2025新教材數(shù)學(xué)高考第一輪復(fù)習(xí)

9.3雙曲線

五年高考

考點(diǎn)1雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程

1.（2021北京,5,4分，易）若雙曲線捻-。1的離心率為2,且過(guò)點(diǎn)（或,國(guó)）,則雙曲線的方程為

（）

B二手1

A.2^2-/=I

D.y-^=1

C.5X2-3V=1

26

2.（2017課標(biāo)III理,5,5分，易）已知雙曲線C:《一卷1（介0乃＞0）的一?條漸近線方程為歹=1微%

且與橢圓器+Y=1有公共焦點(diǎn)，則C的方程為)

丫？B.Q-J

A.-?------1

81045

x2v222

CT-7=1

43

3.（2023天津,9,5分，中）己知雙曲線《一/1伍＞0,林＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為田、色.過(guò)B作

其中一條漸近線的垂線,垂足為P己知|P乃|=2,直線PA的斜率為則雙曲線的方程為

)

2222

A戈yq

A———=1B?卜2

8448

2222

CT-T=1啊一卜

22

4.（2022天津,7,5分，中）已知雙曲線3-滬15＞0/＞1）的左、右焦點(diǎn)分別為廳內(nèi),拋物線

爐=4逐x的準(zhǔn)線/經(jīng)過(guò)萬(wàn),且/與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)4若/尸尸叢三,則雙曲線的方

程為)

A/產(chǎn)/y2

A——7=1B丁源

164

Y4,

C-2=lD.x2—J

4

5.（2020課標(biāo)/文/1,5分，中）設(shè)R尸2是雙曲線Cm-ji的兩個(gè)焦點(diǎn),0為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)。在

C上且|OP|=2,則△。尸尸2的面積為（）

AiB.3

）

）離）。）8）

為近,＞4。

漸2,程

程尸力段上

條。方

方a（（線（線

一（＞（的

線為為近

的1C

近以漸

。別/為則

漸,2可條，

分值，

其病點(diǎn)一一或

2小中

則為焦線點(diǎn)的為

,率最C

5右的個(gè)率

_V心曲在

為、距四心

離雙列尸

率左方焦離,

的下點(diǎn)）

心）的）則與的，,0

0o,4aF,2

離＞=C點(diǎn)（

力加為為

的0,x則兩和

）＞0積線,8上點(diǎn)）0

0〃（＞1焦,

＞15面直為2?

力1，=右（

0白的點(diǎn)積［）

b琶2的為

心（一F原面爐l點(diǎn)

1［一F標(biāo)的線=（

=:a=PE22焦

方。坐D3曲y為

2明諄A.-的

一線|為OD雙2積

線若.Y：。

曲則PO為面

7I，曲2△C線

線雙點(diǎn)尸設(shè)若8的

雙）4線曲

曲知兩上點(diǎn)u

B設(shè)P中曲雙

雙x已），6設(shè)）刊

）3x）',R兩1雙知

V^A中，分E.中）△

易中，且5,C，中已

質(zhì)，±于分，,D，則,）

±8分）

性分==分5交5點(diǎn)5）4分用

5yy,,理于,2-5易，

何,..8Fi一,1,,,儼

5BD,/9交,ll-0=|2分

幾,ag5V上-（（近/\5

理4-理文別理..［。3—3,

2的理s.nc,8BD/.2

Dn甲BnDi28H分理0BD1

線+...B乙n若,

標(biāo)國(guó)標(biāo)是BD標(biāo)線國(guó)i

曲FP標(biāo)點(diǎn)京

雙課x全課.課近全

823々'003課原北

1/2（2遙2漸2是93

2）y亭0000））1標(biāo)2

0±圓為條的3,22

2（=2（g62（2（2（Ul0/\V0

LT-2點(diǎn).y.與3v.率l4.兩4.點(diǎn)（（2坐3V22

c.尸.......（..（.

考1（\C2線Acc3心AC4的A5中AC6為.AC7

為_(kāi)_______.

8.（2021全國(guó)乙文』4,5分，易）雙曲線］一4=1的右焦點(diǎn)到直線x+2/8=0的距離

為.

22

9.（2021新高考〃,13,5分，易）已知雙曲線。.一￡=1（心0/>0）,離心率e=2,則雙曲線C的漸

近線方程為..

