2025新教材數(shù)學(xué)高考第一輪復(fù)習(xí)

8.5空間角與距離、空間向量及其應(yīng)用

五年高考

考點(diǎn)1用向量法判定空間中的位置關(guān)系

侈選）（2021新高考11,10,5分，中）如圖，下列各正方體中為下底面的中心,MN為正方體的

頂點(diǎn),為所在棱的中點(diǎn)，則滿足MNLOP的是()

考點(diǎn)2空間角與距離

1.（2022全國甲,7,5分，中）在長方體力中，已知B\D與平面48C。和平面

AAxBxB所成的角均為30。,則()

A.AB=2AD

B.AB與平面ABCD所成的角為30°

CAC=CB\

DBD與平面5囪CC所成的角為45°

2.（2023全國乙理,9,5分，中）已知A48C為等腰直角三角形,45為斜邊,為等邊三角形.

若二面角C-AB-D為150。,則直線。。與平而43C所成角的正切值為（）

1企2

一V3

---

A.5555

3.（多選）（2022新局考1,9,5分，中）已知正方體48CD4BQ。,則（）

A.直線BCi與DAy所成的角為90°

B.直線BC\與CAi所成的角為90°

C.直線BC\與平面〃囪所成的角為45。

D.直線BCi與平面ABCD所成的角為45。

4.（2020新高考/,20,12分，中）如圖,四棱錐P-ABCD的底面為正方形,PO_L底面48CD設(shè)平

面PAD與平面PBC的交線為/.

⑴證明:/，平面PQC；

⑵己知PD=AD=1.Q為/上的點(diǎn)，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值.

5.（2022新高考〃,20,12分，中）如圖/。是三棱錐P-ABC的高,％=尸民力8J_/C,E為PB的中

點(diǎn).

⑴證明：Of〃平面R1C；

⑵若N/80=NC8830"0=3,Ri=5,求二面角C-AE-B的正弦值.

6.（2023新課標(biāo)1,18,12分，中）如圖，在正四棱柱N8C￡M山CQ中,48=2/4=4,點(diǎn)

Ai.Bi.Ci.Di分別在棱AAi,BBi,CCi,DD、上滔/2=1,防2=。6=2,。。2=3.

⑴證明：&。2〃42。2；

⑵點(diǎn)。在棱3團(tuán)上，當(dāng)二面角P-A2c2-D2為150。時，求B2P.

7.(2023新課標(biāo)〃,20,12分，中)如圖,三棱錐ABC。中,DA=DB=DC,BD工CD,NADB=N

4DC=60°,E為BC的中點(diǎn).

(1)證明:BC_L。/

(2)點(diǎn)/滿足而=萬彳,求二面角D-AB-F的正弦值.

8.（2023北京」6,14分，中）如圖，在三棱錐P-ABC中，為—平面ABC,PA=AB=BC=1,PC=y/3.

⑴求證：8CJ_平面均8；

⑵求二面角A-PC-B的大小.

9.（2022新高考1,19,12分，中）如圖，直三棱柱NBC-43G的體積為4A48C的面積為2企.

⑴求4到平面48c的距離；

⑵設(shè)D為4c的中點(diǎn)淵4=45，平面45UL平面力夕84,求二面角A-BD-C的正弦值.

10.（2022全國乙理,18,12分，中）如圖,四面體/8CZ）中,AD1CD,AD=CD,/ADB=/BDC,E

為力C的中點(diǎn).

⑴證明:平面8EQ平面ACD；

（2）設(shè)AB=BD=2,NACB=60。點(diǎn)F在8D上，當(dāng)△^尸C的面積最小時，求CF與平面所成

的角的正弦值.

11.(2021全國甲理，19,12分，中)已知直三棱柱ABC-AxBxCx中，側(cè)面AA\BxB為正方

形,AB=BC=2,E,F分別為AC和CG的中點(diǎn),。為棱4向上的點(diǎn)產(chǎn)廠工小藥.

(1)證明：8/<1_。6

⑵當(dāng)B】D為何值時，面BBCC與面。用所成的二面角的正弦值最小?

三年模擬

綜合拔高練1

1.（2024屆山東濰坊安丘三區(qū)縣檢測,5）在正三棱柱力BC-4B6中，若川5=24小=1,則點(diǎn)A

到平面48c的距離為（）

V3D6歷

AA.—B.—Cr.—3—anD.V3

424

2.（2024屆江蘇南京第一中學(xué)月考⑻在正方體ABCD-A向CD中，點(diǎn)E為棱G。上的一動

點(diǎn),記直線BCi與平面4BE所成的角為。，則cos。的最小值為（）

1口品V3八1

AA.—B.—Cr.—D.1

222

3.（2023河南鄭州一模,10）在如圖所示的實(shí)驗(yàn)裝置中，兩個正方形框架NBCD48E/的邊長

都為1,且它們所在的平面互相垂直.活動彈子M,N分別在正方形對角線力。和BF上移動,

且CM和BN的長度保持相等，記CM=8N=a（0<o<魚）則下列結(jié)論簿送的是（）

A.該模型外接球的半徑為日

B.當(dāng)昕|時,MN的長度最小

C.異面直線力。與B/所成的角為60。

D.MN〃平面BCE

4.（2024屆山東濱州新高考聯(lián)合質(zhì)量測評19）如圖，在多面體N8CQFE也四邊形N8C。與

4BEF均為直角梯形,4D〃BC/F〃BE,D4工平面4BEF/B上4F/D=4B=2BC=2BE=2.

