相似模型

題型一：旋轉(zhuǎn)模型

例題1:如圖，AB=3,AC=2,8c=4,AE=3,AO=4.5,DE=6,ZBAD=20°,則/

A.10°B.20°C.40°D.無法確定

例題2：如圖將兩塊含30°（NBAC=NQEC=30°）的直角三角板ABC和CQE放在一

起，且8c=1,CD=2,使得邊AC和C。在同一直線，保持三角板A8c不動，將三角

板CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)a°,當0VaV90°時，則線段BD和AE的數(shù)曷關(guān)系

是.

例題3:⑴將兩塊等腰直角三角板AOB和CO。按如圖①放置，其中NA08=/C0Q=

90°,求證：AC=BD.

（2）將兩塊含30°的直角三角板和COO按如圖②放置，其中NAOB=/COO=

90°,/O48=NOCO=30°,求證：BDA.AC.

（3）將圖②的三角板OCD繞點。旋轉(zhuǎn)到點C,D,B三點一線時如圖③所示，若AB

例題4：如圖，邊長為1的正方形A8CO的對角線AC,8。相交于點0,有直角NMPN,

使直角頂點P與點。重合，直角邊PM,PN分別與03重合，然后逆時針旋轉(zhuǎn)N

MPN,旋轉(zhuǎn)角為a(O'<a<90°),PM,PN分別交AB,BC于E,F兩點,連接E尸

交08于點G,下列結(jié)論中錯誤的是()

B.BE+RF=^/2OA

C.在旋轉(zhuǎn)的過程中，當△〃￡產(chǎn)與△CO”的面積之和最大時，AE=^-

4

D.AE?BE=BO*BG.

變式：

1.將兩塊直角三角板如圖1放置，等腰直角三角板ABC的直角頂點是點A,AB=AC=3,

直角板EO/的直角頂點。在BC上，且CO：BD=\：2,ZF=30°.三角板4AC固定

不動，將三角板EDF斃點D逆時針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角為a(00<a<90°).

(1)當。=時，EF/ZBCx

(2)當a=45°時，三角板七。尸繞點力逆時針旋轉(zhuǎn)至如圖2位置，設(shè)。戶與AC交于點

M,DE交AB千點、N,求四邊形AN。”的面積.

(3)如圖3,設(shè)CM=x,四邊形ANDV7的面積為y,求.y關(guān)于x的表達式(不用寫入的

取值范圍).

2.如圖，點P為矩形4BCD的對角線AC上一點，PMLPB交AD于M.

(1)求證:BP=AD.

而DC,

(2)若MA=MP,A6=3,BC=4,求AP的長.

題型二：圓中的相似模型

例題1:如圖，A、B、C、D是。。上的四個點，AB=AC,A。交8c于點E,AE=4.ED

C.4A/2D.3A/5

例題2；如圖，OO中，〃。為直徑，八為4c弧的中點，點。在人C弧上，區(qū)￡＞與八C相交

于M,若CD=1,8c=5，則DM的長是()

A-TB-TC-TD4

例題3:如圖，4B為。。的直徑，C為。。上一點，弦4D平分NBAC,交弦8c于點E,

CD=4,DE=2,則AE的長為()

c

D

A.2B.4C.6D.8

例題4:如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于OO,AB是的直徑，AC和BD相交于點￡,且

DC2=CEXCA.

（1）求證：BC=CD

（2）分別延長48,DC交于點P,若PB=OB,CD=2版,求。。的半徑.

例題5：如圖，以△A8C的一邊A8為直徑作。。，交BC于點D,交AC于點E,點D為

弧8E的中點.

（1）試判斷△4AC的形狀，并說明理由；

（2）直線/切。。于點。，與AC及44的延長線分別交于點F,點G.

①N8AC=45°,求詈的值；

②若。。半徑的長為川，△ABC的面積為△CQF的面積的10倍，求4G的長（用含〃?

的代數(shù)式表示）.

