡，

當(dāng)。<1噫時(shí)/(x)>。，

當(dāng)X*時(shí)J'(x)v°，

???函數(shù)人X)在(0,總上單調(diào)遞增，在島+8)上單調(diào)遞減.

(2)第一步，將曲線y=/(x)與直線尸1的交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程的根的問題.

令/⑺=1,則十1，所以收，

第二步，將累指數(shù)形式轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)形式，并參變量分離.

兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，可得a\nx=x\n%即也=—.

xa

第三步，將方程的根的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，并構(gòu)造函數(shù)研究單調(diào)性.

根據(jù)題意可知，方程也=㈣有兩個(gè)實(shí)數(shù)解.

xa

設(shè)gG)弋，則gG)—，

令g'(x尸0,則產(chǎn)e.

當(dāng)x￡(0,e)時(shí),gG)>0,g(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x￡(e,+8)時(shí)g(x)<0,g(x)單調(diào)遞減.

第四步，根據(jù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)，數(shù)形結(jié)合寫出參數(shù)范圍.

又知g⑴=0,呵g(X)=0,g(X)max=g⑹W，

x-?+ooe

所以要使曲線月⑴與直線尸1有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，見只需等6(0,)即如)若W(0

所以?！?l,e)U(e,+8).

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(l,e)U(e,+8).

三年模擬

綜合拔高練1

1.(2024屆湖北宜昌一中月考,22)已知函數(shù)4E尸Inx嚀四)-史呼)-2

(1)討論函數(shù)?r)的單調(diào)性；

⑵求證:當(dāng)時(shí),

解析⑴廣⑴三一衰:千與文。*)),

當(dāng)〃-1<0,即a<\時(shí)函數(shù)Hx)在(0,+oo)上單調(diào)遞增；

當(dāng)即a>\時(shí)，令/Q)=0，得-1,

???函數(shù)上)在(0,。-1)上單調(diào)遞減，在伍-1,+8)上單調(diào)遞墻

綜上所述，當(dāng)?<1時(shí)，函數(shù)/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>\時(shí)，函數(shù)/(X)在(0,a?l)上單調(diào)遞減，在伍-1,+8)上單調(diào)遞增.

⑵證明:令F(x)=/(x)-g(x)=lr.--】)-2=xinx~a^nx+\>Qfi<a<1),

XXXx

欲證,/(x)>g(x),即證F(x)>0,即證xlnx-asinx+1>0,

即證xlnx>asinx-l.

先證:xlnx>ax-1.

設(shè)奴工)=xlnx-ax+1,則g'(x)=1+lnx-a=\nx+1-a,

令g(x)=0,得x=e。/,

???g(x)在(0,儀)上單調(diào)遞減，在(儀,十8)上單調(diào)遞增，

/.g(x)>g(efl*')=(?-1)e""?〃e""+1=1?e"\

???歸口，???則g(x)>0,

即xln應(yīng)QX-1,當(dāng)且僅當(dāng)尸1,4=1時(shí)取等號(hào).

再證1>asinx-1.

設(shè)h(x)=x-smx,則力'(x)=1-cosx>0.

.,?力(刈化(。,+8)上單調(diào)遞增,則〃(》)>力(。)=0,即x>sinx

,..O&01,「.ax-lNasinx?l,當(dāng)且僅當(dāng)a=0時(shí)取等號(hào).

Xxlnx>ax-1與ax-lNasinx-1兩個(gè)不等式的等號(hào)不能同時(shí)取到,...xlnx>asinx-1成立，即當(dāng)

0<6f<l時(shí)，於)>g(x)成立.

2.(2024屆山東煙臺(tái)?？寄M預(yù)測(cè),21)設(shè)函數(shù)y(x)=(x2-2r)e\g(x)=e21nx-acx.

(1)若函數(shù)g(x)在(e,+8)上存在最大值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

⑵當(dāng)a=2時(shí),求證:小)>蛉).

解析(1)對(duì)g(x)求導(dǎo)得gz(r)=^--ae="丁'(x>0).

①當(dāng)a<0時(shí),gQ)>0,所以g(x)在(0,+s)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上不存在最大值.

