平面向量：平面向量的線性運算與基本定理、數(shù)量積、坐標運算、新定義問題

專項訓(xùn)練

考點一平面向量的線性運算與基本定理

1.（2025?海南三亞?一模）已知力8CZ）為平行四邊形，E為C。的中點，記方=2而則礪=（）

1-1-1_

A.d+—bB.a——bC.--a+bD.——a-b

2222

2.（2024?河北?模擬預(yù)測）在平行四邊形力8c。中，E是。。的中點，AE與BD交于點F,則萬（）

1—2—

A.-AB+-ADB.-AB+-ADC.-AB+-7DD.-J5+-JD

44333344

3.（24?25高一下?四川成都?期末）設(shè)。為△/BC所在平面內(nèi)一點,CD=3BD?則()

A.7D=--AB+-7CB.JD=-AB--7C

3322

1??????1.■—

C.AD=--AB+-ACD.AD=-AB一一AC

2233

4.（24?25高一下?甘肅蘭州?期末）如圖,在△04?中，P為線段4B上的一點，且瓦3=4萬.若

OP=xOA+yOB,則()

31八2-12r13

A.x=~>yB.x=-,y=-cWD.x=-,y=-

443344

5.（2025?甘肅甘南?模擬預(yù)測）如圖，在△48。中，兩=2詬,N為線段4必上一點，且

6

AIB-c,iD.

,4I7

6.（2025?山東泰安?模擬預(yù)測）在平行四邊形力68中，已知比二正，萬荷=2元，則屬=（）

A.--lB+-~AbB.二而」而

3232

^AB-^-AD

C.-1B+-JDD.

3232

7.（24?25高一下?云南昭通?期末）在△/!〃。中,。為8c的中點，設(shè)方=2,而=萬，且衣'=23+〃九則

“=

8.（24?25高一下?陜西渭南?期末）在ZU5C中,E為/出邊的中點，。為4C邊上的點，BD,CE交于點F.若

簫麻+為5,則空的值為

77AD

9.（24-25高一下?北京豐臺?期末）如圖，在△/8C中，己知48=6,AC=8,ABAC=6^,力良力。邊上的兩條中

線CM,BN交于點p,貝|J8C=,cos/MPN=.

10.（2025?寧夏銀川?三模）在直角梯形W8CO中，AB//CD,CD=2AB,AB1AD,E是。。的中點，若

尼=痂+4赤，則/+〃=.

