第五節(jié)橢圓

才/課程標(biāo)準(zhǔn)7

1.了解橢圓的實(shí)際背景，感受橢圓在刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用.

2.經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過(guò)程，掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).

3.通過(guò)橢圓的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想.

4.了解橢圓的簡(jiǎn)單應(yīng)用.

體祭構(gòu)建I必備知識(shí)系統(tǒng)梳理基礎(chǔ)重落實(shí)課前自修

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)乙，生的距囪的和等于常數(shù)（大于I3&I）的點(diǎn)的軌跡叫做楠圓.這兩個(gè)

國(guó)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的她

—0---------------------------------------------------------

區(qū)I

品在WO）

標(biāo)準(zhǔn)方程

擊.

橢

圖形r

圓

(

標(biāo)

準(zhǔn)

范圍-?！辍边@。且-6這,這/?-b￡xWb且一aW>Wa

方

程

4,(-a,0),42(a,0),4,(0,-a),A2(0,a),

和頂點(diǎn)

81(一/八0),82(兒0)

幾）

何軸長(zhǎng)短軸一?的長(zhǎng)為辿，長(zhǎng)軸4A2的長(zhǎng)為女

性

質(zhì)性

他也巴(一C.O),&(c,O)/l（0，-C），尸2（0,C）

一質(zhì)

焦距舊川=區(qū)

對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸一軸和,軸,對(duì)稱(chēng)中心:原點(diǎn)

離心率e=j,ee(0,l)

a.Z>,c的關(guān)系aM2-Fc2

,對(duì)點(diǎn)自測(cè)

1.已知橢圓［+1=1上一點(diǎn)P到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)Fi的距離為3,則P到另一個(gè)焦點(diǎn)尸2的距離為（）

2516

A.2B.3

C.5D.7

解析：D由橢圓的定義IPFiI+IPF2I=2?=10,所以IPF2I=7.

2.已知橢圓C16『+4y=1,則下列結(jié)論正確的是（）

A.長(zhǎng)軸長(zhǎng)為；B.焦距為4

C.短軸長(zhǎng)為:D.離心率為手

42

解析：D把橢圓方程⑥2+4）,2=1化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得1+空=|,所以b=；,。=曰，則長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=1,焦

164

距2c=f,短軸長(zhǎng)2〃=：,離心率《=±=今，故選D.

22a2

3.若橢圓馬+號(hào)=1（心〃>0）的離心率為容短軸長(zhǎng)為4,則橢圓的方程為

a'。/2----------

答案：立+^=1

164

'2b=4,

解析：由題意得上=2解得f=%所以橢圓的方程為[+：=].

a2（匕=2,164

。2=b2+c2,

4?若方程工+工=1表示橢圓，則&的取值范圍是

5—kk—3-------

答案：（3,4）U（4,5）

S-k>0,

/c-3>0,解得3〈火V5且AW4.

（5-kHk-3.

“常用結(jié)論.

I.若點(diǎn)P在橢圓上，尸為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則

⑴/WIOPI，；

（2）a—cWIPFIWa+c.

2.焦點(diǎn)三角形：橢圓上的點(diǎn)P（即，yo）與兩焦點(diǎn)科，B構(gòu)成的△〃尸尸2叫做焦點(diǎn)三角形，如圖所示，設(shè)NHPF2=

G.

（1）IPFiI=IPF2I時(shí)，即點(diǎn)P的位置為短軸端點(diǎn)時(shí)，0最大，$少m2最大，最大值為前：

2

（2）S^FlpF2=^IPF\IIPFiIsin0=Z?tan|=cI州I；

PF111fF2122

（3）IPFiI?IPF2I<（'）=a；

（4）焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為2（a+c）.

3.焦點(diǎn)弦（過(guò)焦點(diǎn)的弦）：焦點(diǎn)弦中通徑（垂直于長(zhǎng)軸的焦點(diǎn)弦）最短，弦長(zhǎng)人而=肛.

a

E應(yīng)用

1.已知K（一1,0）,民（1，0）是橢圓。的焦點(diǎn)，過(guò)尸2且垂直于x軸的直線(xiàn)交橢圓C于A,B兩點(diǎn),且IA8I

=3,則。的方程為（）

AW+）2=1BX+^=1

C.E+或=1D1

43Xb+^4=

解析：C由結(jié)論3可知IABI=3=m，又c=l,解得a=2,從=3,所以橢圓。的方程為1+0=1.

a43

2.（多選）已知橢圓C?+?=1的左、右焦點(diǎn)分別為Q,尸2,點(diǎn)尸在橢圓。上，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.F）,尸2的坐標(biāo)分別為（-2,0）,（2,0）

B.橢圓的離心率為第

C.IPF,I的最小值為1

D.當(dāng)。是橢圓的短軸端點(diǎn)時(shí)，/QPF?取到最大值

解析：ACD橢圓高+唱=1,箕中〃=9,b2=5,/.<?2=6?2—b2=4,對(duì)于A,c=2,F\,尸2的坐標(biāo)分別為（一2,

0）,（2,0）,故A正確；對(duì)于B,橢圓的離心率為e=￡=G故B錯(cuò)誤；對(duì)于C,由結(jié)論1知，IPRI的最小

a3

值為G-c=l,故C正確；對(duì)于D,日結(jié)論2知，D正確.故選A、C、D.

3.已知P是橢圓1+產(chǎn)=1上的一點(diǎn)，R,22是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的面積為.

