空間向量與立體幾何：最值與范圍問題、截面與軌跡問題、立體幾何新定義問題

專項(xiàng)訓(xùn)練

考點(diǎn)目錄

最值與范圍問題截面與軌跡問題

立體幾何新定義問題

考點(diǎn)一最值與范圍問題

1.（24-25高二下?河南新鄉(xiāng)?期末）如圖，直四棱柱48。-44G。的底面18CQ是菱形，彳4=4,AB=2,

/84。為銳角，E,F,G分別是48,BC,4。的中點(diǎn).

（1）證明：EG||平面CQ尸.

⑵求二面角G-。尸-c的余弦值的最大值.

【答案】（1）證明見解析

⑵平

【詳解】（1）由題意證明如下，

連接力4，BQ,CR,設(shè)CDQGD=H,連接"/.

在AABD1中，E,G分別是nA的中點(diǎn)，所以EG”。，

在中，F(xiàn),H分別是8C,C。的中點(diǎn)，所以戶”||4。，

???EG||FH.

???EGa平面G。尸，;77u平面G。尸，

???欣7||平面。|。八

(2)由題意及(1)得，

過點(diǎn)。作。K_L48交48于點(diǎn)K.

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，QK所在直.線為x軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則。(0,0,0),G(0,2,4).

設(shè)如O=aw(0,3

則DK=ADs\xia=2sina,AK=ADcosa=2cosa.

設(shè)尸(七,加0)，

則/=；DK=sina,yQ=g(CO+AK)=2-cosa,

即F(sina,2-cosa,0),

則QC]=(0,2,4),DF=(sina,2-cosa,0).

設(shè)平面G97的法向量為而="j,z),

znDC=0,(2y+4z=0,

則_'所以」、、八

m-DF=0,[(sina)x+(2-cosa)y=0,

可取玩=12-cosa,-sina,-sinaI.

由幾何知識(shí)得，平面。C尸的一個(gè)法向量為歷=（0,0,1）,

1.

sina1

21________]

2?

5-4cosa+*sina|5-4cos6r+—sina?(5-4cosa?I

42d———V1-cos2a4

1sina

令5—4cosa=fe(l,5),

5—4cosa16/16、16.

則l-cos2a一了+昨9二(叫+io二2后+10一，

當(dāng)且僅當(dāng)5-4cosa=f=3,即cosa=—,a=—,等號(hào)成立,

23

所以2、白二生+12、Q*17,

V1-cos-a4V4

.??二面角C.-DF-C的余弦值的最大值為晅.

17

2.（24-25高二下?廣西?階段練習(xí)）在四棱錐P-48CO中，平面48_L平面力8C'。，平面4。_L平面力6CQ,底

面力BCD為正方形.

（1）求證：4P/平面448；

（2）設(shè)尸D的中點(diǎn)為七且/1￡_L尸C,尸月=4.若。為平面48co上的一點(diǎn)，且08+0。=2拒，求絲與平面力8CQ所

成角正弦值的最小值.

【答案】（1）證明見解析

⑵迺

19

【詳解】（1）?.?底面/4?！辏┦钦叫危?_14。，

???平面/MO_L平面力8c。，平面P/iOc平面力8CQ=40,48<Z平面45。。,

，，4A_L平面040.APc=PAD?AB±AP.

同理可得力。_L力尸，

'：ADr\AB=A,AD,u平面力88,.?.力尸/平面/BCD.

（2）由（1）知"1平面夕力。，46//CZ）,二。。，平面40,

乂???4￡：u面，

:.DC工莊.?:AE【PC,PCcCD=C,PCCOuPC。，_L平面PCZ）,

又PDJ平面尸8,.?./1E_LPZ）.

?:E為PD中點(diǎn)、,AAP=AD=4.

如圖，設(shè)力CCI80=O,以。為原點(diǎn)，OB,OC所在直線分別為羽y軸，z$lllHAP,建立空間直角坐標(biāo)系.

則8（2行,0,0）,。卜2&,0,0）,則4D=4&，又QB+QD=2拒〉BD.

由題意可知，點(diǎn)。的軌跡是以8,力為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)橢圓方程為烏+與=1（。>8>0）,

ah

又???。6+0。=2疝，歹i以該橢圓a=VFT，c=20，則力=5/，-八=石,

所以。在平面/8C。內(nèi)橢圓軌跡方程為：（+1=]?

設(shè)。（%，%，0），P（0,-25/2,4）,網(wǎng)=（%,%+2"-4）.

又否=（0,0,1）是平面力48的法向量，

記尸。與面MC。所成角為。，則85尸0,〃卜而+回+2何+16，

又由。的軌跡方程得焉=[1-引xll.