考點二平面向量的數(shù)量積

1.（2025?廣東惠州?模擬預(yù)測）已知向量入B滿足同=4,問=2,￡與否的夾角為W，則口-坂卜（）

A.2B.4C.28D.26

2.（2025?云南玉溪?模擬預(yù)測）已知向量工［滿足卜=忖=1,a+b=>/2,plija-b=（）

A.4B.2C.1D.V2

3.（24?25高三上?天津?階段練習(xí)）已知正六邊形48。￡底尸邊長為2,下列說法正確的是（）

A.~AC-~AE=^FB.|JC+^E|=4

c.JD~ED=JDDED.而在而上的投影向量為方

4.（24?25高三上?山西太原?期末）已知向量1萬滿足萬+5）=3,且⑷=2,向=1,則，與5的夾角為

（）

A.30°B.60C.1200D.150

5.（24?25高一下?北京大興?期末）若向量［與B滿足R-2刃）％=2,且忖=2,則￡在右上的投影向量的模為

（）

A.2B.4C.5D.8

6.（24?25高三下?山西大同?期末）已知不，5是單位向量，且灑坂=；.若平面向量萬滿足力高=?3=2,則|司

的值為（）

A.—B.逑C.73D.V2

33

7.（2025?江蘇連云港?模擬預(yù)測）已知,42）為ZUAC的高，且">=打，則布.布=（）

A.-2B.2C.272D.-2>/2

8.（2025?河北?模擬預(yù)測?多選）已知同=2帆=2,且向量萬萬的夾角為下列說法正確的是（）

A.忖+2引=26

B.k-4山3

C.向量方-2石和G的夾角為l

D.若（4刁+2很）//（1一36），則4=一|

9.（2025?江西新余?模擬預(yù)測?多選）己知矩形中，48=10,BC=8,由二衣,前=即，其中

0。，〃工1"阿=5,則（）

A./1+〃是定值B.若〃=3,則加=，石+3葡

585

C.翔.旃>90D.麗+麗（K521

10.（2025?湖北黃岡?模擬預(yù)測多選）在直角梯形/8C0中，力?！?c,48_L8C,8c=248=24）=4,E為4c的

中點，則（）

A.~AE=~DCB.1D-JC=8

C.DE-JC=2>/5D.（2而-4益）

11.（24-25高一下?江蘇鹽城?期中?多選）已知口必卜|赤卜2,而與麗夾角為方，若|麗卜2且

OP=xOM+yON（x>Qiy>0）,則下列說法正確的是（）

A.當(dāng)y=0時，而在麗上的投影向量為3麗B.當(dāng)x=VE寸，麗.麗=0

2

C.當(dāng)丫=<時，y=JBTD.而?麗的最大值為（）

24

12.（2025?安徽蚌埠?模擬預(yù)測）已知向量￡與3方向相向，3=（&,-6），|行|=2,貝打5/52-司=.

13.（2025?四川巴中?三模）非零向量G,辦滿足：|1-1|=可,不（力）=0,則與5夾角的余弦值為.

14.（2025?廣西柳州?模擬預(yù)測）已知|。|=5,用|=4方與5的夾角。=$，則伍+石）石=.

15.（2025?海南?模擬預(yù)測）已知平面向量G,B滿足|初=6,|5區(qū)2,且|32-2萬區(qū)JH,則向量。在向量B方向上

的投影的最小值為.

16.（2024?上海?三模）已知向量萬、5滿足同=1,|可=2,忖+可=右，則他力=.

17.（24-25高一下?上海?期中）己知M=3，W=4,|u-*JfI

（1）求4與力的夾角大??；

（2）求—在書上的數(shù)量投影.

18.（24?25高一下?云南麗江?期中）已知口，5是單位向量，且小5=0.

⑴若非零向量0滿足（1-沙0-丹=0,求同的最大值；

（2）若向量-滿足歸-1一*1,求同的取值范圍.

19.(24-25高一下?新疆喀什?期末)回答下列問題

⑴已知平面向量入B的夾角為60。，且￡為單位向量，B=(l四,求B+可

(2)已知向量入B，滿足忸+2司=24，同=2,問=百，求向量［與B的夾角.

20.(24?25高一下?黑龍江黑河?期末)已知平面向量￡,B滿足：花卜6，問=4,￡與行的夾角為

(1)求a石;

(2)設(shè)平面向量〃?=3〃-5,〃=〃+&/；，若〃?’〃的夾角為銳角,求實數(shù)攵的取值范圍.

考點三平面向量的坐標運算

1.（24?25高三下?云南麗江?階段練習(xí)）已知向量a=（x,2）,^=（1,1）,若B_L（A-3B），則x=（）

A.2B.-2C.4D.-4

2.（2025?福建漳州?模擬預(yù)測）已知平面內(nèi)三點力（1,0）,8（0,1）,C（2,3）,則向量存在衣上的投影向量為（）

A.r=，r=B.（2,6）c.-D.

LVioVioJ'7（ioioj155）

3.(24-2S高一下?湖南衡陽?期末)5=(-1,2),則方在石上的投影向量是()

A七(\力2\B.(12]C.㈤(2\\D.昌(2力\}

4.(2025?陜西西安?模擬預(yù)測)已知向量5=(2,1)^=(1-1),若\a+b\=\a-mb\,則m=()

A.2B.-1C.2或一1D.3

5.(24-25高三下?遼寧?期中?多選)已知向量3=(1,3),A=(-2,1),則()

A.ab=\B.\a\=yj\bf+4C.(?+b^//bD.cosa.b=^-

6.（2025?吉林?模擬預(yù)測?多選）已知向量Q=（cos仇JJ）,5=（1,sin。），若B+.二忖-可，則0可能為（）

c2幾C里1In

AB.—D.一

-y3,66

7.（2025?陜西漢中?一模?多選）已知向量2=（1,2）,5=（1,-I）,則：）

A,工+2行=(3,1)

B..=#)