（1）已知點(diǎn)G為力產(chǎn)上一點(diǎn)"4G十。求證：8G與平面DCE不平行；

⑵已知直線"與平面DCE所成角的正弦值為￡求點(diǎn)少到平面DCE的距離.

5.（2023山東煙臺一模,19）如圖，己知圓錐尸044是底面圓O的直徑，且長為4c是圓。上

異于A,B的一點(diǎn)，以=2百.設(shè)二面角P-AC-B與二面角P-BC-A的大小分別為。與“

⑴求熹+磊的值;

⑵若tanp=y/3ian火求二面角A-PC-B的余弦值.

綜合拔高練2

1.（多選）（2024屆河南平許濟(jì)洛第一次質(zhì)量檢測,11）在棱長為4的正方體48CQ-小SGQi

中,KMP分別為線段小Bi,CD,BC上的動點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）

A.PG〃平面小3力

B.過MN的平面截該正方體，所得截面面積的最大值為16

C.當(dāng)P為線段BiC中點(diǎn)時，異面直線AP與A\C所成角的余弦值為日

D.當(dāng)三棱錐Ai-BDN的體積最大時，其外接球表面積為48兀

2.（多選）（2023山東濟(jì)南一模［2）在平面四邊形"CD中_1_64。=。。=248=1,3。=西,

沿力。將△力8c折起,使得點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)方的位置，得到三棱錐"-4CD則下列說法正確的是

()

A.三棱錐B'-ACD體積的最大值為日

B標(biāo)?前為定值

C.直線/C與所成角的余弦值的取值范圍為（9,1）

D.對任意點(diǎn)夕,線段AD上必存在點(diǎn)N,使得CN1BD

3.（2023湖南師大附中一模,⑻如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱

形，△以O(shè)為等邊三角形，平面必。_1_平面ABCD.PBLBC.

⑴求點(diǎn)力到平面08。的距離;

（2）￡為線段PC上一點(diǎn)，若直線AE與平面ABCD所成的角的正弦值為嚕,求平面ADE與

平面力8C。夾角的余弦值.

綜合拔高練3

1.（多選）（2023黑龍江省實(shí)驗(yàn)中學(xué)一模,12）如圖，在棱長為1的正方體中,P

為棱BB,的中點(diǎn),0為正方形BBCC內(nèi)一動點(diǎn)（含邊界），則下列說法中正確的是（）

A.直線4GJ_平面小80

B.棱CCi與平面4山。所成角的正切值為V?

C.若平而4尸。則動點(diǎn)0的軌跡是一條線段

D.若當(dāng)則Q點(diǎn)的軌跡長度為《兀

2.（2024屆江蘇鎮(zhèn)江丹陽期中,21）如圖，在四棱錐尸-48CZ）中，底面48。是邊長為2的菱形,

N/8O60。,△以8為正三角形，平面/M8_L平面力8CQ,E為線段48的中點(diǎn)，河是線歿尸Q（不

含端點(diǎn)）上的一個動點(diǎn).

⑴記平面BCM交巴于點(diǎn)N,求證:〃平面PBC,

⑵是否存在點(diǎn)M使得二面角P-BC-M的正弦值為*?若存在，確定點(diǎn)M的位置;若不存在,

請說明理由.

3.（2023安徽淮北一模,19）如圖,已知四棱錐尸的底面是平行四邊形，側(cè)面以B是等邊

三角形,BC=2AB,ZABC=60°,PBLAC.

⑴求證:平面分B_L平面ABCD',

⑵設(shè)。為側(cè)棱PD上一點(diǎn)/邊形BEQF是過B.Q兩點(diǎn)的截面，且ZC〃平面BEQF,是否存

在點(diǎn)。，使得平面平面均。?若存在，確定點(diǎn)。的位置;若不存在，說明理由.

P

^>1)

綜合拔局練4

1.（多選）（2024屆福建福州閩江口協(xié)作體期中聯(lián)考/1）在三棱柱ABC-A}B\C\中,。為BB、的

中點(diǎn)，多小=/8=8C,44iJ_平面48C,48C=90。,則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.平面力BG_L平面ACC\A\

B.平面力歸。_1_平面CiAB

C.4O〃平面CM3

D.JiZ）±JCi

2.（2024屆河南平許濟(jì)洛第一次質(zhì)量檢測,20）如圖，在三棱臺ABC-DEF中,BC=2EF,BC工

",5C_LC￡G,〃分別為ZC8C上的點(diǎn)，平面FGH〃平面ABED.

⑴求證:5C，平面EGH;

⑵若ABLCF.ZBAC=45°,EF=CF=},^^EFG和平面DFG的夾角的余弦值.

R

3.（2023湖南師大附中二模2。）如圖,四邊形44co是邊長為2的菱形，且/48。=60。,8〃_1

平面ABCD,BM〃DN,BM=2DN點(diǎn)、E是線段MN上任意一點(diǎn).

⑴證明:平面￡4C_L平面BMND；

⑵若乙小。的最大值是g,求三棱錐M-NAC的體積.