答案尸岳;尸-岳

10.（2021全國(guó)乙理,13,5分，易）己知雙曲線C:=-y2=i（〃7>o）的一條漸近線為百葉碎-0,則。

的焦距為.

11.（2020北京,12,5分，易）已知雙曲線。:￡一。=1,則。的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____;C的焦

65

點(diǎn)到其漸近線的距離是.

12.（2023新課標(biāo)1,16,5分，中）己知雙曲線。:5一/1（火0,g0）的左、右焦點(diǎn)分別為尸i尸2,

點(diǎn)4在C上，點(diǎn)B在y軸上;M1用/前=-［用，則C的離心率為.

13.（2022全國(guó)甲文,15,5分，中）記雙曲線C馬一與15〉。力>0）的離心率為c,寫(xiě)出滿足條件

a0

“直線尸2x與。無(wú)公共點(diǎn)”的e的一個(gè)值:.

14.（2019課標(biāo)1,16,5分，難）己知雙曲線。:馬一白1（。>08>0）的左、右焦點(diǎn)分別為凡得過(guò)

Fi的直線與C的兩條漸近線分別交于A,B兩點(diǎn).若可=而，用?用=0,則C的離心率

為.

三年模擬

綜合基礎(chǔ)練

1.（2024屆四川成都階段測(cè),5）已知直線產(chǎn)是雙曲線C:5-旨1（心0力>0）的一條漸近線,

且點(diǎn)（28,2百）在雙曲線。上，則雙曲線。的方程為（）

A.￡_旺=1B.E—左1

3436

C.^-g=lD.U

6121224

2.（2023f東佛山一模）已知雙曲線C的中心位于坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且虛軸比實(shí)軸

長(zhǎng).若直線4x+3y-20=0與。的一條漸近線垂直，則。的離心率為（）

3.（2023山東威海一模）已知雙曲線諄一*1（。＞°，六°）的左焦點(diǎn)為向，M為。上一點(diǎn)，/關(guān)

于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為N,若NMQ260。,且「闿=2|RM,則C的漸近線方程為（）

A.尸埒％B.y=±y/3x

C.y=^-xD.y=±V6x

4.（2024屆天津四十七中期中,6）已知尸是拋物線。:盧2〃式戶0）的焦點(diǎn)，拋物線C的準(zhǔn)線與

雙曲線八馬-91（介0力＞0）的兩條漸近線交于力4兩點(diǎn)，若為等邊三角形,則「的離

aD

心率斫（）

V32V3「京八何

AA.——DB.——C.—D.—

2373

5.（2024屆安徽摸底大聯(lián)考4）已知雙曲線。:《一昌1（心0力＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為后尸2,

一條漸近線為/,過(guò)點(diǎn)B且與/平行的直線交雙曲線。于點(diǎn)若|Ma|二3|MB|,則雙曲線C

的離心率為（）

A.V2B.V3C.V5D.3

6.（2024屆湖南長(zhǎng)郡湘府中學(xué)開(kāi)學(xué)檢測(cè),8）已知雙曲線諄-白S＞0力＞0）的離心率為遍,

左,右焦點(diǎn)分別為4尸2尸2關(guān)于C的一條漸近線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P若|PQ|=2,則△PHB的面積

為（）

A.2B.V5C.3D.4

7.（2024屆浙江寧波專(zhuān)題檢測(cè),7）過(guò)雙曲線。:《一。1（心0/＞0）內(nèi)一點(diǎn)例（1,1）且斜率為g的

直線交雙曲線于A,B兩點(diǎn)，弦AB恰好被“平分，則雙曲線C的離心率為（）

A.—B.—C.V3D.V5

8.（2024屆福建漳州第一次教學(xué)質(zhì)檢,5）已知雙曲線捻-，=1（。＞°力＞0）的一條漸近線被圓

（#2）2+必=4所截得的弦長(zhǎng)為2,則雙曲線的離心率為（）

A.V3B.2C.V5D.V10

22

9.（多選）（2023湖南長(zhǎng)沙適應(yīng)性測(cè)試）已知雙曲線的方程為￡一孑=1,則（）

6416

A.漸近線方程為尸gx

B.焦距為8V5

C.離心率為三

D.焦點(diǎn)到漸近線的距離為8

10.（2024屆山東齊魯名校第一次質(zhì)檢,14）已知橢圓。營(yíng)+￡=1（心人＞0）的左、右焦點(diǎn)分別

為P尸2,〃是G上任意一點(diǎn),△，以尸2的面積的最大值為66的焦距為2,則雙曲線C2：J-

*1的實(shí)軸長(zhǎng)為.