-7

Cr.cos<a,b>=---

10

D.a在5方向上的投影向量坐標是(-g,g)

8.（2025?江西?模擬預(yù)測?多選）已知向量0=（2,3）5=（-4,加）,則<）

Q

A.若不上B，則m=§

B.若〃?=1,則卜-.二2而

C.若R+3)〃6,則m=6

2

D.若小=2,則I在5方向上的投影向量的坐標為5，-5

9.（2025?北京西城?一模）設(shè)平面向量Z=（T1）,^=（-2,1）,c=（x,y）,且口=5,則使得向量辦二與［共線的一

組值工=,y=

10.（24-25高三上?四川綿陽?階段練習(xí)）已知向量］=（3刈）5=（2川+1）,若7"，則p-2+.

11.（2025?安徽六安?模擬預(yù)測）若向量）=（2,2）,向量5滿足5-比」萬，則2在萬上的投影向量的坐標

2

為.

12.（2025?河北衡水?三模）己知向量G=（l」），5=（1,-1）,若僅+%）_L（?〃）且2>0,則2-〃的最小值

為.

13.(24-25高一下?重慶渝北?期中)已知點X。,1)/(5,3),。為坐標原點，下為x軸上一動點.

(1)而_1兩，求點A/的坐標：

⑵當(dāng)初?兩取最小值時，求向量加與兩的夾角的余弦值.

14.(24?25高一下?廣東江門?階段練習(xí))已知(=(U),^=(0,-2).

(1)若楊M與1+25共線,求左的值.

(2)若32-序與面+5的夾角為90。,求上的值.

(3)求向量萬在向量B上投影向量.

15.(24?25高一下?新疆烏魯木齊?期末)已知向量值=(1,4)/=(2,3).

⑴求1+2坂的坐標：

⑵求同；

(3)若Q=且B/d，求實數(shù)1的值.

16.(24?25高一下?湖南?期末)設(shè)0＜。＜兀＜/7＜2小向量

a=(l,-2),b=(2cosa,sin＜z),c=(sin/7,2cos/?),d=(cos/?,-2sin/?).

⑴若61萬，求

⑵若|H|=G，求sin尸+cos/7的值；

(3)若tanatan/7=4,求證：h//c.

考點四平面向量的新定義問題

1.（2025?河南新鄉(xiāng)?二模）已知。=（%,乂），B=（吃，乃）都是非零向量，定義新運算

aQ>b=x^x2+x^y2+xtx；+）\x2y2,貝上工。坂=0"是_LE”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.（24-25高三上?江蘇鹽城?階段練習(xí)）已知對任意平面向量存=（工/）,把而繞其起點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)。角得

到向量4P=（XCOS6-ysin仇xsin6+）cos6）,叫做把點B繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)。角得到點P.已知平面內(nèi)點

力（1,2）,B（l+V2,2-272）,把點8繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)5后得到點尸，則P的坐標為（）