記，（M！=1一?又11+（州+28）+16=-：歹；+4北為+35,

該二次函數(shù)的對(duì)稱軸為為=3,?6,百卜..」（兒）2=/甘=38,

4_2屈

所以也與平面力86所成角正弦值的最小值為（sin。）.

及一19

3.（2025?陜西安康?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐S-48c。中，克=2而，刀=2麗，方質(zhì)>0,

AB=BC=AC=AM=AD=—CD=2,NSC4=9(T.

2

（1）求證：力。_L平面BMN；

（2）若二面角M-4C-Q的正切值為萬，求四棱錐S-ABC。的體積;

（3）求直線S7與平面/1CM所成角的余弦值的最小值.

【答案】（1）證明見解析

②4&+2后

⑶4

【詳解】（1）因?yàn)?B=3C,N為力。的中點(diǎn)，所以8N_L4C,

延長(zhǎng)ZW交CC于點(diǎn)E,連接ME,

因?yàn)榱=4O=立。￡>=2,則。=2右，所以力。2+力。=。2,所以力CJ,力。，

2

因?yàn)锽M_L力C,則EN1/C,

在底面48CQ中，ADA.AC,ENLAC,所以EN//AD,

因?yàn)镹為4c的中點(diǎn)，故石為CO的中點(diǎn)，

因?yàn)辂?2而，即時(shí)為5。的中點(diǎn)，所以ME//SC,

因?yàn)镹SC4=9（r，即1C_LSC,故"EJ.ZC,

因?yàn)镸￡n4N=E,ME、ZWu平面8MN,故力C_L平面8A/N.

（2）由（1）可知，因?yàn)閐CJ■平面3MN,MN、ENu平面BMN,故A/N_L/1C,EN1AC,

所以，二面角河-彳。-。的平面角為乙切花，

因?yàn)榱=2,AN=ljC=l,所以MN=J』A/2_4N2=42?-F=也,

過點(diǎn)M在平面BMY內(nèi)作M/_L8E,垂足為點(diǎn)尸，

則tan/MNE=^=&,故NF&MF,

NF2

由勾股定理可得MN?=MF2+NF2=MF1+:M尸=尸=3,解得MF=6，

22

所以點(diǎn)S到平面ABCD的距離為］=IMF=2V2.

由（1）可知BNZAB-N?=h-12=5

因?yàn)?「邊形襁6=5小眩+548=:/05'+:力0力。=:><2><0+!><22=2+6,

因此產(chǎn)…7―?df9+處2&=4應(yīng)產(chǎn)

（3）因?yàn)镾G/ME,故直線宓與平面ACM所成角等于ME與平面力CM所成的角,

過點(diǎn)上在平面8MN內(nèi)作EG_LMN,垂足為點(diǎn)G,

因?yàn)榱?。_L平面BMN,EGu平面BMN,所以EG_L/C,

又因?yàn)镋GJLMN,ACcMN=N,AC.MNu平面4CW,故EG_L平面力CM,

所以，A/E與平面4CM所成的角為NEA/N,

在&EMN中，MN=8,EN=1,

ENMN

由正弦定理得

sinZEMN-sinNMEN'

故sin4EMN=ENsm"MEN=走5而々MENQB,當(dāng)且僅當(dāng)ME_LEN時(shí)，等號(hào)成立,

MN33

故直線&7與平面4CN所成角的正弦值的最大值為立，

3

即直線反;與平面4cM所成角的余弦值的最小值為J'*'=半.

4.(2025?內(nèi)蒙古呼和浩特?二模)如圖1,在等腰直角三角形OR7中，F(xiàn)D=FC,A、B、E分別在線段。尸、

FC、CO上，UAB〃CD,AE//FC.已知D=1,AD=2,沿/E將△。力￡折起,使得平面。力石_L平面

AFCE.如圖2.

圖1圖2

(1)求證：平面BDEJ,平面ABD；

(2)求直線D卜與平面EDC所成角的正弦值；

(3)點(diǎn)。在線段。戶上，設(shè)直線8。與直線〃E所成角為6,求cos?的最大值.

【答案】(1)證明見解析

⑵孚

⑶￥

【詳解】(1),14。1=2,AB//CD,

jra|=l,\BC\=2,

XAE/!BC,\CD\=3V2,

：］DE|=2V2,|EC|=V2

ZECB=45。，

/.|BE|2=|夕C『+1ECF-21801.IEC卜cos45。=亞,

又|48卜0,|/￡|=：|產(chǎn)。|=2,

BE|2+M512=|AE^BELAB

vTffiDAE1￥IEAFCE,DJ￡T1AFCE=AE,DALAE,

D4u平面。4E,.?.D4_L平面力PCE,BEu平面｛尸CE,.?.DA^LBE,

vDA^\AB=A,DA,ABu平面ABD,

/.""，平面?。?4,

???BEu平面BDE,

???平面3。七J.平面力80

（2）vDA1AFCE,AF1AE,

「?建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

。(0,0,2),5(1,1,0),C(l,3,0),

DF=(l,0,-2),￡D=(O,-2,2),DC=(l,3,-2),

..-2y+2z=0…,../..