22

11.（2023江蘇二模）設(shè)過(guò)雙曲線吟一與=1（心0力＞0）的左焦點(diǎn)F的直線/與。交于M,N兩

點(diǎn)，若麗=3而，且的?麗=0（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則C的離心率為.

12.（2024屆江西新高三第一次大聯(lián)考,14）已知雙曲線。的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，焦距

為8,且C的離心率與它的一條漸近線的斜率之比恰好為2,則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

?2

13.（2024屆江蘇南京師大附中、灌南二中聯(lián)考,15）已知雙曲線。:3-與=130/＞0）,直線

產(chǎn)〃與雙曲線c交于MN兩點(diǎn),直線尸d與雙曲線。交于P,Q兩點(diǎn)，若|MN|=&|P0],則雙

曲線C的離心率等于.

綜合拔高練1

1.（2024屆廣東四校第一次聯(lián)考,6）已知雙曲線C:馬-91s0乃＞0）,斜率為-百的直線/過(guò)

原點(diǎn)O且與雙曲線C交于尸，。兩點(diǎn),且以尸。為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn),則雙曲

線C的離心率為（）

A.—B.V3+1C.2V3-1D.2V3-2

2.（2024屆福建福州四中專(zhuān)題檢測(cè),7）已知雙曲線-白1（心0乃＞0）尸為左焦點(diǎn)⑶42分

別為左、右頂點(diǎn),P為C右支上的點(diǎn)，且|0用=|0川（0為坐標(biāo)原點(diǎn)）.若直線PF與以線段4月2

為直徑的圓相交，則C的離心率的取值范圍為（）

A.（1,V3）B.（V3,+oc）

C.（V5,+oo）D.（1,V5）

22

3.（2023湖北恩施4月模擬,8）已知尸咯分別為雙曲線%■-2l（Q0）的左、右焦點(diǎn)，且

Fi到漸近線的距離為1,過(guò)Fi的直線/與C的左、右兩支分別交于A,B兩點(diǎn)，且/UFiJiJ

下列說(shuō)法正確的是（）

A.ZV1打產(chǎn)2的面積為2

B.雙曲線C的離心率為四

C.祈雨=10+4>/6

D.---I---=V6+2

IBF?I

4.（多選）（2024屆廣東茂名信宜摸底』1）已知曲線C:x2sina+fcos〃=1（0&（<兀）,則下歹1」說(shuō)法

正確的是（）

A.若曲線。表示兩條平行線，則a=0

B.若曲線C表示雙曲線，則左。令

C.若0々嗎,則曲線C表示橢圓

D.若0<2法,貝IJ曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓

4

5.（多選）（2024屆重慶第十一中學(xué)第一次質(zhì)檢［1）公元前300年前后，歐幾里得撰寫(xiě)的《幾

何原本》是最早有關(guān)黃金分割的論著，書(shū)中描述:把一條線段分割為兩部分,使較大部分與

全長(zhǎng)的比值等于較小部分與較大部分的比值，則這個(gè)比值即為“黃金分割比”，把離心率為

“黃金分割比”倒數(shù)的雙曲線叫做“黃金雙曲線”.黃金雙曲線￡捻一。1（。>0/>0）的一個(gè)頂

點(diǎn)為a與A不在y軸同側(cè)的焦點(diǎn)為F,E的一個(gè)虛軸端點(diǎn)為B,PQ為雙曲線任意一條不過(guò)

原點(diǎn)且斜率存在的弦也為。。中點(diǎn).設(shè)雙曲線E的離心率為e.O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說(shuō)法

中，正確的有（）

13.|。川。年|。8|2

C.koM'kp^e

D.若。尸，。。則麻+而e恒成立

6.（2023湖北襄陽(yáng)四中模擬』5）已知雙曲線諄一昌心0力>0）的右焦點(diǎn)為尸（2倔0）,點(diǎn)4

的坐標(biāo)為（0,1）,點(diǎn)尸為雙曲線左支上的動(dòng)點(diǎn)，且△力相的周長(zhǎng)不小于18,則雙曲線。的離心

率的取值范圍為.

