2025新教材數(shù)學(xué)高考第一輪復(fù)習(xí)

8.3直線、平面平行的判定與性質(zhì)

五年高考

考點(diǎn)直線、平面平行的判定與性質(zhì)

1.（2019課標(biāo)0,7,5分，易）設(shè)。/為兩個(gè)平面，則?！ㄏΦ某湟獥l件是（）

A.a內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與成平行

B.a內(nèi)有兩條相交直線與夕平行

C.a/平行于同一條直線

D.a/垂直于同一平面

2.（2022全國(guó)乙，文9,理7,5分，中）在正方體48cxM山6。中方廠分別為48,8。的中點(diǎn),

則（）

A.平面3以口_平面BDD\

B.平面BiE/LL平面450

C.平面〃平面小/C

D.平面以石/〃平面小G。

3.（2021浙江,6,4分，中）如圖,已知正方體力8CZM閏CQ,MN分別是的中點(diǎn)，則

A.直線AiD與直線DiB垂直，直線MN〃平面ABCD

B.直線AxD與直線DiB平行，直線用N_L平面BDDiBi

C.直線A\D與直線DiB相交，直線"N〃平面ABCD

D.直線ATD與直線D\B異面，直線MN_L平面BDD\B\

4.（2023全國(guó)乙文，19,12分，中）如圖，在三棱錐P-陽(yáng)C

中/BA_BC,AB=2、BC=2a,PB=PC=?BP<P、BC的中點(diǎn)分別為D,E,O,點(diǎn)、F在4C

上,8凡L4O.

⑴證明:〃平面/D。；

（2）若/R9F=120。,求二棱銖PdBC的體積.

p

5.(2019江蘇,16,14分，中)如圖，在直三棱柱ABC-AxBxC\中，。萬(wàn)分別為BC,AC的中

點(diǎn)

求證:(1)/出〃平面DEC\；

Q)BE1CiE.

6.(2020北京,16,13分，中)如圖，在正方體中,E為BBi的中點(diǎn).

⑴求證〃平面

⑵求直線AAi與平面AD,E所成角的正弦值.

7.(2019課標(biāo)/理，18,12分，中)如圖，直四棱柱N8CQ.小SG。的底面是菱

形/4=4〃8=2,N84Z)=60c,￡；A<N分別是BC,BB】,A】D的中點(diǎn).

(1)證明40〃平面CiDE;

(2)求二面角A-MAx-N的正弦值.

三年模擬

綜合基礎(chǔ)練

1.（2024屆江蘇連云港贛榆智賢中學(xué)模擬,6）設(shè)是兩條不同的直線,。步是兩個(gè)不同的平

面,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若in//則〃7〃n

B.若m//a,m//夕，則a〃P

C.若加〃n,m//a,則nCa

D.若〃7〃a,a〃4則m//p

2.（2023黑龍江齊齊哈爾一模,5）己知兩條不同的直線/,〃?及三個(gè)不同的平面a/,%下列條件

中能推出a〃”的是（）

A./與出夕所成角相等B.a±y^±y

C./a,7/7_1_PJ//mD./Ca,〃?U/?,///m

3.（2023吉林延邊二模,7）正三棱柱的底面邊長(zhǎng)是4,側(cè)棱長(zhǎng)是6,M,N分別為

CG,AB的中點(diǎn)，若P是側(cè)面BCGBT上一點(diǎn)，且*V〃平面力囪M則線段PN的最小值為

（）

.V3903V26「2V39V26

A-B—C—Dn—

4.（2023河南新鄉(xiāng)二模,7）在如圖所示的正方體或正三棱柱中,°分別是所在校的中點(diǎn),

則滿足直線8M與平面CN0平行的是

5.（2023四川遂寧第二中學(xué)模擬』1）在正方體48O48CQ中，下列結(jié)論正確的是（）

①〃8G;②平面力以9〃平面BDC\；

③力。i〃OG；④/Oi〃平面BDC\.