設(shè)平面￡OC的法向量為加=(x,y,z)，則，.+3j,_2z=0,取y=l,?.?〃?=(一覃,1),

設(shè)直線DF與平面EDC所成的角為a,

(3)設(shè)曲=4而=2(1,0,-2)=(40,-22),其中0WZW1,

則2(%0,2—2/1),屏=(-1」,0),80=(27,-1,2-22),

2-1+11

LL-COS。=——

所以V2V522-102+6

_______1

所以cos。=

V2-5/6r-10/+5

當(dāng)INI時(shí),6r-10f+5單調(diào)遞增,

故在/=1時(shí)，cos。取最大值，此時(shí)CCS。=也.

2

5.（2025?山西?二模）ZUBC中，AB=AC,AB1AC,BC=4,。是4c的中點(diǎn)，E是的中點(diǎn)，尸是8。的

中點(diǎn).如圖，將△8￡尸和“CO分別沿￡八力0向平面力。底E的同側(cè)翻折至△河￡戶和4/￡加的位置，且使得

DN//MF.

AN

(1)證明：A、E、M、N共面;

(2)若MN=[,求三棱錐力-QEN的體積;

(3)求平面。EM與平面/EMN的夾角的余弦值的最大值.

【答案】(1)證明見解析

噂

【詳解】(I)取ON的中點(diǎn)G,力。的中點(diǎn)〃，連接MG、GH、HE,

因?yàn)镚、H分別為DN、4。的中點(diǎn)，所以GH//AN,GH=；AN,

翻折前，中，AB=AC,ABJ.AC,BC=4,

。是8c的中點(diǎn)，E是的中點(diǎn)，廠是6。的中點(diǎn)，

則80=。。，BF=-BD=-CD,EFHAD,EF=-AD,ADIBC,

222

翻折后，則有“尸=；。汽，EF//AD,EF=；AD,

因?yàn)镸F/iDN,G為。N的中點(diǎn)，所以MF//DG,MF=DG,

所以，四邊形DGM廠為平行四邊形，所以A/G〃。尸，MG=DF,

因?yàn)椋瑸榱Α５闹悬c(diǎn)，所以EF//DH,EF=DH,故四邊形"'E〃為平行四邊形,

所以EH//DF,EH=DF,故MGHEH,MG=EH,

所以四邊形為平行四邊形，所以ME//GH,所以ME"AN,

所以A、E、M、N共面.

(2)過點(diǎn)N在平面/WN?！眱?nèi)作NQ1O廣，垂足為點(diǎn)尸，

翻折前，因?yàn)榱Α９?C,翻折后，則有力Q1。尸，AD1DN,

因?yàn)?。N、DFu平面DFN,DNCDF=D,所以力Q_L平面。BV,

因?yàn)镹Pu平面。EV,所以力。_LNP,

因?yàn)镻N_L。/,ADcDF=D,AD.。廠u平面4?！?所以PN_L平面力OE,

即NP是三棱錐N-ADE的高.

由(1)的圖，在AMMG中，MG=DF=l,NG」DN=1,MN=9

25

由余弦定理得MG'+GN，-MN?

cosZ.MGN=

2MGGN2x1x125

所以sin/NDP=sin4MGN=Jl-cos?ZMGN

所以NP=DNsin/NDP=2、=工,

在。中，AB=AC,ABJ.AC,BC=4,。是8。的中點(diǎn)，

則/。=』8c=2,DF=-BD=-BC=\,

224

所以，O產(chǎn)=：x2xl=l

所以三棱錐A-DEN的體積為匕皿=匕…=：x種?Sw=4xM1=今

(3)在平面OFMN中，過點(diǎn)尸作。尸尸，交MN于點(diǎn)0,

因?yàn)?)_L平面。QV,QF1DFf

以點(diǎn)尸為坐標(biāo)原點(diǎn)，而、~DA'匝的方向分別為x、y>z軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則。(1,0,0)、E(OJO)、4。,2,0),

設(shè)NNDF=。(0<夕<兀)，則〃(一cos/0,sin夕),

所以歷=(1,7,0),=(1,1,0),EM=(-cos(9,-l,sinf?),

設(shè)平面OEM的一個(gè)法向量初=（x/,N）,

m-ED=x-y=0

則

m-EM=-xcos-y+zsin=0

l+cos。2cos《-1+1

令％=1,則y=1,―亍,所以歷=1,1,―g

2sinos

rftan—tan—

21)

n-EA=a+b=0

設(shè)平面力EMN的一個(gè)法問量力=（。也c）,則一

ri?=-acos。一人+csin0=0

n

1-2sin2——1

cos。一12=-tang,所以萬=

令4=1,則力=一1,C

sin?..802）

2sin—cos—

22

設(shè)平面與平面/1EMN的央角為。，

a-.°

因?yàn)?＜。＜兀，所以（）＜—＜一,則tan—＞0,

222

當(dāng)且僅當(dāng)tang=l,即g時(shí)，即6=］時(shí)，等號(hào)成立.