7.（2024屆廣東普寧二中第一次月考,21）已知雙曲線C:捺-*=13>0力>0）過(guò)點(diǎn)（20,1）,漸近

線方程為嚴(yán)6文,直線/是雙曲線。右支的一條切線，且與C的漸近線交于4B兩點(diǎn).

（1）求雙曲線。的方程；

⑵設(shè)點(diǎn)A,B的中點(diǎn)為M求點(diǎn)M到），軸的距離的最小值.

綜合拔高練2

i.（多選）（2024屆湖北武漢研口起點(diǎn)質(zhì)檢,11）已知雙曲線c：Nq=i,a尸2為雙曲線的左、右

焦點(diǎn),若直線/過(guò)點(diǎn)且與雙曲線的右支交于兩點(diǎn),則下列說(shuō)法正確的是（）

A.雙曲線C的離心率為百

R.若/的斜率為2,則弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為（8,12）

C.若NKMB喙則的面積為3V3

D.使△MNB為等腰三角形的直線/有3條

2.（2023浙江嘉興一中期中,21）已知雙曲線捻一。1伍乂）力＞0）。為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率e=2,點(diǎn)

M（遮，b）在雙曲線上.

（1）求雙曲線的方程；

（2）如圖,若直線/與雙曲線的左、右兩支分別交于點(diǎn)。.尸，且赤?麗=0,求|OPF+|O02的最小

值.

3.(2024屆湖南永州一模,21)已知點(diǎn)A為圓C:x2+^-2V10.x-6=0上任意一點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為

(-VTU,0),線段AB的垂直平分線與直線AC交于點(diǎn)D.

(1)求點(diǎn)。的軌跡E的方程；

(2)設(shè)軌跡E與x軸分別交于4,小兩點(diǎn)(4在血的左側(cè))，過(guò)&(3,0)的直線/與軌跡E交于

MN兩點(diǎn)，直線4M與直線4N交于P,證明:P在定直線上.

4.(2023江蘇南京、鹽城一模,21)已知雙曲線C=15力＞0)的離心率為四，直線

hy=2x+4百與雙曲線C僅有一個(gè)公共點(diǎn).

⑴求雙曲線C的方程;

⑵設(shè)雙曲線C的左頂點(diǎn)為4,直線h平行于兒且交雙曲線C于MN兩點(diǎn),求證:的

垂心在雙曲線。上.

9.3雙曲線

五年高考

考點(diǎn)1雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程

1.（2021北京,5,4分，易）若雙曲線捻的離心率為2,且過(guò)點(diǎn)（以⑶，則雙曲線的方程為

)

A源-產(chǎn)1B—1

C.5x2-3/=l

26

答案B

2.（2017課標(biāo)III理,5,5分，易）已知雙曲線。:馬一4=1他>0力>0）的一條漸近線方程為產(chǎn)條,

Q。Z

且與橢圓5+4=1有公共焦點(diǎn)，則c的方程為

JL4O)

/y2

A?f=l

B交?

答案B

22

3.（2023天津,9,5分,中）已知雙曲線出一￡=15>0/>0）的左、右焦點(diǎn)分別為Q、B.過(guò)B作

其中一條漸近線的垂線捶足為A已知|巴司=2,直線尸H的斜率為拳則雙曲線的方程為

)

/2

A*-Jv

0448

/v2

24

答案D

4.（2022天津,7,5分，中）已知雙曲線捺-3=15＞0力＞1）的左、右焦點(diǎn)分別為吊尸2,拋物線

產(chǎn)4后工的準(zhǔn)線/經(jīng)過(guò)且/與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)4若/尸正》三,則雙曲線的方

程為（）

A.￡_藝=1B.E—三1

164416

C.--y2=1D.x2-J

44

答案D

5.（2020課標(biāo)/文/1,5分，中）設(shè)孔尸2是雙曲線。爐與1的兩個(gè)焦點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在

C上且|OP|=2,則△2尸尸2的面積為（）

A.-B.3

2

c.|D.2

答案B

考點(diǎn)2雙曲線的幾何性質(zhì)