A.①②④B.①②③

C.②③④D.①③④

6.（多選）（2024屆云南昆明第二十四中學(xué)月考［0）如圖，在正方體4BCD-小BCD、

中，E,￡G,"分別是棱CC\,BC,CD,BG的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A/b〃平面小。石

B/G〃平面4。七

C.4Q,E,H四點(diǎn)共面

D.4,。，及G四點(diǎn)共面

7.（多選）（2023江蘇常州二模,10）如圖,透明塑料制成的長(zhǎng)方體容器48CQ辦囪GG內(nèi)灌進(jìn)

一些水后密封，固定容器底面一邊8C于地面上，再將容器以8c所在直線為軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn),

則)

A.有水的部分始終是棱柱

B.水面所在四邊形EFGH為矩形且面積不變

C.棱49始終與水面平行

D.當(dāng)點(diǎn)H在棱CD上且點(diǎn)G在棱CG上（均不含端點(diǎn)）時(shí)不是定值

綜合拔高練

1.（2023寧夏中衛(wèi)一模,11）在棱長(zhǎng)為1的正方體/8C/）-4SGQi中,MN分別為8。向G

的中點(diǎn)，點(diǎn)。在正方體的表面上運(yùn)動(dòng),且滿足"P〃平面CNA,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.點(diǎn)產(chǎn)可以是棱8囪的中點(diǎn)

B.線段MP的最大值為噂

C.點(diǎn)P的軌跡是正方形

D.點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)度為2+而

2.(2024屆湖南長(zhǎng)沙第一中學(xué)月考(四),20)如圖,己知正方體力3CQ-4SGA的棱長(zhǎng)為

2,M,N分別為BiD\與C\D上的點(diǎn)，且MNLB\D】,MNLCiD.

(1)求證:MN〃4C;

(2)求平面&D"與平面。/WN的夾角的余弦值.

\G

I)

B

3.(2023廣東一模,19)在如圖所示的多面體中,43=40,E8=EC,平面力平面BCD,平面

BCE_L平面BCD,點(diǎn)F,G分別是CD,BD的中點(diǎn).

(1)證明:平面力/G〃平面BCE\

(2)若BCJ_BD,BC=BD=2/B=a,BES,求平面AFG和平面ACE夾角的余弦值.

8.3直線、平面平行的判定與性質(zhì)

五年高考

考點(diǎn)直線、平面平行的判定與性質(zhì)

1.（2019課標(biāo)0,7,5分，易）設(shè)為兩個(gè)平面，則?！ㄏΦ某湟獥l件是（）

A.a內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與￡平行

B.a內(nèi)有兩條相交直線與彼平行

C.a/平行于同一條直線

D.a/垂直于同一平面

答案B

2.（2022全國(guó)乙，文9,理7,5分，中）在正方體ZBCOZBG"中,E尸分別為48,8。的中點(diǎn),

則（）

A.平面小￡7口_平面BDDi

B.平面囪￡7口_平面48。

C.平面囪EV〃平面//C

D.平面aE/〃平面小G。

答案A

3.（2021浙江,6,4分，中）如圖,已知正方體力8C￡MI8ICQ,MN分別是42。山的中點(diǎn)，則

A.直線AiD與直線DiB垂直，直線〃平面ABCD

B.直線A\D與直線D\B平行，直線A/N_L平面BDDiBi

C.直線A\D與直線DiB相交，直線〃平面ABCD

D.直線4。與直線DiB異面，直線MV_L平面BDD\Bi

答案A

4.(2023全國(guó)乙文，19,12分，中)如圖，在三棱錐P-陽(yáng)C

中4BtBC,AB=2,BC=20PB=PC=?BP4P,BC的中點(diǎn)分別為D,E,O,點(diǎn)F在4C

±.,BF±AO.

⑴證明:￡/〃平面4。0;

(2)若NPOP=120。,求三棱錐P-ABC的體積.

解析⑴證明:因?yàn)?5=2,8028_LBC,所以｛GN"+aCMZ4O2K?設(shè)而=AAC,

則

BF-AO=(XAC-AB\@而+17?)=^XAB-AC+/砂_渾2_再.m=22+6九2?2=0,

解得耳,所以/為4C的中點(diǎn)，所以EFI/PC又。。〃尸。,所以EF//0D,

又因?yàn)椤?飛平面NOO0QU平面400,所以石/〃平而力。。

(2)因?yàn)?3_L3c尸〃44,所以O(shè)FtBC,

又PB=PC=&，所以0P1BC,

又O/nOP=O,O￡O尸U平面OPF,

所以3。，平面0PF又8CU平面ABC,

所以平面力BC_L平面0PE過(guò)點(diǎn)P作PML0F于點(diǎn)M

又平面。尸尸TI平面/8C=0F,PA/U平面0PF,

所以PM_L平面48C,因?yàn)锽C=2yFl,PB=PC=瓜,

所以。片2,又/尸。尸=120。，

所以PM=OPsin(18()o?120c)=H,即三棱錐P-ABC的高為

所以三棱錐P-ABC的體積K=ix2V2xV3=^,

5.(2019江蘇,16,14分，中)如圖，在百二棱柱ABC-A^xCy中，。萬(wàn)分別為RC?4c的中

點(diǎn)、＜B=BC.