5DC

變式：

1.如圖，已知。。是等腰RtZvWC的外接圓，點。是標上一點，BD交AC于點E,若BC

=4,則AE的長是（）

5

A.3B.2C.1D.1.2

2.如圖，點A,B,C,。為。。上的四個點，AC平分NBA。，AC交BD于點、E,CE=4,

CO=6,則AC的長為（）

A.8B.9C.10D.11

3.如圖，4B是半圓直徑，半徑OC_L/1B于點O,平分NCAB交弧8c于點。，連結(jié)C。、

OD,給出以下四個結(jié)論：

(1)AC//OD；②CE=OE；③△。叱八4。。；④CD2=CE?C0.

其中正確結(jié)論的序號是（）

C.①③④D.②③④

4.如圖所示，圖中共有相似三角形（）

D

A.2對B.3對C.4對D.5對

5.如圖，人8為OO的直徑，C為OO上一點，弦八。平分N84C,交于點石，44=6,

AO=5,則AE的長為A1.

—5—

6.如圖，AC是。0的直徑，弦8。交人C于點￡

(1)求證：△AO￡SZ\8CE；

(2)如果AZ)2=AE?AC,求證：CD=CB.

7.已知：人8是。。的直徑，P是。4上一點，過點P作00的非直徑的弦CQ.

(1)若辦=2,08=10,NCPB=30°,求CO長；

(2)求證：PC?PD=PA?PB：

(3)設(shè)。0的直徑為8,若PC、PD的長度是方程x2一〃a+12=0的兩個解，求m的范圍.

8.如圖，Z\4BC內(nèi)接于0。，0。的直徑BO交于E,A凡LB。于點F,延長A/7交EC于

點G,交。0于點〃，下列結(jié)論:

①NC=N84”；

（2）BG：GC=GH：AG-,

③AF?=BF?FD；

④4K=8G?BC,

正確的有（）

C.②③④D.①③④

9.如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于oo,/W是的直徑，AC和相交于點E,且。。2=

CE^CA.

（1）求證：BC=CD；

（2）分別延長AB,0c交于點P,過點A作Ab_LCD交C。的延長線于點R若PB=

10.如圖，48是。。的直徑，點。是標上一點，8。與AE交于點F.

（1）若3。平分乙43E,求證：DE^=DF*DB；

（2）填空：在（1）的條件下，延長E。，BA交于點P,若以=40,。七=2,則PZ）的

長為，。。的半徑為

題型三：綜合

綜合題1:已知正方形ABCD內(nèi)接于。0,。0的半徑為3沈，點E是弧4）上的一點，

連接3E,CE,CE交AD于H點、,作0G垂直3￡于6點，且0G=亞，則EH：CH=

2近

cD

B?平9.乎

綜合題2:在正方形A8C。中，4。=4,點E在對角線AC上運動，連接?！?過點￡作

EFLED,交直線A4于點尸（點“不與點A重合），連接。P,設(shè)CE=x,tan/AQF=y,

則x和y之間的關(guān)系是（用含工的代數(shù)式表示）.

相似模型

題型一：旋轉(zhuǎn)模型

例題1:如圖，AB=3,AC=2,8c=4,AE=3,AO=4.5,DE=6,ZBAD=20°,則/

CAE的度數(shù)為()

A.10°B.20°C.40°D.無法確定

【解答】解：￡=2,娼=2=2,里=9=2,

AE3AD4.53DE63

?AC=AB=BC

，，"AEADDE'

；?AABC^AADE,

：,ZBAC=ZDAE,

???/BAC-ZDAC=NDAE-ZDAC,

.'.ZCAE=ZBAD=20°,

故選：B.

