解析幾何：特殊三角形存在性問題、特殊四邊形存在性問題專項(xiàng)訓(xùn)練

考點(diǎn)目錄

等腰三角形存在性問題直角三角形存在性問題

平行四邊形存在性問題特殊平行四邊形存在性問題

考點(diǎn)一等腰三角形存在性問題

1.（2025?甘肅金昌?模擬預(yù)測(cè)）在以。為坐標(biāo)原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系中，尸（2,0）為橢圓2:1+1=1伍＞/，＞°）的

a-h

右焦點(diǎn)，過點(diǎn)/的直線/（斜率存在）與Z交于45兩點(diǎn)，線段48的中點(diǎn)為M（不與。重合），直線OM與/的斜

率之積為-g.

2

（1）證明：a2=lb2:

（2）設(shè)直線與直線x=4交于點(diǎn)N,若可為等腰三角形，求/的一般式方程.

2.（24-25高二上?天津和平?期末）已知橢圓C:二+==1（。＞〃＞0）的離心率為立,片,凡分別是橢圓的左右焦

cTb"7

點(diǎn)，過點(diǎn)片的宣線交橢圓于〃，N兩點(diǎn)，月.△MN"的周長(zhǎng)為46.

⑴求橢圓。的方程;

⑵過點(diǎn)尸（0,2）作斜率為女化工0）的直線/與橢圓C交于兩點(diǎn)48,判斷在x軸上是否存在點(diǎn)。，使得“08是以

為底邊的等腰三角形？若存在，求點(diǎn)。橫坐標(biāo)的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說明理由.

3.（24?25高三上?廣東廣州?階段練習(xí)）已知焦點(diǎn)在八軸上的橢圓C過點(diǎn)（。，1）,且離心率為乎,0為橢圓C的左頂

點(diǎn).

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵已知過點(diǎn)（-*0）的直線/與橢圓。交于4〃兩點(diǎn).若直線/與X粕不垂直，是否存在直線/使得△。48為等腰三

角形？如果存在，求出直線/的方程；如果不存在，請(qǐng)說明理由.

4.（24-25高三下?云南昭通?階段練習(xí)）已知尸（2,0）為橢圓C：二+與=1（。＞/）＞0）的右焦點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過

a'D'

點(diǎn)E的直線/與C交于A,8兩點(diǎn)，線段48的中點(diǎn)為“，直線與/的斜率之積為

⑴求C的方程；

（2）設(shè)直線與直線x=4交于點(diǎn)N.

（i）證明：直線五N垂直于/；

（ii）若為等腰三角形，求/的方程.

5.(24?25高三上?北京昌平?階段練習(xí))已知橢圓C：4+g=l(a＞力＞0)過點(diǎn)(2,0),且離心率是旦

a'b~2

(1)求橢圓。的方程和短軸長(zhǎng)；

(2)已知點(diǎn)。(1,0),直線/過點(diǎn)(0,3)旦與橢圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)4B,問：是否存在直線/‘使得是以點(diǎn)P

為頂點(diǎn)的等腰三角形，若存在，求出直線/的方程；若不存在，說明理由.

6.(2025?天津薊州?模擬預(yù)測(cè))己知橢圓C的中心在原點(diǎn)，離心率等它的一個(gè)短軸端點(diǎn)恰好是拋物線

(1)求橢圓。的方程；

(2)已知。(2,3)、。(2,-3)是橢圓上的兩點(diǎn)，A,4是橢圓上位于直線尸。兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn).

①若直線48的斜率為求四邊形4P8。面積的最大值；

②當(dāng)A,8運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足直線4、P8與x軸始終圍成一個(gè)以底邊在x軸的等腰三角形，試問直線46的斜率是否

為定值，請(qǐng)說明理由.

過點(diǎn)“(-2,0)的直線/交

7.(2025?新疆喀什?模擬預(yù)測(cè))已知雙曲線「：/1?LS＞o),左右頂點(diǎn)分別為4,42,

「于P,。兩點(diǎn).

(1)若離心率6=百時(shí)，求「的漸近線方程；

(2)若/=：，點(diǎn)P在第一象限且△歷4P為等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

O

(3)連接。。并延長(zhǎng)，交雙曲線「于點(diǎn)A,若不司=1,求人的取值范圍.

