解析幾何：外接圓問題、內(nèi)切圓問題、角平分線問題專項(xiàng)訓(xùn)練

考點(diǎn)一外接圓問題

1.(24?25高二下?廣東深圳?期末)己知橢圓吟+，=1(〃＞人＞0)過點(diǎn)，用，右焦點(diǎn)尸(L0).

(1)求橢圓￡的方程；

⑵設(shè)直線/：卜=履(4工0)與橢圓E交于P,4兩點(diǎn)，過點(diǎn)P(M，M1)作尸軸，垂足為點(diǎn)C,直線力C交橢圓E于

另一點(diǎn)艮

(i)證明：APLBP.

(ii)求△力8P面積的最大值.

2.(2025?陜西西安?二模)拋物線的弦與弦的端點(diǎn)處的兩條切線形成的三角形稱為阿基米德三角形，由拋物線的三

條切線圍成的三角形稱為拋物線的切線三角形.己知拋物線。：1=20，(〃＞0)的焦點(diǎn)為尸，直線，)=2過點(diǎn)產(chǎn)，

過工軸下方的一點(diǎn)P作。的兩條切線4和4,且4，4分別交x軸于點(diǎn)4B,交/于點(diǎn)M,N.

(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若為阿基米德三角形，求乙WPM

(3)證明：切線三角形PAB的外接圓過定點(diǎn).

3.(24?25高二上?江蘇南通?階段練習(xí))雙曲線C：=1(“>0,A>0)經(jīng)過點(diǎn)(0,I)，且漸近線方程為夕=士).

(1)求b的值;

(2)點(diǎn)4B,。是雙曲線。上不同的三點(diǎn)，且8,。兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，△力3力的外接圓經(jīng)過原點(diǎn)。，若設(shè)直線的

AB方程為y="+，”(〃/0).

①求△48。外接圓的方程(用左,〃［表示)：

②求證：原點(diǎn)O到直線AB的距離為定值.

4.(2025?福建泉州?模擬預(yù)測(cè))己知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C：X2=4如過點(diǎn)(0,4)的直線與C相交于N

兩點(diǎn).

⑴求NMON；

(2)過M,N分別作C的兩條切線4，%記A，乙的交點(diǎn)為？

(i)求APA/N面積的最小值；

(ii)設(shè)44分別為4，6與x軸的交點(diǎn)，證明：△尸45的外接圓過定點(diǎn).

5.(23?24高二上?江蘇南京?期末)設(shè)拋物線/=4)，的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)〃在拋物線的準(zhǔn)線上.過點(diǎn)〃作拋物線的

兩條切線，切點(diǎn)分別為4B.已知拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)C,位于點(diǎn)48之間.若拋物線在點(diǎn)。處的切線與切線

PA,P8相交于點(diǎn)M,N.求證：

(1)直線/也經(jīng)過點(diǎn)F;

(2)APMN的外接圓過定點(diǎn).

6.(2025?河北保定?一模)拋物線的弦與弦的端點(diǎn)處的兩條切線形成的三角形稱為阿基米德三角形，由拋物線的三

條切線圍成的三角形稱為拋物線的切線三角形.己知拋物線C：f=2p)，(p>0)的焦點(diǎn)為尸，直線八y=2過點(diǎn)尸，

過x軸下方的一點(diǎn)P作C的兩條切線//，且44分別交工軸于點(diǎn)4〃，交/于點(diǎn)

(I)若△PMN為阿基米德三角形，求NMPN；

(2)證明：切線三角形48的外接圓過定點(diǎn)；

⑶求△PMN面積的最小值.

★小―的左、右焦點(diǎn)分別為不

7.(24?25高三上?湖北武漢?階段練習(xí))已知橢圓C:6，右頂點(diǎn)和

上頂點(diǎn)分別為P,0且尸耳=3.直線/經(jīng)過月交。于4例力在工軸上方)兩點(diǎn)，當(dāng)/垂直于x軸時(shí)，直線04的斜

率是直線尸。斜率的G倍.