1.（2018課標(biāo)II理,5,5分，易）雙曲線力＞0）的離心率為百，則其漸近線方程為

（）

A.y=±VZxB.y=±V3x

C.尸埒xD.y=±^x

答案A

2.（2023全國(guó)甲理,8,5分，中j己知雙曲線。:馬一白1（〃＞0力＞0）的離心率為遙,。的一條漸近

a6乙

線與圓交于4B兩點(diǎn)，則玄目=（）

6275

ATB-

迪

D4V5

。5D5

答案D

22

3.（2020課標(biāo)HI理,11,5分，中）設(shè)雙曲線一與=1（心0力＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為尸尸2,離

心率為6.P是C上一點(diǎn)，且RP上F2P.若APFiFz的面積為4,則。=（）

A.1B.2

C.4D.8

答案A

22

4.（2020課標(biāo)n,文9,理8,5分，中）設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x=a與雙曲線。米-￡=1（＞0力＞0）

的兩條漸近線分別交于D,E兩點(diǎn)若△OQE的面積為8,則C的焦距的最小值為（）

A.4B.8C.16D.32

答案B

5.（2023全國(guó)乙理,11,5分，中）設(shè)48為雙曲線爐于1上兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可以為線段48

中點(diǎn)的是（）

A.（U）B.（-l,2）

C.（l,3）D.（-l,-4）

答案D

6.（2019課標(biāo)III理,10,5分，中）雙曲線的右焦點(diǎn)為己點(diǎn)尸在C的一條漸近線上。

為坐標(biāo)原點(diǎn)若|POH尸內(nèi)，則APF。的面積為（）

.3^203我

A—B—

C.2V2D.3V2

答案A

7.（2023北京,12,5分，易）已知雙曲線C的焦點(diǎn)為（-2,0）和（2,0）,離心率為VI,則C的方程

為_(kāi)_______.

答案7-^=1

8.（2021全國(guó)乙文，14,5分，易）雙曲線］一。=1的右焦點(diǎn)到直線x+2y-8=0的距離

為.

答案V5

22

9.（2021新高考〃,13,5分，易）已知雙曲線C與一芻=1伍〉0乃＞0）,離心率e=2,則雙曲線C的漸

aD

近線方程為,.

答案y=y/3x;y=-y/3x

丫2L

10.（2021全國(guó)乙理,13,5分，易）己知雙曲線。:*-產(chǎn)=1（m＞0）的一條漸近線為、忌丫+碎產(chǎn)0,則C

的焦距為.

答案4

11.（2020北京」2,5分，易）已知雙曲線則C的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為.；C的焦

65

點(diǎn)到其漸近線的距離是

答案（3,0）;代

22

12.（2023新課標(biāo)1,16,5分，中）已知雙曲線。力Y一3V=1（＞0力＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為

點(diǎn)力在C上，點(diǎn)8在y軸上百11用，取=-［邛，則C的離心率為.

答案?

?2

13.（2022全國(guó)甲文,15,5分，中）記雙曲線。:云一%=1（〃〉0力＞0）的離心率為e,寫(xiě)出滿足條件

“直線尸2x與C無(wú)公共點(diǎn)”的e的一個(gè)值:.

答案2（答案不唯一，在（1,舍］范圍內(nèi)取值均可）

22

14.（2019課標(biāo)1,16,5分，難）已知雙曲線一21（＞0乃＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為產(chǎn)咯,過(guò)

Fi的直線與C的兩條漸近線分別交于A,B兩點(diǎn).若可=荏，用?用=0,則C的離心率

為_(kāi)____

答案2

三年模擬

綜合基礎(chǔ)練

1.（2024屆四川成都階段測(cè),5）己知直線尸②是雙曲線諄-昌=15＞0力＞0）的一條漸近線,

且點(diǎn)（2百,2遙）在雙曲線。上，則雙曲線C的方程為)

X2y2X2y2

A=1B.v-V=1

T-T36

X2V2

D.土一匕=1

6121224

答案C

2.（2023廣東佛山一模）己知雙曲線。的中心位于坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,且虛軸比實(shí)軸

長(zhǎng).若直線4x+3v-20=0與C的一條漸近線垂直，則C的離心率為)