8.(2025?福建廈門?三模)已知橢圓E：￡+￡=2＞方＞0)的右焦點(diǎn)為尸(1,0),離心率為也.

a~b'3

(1)求￡的方程；

(2)過點(diǎn)7(3.0)且不垂直于)，鈾的直線與E交于.4,A兩點(diǎn)，直線/廠與K交于點(diǎn)C(異于/).

(i)證明：△用。為等腰三角形：

(ii)若點(diǎn)M是△力8c的外心，求A4WC面積的最大值.

考點(diǎn)二直角三角形存在性問題

1.(24-25高三上?廣東廣州?階段練習(xí))已知拋物線C：/=4%的佳點(diǎn)為凡點(diǎn)M是準(zhǔn)線上一動(dòng)點(diǎn).

(1)若過點(diǎn)M作拋物線的切線，切點(diǎn)分別為4,B,求乙

(2)過點(diǎn)/的直線/交拋物線于。，七兩點(diǎn)(。點(diǎn)在第一象限)，若。E中點(diǎn)為"(3,-2),試判斷C上是否存在一點(diǎn)

G,使aOEG是以。為直角頂點(diǎn)的直角三角形？若存在，求直線QG的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.

2.(24?25高二下?上海?期末)已知點(diǎn)力(-2,0),8(2,0),動(dòng)點(diǎn)M5J)滿足直線力加與8M的斜率之積為.記

M的軌跡為曲線C.

⑴求C的方程，并說明C是什么曲線；

(2)寫出曲線。的兩條性質(zhì)；

(3)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P,。兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，PElx軸，垂足為E,連接。后并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)

G.證明：△0QG是直角三角形.

3.(24?25高二下?四川成都?階段練習(xí))已知片，E分別是橢圓C:￡+E=l(q>10)的左右焦點(diǎn)，直線，：，以一/

a~b'

+2=0與N軸相交于點(diǎn)P,與橢圓C相交于不同的A,B兩點(diǎn),A。"鳥的面枳為2頁，且橢圓C的短軸長(zhǎng)與焦距相

等.

(1)求橢圓。的方程和實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

(2)若線段力4的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)M,且為直角三角形，求點(diǎn)"的坐標(biāo)和直線/的方程.

4.(24-25高三上?浙江溫州?階段練習(xí))已知拋物線C：/=20，(p>O),斜率為1的直線/交C于大同于原點(diǎn)的

s,r兩點(diǎn)，點(diǎn)”(2,3)為線段sr的中點(diǎn).

(1)求拋物線。的方程：

⑵直線)，二丘+1與拋物線。交于A,8兩點(diǎn)，過A,8分別作拋物線C的切線R4,設(shè)切線4,4的交點(diǎn)為。

①求證：△218為直角三角形.

②記APJB的面積為S,求S的最小值，并指出S最小時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)尸的坐標(biāo).

5.(24?25高三上?上海普陀?期中)設(shè)橢圓《+《=1(4＞匕＞0)的上頂點(diǎn)8(0,2),左焦點(diǎn)耳(-2,0),右焦點(diǎn)

a~b~

6(2,0),左、右頂點(diǎn)分別為4、4.

(1)求橢圓方程；

(2)己知點(diǎn)戶是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)(不與頂點(diǎn)重合)，直線4。交)，軸于點(diǎn)。，若△4。。的面積是△外尸產(chǎn)面積的

(2+?倍，求直線4尸的方程：

(3)如圖過橢圓的上頂點(diǎn)K作動(dòng)圓￡的切線分別交橢圓于M、N兩點(diǎn)，是否存在圓石使得△KMN為直角三角形?若

存在，求出圓月的半徑，；若不存在，請(qǐng)說明理由.

6.(2024?遼寧?三模)設(shè)拋物線。的方程為/=4x,M為直線上任意一點(diǎn)；過點(diǎn)M作拋物線。的

兩條切線“4MB,切點(diǎn)分別為48(力點(diǎn)在第一象限).

⑴當(dāng)M的坐標(biāo)為-1，，時(shí)，求過M,力，8三點(diǎn)的圓的方程；

(2)求證：直線43恒過定點(diǎn)；

(3)當(dāng)〃?變化時(shí)，試探究直線/上是否存在點(diǎn)M,使為直角三角形，若存在，有幾個(gè)這樣的點(diǎn)，說明理由；

若不存在，也請(qǐng)說明理由.