4

8.5空間角與距離、空間向量及其應(yīng)用

五年高考

考點(diǎn)1用向量法判定空間中的位置關(guān)系

（多選）（2021新高考II,10,5分，中）如圖，下列各正方體中,O為下底面的中心,MN為正方體的

頂點(diǎn),P為所在棱的中點(diǎn)，則滿足MN_LO尸的是()

答案BC

考點(diǎn)2空間角與距離

1.（2022全國甲,7,5分，中）在長方體43aM由CQi中，已知r0與平面NBCZ）和平面

443由所成的角均為30。,則（）

A.AB=2AD

B/B與平面ABiCiD所成的角為30°

CAC=CB\

□BD與平面BBiCiC所成的角為45。

答案D

2.（2023全國乙理9,5分，中）已知為等腰直角三角形，相為斜邊,△48。為等邊三角形.

若二面角C-45-。為150。,則直線。與平面力8c所成角的正切值為（）

1V2「Wp.2

AAgBD-C-TD*

答案C

3.侈選）（2022新高考1,9,5分，中）已知正方體則（）

A.直線BCi與DAi所成的角為90°

B.直線BC\與CAx所成的角為90。

C.直線BC\與平面BB\D、D所成的角為45°

D.直線BCi與平面ABCD所成的角為45°

答案ABD

4.（2020新高考/,20/2分，中）如圖,四棱錐P-ABCD的底面為正方形,PZ）_L底面43CD設(shè)平

面PAD與平面PBC的交線為/.

⑴證明:/_L平面PDC,

⑵已知PD=AD=\,Q為I上的點(diǎn)，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值.

解析⑴證明:因?yàn)镻D_L底面/8CQ所以PZ八/D又底面為正方形，所以/O_LQC

因此4力_1_平面PQC.

因?yàn)槿势矫鍼BC,所以平面PBC.

由已知得/〃/D因此/J_平面POC.

⑵以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，方的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-孫z.則

0（0,0,0）,C（0/，0）,B（1/，0）,P（0,0』）,DC=（0,L（））,PB=（1/，-1）.

由（1）可設(shè)。（40』）,則加二億0』）.

設(shè)〃=（元凹z）是平面QCD的法向量，則

幾竺=0,即建°z=o,可取〃

ji-DC=0,

所以cos<n,PB>=

設(shè)PB與平面QCD所成角為仇則sin吟X黑=

f（易錯:余弦值轉(zhuǎn)化為正弦值后應(yīng)該是個正數(shù)）,

因?yàn)槠rj+島4?當(dāng)且僅當(dāng)值時等號成立，所以與平面QCD所成角的正弦值的

最大值為博

5.（2022新高考〃,20,12分，中）如圖,尸。是三棱錐P-ABC的高,R4=PB,ABLAC,E為PB的中

點(diǎn).

⑴證明：0石〃平面總。；

⑵若/力88/。8（9=30。/03周=5,求二面角C-AE-B的正弦值.

解析⑴證法一:連接04,

?：PO是三棱錐P-ABC的高,?,?PO_L平面ABC,

：.PO±OA,PO±OB,：.ZPOA=ZPOB=90°,

又PA=PB,PO=PO,：./XPOA絲APOB,

：.OA=OB,

取AB的中點(diǎn)。，連接OD、則OD上AB,

乂?：ABLAC,；?OD〃AC,

又???。。仁平面必C,/Cu平面HC,???OD〃平面PAC,

又D、E分別為48、尸8的中點(diǎn),???QE〃叫

又?.,。七仁平面RlCRlu平面以C,???￡）￡〃平面PAC.

又OD、DEu平面ODE,ODfyDE=D,

???平面ODE〃平面PAC,

又OEu平面ODE,二。石〃平面PAC.

證法二:連接O4「：PO是三棱錐P-ABC的高，

工尸O_L平面4BC,POVOA.POA.OB,

：./POA=/POB=9。。,又PA=PB,PO=PO,

：./XPOA0△尸。8,???OA=OB,

延長BO交AC于點(diǎn)居連接PF,

易知在RIAABF中,0為BF的中點(diǎn)，

?:E為PB的中點(diǎn),JOE〃尸￡

乂OEU平面RiC,列七平面PAC,

：.OE//^-^PAC.

⑵取AB的中點(diǎn)M,連接OM.OA,以M為坐標(biāo)原點(diǎn),A/3,M0所在直線分別為軸，過點(diǎn)M

且與平面/3C垂直的直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

PO=3,PA=5,?,?結(jié)合（1）可知0A=0B=4,又ZABO=ZCBO=30°,：.OM=2,MB=28，二

P（0,2,3）,8（2K,0,0）,4（?2百,0,0）,［祗1,|）,

9o

：AB±AClZCBA=60,AB=4V3l

A^C=12,C（-2V3,12,0）.

設(shè)平面AEB的法向量為〃尸

布=（4點(diǎn)0,0）,族=（3V3,1,1）Z

［超九1=0,即fX1=°，

Wn!=0,"百%i+yi+-Zi=0,

令ji=3,則z\=-2,/./ii=（0,3/-2）.