例題2：如圖將兩塊含30°(NR4C=NOEC=30°)的直角三角板ABC和COE放在一

起，且8c=1,CD=2,使得邊4c和C。在同一直線，保持三角板ABC不動，將三角

板CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)a°,當0<a<90°Itf,則線段BD和AE的數(shù)量關(guān)系

【解答】解：RtZ\AC8中，*：ZBAC=30°,BC=\：

：.AB=2,AC=V5，

RtZXQCE中，VZDEC=30°,CO=2,

：.DE=4,CE=2^3,

?DCJ,AC二噸=1

,.而"記CE-2y工

?BCJC

?0F'

VZACB=ZDCE=W,

：.ZBCD=ZACE,

:.△BCDS^ACE,

,BDJC二1

,,屈二市二五

，A￡=V^。；

故答案為：AE=QB.

總結(jié)：旋轉(zhuǎn)模型是根據(jù)初二階段的手拉手模型變化得到的，主要考察的電有兩個1.已知一

組相似推出另外一組如例1圖中所示。2.兩個不相等的含30。的直角三角形，通過旋轉(zhuǎn)可

以的到相似如例2圖中所示。此考點可以放到壓軸題目當中考，會先有一個特殊情況證全等，

再是?般情況證相似，然后難度可以在升級?點與其他內(nèi)容相結(jié)合，例如例3,是余杭區(qū)的

期末考試題，第三小問結(jié)合了用特殊角求長度來解題。

教法指導(dǎo)：建議教師可以讓學(xué)生先畫出等邊三角形的手拉手模型，在講例1這道題，讓學(xué)生

自己領(lǐng)悟其中的關(guān)聯(lián)然后再去總結(jié)。然后再讓學(xué)生畫出兩個等腰直角三角形的全等模型，再

去講例2。

例題3：(1)將兩塊等腰直角三角板A03和COO按如圖①放置，其中乙4。8=/。。。=

90°,求證：AC=BD.

(2)將兩塊含30°的直角三角板AOB和CO。按如圖②放置，其中NA08=NC0/)=

90°,^OAB=ZOCD=3QQ,求證：BD1AC.

(3)將圖②的三角板OCO繞點。旋轉(zhuǎn)到點C,D,B三點一線時如圖③所示，若AB

=14,CD=10,求sin/AOC的值.

【解答】解：(1)???兩塊等腰直角三角板AOB和C07),

，OA=OB,OC=OD,

???/AO8=NCOO=90",

；?4AOC=4BOD,

OA=OB

在△AOC和△80。中，ZAOC=ZBOD,

OC=OD

/.AAOC^ABOD,

：,AC=BDx

（2）如圖②，延長8D交AC于E,

在RtZXAOB中，NQ4B=30°，

?"8=208,0A=4^0B,

同理：OC=^/3（）D,

.OC=2/3OD=OD

一靠二夷OBOB'

VZAOB=ZCOD=90Q,

/.ZAOC=/BOD,

/.△AOCs^BOD,

:.NCAO=/DBO,

：.ZCAB+NABE=NCAO+ZOAB+ZABE=ZDBO+ZABE+ZOAR=ABO+ZOAB=

90°,

/.ZAEB=90°,

???8O_LAC；

（3）如圖③，過點。作。PJ_04于F,

由（2）知，BCLAC.XAOCsXB0D,

?AC二0A二立

??麗=OB=1'

:?AC=4^D,

在R【△人8c中，AB=\4,BC=CD+BD=\O+BD,

根據(jù)勾股定理得，BC2+AC2=AB2,

（10+BD）2+（小孫2=142,

:?BD=-8（舍）或8D=3,

在RtZ\AO6中，A8=14,NOA8=30°,：,OB=1,

在RtZiCOO中，CQ=1（）,NOC￡>=30°,：，OD=5,

在RtZkA。產(chǎn)中，-BF2=BD2-(OB-OF)2=9-(7-OF)2,

在RtZiOC產(chǎn)中，DF2=OD2-OF2=25-OF1,

A9-(7-OQ2=25-O產(chǎn)，

.?.。尸=箜，

14

:?DF=

14

JW3

DF14

???在RiZXOQ/中，sinZAOC=sinZBOF==

OD514

例題4:如圖，邊長為I的正方形/1BCO的對角線4C,BO相交于點O,有直角NMPM

使直角頂點尸與點O重合，直角邊PM,PN分別與。4,08重合，然后逆時針旋轉(zhuǎn)/

MPN,旋轉(zhuǎn)角為a(O'<a<90°),PM,PN分別交AB,BC于E,F兩點,連接Ef

交。8于點G,下列結(jié)論中錯誤的是()