A.（0,-1）B.（2,5）C.（4,1）D.（3,-1）

3.（24?25高一下?江蘇?階段練習(xí)）如圖，設(shè)。x,Qv是平面內(nèi)相交成60。角的兩條數(shù)軸，1分別是與工軸、V軸

正方向同向的單位向量，若向量。夕=.丐+用2,則把有序數(shù)對（x,y）叫作向量0A在坐標系中的坐標.若

而=（1,2）,麗=（4,5）,則|麗|=（）

A.5-亞B.3C.3百D.6

4.（24-25高二上?山西晉城?期中?多選）“沒有運算的向量只能起到路標作用，有了運算的向量力晝無窮”，除了向

量線性運算和數(shù)量枳外常見的還有向量的外積.定義如下，空間向量[與B的外積ZxB是一個向量，其長度等于

|泰5卜同WsinG》,其方向滿足方"GJ）,7,加且三個向量構(gòu)成右手系（如圖）.在棱長

為2的正四面體力AC。中，。為48。力的中心，下列結(jié)論正確的有（）

A.邑…雜鼠狗B.|/15xJc|=|jDxy4C|

一一3五—

C.ABxAC=ACxABD.BCxBD=-^—AO

2

5.（24-25高一下?浙江杭州?階段練習(xí)?多選）已知單位向量?的夾角為。（0＜。＜兀），若平面向量

I=*+有序?qū)崝?shù)對（工/）稱為向量G在“仿射”坐標系xQy（。為坐標原點）下的“仿射”坐標，記

，=（x,y）〃，則下列命題正確的是（）

A.已知:=（和弘）”=（%/2）〃則G+B=（X]+X2，M+%）d

B.已知況=（1?,麗=（02,則線段48的長度為1

C.已知”=（2，-1）三出=（1，2）三，貝的.$=上叵

332

D.已知1=8小，同=L則x+j的最大值為迫

33

6.（2025?四川成都?三模?多選）對于空間中一組向量40=1,2,3）,若存在不全為零的實數(shù)如i=1,2,3）使得

女&+陽2+瘀3="則稱這組向量線性相關(guān)，否則稱這組向量線性無關(guān).則（）

A.若4=6=（-2,2,2）,c=（3J,-4）,則,，務(wù),線性相關(guān)

B.若/=（—1,1,1）,石=（1,2,3）,c=（2,3,4）,則I,知不線性無關(guān)

C.若4,a2t4線性無關(guān)，則4V2,23,-3a2,4―二線性相關(guān)

D.對于非零向量4，4，4,若存在實數(shù)凡V使得裙=,國?訪+曲1叮3,則4，&，4線性相關(guān)

7.（24-25高三上?湖北?期中）定義：已知平面向量￡,否表示夾角為12（T的兩個單位向量，。為平面上的一個定

點，A為平面上任意一點，當(dāng)厲=￡+防時，定義（益田為點A的斜坐標.設(shè)點6的斜坐標為（3,-7）,則

煙=一

N.（24?25高三上?上海?期中）我們稱〃（〃為正整數(shù)）元有序?qū)崝?shù)組（4右，.…/）為〃維向量，卜|+區(qū)|+...+氏|

為該向量的范數(shù).已知〃維向量1=（演/2,…戶，3其中七e{T0,l}（i=12…,〃），記范數(shù)為奇數(shù)的1的個數(shù)為4,

貝IJ4。=________________

9.（2025?上海松江?二模）設(shè)向量,=（巧,）1）,〃=（》2，乃），記方大6=不上必必?若點4，A2'4為圓。；

/+V+4x-2y=o上任意三點，且滿足44,44,則|刀;*<5%+（況*函|的取值范圍是.

10.（24-25高一下?浙江寧波?期末）如圖，在ZUBC中，48C=90。，月8=26，BC=2,

JM=xZ5(0<x<l),A?V=vJC(0<y<l),設(shè)CM與8N交于點p,且麗=2兩.

（1）求2初一3y的值;

同sin。

（2）定義平面非零向量之間的一種運算“十"："十5=（其中。是兩非零向量1和5的夾角）.

（i）若〃為的中點，求而十京的值;

（ii）若萬十第=由，求X+V的值.

2

A

MN

B

11.(24-25高一下?廣東汕尾?期末)通過平面直角坐標系，我們可以用有序?qū)崝?shù)對表示向量.類似的，我們可以把

有序復(fù)數(shù)對(4/2)(百,句￡€：)看作一個向量，記作￡=(4,"),稱￡為復(fù)向量.類比平面向量的相關(guān)運算法則，對

于2=(4%),b=(z3,z4)(zpz2,z3,z4sC),我們定義復(fù)向量運算法則：①加法：a+b=(z}-z3>z2-z4).②減

法：a-b=(z}+z3,z2+z4)；③數(shù)乘：々③1=(居而2)(%wC)；④數(shù)量積：a-b=z{z3+z2z4：⑤模：\ci\=>Jaa.

(1)設(shè)l=(l,2-i),S=(l+i,2i),求￡石和歸+.；

(2)驗證復(fù)向量結(jié)合律：％頜￡+/；)=%§￡+%所；是否成立；

(3)設(shè)￡=(2+2i,2i),集合C={司,=(z,z+2i),zeC},兇c，求忸+同的最小值；并證明當(dāng)l十可取最小值時,對

于任意的"eQ，(。+3)?(否+c)=0.

12.(24-25高一下?甘肅慶陽?期末)設(shè)平面內(nèi)兩個非零向量質(zhì);;的夾角為定義