所以平面DEM與平面AEMN的夾角的余弦值的最大值為；.

6.（24?25高二下?江蘇南通?期末）如圖，已知圓臺(tái)。Q的上、卜底面半徑分別為3和6,母線與卜底面所成的角

為30。.

⑴求圓臺(tái)OQ的體積;

(2)設(shè)A.4},BB、分別是圓臺(tái)OQ1的兩條母線.

(i)求證：ABIIA.B.；

(ii)若乙405=120。，尸是圓?上的動(dòng)點(diǎn)，求直線OP與平面0/4所成角正弦值的最大值.

【答案】(1)21品

(2)(i)證明見解析；(ii)正

2

【詳解】(1)因?yàn)閳A臺(tái)。&的上、下底面半徑分別為3和6,母線與下底面所成的角為30。，

所以圓臺(tái)的高為行，

所以圓臺(tái)的體積為P=gx(9乃+36萬+18乃)、&=21岳.

(2)G)由圓臺(tái)定義知，母線力4，8片的延長(zhǎng)線相交于一點(diǎn)“，

所以44，用，〃四點(diǎn)共面.

又因?yàn)閳A面?！▓A面。，

平面44內(nèi)8n圓面q=/圈,

平面44蜴4G圓面0=48,

所以力8〃44.

----

在圓面。內(nèi)作垂足為O.

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。7戶

則0(0,0,0),彳(6,0,0),B(-3,35/3,0),

q(0,0,6),P(3cos6,3sin6,Vi).

設(shè)平面0/6的一個(gè)法向?qū)彙?(X,y,z),

因?yàn)榉?(—9,3百,0),而=(一6,0,3),

n-JB=0,—9x+3>/3y=0,廣

由＜—,即-64+任=。，解得"2氐,y=y/5x,

n?AO}=0,

取x=l,則丁=百，Z=2y[3,得〃=(1,百,2石).

設(shè)直線OP與平面0/4所成角為a,

=|cos<OP,n)|=-M

則sina

13cos0+3VJsin?+61百

?sin(<9+—)+1<叵

26x4-42

7T7T

當(dāng)且僅當(dāng)sin(6+-)=l,即。=一+2〃%，keZ時(shí)，取“=”，

63

所以直線。尸與平面。/8所成角正弦值的最大值為正

2

7.(2025?河南鄭州?三模)在空間直角坐標(biāo)系。-華中，已知向量￡二(。八。)(。歷工0),經(jīng)過點(diǎn)《KJ。*。)，且以

u為法向量的平面a的方程為a(x7o)+力(y7o)+c(z-Zo)=().

(1)求原點(diǎn)。到平面x-y-z-4=0的距離；

(2)根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)到直線的電離公式，類比出產(chǎn)(入0，%/0)到平面H八十3,十C'z十。'=0的距離公式，并

利用有關(guān)知識(shí)證明；

(3)已知平行六面體平面CDRG的方程為x-2y+”2=0,平面力經(jīng)過點(diǎn)

E(0,0,l),F(l,l,2),G(2,2,l),平面。CC/的方程為履-J-2z+l=O(1WK2),求平面與平面4CC/夾角

的余弦值的最大值.

【答案】(1)35

,|%0+8%+Cz+

(2)J/,、,、0二，證明見解析

>JA>2+B,2+C,2

【詳解】(1)根據(jù)題意，平面的法向量1二(1,-1,-1),

在平面X一尸2-4=0上任取點(diǎn)"(4,0,0),可得0M=(4,0,0),

\OM-n[\_4_4A/3

設(shè)原點(diǎn)。到平面X—y—Z—4=0的距離為"，則d=

|南飛二丁

故原點(diǎn)O到平面x-?-z-4=0的距離為題.