N

A.OF=OE

B.BE+BF=^20A

C.在旋轉(zhuǎn)的過程中，當尸與△CO尸的面積之和最大時，4E=S

4

D.AE?BE=BO?BG.

【解答】解：丁四邊形ABC。是正方形，

:?AB=BC,ABC=90°,ZBAO=ZABO=ZOBC=45°,ACYBD,

VZEOF=90a,

:?NBOE+NBOF=9()°,

'：ZBOF+ZCOF=W,

:?/BOE=/COF,

rZB0E=ZC0F

在和△CO/中，OB=OC，

Z0BE=Z0CF

(ASA),

：.OE=OF,BE=CF,

/.BE+BF=CF+BF=BC=-J^OA,選項A、8正確；

過點。作如圖所示：

VBC=1,

?,.OH=_LBC=_L,

22

設(shè)貝ljBE=C/=I-x,BF=x,

：,SABEF+S?COF=l-BE*BF+l.CF*OH=l.xa-,v)+l(l-x)X_L=--L(x--L)2+-^-,

222222432

?：a=-i<0,

2

當工=工時,S^BEF+S^COF最大；

4

即在旋轉(zhuǎn)過程中，當△跳而與也。。尸的面積之和最大時，4￡=工：故選項C錯誤：

4

*：AB=BC,BE=CF,

:.AE=BF,

■:NOEG=/OBC,ZOGE=NFGB,

:?NBOE=/BFG,

又???NO8E=Nf'8G=45°,

SBOES/XBFG,

?BEBO

??施奇

:?BF?BE=BO*BG,

'：AE=BF,

???AE?BE=8O?8G,選項D正確;

故選：C.

變式：

1.將兩塊直角三角板如圖1放置，等腰直角三角板A8C的直角頂點是點A,AB=AC=3,

直角板石。尸的直角頂點。在BC上，且CO：BD=\：2,ZF=30°.三角板4AC固定

不動，將三角板尸繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a(00<a<90°).

(1)當：1=30"時,EF//BC；

(2)當a=45°時，三角板石/)/繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)至如圖2位置，設(shè)D/與AC交于點

M,DE交AB于點N,求四邊形4NDM的面積.

(3)如圖3,設(shè)CM=x,四邊形ANDM的面積為y,求了關(guān)于4的表達式(不用寫x的

取值范圍).

【解答】解：(1)VEF/7BC,

:.NMDC=/F,

旋轉(zhuǎn)角a=30°；

(2)當a=45°時，ZMZ)C=a=45°,

?「△ABC是等腰直角三角形，

AZC=45°,

AZDMC=1800-Z.WDC-ZC=180°-45°-45°=90°,

同理可求/￡WA=90°,

又???NA=90°，

，四邊形4VDM為矩形；

:?DM〃AB,

：4DMCSXBAC,

.DM=CD

"ABCB,

VCD：80=1：2,

.CD-1=1

F1+2號

???A8=3,

:?DM=1,

同理可求DN=2,

:.S四邊形ANDM=1X2=2;

(3)如圖3,過點。作。GJ_AC于G,作DH_LAB于"，

?:/NDH+/HDM=/EDF=90°,

/MDG+/HDM=/HDG=90°,

:./NDH=/MDG,

又,：4NHD=/MGD=90。,

:.△NDHS/^MDG,

,NH=DH

??而前‘

由(2)可知O〃=2,DG=1,

:,NH=2MG,

*：DGLAC,ZC=45°,

???△COG是等腰直角三角形，

：.CG=DG=\,

VCM=x,

：.MG=x-L

：,NH=2(x-1),

:?BN=AB-AH-NH=3-1-2(x-1)=4-Zr,

四邊形ANDM的面積y=S.ABC-SKDM-S△BDN

=_Lx3X3-Xvl-±X2X(4-20

222

2.如圖，點P為矩形ABC。的對角線AC上一點，PM_LPR交AD于M.