設(shè)平面AEC的法向量為〃2=（X2必,Z2）,

而=（0,12,0）,

.?喘；；二a+丫2+那=o,

令X2=V5,則Z2=-6,「?〃2=（百,0,-6）,

.,、nn124V3

-?C0S<,，b，，2>=^7v^2=二元,

設(shè)二面角C?AE?B的平面角為仇則sin^=V1-cos20=g,?二面角C-AE-B的正弦值為蔣

6.（2023新課標(biāo)1,18,12分，中）如圖，在正四棱柱ABCD-AxBxC\Dx中,48=244=4,點(diǎn)

42,&,。2,。2分別在棱AA】,BBi,CC\,DD\±.,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.

⑴證明：&。2〃4。2；

⑵點(diǎn)P在棱BB\上，當(dāng)二面角P-A1C2-D1為150。時，求B2P.

解析⑴證明:以。為原點(diǎn)而，函而7的方向分別為x軸/軸,z軸的正方向,建立如圖所示

的空間直角坐標(biāo)系，

由題意知,42（2,2/）&（0,2,2）,。2（0,0,3）,0⑵0,2）,

則B?。2=（0廠2,1）42。2=。-2,1）,

/.B2C2=42。2,II^2^2/

又知B2c2與AiDi無公共點(diǎn),

⑵???點(diǎn)P在棱BB\上，：.設(shè)P(0,2M)(0%*),

結(jié)合(1)可知42c2=(-2廠2,2)〃42。2=(。廠2』)1{2=(20

設(shè)平面A2C2D2的法向量為n\=(x\,y\,z\),

42c2,n1=°，即—2x)—2y〔+2z1=0,

則

-2yi+zi=0,

力2。2'，11一°，

令Z1=2,則M1=(1,1,2).

設(shè)平面242c2的法向量為712=(x2^2/22),

［僅石?九2二o,(2x2+(1—a)Z2=0，

P

ten2=0,l-2y2+(3—Q)Z2=0,

令2=2,貝I」〃2=(a?l,3-a,2),

又???二面角P-42c2-。2為150。，

>

/.|cos150°|=|cos<n|//：2|=7^77^7

M\n2\

|a-1+3—a+4|_76

V6-V(?-l)2+(3-a)2+4J2a2-8a+14'

即當(dāng)=/W:,化簡得。2-4〃+3=0,解得a=\或4=3,

2yJa2-4a+7

當(dāng)a=\時,8#=1；當(dāng)0=3時,B2P=1.

綜上,&P=L

7.(2023新課標(biāo)〃,20,12分，中)如圖,三棱錐4BCQ+,DA=DB=DC,BD1CD,ZADB=Z

4OC=60。/為BC的中點(diǎn).

(1)證明：3C_LN；

(2)點(diǎn)/滿足即=萬］求二面角D-AB-F的正弦值.

/)R

解析⑴證明:連接力E刀瓦

??,DB=DC,E為8c的中點(diǎn),???DELBC.（1分）

又DA=DB=DC,/ADB=NADC=60。,

：./XACD與AABD均為等邊三角形，

：.AC=AB,：.AE±BC.（2分）

X9：AE（｝DE=E,AE^\^4DE,Z）Eu平面ADE,

???8C_L平面力?！辏?分）

又?.?。/平面/Q￡???BC1Q4（4分）

⑵設(shè)則BC=2\[2,DE=AE=yl2,

：.AE?+DE?=4=DA2,（6分）

：.AE±DE.X*：AELBCtDE^BC=E,DE^^8cO,8Cu平面BCD,，力石，平面BCD.

以E為原點(diǎn)，前，麗，瓦5的方向分別為x軸/軸,z軸的壬方向,建立如圖所示的空間直角坐

標(biāo)系，

M

TnB^y

則。（a,0,0）40,0,歷3（0,企,0）,￡（0,0,0）,

51=（-五,0,。麗=（0,6,-肉

???lF=DA,：.AF=（-V2,0z0）.（8分）

設(shè)平面DAB的法向量為n\=（x\,y\,z\）,

則（石5如=0,即（-V2%1+V2zt=0

[AB-ni=0,1或力—y/2z1=0,

令zi=l,貝I」/n=（lj,1）.（9分）

設(shè)平面ABF的法向量為〃2=（工2必/2）,

則（變加2=0,即［歷2—^Z2=0,

{AF-n2=°,（―V2X2=0,

令Z2=L則〃2=（0/,1）.（10分）

設(shè)二面角D-4B-F的平面隹為

叫。S隼需1=嬴*⑴分）

又,?*￡［（）,兀L

/.sin6^=V1—cos23=一管）=與

???二面角0-48孑的正弦值為理（12分）

8.（2023北京/6/4分，中）如圖，在三棱錐P-ABC中，為一平面ABC,PA=AB=BC=1,PC=y/3.

⑴求證：8CJ_平面發(fā)8；

⑵求二面角A-PC-B的大小.

解析⑴證明:因?yàn)樾矫?8cBe/8u平面48C,

所以以_L3CH_L）B.所以PBWPTP+/B2=V2.

又因?yàn)锽C=1,PC=?，所以。中+臺卜二產(chǎn)仁所以PB1BC,

乂因?yàn)闉開LBC,且R4CPB=P,R4,PBu平面PAB,

所以3C_L平面發(fā)3.