3

(2)由點(diǎn)到直線的距離公式”~」,，I

y/H+B

,\A'XQ+B'y.+Cza+D'\

類比：點(diǎn)到平面的距離公式為，/=?］「9日、

y/A,2+B,2+Cf2

證明如下：

(D'

不妨設(shè)CwO,在平面Hx+B3，+C'z+O'=0內(nèi)取一點(diǎn)。0,0,--

XC

則向量?！?卜0，”,4+不D'小\

取平面Wx+B'y+C2+O'=0的一個(gè)法向量”=(H,B',C),

所以點(diǎn)尸(與,乂,飛)到平面心+〃，+C'z+0-0的距離為;

dJ彷嘰MX產(chǎn)°+。4二。|

|?|>IA,2+B,2+C,2

(3)而=(1,1,1),FG=(l,l,-l)

設(shè)萬=(ij〃)為平面力。44的一個(gè)法向量，則——，

EG-p=i+J-r=0

令i=l,得/=一1，廠=0，所以萬=(L-1,0).

因?yàn)槠矫鍯DDG的方程為x-2y+z-2=0,所以由⑵知平面CD"G的一個(gè)法向量為*=(1,-2』),

設(shè)直線區(qū)的一個(gè)方向向量為，=(-4)，則('"*>1二0二。

令玉=1，得乂=1，4=1所以，=(1,1,1).

因?yàn)??！?/平面4CG4,所以平面/CG4的一個(gè)法向量§=(左,t,-2)與直線。。的方向向量7=(1,1,1)垂直，所

以J7=J-2=0，

所以平面。AC與平面ACG4夾角的余弦值為

\q-s\=|%+2/-2|_|3/|

⑷IsIJ"?+『+4&+41+86

3/_A/3I產(chǎn)二.IiI?

-2何+2'+4=“+2/+4一/1+2“一斗（卜升；

11以3I1<1

2

又1Q2,-<?<1,酈|2nn+3-2

VU4；4

平面CDAG與平面XCG4夾角的余弦值的最大值為g.

8.（24?25高二下?廣東深圳?期末）如圖，己知菱形48co和等邊三角形8CE有公共邊8C,點(diǎn)4在線段力七上,

BC與DE交于點(diǎn)O,將/CE沿著8c翻折成△P8C,得到四棱錐P-48。，BC=2.

（2）若。。=百，求平面P/也與平面P8c夾角的余弦值.

（3）求直線口與平面PBC夾角正弦值的最大值.

【答案】（1）證明見解析

⑵孝

⑶4

【詳解】（1）證明：連接80,由菱形44C3和等邊三角形8CE有公共邊8C,可知N49c=120。,

且AB=BC=CD=4D=CE=BE,AB//CD,即CD//BE,

則四邊形8OCE為菱形，

所以8CJ_OE,故翻折后8C_LOO〃C_LPO,

因?yàn)椤?0。。=。，且都在平面尸O。內(nèi)，

所以8CJ.平面POO,

乂8Cu平面P8C,所以平面P8C_L平面POO.

（2）由（I）知4C_L平面0O￡）,4Cu平面48c。，

則平面尸001平面ABCD,

如圖，在平面尸O。中過點(diǎn)。作。z_L0。，

又平面PODc平面ABCD=OD,

所以Q_L平面N8C。，故OR08,Qz兩兩垂直，

以。為原點(diǎn)，直線。分別為i,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則D(瓜0,0),A(瓜2,0),B(0,l,0),C(0,-l,0),

因?yàn)镈P<=OD=OP,所以△POD為等邊三角形，ZPOD=60,

則尸（追,0,3）,而=（6,1,0）,5P=（—赤=（0,2,0）,

2222

設(shè)平面PAB與平面PBC夾角為夕（0Y夕490.）,

法向量分別為“=（不必,馬）,n2=（x2.y2tz2）,

%?BA=Qx]+必=0

則——../J3，取Xi=1得〃]=(1,一\/5,一百);

〃1尸=半石一乂+梟=0

乙乙

%CB=2y2=0

-----3，取巧=百得〃2=（6，°，一1），

，"尸=?2-必+三=。'

2邪y/2\

所以cos。』,4的

一匚?—〒,

即平面PAB與平面PBC夾角的余弦值為叵

7

（3）由（2）知尸在平面xOz上且"=JJ,

m^P(Gcosa,0,5/Jsina)(0va<180),

則屈=(0,2,0),JP=(^cos(7->/3,-2,5/3sina),8P=(VJcosa,-1,百sina),

設(shè)平面P4C法向量為〃?=（七,8/3），

而?麗=2%=()

則）

玩?8P=Gcosax3-乃+Gsinazi=0

取x3=sina得m=(sina,0,-cosa),

設(shè)〃與平面所。夾角為。(OY”90)

4P,國__________6sina__________p(”cos2a)

力耳阿^3(cosa-l)2+4+3sin2axl?1。-6coscr

,fio-n,

1

令E=10-6cosa?4/6),則[J_?+20"64

sm°=43"6--------=J3Y-----------------

邛小一卜撲ggi邛,

當(dāng)且僅當(dāng)，=8,即8$。=；時(shí)成立，

所以直線PA與平面PBC夾角正弦值的最大值為立.