(1)求證:BP=AD.

而DC,

(2)若MA=MP,AB=3,BC=4,求AP的長.

【解答】(1)證明：連接BM.

???四邊形48CD是矩形，

：,ZBAD=ZD=90a.

??.N8AM+NBPM=180°,

???4、B、P、M四點共圓,

/./MBP=ADAC,

?.?NO=N8PM=90°,

/.RADCs叢BPM,

??A?D?_?DC1f

PBPM

?BP=AD

*PMDC'

(2)解：作BN_LAP于N.

在RTABMA和RTABMP中，

二BM

'AM二PM'

:,AB=PB=3,

在中，VZABC=90°,A8=3,BC=4,

AAC=VAB2+BC2=5,

?.?_L?A8?8C=LjC?8N,

22

.T，

在中,

RTAPBNP/V=JpB2_BN2=J.,

5

?:BA=BP,BNLAP,

:?AN=NP,

AP=2PN=1^-.

5

題型二：圓中的相似模型

例題1:如圖，A、B、C、。是。。上的四個點，AI3=AC,AD交BC于點、E,AE=4.ED

=4,則AB的長為（）

A

B

A.4B.2V3c.4V2D.3A/5

【解答】解：,??加=AC,

；?NABC=NACB,

???NAC8=N。，

???NA8C=N。，且NME=N84O,

???△ABEs^ADB,

?ABAE

：,AB2=AE*AD=4X(4+4)=32,

；?AB=4&,

故選：C.

例題2:如圖，O。中，8c為直徑，A為8c弧的中點，點。在AC弧上，8。與AC相交

于M,若CD=1,BC=V10?則。M的長是()

A.返B.返C.返D.工

2322

【解答】解：???6C為直徑，A為3C弧的中點，

???/B4C=N8OC=90。，AB=AC

：,AB=AC,

在RtABDC中，4Q=必呼HERIOT=3

在中，AB2+AC2=BC1,

：.AB=^

???/A=NO,NAMB=NDMC,

J2ABMsXDCM

.AB_AM

CD-DM

.V5_AM

1-DM

*:AB2+AM2=BM2,

A5+5DM2=（3-DM）2,

.?.￡>M=_L,DM=-2（不合題意舍去）

2

故選：￡）.

例題3:如圖，為。。的直徑，。為。。上一點,弦平分/8AC,交弦BC于點E,

CD=4,DE=2,則AE的長為（）

坐

【解答】解：TA。平分N84C,

：,ZCAD=ZBADf

由圓周角定理得，NDCB=NBAD,

：.NCAD=NDCB,乂4D=/D,

?DE-DC即2―4

'DCDA,'7AD，

解得，AO=8,

：.AE=AD-DE=S-2=6,

故選：C.

例題4：如圖，四邊形/{8C。內(nèi)接于00,AB是。0的直徑，AC和相交于點￡旦

DC2=CEXCA.

(1)求證：BC=CD

(2)分別延長AB,DC交于點、P,若PB=OB,CD=2版,求。0的半徑.

【解答】(1)證明：VDC2=C￡*CA,

?DCCA

?■烹

而NACD=NOCE,

:.XCADs^cDE、

：.ZCAD=ZCDE,

?：4CAD=/CBD,

:?/CDB=/CBD,

:?BC=DC；

(2)解:連結(jié)OC,如圖，設(shè)O。的半徑為廣,

■:CD=CB,

:.CD=CB?