⑵以B為原點(diǎn)出。所在直線為x軸,34所在直線為》軸,建立如圖所不的空間直角坐標(biāo)系,

則A(0,1,0)以0,0,0),。(1,0,0)『(0,1,1),所以標(biāo)=(0,0,1),前二(11,0),正二(111),近=(1,0,0),

設(shè)平面PAC的法向量為/”(孫yg),

『更=與=。，令”=],則片a』,。）,

則

jrri'AC=%i—yi=0,

設(shè)平面PBC的法向量為n=(x2,y2,z2),

『工二外一為一句交令門則片心,.]),

則

ji-BC=冷=°，

ULI、I-m-n11

所以cos</W,〃>===^=5,

又因?yàn)槎娼茿-PC-B為銳二面角,

所以二面角A-PC-B的大小為去

9.(2022新高考1,19,12分，中)如圖，直三棱柱ABC-AxBxCx的體積為4,△小8c的面積為2企.

⑴求A到平面4BC的距離;

⑵設(shè)D為4c的中點(diǎn)，力小=力與平面4山C_L平面4834,求二面角A-BD-C的正弦值.

B

解析⑴設(shè)A到平面A1BC的距離為“因?yàn)樨?MBe=匕4TM=：SaABC?441=

J

4

2S^AiBcd=ABC-AiB^C1=2s△人屎=2近，所以"=刃|=V2.

⑵如圖，取AyB的中點(diǎn)E,連接AE.

因?yàn)樗訸EJL48,又因?yàn)槠矫?8CJ.平面48囪小,平面小8CC平面

4BBMi=4B/Eu平面4BB14,所以平面小8c.又BCu平面為8G所以AELBC.

由直三棱柱48。小4G得力小J■平面44C,

又BCu平面43C,所以AAxLBC.y,AAif}AE=AlAA]lAEcijBBi4,所以8C_L平面

ABBi小，又面4所以BC-LAB.

由(1)知4E=d=y/2,所以4B=AA\=2,A\B=2y/2,

又因?yàn)椤餍?c的面積為2Y②所以BC=2.

以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量的西兩的方向分別為林握軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系

B-xyz,

則C[2,0fi),A(020),4(0,2,2),。(1/」)乃(0,0,0),則說=(2。0)了了=(0,2,0),麗=(1,1,1).

設(shè)平面48。的法向量為tt\={x\,y\,z\),

加.瓦5=0,12yl=0,

〔小?前=0,bi+%+zi=。，

令xi=L得zi=-L所以MI=(1,0,-1).

設(shè)平面BCD的法向量為〃2=(X2/2,Z2),

U.FD=0,U+y2+z2=o,

令J2=l,得Z2=-l,所以“2=(01").

所以COS〈〃|,〃2>

—l：nll；l：n22l=2

在

又sin<m,〃2>>0,所以sin<n.l/i2>=Y-

所以二面角A-BD-C的正弦值為日.

10.(2022全國乙理,18,12分，中)如圖,四面體45co中,AD±CD,AD=CD,NADB=/BDC,E

為4C的中點(diǎn).

⑴證明:平面BED上平面4CD；

⑵設(shè)4B=BD=2,/ACB=6。。點(diǎn)F在BD上，當(dāng)AAFC的面積最小時，求C77與平面ABD所成

的角的正弦值.

解析⑴證明:因?yàn)榱Α?。?！隇?c的中點(diǎn),

所以DELAC因?yàn)?ADB=/BDC,AD=CD,BD=BD,

所以△力QBgaCQB,所以AB=CB,

又E為力C的中點(diǎn)，所以8E_LAC

又QE/Eu平面BED,且DECBE=E,

所以4C_L平面BED,又4Cu平面ACD,

所以平面力CZ>_L平面BED

⑵由題意及⑴知力8=4C=2,

乂N4CB=60。,所以<C=2,BE=?

因?yàn)榱?。J_DC,E為力C的中點(diǎn)，所以DE=1.

所以。爐?4守貝I」DE_BE.

連接因?yàn)榱_L平面BED,EFu平面BED,

所以XCLE居所以S^F^ACEF=EF.

當(dāng)EFVBD時,最小，即△力■?的面積最小，此時EF4.

如圖，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)而，麗的方向分別為x軸、『軸、z軸的正方向，建立空間直角坐

標(biāo)系E-xyzMC(-1,0,0),4(1,0,0)乃(0,75,0),。(0,0,1)尸(0片,。，

所以前=(?1,0,1),前二(0廠國),而=(1,%)

設(shè)平面48。的法向量為n=(x,y^,

則(亞?九=。，即「x：z：0,

(BD,n=0,(-v3y+z=0,

令尸1,得n=(V3,l,V3).

設(shè)與平面ABD所成的用為“

則sin0=\cos<n,CF>\=黑?=孚，所以C/與平面ABD所成的角的正弦值為經(jīng)

|n||Cr|7-

11.(2021全國甲理,19,12分，中)已知直三棱柱ABC-A\BxC\中，側(cè)面AAxBxB為正方

形淵8=80=2/產(chǎn)分別為4。和CCi的中點(diǎn),。為棱小Bi上的點(diǎn)乃凡L4山1.

(1)證明：8/口_。￡

⑵當(dāng)BiD為何值時，面BBCC與面。匹E所成的二面角的正弦值最小?

解析第一步:證明線線垂直,為建系做鋪墊

?；BFU】BT,B】BL4BI,BFCBIB=B,

???4囪，平面3GC8

,.?45〃43,???45_L平面B\C\CB,

又TBCu平面B\C\CB,：.ABVBC.