②當(dāng)6/>0時(shí)，令g⑺=0,解得廣》0,

當(dāng)入七(0,3時(shí),g'(x)>0,ga)在(0,；)上單調(diào)遞增，

當(dāng)工仁0+8)時(shí),g'(x)v0￡(x)在0+8)上單調(diào)遞減，

所以g(x)在x=^處取得最大值g

又函數(shù)g(x)在(e,+8)上存在最大值，因此：>e,解得。<1.

所以。的取值范圍為(0,1).

(2)證明:欲證Hx)>g(x),

即證當(dāng)x>0時(shí)，儼-不把“*21nx_2ex,

即證當(dāng)x>0時(shí),(x2-2K)e”+2ex>e21nx,

即證(工-2戶+20^詈.

設(shè)夕⑴=(戈-2戶+2?。>0),則8'(x戶(x-1)巴

當(dāng)Ovxvl時(shí),，(x)v0,當(dāng)x>l時(shí)"任)>0,

所以3(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

故8(x)N"(1尸e,當(dāng)x=l時(shí)，等號(hào)成立.

設(shè)/?(.v)=c^x(x>0),

則〃0)-。2(3叫

當(dāng)0<x<e時(shí)/。)>0,當(dāng)x>e時(shí)

所以〃(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+oo)上單調(diào)遞減，

故/?(x)S/7(e尸e,當(dāng)x=e時(shí)，等號(hào)成立.

綜上/>0時(shí),9(x)X(x),但等號(hào)不同時(shí)成立，

所以x>0時(shí),9(x)>/z(x),即?v)>g(x)得證.

3.(2024屆河北邯鄲?？寄M,21)已知函數(shù)J(x)=#-emJK).

⑴已知曲線段)在(040))處的切線與圓x2+y2-2x-2y-3=0相切,求實(shí)數(shù)a的值;

(2)已知x>0時(shí)2r恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析(1)圓的方程可化為①1)2+31)2=5,則圓心為(1,1),半徑為花,

對(duì)函數(shù)、ZW求導(dǎo)得/'Q尸日巴

則/<0)=?心

又<0)=-4,

于是曲線火工)在(0,/(0))處的切線方程為尸?。二孫,即ax+y+a=0,因?yàn)橹本€ax+y+a=0與圓相

切，

所以等粵=6,則折2,

V?2+l2

所以實(shí)數(shù)。的值為2.

(2)iSg(AO=/(x)+x2+av4-a=fx2-aev+ax+4z(x>0),

則g(x)<0在［0,+oo)上恒成立.

對(duì)虱r)求導(dǎo)得g'(x)=3rW+Q,

設(shè)力。尸3x?ae'+axK),

貝U〃Q)=3/e\

當(dāng)a>3時(shí)，當(dāng)x>0時(shí)/e23e?3,

即有hf(x)<0,

所以函數(shù)〃(工),即g'(x)在［0,+8)上單調(diào)遞減,于是當(dāng)x>0時(shí),g'(x汪g'(。尸0,

則函數(shù)g(x)在［0,+8)上單調(diào)遞減,因此當(dāng)x>0時(shí),g(x)其(0)=0,故生3.

當(dāng)0<a<3時(shí)，令人Q)>0,得0<x<ln1,

則函數(shù)力⑴,即g'(x)在［0,ln》上單調(diào)遞增，

O

于是當(dāng)0夕<嶗時(shí),gQ)>g(0)=0,

即函數(shù)十)在|o,In?上單調(diào)遞增，

因此當(dāng)0夕〈1痔時(shí)￡(x)/(0)=0,不合題意.

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為［3,+8).

4.(2024屆江蘇南京二中?？?22)已知函數(shù)/x)=41nx-a什爭(zhēng)位0).

(1)當(dāng)時(shí)，求J(x)的極值；

(2)當(dāng)位1時(shí)，設(shè)g(x)=2e'-4.t+2a,若存在不用右2卜使得/(xi)>g(X2),求實(shí)數(shù)a的取值范

圍.(e=2.71828…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

解析的定義域?yàn)?0.+8).