：.ZBOC=ZBAD,

???OC〃A。，

?PCPO2r0

CD-OA"r-'

:?PC=2CD=4^1i，

YUPCB=UPAD,ZCPB=ZAPD,

:.XPCBSXPRD、

曳理，即典一，

PA-PD3r-672

:.r=4,

即。。的半徑為4.

總結(jié)：此題包含的模型有圓中的反A（根據(jù)圓內(nèi)接四邊形互補得到），連接0C得到一組平行

線因此會出現(xiàn)A型相似。對于學(xué)生而言難點是如何填出輔助線，思路有兩種：1.根據(jù)垂

徑定理，平分弧的直徑垂直平分弧所對的弦，連0C,證平行。2.根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角

互補，以及圓中相等的弦的條件推出角相等，連0C證平行和相似。

教法指導(dǎo)：此題包含的相似模型較多，需要學(xué)生能夠?qū)γ總€模型都掌握的扎實才能順利的做

出來。所以平時上課時還是先復(fù)習(xí)基礎(chǔ)模型，讓學(xué)生嘗試回憶每一個模型的條件和用法,

講完題后讓學(xué)生自己總結(jié)知識點并整理筆記。

例題5：如圖，以△48C的一邊A3為直徑作交BC于點、D,交AC于點E,點。為

弧8七的中點.

（I）試判斷△ABC的形狀，并說明理由；

（2）直線/切。。于點。，與4C及的延長線分別交于點凡點G.

①NBAC=45°,求坦的值；

DF

②若OO半徑的長為川，的面積為的面積的10倍，求BG的長（用含〃?

的代數(shù)式表示）.

【解答】解：（1）AABC是等腰三角形，理由如下:

連接人。，如圖I所示.

???AB為。0的直徑，

：.AD1BC.

???點。為弧5E的中點,

BD=DE，

：.ZBAD=ZDAC,

.??NA8O=NAC。,

???△ABC為等腰三角形.

(2)①連接。。，如圖2所示.

???直線/是OO的切線，點。是切點，

：,ODLGF.

?：OA=OD,

Z.ZODA=NBAD=/DAC,

：.OD//AC,

AGD=GO>NGOO=/8AC=45。，

DFOA

???△G。。為等腰直角三角形，

.GD-GO-V2AQ^/g

，#DFAOAO,

②過點B作BHLGF于點H,如圖3所示.

:△ABC是等腰三角形，AD1BC,

：.BD=CD,

:?S&ABD=SAACD.

VSAABC=IOSACDF,

ASMCD=55ACDF,

：.AF=4CF.

,:BHHAC,

:?NHBD=/C.

(ZHBD=ZC

在△BQH和△CD尸中，JBD=CD，

IZBDH=ZCDF

???△BDH學(xué)△CDF(ASA),

：.BH=CF,

：.AF=4BH.

■:BHHAC,

:.△GBHSRGAF,

?BG=BHnnBG=1

??而AF*\BG+2m丁

總結(jié)：此題第二問的第一小問難點是證平行，主要有兩個思路：1.利用中位線證平行，2.是

等腰三角形+角平分線證平平行。第二問的第二小問難點是利用相似，此模型中有雙垂型的

相似能夠靈活的運用是解題的關(guān)鍵。

教法指導(dǎo)：此題是一?？荚嚨膲狠S題，難度比較大，可以給程度比較好的學(xué)生進行講解，講

解前需要先復(fù)習(xí)相似模型，也可以將圓中有直徑的添加輔助線的模型進行講解。講解題目是

如果學(xué)生有問題，要以提問的形式引導(dǎo)學(xué)生自己思考。

變式：

L如圖，已知是等腰RtZVlBC的外接圓，點。是/上一點，BD交AC于點、E,若8c

=4,AO=9,則4E的長是（）

5

C

DA

AB

o

A.3B.2C.1D.1.2

【解答】解：）'等腰RtA48C,BC=4,

為00的直徑，XC=4,A8=4加,

/.ZD=90°,

在RtZXAB。中，AD=XAB=4^f2,

5

.?.8。=絲

5

*/ZD=ZC,ZDAC=ZCBE,

/.AADEsABCE,

VAD：BC=A：4=1：5,

5

???相似比為1：5,

設(shè)AE=x,

/.BE=5x,

：,DE=^--5X,

5

ACE=28-25.r,

VAC=4,

Ax+28-25x=4,

解得：x=l.