3

考點(diǎn)二截面與軌跡問題

1.（2025?新疆喀什?模擬預(yù)測(cè)?多選）在棱長(zhǎng)為2的正方體力8CO-48GA中，點(diǎn)￡為正方形力4。。內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（包

含邊界），點(diǎn)廠為8C的中點(diǎn)，則（）

A.三棱錐4-4。石的體積為定值

R.若RE上BQ,則動(dòng)點(diǎn)上的軌跡長(zhǎng)度為20

C.若點(diǎn)石在線段44上（不包含端點(diǎn)），則四棱錐。「力ECO存在外接球

D.若點(diǎn)E為的中點(diǎn)，則過?！?反尸三點(diǎn)的平面與該正方體的截面周長(zhǎng)為2萬+正

【答案】ABD

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)E為正方形488內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，所以點(diǎn)E到平面44GA的距離為為4，

又匕3邛乂4為定值，故A正確；

5Ci

由正方體力4CQ-4與GR,可得4片_1_平面。力4A，又力Ru平面

所以/。，/固，又ADJ%D,4。044=4，4D，4u平面44c。，

所以力〃_L平面力QC。，又8Qu平面所以力馬工用。，

同理可證〃。，片。，又力〃nQC=R,4A，〃Cu平面4）C，

所以8Q_L平面又Dg上BQ,所以平面

點(diǎn)E為正方形/4CO內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，所以Ee/C,又力。="行"=2人，

所以動(dòng)點(diǎn)E的軌跡長(zhǎng)度為2加，故B正確；

點(diǎn)E在線段上（不包含端點(diǎn)），若四棱錐〃-力￡。存在外接球，

則四邊形AECD需有外接圓，則乙4OC+NAEC=180°,

又4QC=90。，所以4EC=90。，此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)8重合（與題意不符合）,

所以四棱錐2-力EC。不存在外接球，故c錯(cuò)誤;

點(diǎn)尸為8c的中點(diǎn)，點(diǎn)￡為力8的中點(diǎn)，記國線加?與O4OC延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)

連接D\N、D、M分別交44CC于，,G,連接HE,GF,

則五邊形DJJEFG為過n，E,F三點(diǎn)的平面與該正方體的截面,

NAAFIINAI

因?yàn)?D//BC,所以上:=^=1,所以4N=78C=77%。，所以5二彳，

BFEB22ND3

又44J/D],所以塞=所以,〃，=￡,所以4"二：,

由勾股定理可得A，=j4〃2+4o：=冬叵,HE=>/AH2+AE2=—,

33

EF=QBE、BF2=6'同理可得GF=^，。0=邛3，

所以過〃,凡尸三點(diǎn)的平面與該正方體的截面周長(zhǎng)為2而+&,故D正確.

故選：ABD.

2.(2025?廣東惠州模擬預(yù)測(cè)?多選)如圖，正方體力—的棱長(zhǎng)為1,E是。。的中點(diǎn)，則()

A.B、C工

B.三棱錐G-4位的體枳為g

4In

c.三棱錐G-4CE的外接球的表面積為受

16

D.由瓦，C,E三點(diǎn)確定的平面與正方體相交形成的截面周長(zhǎng)為辿+&

2

【答案】ACD

【詳解】刈于A,?,”（■LBG，BJCR，BGnCR=C、,

4Gu平面8G",。也（=平面比國[,，片。_1平面8。14,

又u平面BCR,：.B?工BR,故A正確；

對(duì)于B：三棱錐G-8CE的體積〃./c￡=//Gc=：x；xlxlxl=；,故B錯(cuò)誤;

J乙u

對(duì)于c.設(shè)三棱錐G-8CE的外接球的半徑為公,

2

△G。的外接圓半徑為〃,C]E=CE=Ji+pj=Y，

在△《四中，由余弦定理得，8s詼吟焉事

15

所以sinZCEC=1-r則有一2sinZCEC-8,

1<5zX-

三棱錐G-B{CE的外接球的表面積為4兀解=4TTX,故C正確.

對(duì)于D,如圖，過片，C,E三點(diǎn)確定的平面與正方體相交形成的截面為等腰梯形用。￡〃

（其中尸為W勺中點(diǎn)，故等腰梯形與曲的周長(zhǎng)為國孚故D正確.

故選：ACD.