第二步:建立空間直角坐標(biāo)系,求出相關(guān)量的坐標(biāo).

以B為坐標(biāo)原點(diǎn)所在直線分別為x軸/軸,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系加8(0,0,0)產(chǎn)(0,2,1),E(1,1,0),.,屈=(0,2,1。設(shè)囪D=a(0%W2),貝I」。(40,2),則無=(15廠2).

第三步:利用a-b=0判定線線垂直.

⑴證明：；喬?笳=(0,2,1)?(1/,1,-2)=。x(1-6/)+2x1+1x(_2)=0,/.8卜_LDE.

第四步:求出相關(guān)平面的法向量

⑵加=（-1,1,1）,而=3-2,1）,

設(shè)平面DFE的法向量為，尸（My,z）,

[!現(xiàn)=T+y+z=。，不妨設(shè)日則產(chǎn)白號

則

(FDn=QX—2y+z=0,

.(1a+l2-a\

易知〃尸（1,0,0）是平面BB\C\C的一個法向量.

第五步面向量夾角公式表示二面角大小，利用函數(shù)思想求其最值.

設(shè)平面8?GC與平面DEF所成的銳二面角的大小為仇則cos^|cos<m,n>|=-^=

]=3<2_=立（當(dāng)l

/+（等）1（空）2而宙飛Na=2

Asin3/1-cos?。>噂故當(dāng)即囪府時，平面B8QC與平面所成的二面角的

正弦值最小，最小值為培

三年模擬

綜合拔高練1

1.（2024屆山東濰坊安丘三區(qū)縣檢測,5）在正三棱柱45c?48Q中，若力8=2,4小=1,則點(diǎn)4

到平面〃8C的距離為（）

.V373「3、反rx

A.—DB.—C.—Dn.V3

424

答案B

2.（2024屆江蘇南京第一中學(xué)月考,8）在正方體ABCD-AiBiGDi中，點(diǎn)E為棱G"上的一動

點(diǎn),記直線BG與平面小BE所成的角為。，則cos。的最小值為（）

AA.-1BD.—疙C「.—百DC.11

222

答案C

3.（2023河南鄭州一模,10）在如圖所示的實(shí)驗(yàn)裝置中，兩個正方形框架的邊長

都為1,且它們所在的平面互相垂直.活動彈子MN分別在正方形對角線力。和8F上移動,

且CM和BN的長度保持相等，記CM=EV=a((K"戊).則下列結(jié)論倍識的是)

A.該模型外接球的半徑為日

B.當(dāng)時,A/N的長度最小

C.異面直線AC與BF所成的角為60°

D.MN〃平面BCE

答案B

4.(2024屆山東濱州新高考聯(lián)合質(zhì)量測評/9)如圖，在多面體44。。/法中,四邊形與

ABEF均為直角梯形,4。//BC.AF//BE,DA_L平面ABEF,ABLAF,AD=AB=2BC=2BE=2.

⑴已知點(diǎn)G為"'上一點(diǎn)"4G=4Q,求證：8G與平面OCE不平行；

⑵已知直線BF與平面DCE所成角的正弦值為￡求點(diǎn)F到平面DCE的距離.

D

以

F

解析⑴證明:因?yàn)镈4_L平面4BEF,AB,AFu平面力跳產(chǎn),所以DALAB.DAVAF.

又力所以以4為坐標(biāo)原點(diǎn)淵￡48淵。所在直線分別為x/,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則8(020),仇1,2,0),。(0,2』),。(0,0,2),G(2,0,0),

所以EC=(-1,0,1),ED=(-1廠2,2)乃G=(2,-2,0),

設(shè)平面DCE的法向量為n=[x,y,z),

n?瓦=—x4-z=0,

則

n-ED=-x—2y+2z=0,

令尸2,則z=2,產(chǎn)1,所以/i=(2,1,2),

因?yàn)椤˙G=2x2+”(-2)=2邦，所以n與BG不垂直，即BG與平面DCE不平行.

⑵設(shè)AF=a(a>0且存1),則F(afi,0),BF=(ar2,Q).

因?yàn)橹本€BF與平面DCE所成角的正弦值為日

所以半=加＜明問扁晟

化簡得lk/2-40fz-16=0,

解得a=4或〃=吊■(舍去)，故〃'=4.所以尺4a0)質(zhì)=(-4,0,2),由⑴知平面DCE的一個法向

量為〃=(2,1,2),

所以點(diǎn)尸到平面DCE的距離d小胃1=j

5.(2023山東煙臺一模,19)如圖，已知圓錐是底面圓。的直徑,且長為4,C是圓。上

異于48的一點(diǎn)，玄=2次.設(shè)二面角P-AC-B與二面角P-BC-A的大小分別為。與，

(1)求熹+高的值;

⑵若tan/^=V3tana,求二面角A-PC-B的余弦值.

解析⑴連接尸O,則PO_L平面ABC.

分別取AC.BC的中點(diǎn)MN,連接尸MOMPVQN,則在圓O中。M_L/C.