故選：C.

2.如圖，點4,B,C,。為（DO上的四個點，AC平分N'/M。，AC交BD于點、E,C￡=4,

CQ=6,則AC的長為（）

A.8B.9C.10D.11

【解答】解：連接8C,

〈AC平分NBAD,

，BC二CD，

；?NBDC=NCAD,

*/4ACD=4DCE,

:./XCDEs^CAD,

：?CD：AC=CE：CD,

：.CD1=AC9CE,

設(shè)貝ljAC=A￡+CE=4+x,

.?.62=4(4+x),

解得：x=5.

：.AE=5,

：,AC=AE+CE=9,

故選：B.

3.如圖，A8是平圓直徑，半徑OC_LA5于點O,八。平分/C48交弧8C于點。，進結(jié)C。、

OD,給出以下四個結(jié)論：

@AC//OD；@CE=OEx③XODEs（4）CD2=CE*CO.

其中正確結(jié)論的序號是（）

A.①②④B.①④C.①③④D.②③④

【解答】解：:A6是半圓直徑,

：,A()=ODt

：,ZOAD=ZADO.

,：AD平分NC4B交弧BC于點。,

ZCAD=ZDAO=^ZCAB,

2

：,ZCAD=ZADO,

J.AC//OD,故①正確.

由題意得，OD=R,AC=J^R,

YOE：CE=OD：4。=返，

2

???OEWCE,故②錯誤；

VZOED=ZA0E+Z0AE=9G°+22.5°=112.5°,NAOO=900+45°=135°,

：./OED羊/AOD,

???△ODE與△A。。不相似，故③錯誤；

「人。平分NC/W交弧BC于點D,

.\ZCA/?=AX450=22.5°,

2

；?NCOD=45°,

??SB是半圓直徑，

：.OC=OD,

：?/OCD=/ODC=675"

???ZCAD=NAQO=22.5°（已證），

：.ZCDE=ZODC-^ADO=67.5<>-22.5°=45°,

:?△CEDs^CDO,

.CD=CE

**C0CD，

:,C0=COCE,

故④正確.

綜上可得①④正確.

故選：B.

4.如圖所示，圖中共有相似三角形（）

D

A.2對B.3對C.4對D.5對

【解答】解：共四對，分別是△見△AOCs^DOB、

△AOBs^c。。、△PADs^pcB.

故選：C.

5.如圖，AB為。。的直徑，C為。。上一點，弦A。平分NB4C,交8c于點E,48=6,

AD=5,則AE的長為11

一5一

連接B。、CD,

TAB為00的直徑,

AZADB=90°,

?*-8D=TAB?-AD2=回'

???弦4。平分/BAG

：，CD=BD=y[1i，

:?NCBD=NDAB,

在△人4力和△BED中，

fZBAD=ZEBD

1ZADD=ZDDE'

/.AABDSABED,

?DE.DB

??I?~~?■,

DBAD

即DE=逗

7TT5

解得DE=H-

5

：.AE=AD-DE^^-.

5

故答案為：11.

5

6.如圖，AC是。。的直徑，弦BD交AC于點、E.

(1)求證：AADEs小BCE：

(2)如I果4。2=人石?4；,求證：CD=CB.

【解答】證明：(1)如圖，:NA與是而對的圓周角,

???ZA=ZB,

又???N1=N2,

???AADEsABCE；

(2)如圖，

,:AD2=AE*AC,

-AEAD

一而W

又：N4=NA,

???/XADEs△A3,

???ZAED=ZADC,

又???AC是。。的直徑,

???NAQC=90°,

即NAED=90°,

???直徑AC_LBO,

??CD=BC?