7.35高二上.浙江?期中)已知橢％+?=1(?>b>0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2&，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于產(chǎn),。兩

點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，PElx軸，垂足為E,連結(jié)。上并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)證明：^006是直角三角形;

(3)求△尸0G面積的最大值.

8.(2024?遼寧?一模)已知雙曲線C：「—與=1(。>0,b>0)的右頂點(diǎn)￡(1,0),斜率為1的直線交。于V、

b~

N兩點(diǎn)，且MV中點(diǎn)。(1,3).

(1)求雙曲線C的方程：

(2)證明：△MEN為直角三角形；

(3)若過曲線。上一點(diǎn)？作直線與兩條漸近線相交，交點(diǎn)為A,B,且分別在第一象限和第四象限，若"=%而，

/le1,2,求△408面積的取值范圍.

考點(diǎn)三平行四邊形存在性問題

1.(24?25高二上?河北衡水?期末)已知橢圓「+4=1(。＞6＞0)的短軸長(zhǎng)與焦距相等，且橢圓過點(diǎn)P

a~b~

斜率為攵的直線/過橢圓的右焦點(diǎn)，且與橢圓交于A,8兩點(diǎn)，M是線段48的中點(diǎn)，射線OW與橢圓于點(diǎn)C.

(1)求橢圓方程；

(2)是否存在正數(shù)A,使四邊形是平行四邊形？若存在，求出直線月6的方程，若不存在，請(qǐng)說明理由

2.(24-25高三上?山東青島?期末)已知橢圓C：￡+與=1伍＞八0)過(0,1)點(diǎn)，且離心率方立.

ccb-2

(1)橢圓C的方程;

(2)過右焦點(diǎn)"的直線/交橢圓C于兩點(diǎn)A,B,48的中點(diǎn)為〃.設(shè)原點(diǎn)為O,射線OM交橢圓。于點(diǎn)。，已知四

邊形力。8。為平行四邊形，求直線/的方程.

3.（2025?浙江溫州?三模）拋物線G：/=2pd與。2：叉=2〃2》的焦點(diǎn)分別為片儲(chǔ)，力（4,，〃）（，〃）。）為￡,。2的一

個(gè)交點(diǎn)，且|傷|=5.

⑴求〃1，〃2，加的值：

⑵P,。是G上的兩點(diǎn)，若四邊形月尸入。（按逆時(shí)針排列）為平行四邊形，求此四邊形的面積.

4.（2025?海南?模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C:￡+g=im＞力＞0）,且該橢圓的離心率為*,直線/不過原點(diǎn)。且不平

cro2

行于坐標(biāo)軸，/與橢圓。交于48兩點(diǎn)，線段48的中點(diǎn)為〃.

（I）證明：直線O,”的斜率與直線/的斜率的乘積為定值；

（2）若直線/的方程為2x-2y+3百=0,延長(zhǎng)線段。W與橢圓。交于點(diǎn)尸，四邊形。4尸6為平行四邊形，求橢圓C

的方程.

5.(2025?重慶九龍坡?三模)已知與F2分別為雙曲線b>0)的左、右焦點(diǎn)，片關(guān)于雙

曲線C的一條漸近線I：y=T的對(duì)稱點(diǎn)E在C

上.

(1)求雙曲線C的離心率;

⑵若a=l,雙曲線C的左、右頂點(diǎn)分別為4,A2,過左頂點(diǎn)4作實(shí)軸的垂線交漸近線/于點(diǎn)r，過

T作直線分別交雙曲線C的左、右兩支于P,Q兩點(diǎn)，直線A：P,A2Q分別交/于M,N兩點(diǎn).證明：四

邊形為平行四邊形.

AYMA2N

22

6.(2025?浙江?三模)已知橢圓q4=1(。>〃>。)的離心率為:，且ab=2>/J.

a'b'2

(i)求橢圓G的方程;

(2)已知8,1是橢圓C的左、右頂點(diǎn)，不與x軸平行或重合的直線/交橢圓C于M,N兩點(diǎn),記直線的斜率為

K，直線4N的斜率為質(zhì)，且0=2占，證明：直線/過定點(diǎn)；

(3)如圖，點(diǎn)尸為橢圓G上不同于力，8的任一點(diǎn)，在拋物線。2：/=2內(nèi)(">0)上存在兩點(diǎn)R,。，使得四邊形

PQ1&為平行四邊形，求〃的最小值.