由尸。_L平面48C4Cu平面4BC,得尸。J_4C.又尸。0。M=0,所以力CJ_平面PMO,因?yàn)?/p>

PMu平面PMO,所以ZC_LPM所以NPMO=a同理,NPNO=4

于是?1

tan2a+品=給+給

22

℃2-&c)+OC2-(^BC)_2OC2-^(.AC2+BC2>)

OP2OP2

^2OC2~AB2_20C?-0C?_0C?_0C?_1

OP2~OP2-OP2-AP2-OA2~2

⑵因?yàn)閠an/?=V3tan外即焉=V3-黑，

所以。歷=b。乂即BC=y/3AC,

因?yàn)獒?。^氏/總,所以802信102.

在圓。中,。_LCB,以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn),。所在直線為x軸,C8所在直線為y軸，過。且垂

直于平面ABC的直線為z地建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz.

貝ijC(0z0,0),J(2,0/0)/Z?(0/2Ao),

則不=(2。0),而=(0,2但0),

因?yàn)镻O_L平面45G所以O(shè)P〃z軸,

從而「（1,75,2注）,則加=（1,b,2煙.

設(shè)平面PAC的法向量為m=（x,y^,

則M更=。，即產(chǎn)

bn.CP=0,lx++2伍=0,

不妨取尸2&,則/n=（0,2V2,-V3）.

設(shè)平面PBC的法向量為〃=（加M），

則,空=0,(2y/3n=0,

即(m+V3n+2\f2t

{n-CP=0,=0,

不妨取加=2丹則/i=（2x/2/0,-l）,

mn

所「二以|、1cos/<m,n、>-=-rb=—=x—^33.

|m|-|n|Vllx333

又二面角A-PC-B為鈍二面角，所以二面角A-PC-B的余弦值為-粵.

綜合拔高練2

1.（多選）（2024屆河南平許濟(jì)洛第一次質(zhì)量檢測,11）在棱長為4的正方體力8C。-小8iGQ

中,尸分別為線段AB,CD,BC上的動點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）

A.PDi〃平面小

B.過M,N的平面截該正方體，所得截面面積的最大值為16

C.當(dāng)P為線段B、C中點(diǎn)時，異面直線AP與4C所成角的余弦值為當(dāng)

D.當(dāng)三棱錐Ai-BDN的體積最大時，其外接球表面積為48兀

答案ACD

2.（多選）（2023山東濟(jì)南一模』2）在平面四邊形/BCO中/OJ_CZMO=CZ>2,48=LBC=V^

沿力。將△/AC折起,使得點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)"的位置，得到三棱錐皮-4CD則下列說法正確的是

A.三棱錐B'-ACD體積的最大值為日

BJ??前為定值

C直線與方。所成角的余弦值的取值范圍為俘

D.對任意點(diǎn)"線段AD上必存在點(diǎn)乂使得CN1BD

答案ABD

3.（2023湖南師大附中一模,18）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱

形,△為。為等邊三角形，平面為。_1_平面ABCD.PBA.BC.

⑴求點(diǎn)A到平面尸8C的距離;

（2）E為線段PC上一點(diǎn)，若直線AE與平面ABCD所成的角的正弦值為唱求平面ADE與

平面44C。夾角的余弦值.

解析⑴取4。的中點(diǎn)。連接OB.OP.

;△心。為等邊三角形,???(JkADQA=l,OF=6.

???平面均。，平面4BCQ,平面為。n平面ABCD=AD,OP^^PAD,，。。,平面ABCD.

又,/04u平面ABCD,：.OP1.0B.

■:PB1BC,BC〃AD,：.PBYAD.

又,.?OP,尸Bu平面POB,OP[\PB=P,A/4Z)±￥ffiPOB.

又,/O4u平面POB,：.AD1OB,：.OB=V3,PB=y/6.

設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為h,

由VA-PBC=VP.ABC,S△PBC-h=^S^AHCOP,

即gX2XV6/i=gx2X\f3Xy/3,,*?^=~.

(2)由(1)知OP,OA,OB兩兩垂直,故以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn),0404。尸所在直線分別為x軸小

軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則尸(0。6),C(?2,y/3,0),A(1,0,0),。(-1,0,0),則

正=(28,?8),加=(0,0,百),而=(-2,0,0).

設(shè)朋=4》(03於1),則而=(?2尢痂廠何)，區(qū)=OP+PE=(-2z,V3AzV3-何)，

則￡(-2%何，百-62),則說=(-2九1,岳，遍-V32).

由于。。_1_平面/8CQ則取平面ABCD的法向量為711=(0,0,1).

設(shè)AE與平面ABCD所成的角為，則

sinQ|cos<而,〃"3-、32|=*解得力=|.

J(-2A-l)2+3/l2+(V3-V3^)2

則》(-評，竽辟=(-分，

設(shè)平面ADE的法向量為n^=(x,y,z),

n2'AD=-2x=0,

則’~AC5V32'/3n

(n'AE=--x+—y+—z=0.

2JJ5

令尸2,則〃2=。2"),又平面力8。。的法向量為〃i=(0,0,l).故平面4QE與平面48C。夾角

的余弦值為|cos<〃i,〃2刁二5—y.

p

E

綜合拔局練3

L（多選）（2023黑龍江省實(shí)驗(yàn)中學(xué)一-模,12）如圖，在棱長為1的正方體出CQi中/

為棱8叢的中點(diǎn),0為正方形BBCC內(nèi)一動點(diǎn)（含邊界），則下列說法中正確的是（）

A.直線4GJ■平面小

B.棱CCi與平面小8。所成角的正切值為企

C.若90〃平面4尸。則動點(diǎn)Q的軌跡是一條線段

D.若口。=當(dāng)則。點(diǎn)的軌跡長度為《兀

答案ACD

2.（2024屆江蘇鎮(zhèn)江丹陽期中,21）如圖，在四棱錐尸-43CO中，底面48。是邊長為2的菱形,

/ABC=6MAPAB為正三角形，平面R18_L平面ABCD.E為線段48的中點(diǎn)，〃是線段PD（不

含端點(diǎn)）上的一個動點(diǎn).