求證:(1)XB〃平面

Q)BEtC】E.

證明⑴因?yàn)镈,E分別為BC,AC的中點(diǎn)，所以ED//AB.

在直三棱柱ABC-AxBxC\中所以AiB、〃ED.

又因?yàn)镋QU平面DEG,力出口平面。EG,

所以力出〃平面。EG.

(2)因?yàn)锳B=BC,E為AC的中點(diǎn)，所以BE工AC.

因?yàn)槿庵?BC-4B4是直棱柱，所以GC_L平面ABC.

乂因?yàn)?EU平面43C,所以CiCA.BE.

因?yàn)镚CU平面小4。。,力。(2平面AiACCi,CiCQAC=C,

所以3七_(dá)1_平面小力CG.

因?yàn)镚EU平面力MCG,所以BEVCxE.

6.(2020北京,16,13分，中)如圖，在正方體力8C￡M囚G。中,E為BBi的中點(diǎn).

⑴求證:8G〃平面4。萬(wàn)；

(2)求直線AAy與平面ADiE所成角的正弦值.

解析⑴證明:???/8C0?4SCQ為正方體,???￡hG〃小即。心=小即

又為3〃48?8=481,???。|。|〃4氏0］。1=48,???四邊形"。】。1為平行四邊形,???力。1〃3。,

又ADiU平面ADiE,BC0平面ADiE,：.BCT//平面AD\E.

⑵不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,如圖，以｛而，荏，標(biāo)｝為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系力平,

則40,0,0)出(0,0,2)Q|(2,0,2)即2,1),

?.可二(0,0,2),河=(2,0,2),荏=(0,2,1).

設(shè)平面NOiE的法向量為〃=(x,y/),

直線AAx與平面ADyE所成的角為&

n-AD=0,

則x

n-AE=0,

此時(shí)w=(2,l,-2),

??zi_i'AA'*、I\n-AA\\|-4|2

..sin0=\cos<n,AAi>=

1'll忸||力41|44+1+4x23，

?,?直線AAi與平面ADxE所成角的正弦值為*

7.(2019課標(biāo)/理，18,12分，中)如圖，直四棱柱ABCD-A】BCTDT的底面是菱

形M4=4,44=2/44。=60。百四,7分別是BC,BB\,AiD的中點(diǎn).

(1)證明：/3〃平面C\DE\

(2)求二面角A?MA\-N的正弦值.

解析(1)證明:連接囪C,"E因?yàn)镸,E分別為BBi,BC的中點(diǎn)，所以ME〃囪C,且ME^BC

又因?yàn)镹為AiD的中點(diǎn)，所以.由題設(shè)知4EOC,所以四邊形43co是平行四

邊形，所以BTC小。，故MEM),因此四邊形MNDE為平行四邊形，所以MN//ED又MNQ

平面GOE,所以〃平面C\DE.

⑵由已知可得DE_LQ4以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，石5,尻，西的方向?yàn)閤軸0軸？軸的正方向，建

立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz,

則力(2,0,0卜小(2,0,4),M(1,6,2),N(102),

則羽=(0,0,?4),而S7=(?1,百,?2),而7=(?1,0「2),而=(0「6,0).

m-A1M=0,

設(shè)〃尸（x,為z）為平面A\MA的法向量，則

m-AxA=0.

所以［r+V3y-2z=。，可取〃『（8」,（））.

l-4z=0.

n?MN=0,

設(shè)〃=（p,q/）為平面A\MN的法向量，則

n-A1N=0.

仁色?？扇∑啤Ｓ?/p>

所以

mn2V3質(zhì)

于是cos<m,n>=-

|m||n|一2xV5一~

所以二面角AM4-N的正弦值為空

三年模擬

綜合基礎(chǔ)練

1.（2024屆江蘇連云港贛榆智賢中學(xué)模擬,6）設(shè)見(jiàn)〃是兩條不同的直線,。步是兩個(gè)不同的平

面,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若m//a,〃〃a,則m//n

B.若m//a,m//則a〃P

C.若m//n,m//a,則n//a

D.若〃7〃a,a//4則m//P

答案C

2.（2023黑龍江齊齊哈爾一模,5）已知兩條不同的直線及三個(gè)不同的平面a/,?下列條件

中能推出a〃用的是（）

AJ與所成角相等B.?_Ly，A?7

C./J_a,mVpj//mD./Ca,mC/?,///ni

答案c

3.（2023吉林延邊二模,7）正三棱柱/8C-〃囪G的底面邊長(zhǎng)是4,側(cè)棱長(zhǎng)是6,M,M分別為

CCi,AB的中點(diǎn)，若P是側(cè)面BCGBT上一點(diǎn)，且/W〃平面451M則線段PN的最小值為

()