3.（2025?江西新余?一模?多選）如圖，在校長(zhǎng)為2的正方體力8CN>-44GRW，M、N、產(chǎn)分別是/<4、

GA的中點(diǎn)，。是線段。4上的動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），則（）

A.四面體BCC/的外接球的表面積為9"

B,存在點(diǎn)。，使“、N、P、。四點(diǎn)共面

C.過。且與8N垂直的平面截正方體力8。。-4片。|2所得截面面積取值范圍為（0,2逐］

D.點(diǎn)H是四邊形44田田內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且直線叨與直線夾角為：，則點(diǎn)”的軌跡長(zhǎng)度為烏

43

【答案】ACD

【詳解】對(duì)卜A選項(xiàng)，將四棱錐P-BCG用補(bǔ)成長(zhǎng)方體。以7G-C//C,

所以，四面體8CC/的外接球的直徑即為長(zhǎng)方體PEFG-C，￡C的體對(duì)角線長(zhǎng),

222

即四面體BCQP的外接球的直徑為2R=Vl+2+2=3，

所以，四面體8CC/的外接球的表面積為，心垢戶77r.A對(duì)：

對(duì)『B選項(xiàng)，連接力產(chǎn)、CD,,

因?yàn)?C〃4A且8C=4A，故四邊形4次2為平行四邊形，所以，CDJ/A.B,

因?yàn)槭分別是G。、GC中點(diǎn)，則尸N〃CA，所以PN"A\B,

即4、P、N、8四點(diǎn)共面，

當(dāng)。與4重合時(shí)滿足6、N、尸、。四點(diǎn)共面，

但。是線段。/上的動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），B錯(cuò)；

對(duì)于C選項(xiàng)，如圖，在平面上作。K_L8￡,垂足為點(diǎn)K,

過點(diǎn)K作在平面BB￡C內(nèi)KT1BN交BC或者CC\于T,

因?yàn)槠矫?，平?CG4,平面n平面BCCM=BC,

且。Ku平面44G。，所以。K_L平面8CG4，

又BNu平面BCC向,所以QK18N,

因?yàn)镼KnKT=K,QK、KTu平面。KT,所以8N_L平面。KT,

平面QKT截止方體ABCD-A/CR截面為平行四邊形。長(zhǎng)北，

當(dāng)T與點(diǎn)C重合時(shí)，面積最大，此時(shí)KT=右，QK=2,面積為2石，

當(dāng)。與點(diǎn)〃無限接近時(shí)，面積接近于0，

過。且與AN垂直的平面截正方體48co-44G"所得截面面積取直范圍為（0,2逐］,C對(duì);

對(duì)于D選項(xiàng)，取的中點(diǎn)O,連接產(chǎn)。，則PO//4）,

則PO_L平面44百4,取月5的3點(diǎn)/,以O(shè)為圓心，。/=2為半徑作圓,

交力4、于X、丫，

則點(diǎn)〃的軌跡為以。為圓心，2為半徑的部分圓弧布,

此時(shí)滿足直線尸”與直線4D夾角為三,

4

如圖，0X=0Y=AT=2,故"。丫=々，

所以點(diǎn)〃的軌跡長(zhǎng)度為三*2=4，D對(duì).

JJ

故選：ACD.

4.（2025?湖北?三模?多選）如圖，已如正三棱臺(tái)力AC-44C的上、下底面邊長(zhǎng)分別為2和6,側(cè)棱長(zhǎng)為4,點(diǎn)夕

在側(cè)面8CG及內(nèi)運(yùn)動(dòng)（包含邊界），且4P與平面8CC4所成角的正切值為20,點(diǎn)。為CG上一點(diǎn)，且

A.止三棱臺(tái)力4c-44G的高為2#

B.點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為6兀

C.高為生生，底面半徑為，的圓柱可以放進(jìn)棱臺(tái)內(nèi)

36

3

D.過點(diǎn)兒B,。的平面截該棱臺(tái)內(nèi)最大的球所得的截面面積為:兀

【答案】CD

【詳解】延長(zhǎng)正三棱臺(tái)側(cè)棱相交「點(diǎn)。，由題意可知：OA=（）B=OC,

在等腰佛形6CG用中，因?yàn)?C=6,6|G=2,BB}=CCX=4,則/與AC=NC]C3=60。.

即△OBC為等邊三角形，可知三棱錐O-為正四面體，且。4=2.

對(duì)于選項(xiàng)A：設(shè)〃為等邊aOBC的中心，

由正四面體的性質(zhì)可知：力〃1側(cè)面08C,且4"=,62-[金=2幾

即。點(diǎn)到底面ABC的距離為2m，

又因?yàn)椤?=2,照=4,所以正三棱臺(tái)—4￡G的高為：乂2灰=士也，

33

故A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)榱與平面8CC￡所成角的正切值為2&,

BPtanzJP/7=—=—=2>/2,解得〃尸=百，

HPHP

且等邊赳OBC的內(nèi)切圓半徑尸=6，

可知點(diǎn)P的軌跡為等邊△O8C的內(nèi)切圓，所以點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為2百兀，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)檎馀_(tái)48c-4圈6的高勺色，且△4瓦G的內(nèi)切圓半徑為走,走,

336

所以高為生反，底面圓的半徑為害的圓柱可以放在樓臺(tái)內(nèi)，故C正確；

36

對(duì)于選項(xiàng)D：設(shè)正四面體的內(nèi)切球半徑〃，

由等體積法可得：%△的x2后=4x：S△.人解得「=逅.