⑴記平面BCM交PA于點(diǎn)N,求證:MV〃平面P8C；

⑵是否存在點(diǎn)M使得二面角P-BGM的正弦值為嚕?若存在，確定點(diǎn)M的位置;若不存在,

請說明理由.

解析⑴證明:因?yàn)樗倪呅?C。為菱形，所以3。〃/。

因?yàn)锳CU平面乃1DMOU平面分。所以8c〃平面PAD,

因?yàn)椤–u平面8cM，平面BCA/n平面PAD=MN,

所以MN〃BC,

因?yàn)镸NC平面尸8cBeu平面P3C,因此MN〃平面PBC.

⑵連接莊*、CE、AC,

因?yàn)?PAB為等邊三角形萬為AB的中點(diǎn)，所以PELAB,

因?yàn)槠矫鍾18_L平面48CQ平面以80平面力BCD=4B,PEu平面以8,所以PEJL平面

ABCD,

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是邊長為2的菱形，所以"=802,

又因?yàn)镹43C=60。,所以△48C為等邊三角形，則CE.LAB.

以點(diǎn)七為坐標(biāo)原點(diǎn),”、EC、￡產(chǎn)所在直線分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐

標(biāo)系，

則5(1,0,0),C(0,幻,0),。(?2八包0),P(0,0,V5),

設(shè)麗=APD=2(-2/V3,-V3)=(-2z/V3ArV3A),M+O<A<1,

設(shè)平面PBC的法向量為m=(x\,y\,z\).

近二(-1,75,0),前二(-1,0,百)，

由『匣=一/+%=°，取xl=祗可得Hl),

^mBP=—+V5zi=0,

設(shè)平面BCM的法向量為〃=(X2"/2).

BM=BP^麗=(-l,0,VJ)+(-24債「何)=(-22-1,百2,百-伍),

由n-BC=—X2+V5,2=0，

[n-BM=-(2A+l)x2+晅入y?+73(1-A)z2=0,

取X2=V3-V3Z,則yi=1-4/2=4+1,

所以n=(V3—V3A,1：/+1),

由題意可得出西”半瑞=-=FW=嚼

整理可得2722+615=0,即(3心1)(92+5)=0,

因?yàn)?＜衣1,所以故當(dāng)點(diǎn)M為線段PD上靠近點(diǎn)P的三等分點(diǎn)時，二面角P-BC-M的正

弦值碎

3.(2023安徽淮北一模,19)如圖，已知四棱錐P-48C。的底面是平行四邊形，側(cè)面以B是等邊

三角形,BC=2AB,/ABC=600,PB上AC.

⑴求證:平面必8_L平面ABCD；

⑵設(shè)Q為側(cè)棱PD上一點(diǎn)，四邊形BEQF是過B,Q兩點(diǎn)的截面，且4C〃平面BEQF,是否存

在點(diǎn)。，使得平面平面口。?若存在，確定點(diǎn)。的位置;若不存在，說明理由.

解析⑴證明:在△44C中，因?yàn)锽C=2AB,ZABC=6Q°,^\^AC2=AB2+BC1-2ABBC?

cos60。=3力B2,/C=V14B,

所以貝l」N84C=90。,即又AC上PB,PBCAB=B,PB,/iBu平面PAB,

所以4C_L平面為8,

又為G-平面/AS,所以平面P44JL平面ABCD.

⑵假設(shè)存在點(diǎn)。，使得平面BE0幾L平面PAD.

如圖，以4為原點(diǎn)，分別以而，尤的方向?yàn)閷S的正方向建立空間直角坐標(biāo)系4小，則

4(0,0,0).

設(shè)48=2,則8(2,0,0),

p

9

x/K

Z）（-2,26,0）,尸（1,0詢,

則標(biāo)=（-2,275,0）,而=（1,0,舊）,前=（-4,2舊,0）,加=（3廠26,8），

設(shè)平面PAD的法向量是〃尸（力小⑶），

則心”=一22題=0,取丁⑻川），

設(shè)麗=；!而，其中Ov/lvl,

則的=麗+麗=麗+4前=（32-4,2舊-2V3AZV3；）.

連接E居因?yàn)?c〃平面B￡0%Cu平面E4C,平面必CTI平面BEQF=EF,所以AC//EF,

取與而同向的單位向量尸01,0）,

設(shè)平面BEQF的法向量是〃2=（X2必⑷），

管口y2=。，

\n2^BQ=（3A-4）X2+2x/3（l-A）y2+V3Az2=0,

取〃2=（退2,0,4-3力.

由平面平面為D,知mJ_〃2,（當(dāng)兩平面垂直時，它們的法向量也垂直）即

"〃2=3"314=0,解得2=1.故在側(cè)棱PD上存在點(diǎn)Q且當(dāng)。Q=扣尸時，使得平面BEQF工平

面