.V39口3^26「2V39八V26

A—B—C—D—

答案c

4.（2023河南新鄉(xiāng)二模,7）在如圖所示的正方體或正三棱柱中,分別是所在梭的中點(diǎn),

則滿足直線8M與平面CNQ平行的是)

答案B

5.（2023四川遂寧第二中學(xué)模擬』1）在正方體48。。-4冏。。1中，下列結(jié)論正確的是（）

①4QI〃BCI；②平面力囪。1〃平面BDCi；

@AD\//DC\；?AD]//平面BDCi.

A.①②④B.①②③

C.②③④D.①③④

答案A

6.（多選）（2024屆云南昆明第二十四中學(xué)月考』0）如圖，在正方體4BCD-ABCQ

中,EF,G,"分別是棱CC】,BC,CD,B\C\的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A/戶'〃平面A\DE

B/G〃平面小

C/iQ,瓦”四點(diǎn)共面

D.4Q￡G四點(diǎn)共面

答案AC

7.（多選）（2023江蘇常州二模,10）如圖，透明塑料制成的長(zhǎng)方體容器如5cLM囚GOi內(nèi)灌進(jìn)

一些水后密封，固定容器底面一邊8c于地面上，再將容器以8c所在直線為軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn),

則（）

A.有水的部分始終是棱柱

B水面所在四邊形MGH為矩形且面積不變

C.棱AiDi始終與水面平行

D.當(dāng)點(diǎn)H在棱CD上且點(diǎn)G在棱CCi上（均不含端點(diǎn)）時(shí)廠不是定值

答案AC

綜合拔高練

1.（2023寧夏中衛(wèi)一模,11）在棱長(zhǎng)為1的正方體45CD-4囪GOi中,MN分別為BO/G

的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在正方體的表面上運(yùn)動(dòng),且滿足〃平面CN。,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.點(diǎn)?？梢允抢?5的中點(diǎn)

B.線段MP的最大值為手

C.點(diǎn)P的軌跡是正方形

D.點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)度為2+V5

答案B

2.（2024屆湖南長(zhǎng)沙第一中學(xué)月考（四）,20）如圖，已知正方體ABCD-A出\CiDi的棱長(zhǎng)為

2,M,N分別為BiD\與CxD上的點(diǎn)，且MN±.BiD、,MNLGD.

⑴求證:MN〃4C;

(2)求平面8DW與平面DMN的夾角的余弦值.

解析(1)證明:如圖，連接

因?yàn)镃G_L平面小田CQ,8QU平面48co1,

所以CC_LB"

因?yàn)樗倪呅?a是正方形,所以小

又因?yàn)镃Gn4G=G,CG/iCU平面4CC,

所以平面4CC

又因?yàn)樾U平面4GC,

所以30J_4c

同理可得4c_L49i,(證明力囪J_平面A\BC得至lj)

又因?yàn)榱?囪。曰1,4囪8。二平面4囪。|,

所以4CJ_平面/辦。］.

因?yàn)閲鐶=4Q,SG〃/。所以四邊形ADCxBy為平行四邊形，

所以C\D〃AB\.

因?yàn)镸N_LG2

所以MN_LN囪.

又因?yàn)閁平面AB\D\,所以MN，平面AB\D\.所以

A\C//MN.

(2)如圖，以力為坐標(biāo)原點(diǎn)〃B,4。,/小所在直線分別為兀y/軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則4(0,0,2),。(2,2,0),。。2,0)。(2,2,2卜

則AC=(2,2,-2),DCi=(2,0,2).

連接8rMe，易知ACLBD,ACA.BB\,^LBDCBB尸平面B、DM,故4C_L平面

B\DM.

所以平面BiDM的一個(gè)法向量為前=(2,2,0).

設(shè)平面DMN的法向量為，片(蒼乂4由(1)知A\C〃MN,

m-DCi=2x+2z=0,人t,

故〃1?41C=mMN=0,則―1令尸1,得產(chǎn)-2干-1,

m-A1C=2x+2y-2z=0,

所以平面DMN的一個(gè)法向量為〃尸(1,?2,?1).

設(shè)平面B】DM與平面DMN的夾角為0,

則cos/|