332

因?yàn)榱?<生區(qū)，則該棱臺(tái)內(nèi)最大的球即為正四面體。-48C的內(nèi)切球.

3

又因?yàn)槲?3西，CC,=4,OC=6,

則。為OC的中點(diǎn)，過點(diǎn)48,0的平面正好過該內(nèi)切球的球心,

所以截面面積為（當(dāng)J兀=]兀，故D正確.

故選：CD.

5.（24-25高三下?云南?階段練習(xí)?多選）在正三棱柱力8C-44G中，48=2,"4=4,。為棱力8的中點(diǎn)，下列說法

正確的是（）

A.AC.1B.D

B.上存在點(diǎn)使得OE〃面48C

C.過點(diǎn)D的平面截該三棱柱外接球所得截面面積的最小值為加

D.以G為球心，括為半徑的球面與側(cè)面4的交線長(zhǎng)為兀

【答案】BC

【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：如圖1,將三棱柱補(bǔ)成四棱柱48CG-44GQ,取CG的中點(diǎn)尸，連接。尸，則

AF-=AG2+GF1-2AG-GFCOS60=3，

2222222

AC}=AC+cq=20,C,F=CF+CC,=\lyf^AF+CXF=AC；,則G尸人力/，而用。//6/，于是力G與

4。不垂直，故A錯(cuò)誤;

圖1

對(duì)選項(xiàng)B：當(dāng)點(diǎn)E為44的中點(diǎn)時(shí)，DE//A]B,又DE0面48C,所以O(shè)E//面力/C,故B正確;

對(duì)選項(xiàng)C：止三棱柱/sc-44G的外接球的球心。為上、卜底面的外接圓圓心的連線GU的中點(diǎn)，連接

AO「AO,OD,

如圖2所示，設(shè)外接球的半徑為我,下底面外接圓的半徑為廠/=4。2=手，

則產(chǎn)=/+22=?，當(dāng)過點(diǎn)。的平面垂直O(jiān)O時(shí)，截面圓的面積最小，截面圓的半徑為力0=1,所以截面圓的面

積最小為兀，故C正確:

圖2

對(duì)選項(xiàng)D：設(shè)A為44的中點(diǎn)，連接GA，如圖3,因?yàn)?4=48=2,△44G為等邊三角形，所以

CQ=8,

因?yàn)镚R14片,CQ1AAX,AlBlnAAl=A,AlB?AAiu平面ABB1人,所以GR1平面CBS/,

所以以G為球心，后為半徑的球面與側(cè)面4844的交線為以口為圓心的圓.

如圖圖3,由（6）2-（石尸=（&）2,可得交線即以。為圓心，血為半徑的圓弧，設(shè)該圓弧與力4*4分別相交于

點(diǎn)M,N,

因?yàn)镸Dr近,所以，所以/MRN=],故交線長(zhǎng)/=：*血=￥兀，故D錯(cuò)誤.

圖3

6.（2025?浙江?三模?多選）如圖，/BCO是邊長(zhǎng)為2的正方形，力4，BB、,CC,,?！ǘ即怪庇诘酌媪?C。，且

。口=1彳4=白。6=384=6,點(diǎn)七在線段。。]上，平面交線段彳4于點(diǎn)“，點(diǎn)G在線段。口上，則（）

?乙

A.存在G,使得％G〃面。

B.若G是。A的中點(diǎn)，則4G_L4。

C.過四點(diǎn)4，C、,B,O四點(diǎn)的外接球體積為

D.截面四邊形8紅)廠的周長(zhǎng)的最小值為4而

【答案】BCD

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)榱?CO是邊長(zhǎng)為2的正方形，AA},CC},都垂直于底面/18CO.

故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則。(0,0,0),8(220)6(0,2,4),4(2,0,4),

設(shè)G（0,0,/7）（0W4W6）,則函=（0,2,4）,麗=（2,2,0）,

萬.西=0

設(shè)平面g的法向量為萬=(xj,z),則

n-DB=0

2y+4==0

?。?（2,-2,1）,而至=（—2,0,34）,

2x-2y=0

若4G"面。C[8,則".靖=0,故-4+4-4=0即力=8,與04446矛盾,

故不存在G,使得％G〃面。CR,故A錯(cuò)誤：

對(duì)于B若G是。A的中點(diǎn)，則G(0,0,3),而4(2,2,2),故而=(-2,-2,1),

而而=(-2,0,-4),故近.麗=4-4