7.(2025?河北秦皇島?三模)已知拋物線和：尸"/(pH。)與G：y=x、2x+g相交于4,用兩點(diǎn)，其交點(diǎn)的橫坐

標(biāo)分別為6=3,々=-1.在拋物線G上另取(〃-0個(gè)點(diǎn)4，4,…，4,在拋物線G上另取個(gè)點(diǎn)鳥,

鳥，…，紇，使44“〃及時(shí)W=l,2,…，〃-1).記4，4(/=2,3,?一,〃)的橫坐標(biāo)分別為外，/>,.(/=2,3,???,?).

⑴求P,，及2a2的值.

7,〃=2I%eN\

(2)證明：2a,「b“=

-5/=2k,kwN.

(3)是否存在點(diǎn)4，B“,使四邊形444紇為平行四邊形？若存在，求出4，紇的坐標(biāo)及〃的取值集合：若不存

在，請(qǐng)說明理由.

8.(24-25高二下?山西大同?期末)已知橢圓C：W+《=l(a>/)>0)的離心率為修，F(xiàn)、,用分別為橢圓的左右焦

a~b~2

點(diǎn)，點(diǎn)力是橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)，且|加訃|4月的最大值為6.

(1)求橢圓。的方程；

⑵已知直線x=my+3與橢圓。交于P,Q兩點(diǎn).

①若P，。中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為求機(jī)的值：

②已知點(diǎn)。(2,1),宜線。尸，。。與直線x=3分別交于點(diǎn)M,N,立面內(nèi)是否存在一點(diǎn)〃，使得四邊形小〃加為

平行四邊形.若存在，求出點(diǎn)〃的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

考點(diǎn)四特殊平行四邊形存在性問題

1.(24?25高二下?重慶?期中)已知點(diǎn)A,B在拋物線/=x上.

⑴若|48|=3,記線段的中點(diǎn)為求點(diǎn)M到歹軸的最短距離；

(2)若點(diǎn)C,。在直線y=x+4上，且滿足四邊形/18C。為正方形，求此正方形的面積.

2.(24?25高三上?北京西城?期末)已知橢圓石：￡+1=1(。＞力＞0)的左右頂點(diǎn)分別為4,4,離心率為鮮,點(diǎn)

crb2

HO,1),△口出的面枳為2.

(1)求橢圓￡的方程；

(2)過點(diǎn)/且斜率為左的直線交橢圓E于點(diǎn)C。，線段的垂直平分線交歹軸于點(diǎn)。，點(diǎn)。關(guān)于直線。。的對(duì)稱點(diǎn)

為尸.若四邊形PC。。為正方形，求〃的值.

3.（24?25高二上?江蘇南京?期中）已知橢圓石：5+烏=1（〃＞力＞0）的右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為民|48|二石，離心

⑴求E的方程；

（2）直線/平行于直線4B,且與￡交于M,N兩點(diǎn)，

①P,。是直線/出上的兩點(diǎn)，滿足四邊形"NP0為矩形，且該矩形的面積等于:|MV/，求/的方程;

②當(dāng)直線4W,4N斜率存在時(shí)，分另！將其記為〃”與，證明：勺,a為定值.

4.（24?25高三上?江蘇南京?期末）已知點(diǎn)片，巴分別為雙曲線E/-，=l（Q＞0力＞0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)々到

雙曲線E的漸近線的距離為2&，點(diǎn)力為雙曲線七的右頂點(diǎn)，口4c；=2/心.

（I）求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若四邊形//CZ）為矩形，其中點(diǎn)8,。在雙曲線E上，求證：直線8。過定點(diǎn).

5.(2025?青海海東?三模)已知橢圓C；：1橢圓G以橢圓C,的短軸為長(zhǎng)軸，且勺橢圓G有相向的焦

7

距.橢圓G的左、右焦點(diǎn)分別為耳，人，直線/與橢圓G交