7

當(dāng)時(shí),./U)=41nx[+

4乙

?廣(哈，_2一二=_(i)(f

,，7Wx22/2.v2'

令八X)>0,可得1<X<7,

令/Q)VO,可得O<A-<1或x〉7,

???加)在(0,1),(7,+8)上單調(diào)遞減，在(1,7)上單調(diào)遞增,

工兒丫)/小值=A1尸3,小)極大值=/(7尸41n7-3.

(2/。)--"，+丁"3)(.0),

令h(x)=-ax2+4x-(a+3),x>0,

若a>1，則』=16-4a2-l2a=-4(a-1)(a+4)<0,

A(x)<0,

?；/(工)在區(qū)間(0,+oo)上單調(diào)遞減，

???當(dāng)生1時(shí)，4)在［Q］上單調(diào)遞減,

?依)在原2］上的最大值為/Q)=-41n2+|a+6.

g'(x)=2e'-4,令gQ尸0,得x=ln2,

當(dāng)不￡g/n2)時(shí)g(x)V0,g(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)xe(ln2,2］時(shí)。(分>0￡(幻單調(diào)遞增,

，蛉)在［Q］上的最小值為g(ln2)=4-41n2+2a,

由題意可知?41n2+|f/+6>4-41n2+2〃,解得a<4,

又???位1,

???實(shí)數(shù)〃的取值范圍為口,4).

思路導(dǎo)引

⑴利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，從而求出極值；

(2)存在Q2需,21,使得危］)>時(shí)2),轉(zhuǎn)化為在區(qū)間［Q］上加)max*x)min,利用導(dǎo)數(shù)求危)max

和g(X)min,最后解關(guān)于U的不等式.

綜合拔高練2

1.(2024屆江蘇南京期中,8)設(shè)函數(shù)y(x)=3(2x-1)s+a,其中a<1,若存在唯一的整數(shù)xo,使得

.僅)<0,則。的取值范圍是()

A?卜五，1)B.卜云高

C.朋)D.[1,l)

答案D

2.(2024屆福建漳州三中月考,22)函數(shù)/(*)=01淪x,g(x尸(田■1)cosX-A/2C'.

(1)求/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)Vx(o，￥，VX2&[o,4，使4X|)+g(X2心加成立,求實(shí)數(shù)"7的取值范圍;

⑶設(shè)/?(x)=^/(x)-〃與訪2x,〃為正實(shí)數(shù)，討論力(x)在(oj)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

解析(1'(X尸e'sinx+eAcos,v=V2exsin(x+*

當(dāng)卓2E+兀/￡Z),即[2/CTT-%2kn+胃(AWZ)時(shí)J'(x)K),/(x)單調(diào)遞增.

???/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[2kn-,2Air+與(A￡Z).

(2)第一步，設(shè)函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化.

/(X|)+g(X2)N〃?,即/(為巨"?吆。2),設(shè)/(工)="7吆(工),則問題等價(jià)于/(X)minN/a)maxXW

第二步，結(jié)合⑴求段)在[o月上的最小值.

由(1)可知，當(dāng)xw[o曰時(shí),/3>0,故/(X)在[。圖上單調(diào)遞增，

??.當(dāng)[o,，時(shí)J(X)minM0)=°?

第三步，利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求在?上的最大值.

心尸〃7-(x+1)cosx+V^e\

f'(x)=-cosx+(x+l)sinx+，2e;

VXG[0,1,.\-COSx+V2ev>0,(x+l)sin%K),?"(x)>0在[o身上恒成立,?x)在[o上單調(diào)遞

增,，當(dāng)[o,卵寸J(x)max=d=m+V2e2.

第四步，建立不等式求結(jié)果.

故/??*V2e2<0,/?z<-V2e2,

故實(shí)數(shù)〃7的取值范圍是

(3)第一步，求/G)的解析式與導(dǎo)函數(shù)/[?).

力(工尸2xc'-〃sin2xjir(x)=2(x+l)ev-2z?cos2x,

第二步，討論0<?<l時(shí)"(x)的單調(diào)性及零點(diǎn)情況.

若Ov彩1,則當(dāng)X￡(0,9時(shí),2(x+l)e>2,

2/zcos2x<2,：