(1)求。的方程；

(2)求&PAB面積的最大值;

(3)若直線尸兒"夕與y軸分別交于M.N兩點(diǎn),問△A/凡尼的外接圓是否經(jīng)過點(diǎn)N,請(qǐng)給出你的判斷并說明理由。

…2v-24

8.(2024?安徽馬鞍山?三模)已知橢圓C:=v+*=l(a>8>0)的離心率為、，點(diǎn)尸(。.5)在橢圓。上，過點(diǎn)

cib5

7(0/)(i工±5)的直線/與橢圓C交于/,〃兩點(diǎn)，直線打，心與直線)，二，分別交于點(diǎn)M,N

(1)求橢圓。的方程；

(2)若T為橢圓。的上焦點(diǎn)，求△45面積取得最大值時(shí)直線/的方程；

(3)若APM/V的外接圓經(jīng)過原點(diǎn)O,求/的值.

考點(diǎn)二內(nèi)切圓問題

1.(24-25高二下?安徽?期末)已知雙曲線C:二-匚=1(。＞0力＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為百,6，且|6段二4.

crb，

(1)求C的實(shí)軸長(zhǎng)與虛軸長(zhǎng)之枳的最大值.

(2)若過點(diǎn)石的直線與。的右支交于P,0兩點(diǎn)，直線尸耳與歹軸交于點(diǎn)4△4用的內(nèi)切圓與邊力用相切于點(diǎn)8,且

I皿=1.

(i)求C的方程；

(ii)記△S片的內(nèi)切圓面積為甌的內(nèi)切圓面積為S2,求5+Sz的取值范圍.

2.(24-25高二上?廣東廣州?期末)已知橢圓E：*+營(yíng)=1(。＞6＞0)的焦距為4正，點(diǎn)d2夜,2)在橢圓E上.

⑴求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)點(diǎn)A,B,。為橢圓E上不同三點(diǎn)，且8,。關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，以48,為鄰邊作平行四邊形48CO,已知平

行四邊形18。存在內(nèi)切圓.

(i)判斷該內(nèi)切圓是否為定圓，若不是，說明理由，若是，求出它的方程；

(ii)求平行四邊形ABCD的面積的取值范圍.

3.(2025?河北?模擬預(yù)測(cè))拋物線/=4x的焦點(diǎn)為尸，其上有兩點(diǎn)A、B,五T歷=5，力8與人軸正半軸交于點(diǎn)

E.

⑴求以正為直徑的。M的方程；

(2)證明：取拋物線上的一點(diǎn)。(。的橫坐標(biāo)不為1),總有該拋物線上的另外兩點(diǎn)S、T,使?！椤?ST的內(nèi)切

圓.

4.(24?25高二上?河南?階段練習(xí))已知橢圓C：5+￡=1(O>Z)>0)的離心率為上、下頂點(diǎn)4.與和左、右焦點(diǎn)

￡，巴形成的四邊形的面積為2石.

(1)求0的方程；

(2)設(shè)尸是。上任意一點(diǎn)，線段6乃上一點(diǎn)"(%,())滿足儒=需，求小的取值范圍；

(3)經(jīng)過6的直線/與C交于44兩點(diǎn)，△4片鳥與△8^6的內(nèi)切圓半徑分別為耳，當(dāng)a=2々時(shí)，求/的方程.

5.(24?25高二上?重慶?期中)如圖，矩形"COM,，=怛C|=2"石、尸、G、〃分別是

矩形四條邊的中點(diǎn)，R、S、7是線段0~的四等分點(diǎn)，R'、6、「是線段CV的四等分點(diǎn).

⑴證明直線￡7?與GR、ES與GS、燈與GT的交點(diǎn)L、M、N都在橢圓I+與=1上.

ab~

(2)若。=2,0=1.6、6為其左右焦點(diǎn)，過人作直線交橢圓于A,8兩點(diǎn)，若石內(nèi)切圓半徑為求其面積.

6.(24-25高二下?湖南長(zhǎng)沙?期末)已知圓上的方程為(x+3)2+/=|()(),￡(3,0),河為圓￡上任意一點(diǎn)，RW的

中垂線與EM相交于點(diǎn)P.

⑴求點(diǎn)P的朝L跡方程;

(2)過點(diǎn)/的直線與點(diǎn)夕的軌跡相交于A,B兩點(diǎn),若△￡?出的內(nèi)切圓半徑為八且尸=之|陰，求直線力4的方

程.