：,CD=CB.

7.已知：AZ?是。。的直徑，。是0A上一點，過點。作的非直徑的弦CO.

(1)若必=2,PB=\O,NCPB=30°,求CO長；

(2)求證：PC?PD=H?PB；

(3)設(shè)OO的直徑為8,若PC、PD的長度是方程『-〃a+12=0的兩個解，求m的范圍.

【解答】解：(1)如醫(yī)，連接4D，BC,0C,過點。作OE_LCO于點E,

VB4=2,PB=IO,

，4B=12,

：,0A=0B=6,

：,OP=4,

*/ZCPB=30°,0E1CD,

:,CE=DE,PO=2OE,

：.0E=2t

：EC=^/QC2-QE2=V36-4=4加?

???CO=8加；

(2)'：4ADP=ZCBP,NDAP=NBCP,

/.△ADPsXCBP,

?PCPB

"PA^PD'

:?PC?PD=PA?PB；

(3)*：PC、P。是方程/+,依+12=0的兩根，

???PC+PD=-m>0f

???C。是非直徑的弦，

PC+PD<S

m>-8,

?:PC、PO是方程/+，，tr+12=()的兩根，

:.△=〃？2-4x12=nr-4820

.?."W-4^/3,

???-8VmW-4V3

8.如圖，△ABC內(nèi)接于O。，。。的直徑BO交于E,AnL8。于點R延長A廣交SC于

點、G,交00于點，，下列結(jié)論：

①NC=NBA"；

②BG：GC=GH：AG；

@AF1=BF*FDx

④AB2=BG?BC,

正確的有()

A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④

【解答】解：連接人。，如圖所示：

是OO的直徑，AFLBD,

???標癡

：?NC=NBAH,①正確；

由相交弦定理得：BGXGC=GHXAG,②不正確；

'CAFVBD,

AZAFB=90u=ZBAD,

AZBAF+ZABF=ZABF+AD=^°,

：.ZBAF=ZD,

：.△NBFsXORF、

AF：DF=BFtA產(chǎn)，

:.AF^BF+FD,③正確；

VZABG=ZABC,/C=/BAH,

JXABGs4CBA,

AAB：CB=BG：AB,

：.AB1=BG*BC,④正確；

故選：D.

9.如圖，四邊形48CO內(nèi)接于OO,A8是OO的直徑，AC和8。相交于點E,且。C?=

CE*CA.

(1)求證：BC=CD；

（2）分別延長A&DC交于點P,過點A作A凡LCD交CD的延長線于點F,若PB=

【解答】(1)證明：?:DC?=CE?CA,

ADC=CEt?:NDCE=NACD,

ACCD

:.XDCESRACD,

：.^CDE=ZDAC,

ZCDE=ZCAB,

：.ZDAC=ZCAB,

ACD=CB，

:.BC=CD.

(2)解：作OM_LP尸于M,連接OC交BD于H.

VAFIPF,

：.OM//AF,

空=2,

AFPA32

VDC=3,

，0C1BD,

：.DH=HB,?：OA=OB,

???OC//AD,

?PCOP2

*"CD=OA=r

設(shè)CO=2a,。。半徑為r,貝1JPC'=4a,DM=CM=a,

..PM^0P=_2

?而贏T'

：.FM=2.5a,。尸=1.5。，

在RtAOPM中，47-25/=14①，

^AC^^AB2-BC2=AF2+CF2,

???“-4/=（■jvr?，（3.5。）2②,

由①②解得〃=亞，

:.CD=2a=2近

10.如圖，AB是OO的直徑，點。是標上一點，8。與AE交于點F.

（1）若B。平分NA8E,求證：D*=DF?DB；

（2）填空：在（1）的條件下，延長E。，BA交于點P,若以=AO,DE=2,則P。的