545

-B--

A.433

答案c

3.（2023山東威海一模）己知雙曲線*-r=1（心0/＞0）的左焦點(diǎn)為為C上一點(diǎn)，"關(guān)

于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為N,若NA/aN=60。,且|RM=2|EM,則C的漸近線方程為（）

A.y=±^xB.y=±V5x

C產(chǎn)且％D.y=±V6x

6

答案D

4.（2024屆天津四十七中期中,6）已知產(chǎn)是拋物線C:盧2川（戶0）的焦點(diǎn)，拋物線C的準(zhǔn)線與

雙曲線底—%一30力＞0）的兩條漸近線交于48兩點(diǎn)，若△羽尸為等邊三角形，則FJ的離

心率e=（）

.V32V3「國(guó)\/21

A.—DB.—C.—nD.—

2373

答案D

5.（2024屆安徽摸底大聯(lián)考4）已知雙曲線。:《一。1（心0力＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F、,F?,

一條漸近線為/,過(guò)點(diǎn)金且與/平行的直線交雙曲線C于點(diǎn)若|A/B|=3|M尸2],則雙曲線C

的離心率為（）

A.V2B.V3C.V5D.3

答案B

6.（2024屆湖南長(zhǎng)郡湘府中學(xué)開(kāi)學(xué)檢測(cè),8）已知雙曲線諄一，=1（＞0力＞0）的離心率為其

左,右焦點(diǎn)分別為尸2關(guān)于C的一條漸近線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P若|PH|=2,則△PEE的面積

為（）

A.2B.V5C.3D.4

答案D

7.（2024屆浙江寧波專(zhuān)題檢測(cè),7）過(guò)雙曲線。:，一。1（介0力＞0）內(nèi)一點(diǎn)用（1,1）且斜率為:的

直線交雙曲線于A,B兩點(diǎn)，弦AB恰好被M平分，則雙曲線C的離心率為（）

A.當(dāng)B.當(dāng)C.V3D.V5

答案C

22

8.（2024屆福建漳州第一次教學(xué)質(zhì)檢,5）已知雙曲線會(huì)-滬1（心0力＞0）的一條漸近線被圓

（x-2）2+yM所截得的弦長(zhǎng)為2,則雙曲線的離心率為（）

A.V3B.2C.V5D.V10

答案B

9.（多選）（2023湖南長(zhǎng)沙適應(yīng)性測(cè)試）已知雙曲線的方程為3則（）

04lb

A.漸近線方程為尸治

B.焦距為8V5

C.離心率為A

D.焦點(diǎn)到漸近線的距離為8

答案BC

10.（2024屆山東齊魯名校第一次質(zhì)檢,14）己知橢圓。：5+。1伍＞力＞0）的左、右焦點(diǎn)分別

為P,3M是C上任意一點(diǎn)，△披尸2的面積的最大值為遮6的焦距為2,則雙曲線。2：/-

丫2

廬=1的實(shí)軸長(zhǎng)為1

答案4

22

11.（2023江蘇二模）設(shè)過(guò)雙曲線-臺(tái)15＞0乃＞0）的左焦點(diǎn)尸的直線/與。交于MN兩

點(diǎn)，若麗=3前，且麗?麗=0（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則C的離心率為.

答案y/7

12.（2024屆江西新高三第一次大聯(lián)考,14）已知雙曲線C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，焦距

為8,且C的離心率與它的一條漸近線的斜率之比恰好為2,則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

*2”2

答案"送

13.（2024屆江蘇南京師大附中、灌南二中聯(lián)考,15）已知雙曲線諄一。1（公＞0爐0）,直線

y=a與雙曲線。交于MN兩點(diǎn),直線尸I與雙曲線C交于P,Q兩點(diǎn)，若|MV|=&|P。,則雙

曲線C的離心率等于.