7.(2025?河南?模擬預(yù)測(cè))過點(diǎn)加(3,0)且斜率存在的直線/交拋物線C:/=2〃x(p＞0)于不同的兩點(diǎn)

力(4,兄)*(4,外)，且N力=T2.

⑴求P;

⑵己知的半徑為2,證明：對(duì)于拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)尸(?%,%)),|典卜2,且|閔工2石，總存在拋物線C上的另外

兩點(diǎn)。，火，使0M為△尸QH的內(nèi)切圓.

8.(2025?江蘇?二模)已知橢圓E：￡+二=1(。＞力＞0)的離心率為：，且經(jīng)過點(diǎn)(3,?).丹，瑪是E的左、右焦

a'n"55

八占、、?

(1)求上的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(2)過6的直線與E交于乙。兩點(diǎn).若可尸。的內(nèi)切圓半徑為，〃=*歸@,求優(yōu)斗優(yōu)。|的值.

考點(diǎn)三角平分線問題

1.(24?25高二下?浙江?期末)已知雙曲線C:二-E=l(a>0力>0)的兩條漸近線為)，=±6x,且經(jīng)過點(diǎn)

a~b

(72,73).

(1)求雙曲線。的方程：

(2)08分別是雙曲線。的左右焦點(diǎn)，過雙曲線。上一點(diǎn)尸(％,打)作雙曲線的切線/(/的方程為若-等=1)交

軸于點(diǎn)。；

(i)證明：片,耳,只。四點(diǎn)共圓；

(ii)當(dāng)x°>()時(shí)，過點(diǎn)尸作/的垂線與NP片鳥的角平分線交于點(diǎn)M,求點(diǎn)加的軌跡方程.

2.(2025?浙江?一模)已知拋物線C_/=2px的焦點(diǎn)為R拋物線。上點(diǎn)M(2j°)滿足|M/1=3.

(I)求拋物線。的方程；

⑵設(shè)點(diǎn)。(-1,0),過。作直線/交拋物線C于48兩點(diǎn)，證明：3=1是/力總的角平分線.

3.(2025?陜西漢中?模擬預(yù)測(cè))在平面直角坐標(biāo)系大⑦“卜,產(chǎn)，。為雙曲線C:=1(。＞0)上兩不重合的動(dòng)點(diǎn),

點(diǎn)力。,?，且當(dāng)O,P,2,4四點(diǎn)共線時(shí)，\PQ\=—

(1)求。的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)若直線/與C的漸近線垂直，且經(jīng)過點(diǎn)A,求直線/與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)：

(3)若均在。的右支上，且線段。力是△OP。的角平分線，求直線產(chǎn)。的方程.

4.(2025?江西?二模)已知點(diǎn)P(x0/o)是雙曲線C：工-工=1的圖象上第一-象限的任意一點(diǎn)，6、8分別為C的

45

左右焦點(diǎn).直線/：空-空=1,直線1交x軸于點(diǎn)G.

45

⑴已知桃，x軸，求直線/方程：

(2)求證：直線/為/6尸工的角平分線：

S]6

(3)若直線戶鳥交。于另一點(diǎn)Q,且不j=77,求直線/和直線環(huán)■斜率之積.

,AQGFa11

5.（24?25高二上?安徽?期中）已知橢圓%親?=1（0<8<2）的左、右焦點(diǎn)分別為小占點(diǎn)產(chǎn)在橢圓上，且直線

巴^與x軸垂直.

⑴證明：|P￡|—|也|=4—吃

⑵若HPF?的角平分線恰好過點(diǎn)，求的面積.

6.（24-25高三上?浙江?開學(xué)考試）閱讀材料：“到角公式”是解析幾何中的一個(gè)術(shù)語，用于解決兩直線對(duì)稱的問題

其內(nèi)容為：若將直線4繞乙與4的交點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到與直線，2第一次重合時(shí)所轉(zhuǎn)的角為氏則稱。為/倒4的

角，當(dāng)直線人與不垂直且斜率都存在時(shí)，iane=￡3（其中心與分別為直線乙和4的斜率）.結(jié)合閱讀材料，

回答下述問題：

已知橢員I=1（〃的左、右焦點(diǎn)分別為耳入，力（-2,1）為橢圓上一點(diǎn)，8（0,-1）,四邊形菊那的面

a~b~

積為為坐標(biāo)