答案竽

綜合拔高練1

1.（2024屆廣東四校第一次聯(lián)考,6）已知雙曲線片-昌1（心0力＞0）,斜率為-8的直線/過(guò)

原點(diǎn)。且與雙曲線C交于R0兩點(diǎn)，且以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，則雙曲

線C的離心率為（）

A萼B.V3+1C.2V3-1D.2V3-2

答案B

2.（2024屆福建福州四中專(zhuān)題檢測(cè),7）」知雙曲線一f|=l5>0力>0）下為左焦點(diǎn)盟》2分

別為左、右頂點(diǎn),P為C右支上的點(diǎn)，且Q尸|=|。川（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）.若直線PF與以線段力

為直徑的圓相交，則C的離心率的取值范圍為（）

A.（1,V3）B.（V3,+oc）

C.（V5,+x）D.（1,V5）

答案D

3.（2023湖北恩施4月模擬,8）己知分別為雙曲線。：5-2=1（6>0）的左、右焦點(diǎn)，且

Fi到漸近線的距離為1,過(guò)Fi的直線/與。的左、右兩支分別交于A,B兩點(diǎn)，且則

下列說(shuō)法正確的是（）

A.ZX4QB的面積為2

B.雙曲線C的離心率為應(yīng)

C.麗麗=10+4V6

D.---I---=>/6+2

\AF2\\BF2\

答案D

4.（多選）（2024屆廣東茂名信宜摸底［1）已知曲線C:x2sina+j^cos。=1（03。<兀）,則下列說(shuō)法

正確的是（）

A.若曲線C表示兩條平行線，則a=0

B.若曲線C表示雙曲線，則X?！簇?/p>

C.若0<a<g則曲線C表示橢圓

D.若0<a<*則曲線。表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓

答案BD

5.（多選）（2024屆重慶第十一中學(xué)第一次質(zhì)檢［1）公元前300年前后，歐幾里得撰寫(xiě)的《幾

何原本》是最早有關(guān)黃金分割的論著，書(shū)中描述:把一條線段分割為兩部分,使較大部分與

全長(zhǎng)的比值等于較小部分與較大部分的比值，則這個(gè)比值即為“黃金分割比”,把離心率為

“黃金分割比”倒數(shù)的雙曲線叫做“黃金雙曲線”.黃金雙曲線￡馬-91（。>0力>0）的一個(gè)頂

點(diǎn)為力,與A不在歹軸同側(cè)的焦點(diǎn)為F,E的一個(gè)虛軸端點(diǎn)為B,PQ為雙曲線任意一條不過(guò)

原點(diǎn)且斜率存在的弦,用為尸。中點(diǎn).設(shè)雙曲線E的離心率為為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說(shuō)法

中，正確的有（）

B.|O4||OF|=Q野

C.koM，kpke

D.若OQJLO0，則矗+冊(cè)。恒成立

答案ABC

22—

6.（2023湖北襄陽(yáng)四中模擬,15）已知雙曲線。泉―今一1（心0力＞0）的右焦點(diǎn)為尸（2痣0）,點(diǎn)力

的坐標(biāo)為（0j）,點(diǎn)P為雙曲線左支上的動(dòng)點(diǎn)，且的周長(zhǎng)不小于18,則雙曲線C的離心

率的取值范圍為.

答案（1,用

7.（2024屆廣東普寧二中第一次月考,21）已知雙曲線C:5一2=1（心0力＞0）過(guò)點(diǎn)（2加,1）,漸近

線方程為尸與v,直線/是雙曲線。右支的一條切線，且與C的漸近線交于A,B兩點(diǎn).

（1）求雙曲線。的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)A,B的中點(diǎn)為M求點(diǎn)M到歹軸的距離的最小值.

fA-l=l_9

解析⑴由題設(shè)可知，解得心~;

丫2

則。的方程為

⑵設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為刈爐”＞0,當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，直線/:尸2,易知點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距

離為Xw=2;

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)ky=kx+m［k丹3力。0）出（工2,次），

住_2_1

聯(lián)立7一丫一卻整理得（4卜1濡+8%心+4加2+4=0,

y=kx+m,

d=64k2m2-16（4%2.］）（〃?2十］）=（）,整理得442=〃?2十］

2

s_2-n

聯(lián)立4,v一，整理得（4k2-1.2+8“加工+4〃72=0,

y=依+m,

則為+刈=技=-解一些，則X『空=-竺＞0,即加＜0,

4km2m

則的=警=竺滬=4+5＞4,即.＞2,???此時(shí)點(diǎn)/到y(tǒng)軸的距離大于2.綜上所述，點(diǎn)M

到歹軸的距離的最小值為2.