較空?①

?5

解析：由結(jié)論2可得，S=b2tan即S=ran：R

203

第1課時(shí)橢圓的定義、方程與性質(zhì)

分類(lèi)突破￡精選考點(diǎn)典例研析技法重悟通課堂演練

橢圓的定義及其應(yīng)用

（基礎(chǔ)自學(xué)過(guò)關(guān)）

2

1.已知兩圓G：（A—4）4-/=169,C2：（x+4）2+9=9.動(dòng)圓M在圓Ci內(nèi)部且和圓G相內(nèi)切，和圓。2相外

切，則動(dòng)圓圓心例的軌跡方程是（）

6448

22入2y2

c.x--^v-=1

4864D?R+E

解析：D設(shè)動(dòng)圓的圓心M（x,y）,半徑為心圓M與圓G：（工一4）2+產(chǎn)=169內(nèi)切，與圓C2：（x+4）2+

>2=9外切.所以IMCI=13-r,IMCiI=3+r.IMGI+IMGI=16>IC]C2I=8,由橢圓的定義，”的

軌跡是以G,C2為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為16的橢圓.則a=8,c=4,所以〃=82—42=48,動(dòng)圓的圓心初的軌跡方程為

X2,V2

二十匕=1.

6448

2.（2024.桂林模擬）已知F2分別為橢圓葺+爐=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，且

PF」%，則IPPiI=.

答案：2-V2

解析：因?yàn)辄c(diǎn)尸在橢圓上，所以根據(jù)桶圓的定義可知IPEI+IPF?I=4,又PRJLPF?,所以IPF"2

22

+IPF2I=I尸1尸2I2=4C、2=12,聯(lián)立上式可得IPF2I-4IPF2I+2=0,因?yàn)镮I>IPEI,所

以IPBI=2-V2.

3.若人，B是橢圓9+3=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，A為橢圓上一點(diǎn)，且/從人吃=45。，則的面積為.

答案：g

22

解析：由題意得a=3,b=yf7,c=0,???IQ尸2I=2&，I4人I+IAF2I=6.VIAF2I=IAQI

222

+I尸尸2I2—2|AFiI?IF\F2Icos450=IAF\I+8-4IA尸1I,:.(6-IAF,I)=IARI+8-

4IARI,解得IAFiI=3..??Z\ARF2的面積S=：X2四X：x￡=：.

4.設(shè)橢圓(+3=1的一個(gè)焦點(diǎn)為F,則對(duì)于橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)4,B,△48/周長(zhǎng)的最大值為.

答案：16

解析：設(shè)Q為橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)，則由橢圓的定義可得IA川+I8尸I+IA8I=2a—\AF]I+2〃

一I8F1I+IABI=4。+MBI-IfiFiI-MFiI=16+MBI-IBFiI-|AFiI,當(dāng)4,B,Fi三點(diǎn)共

線(xiàn)時(shí)，\AB\-\BFi\-\AFiI=0,當(dāng)A,B,F1三點(diǎn)不共線(xiàn)時(shí)，IABI-I"iI一|4FiI<0,所以當(dāng)

4,B,Fi三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，△A5F的周長(zhǎng)取得最大值16.

練后悟通

橢圓定義的應(yīng)用技巧

(1)橢圓定義的應(yīng)用主要有：判斷平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是否為橢圓，求焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)、面積及翻圓的弦長(zhǎng)、最

值和離心率等；

(2)與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的計(jì)算或證明常利用正弦定理、余弦定理、IPQI+IPF2I=2A,得到。，。的關(guān)系.

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

(師生共研過(guò)關(guān))

【例I】(1)己知橢圓c攝+\=1(〃>Q0)的左、右焦點(diǎn)分別為月，尸2，離心率為右過(guò)尸2的直線(xiàn)與橢圓

C交于A,3兩點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為8,則橢圓方程為()

A.互+片=1B.立+竺=1

431612

C三十)2=1DX+^=1

(2)已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸，且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)打(V6,1),戶(hù)2(一百，-V2),則該橢圓的方

程為.

答案：(1)A(2)鴻R

解析：⑴如圖，由橢圓的定義可知，△R/W的周長(zhǎng)為4a,所以4〃=8,4=2,又離心率為:，所以c、=l,b2=

3,所以橢圓方程為9+?=l.

(2)設(shè)橢圓的方程為"小+〃)2=1(〃>0,〃>0,且mW“).因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)多，P?兩點(diǎn)，所以點(diǎn)P,P2的坐標(biāo)滿(mǎn)

足橢圓方程，w[6m+n=1,解得血一?’所以所求橢圓的方程為1+(=1.

.3m+2n=1,n=-.93

解題技法

根據(jù)條件求橢圓方程的兩種方法

(1)定義法：根據(jù)橢圓的定義，確定/,序的值，結(jié)合焦點(diǎn)位置寫(xiě)出橢圓方程；

(2)待定系數(shù)法：根據(jù)題目所給的條件確定桶圓中的〃，尻當(dāng)不知焦點(diǎn)在哪一個(gè)坐標(biāo)軸上時(shí)，一般可設(shè)所求橢圓

的方程為如仆//=1(加>0,〃>0,〃諱〃)，不必考慮焦點(diǎn)位置，用待定系數(shù)法求出機(jī)，〃的值即可.

E訓(xùn)練

1.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為a（-V5,0）,Fl（V5,0）,M是橢圓上一點(diǎn)，若MF|_LMF2，IMFJ?II=

8,則該橢圓的方程是（）

A.武+出=1B.m+二=1

7227

X2.V2X2.V2

C.-+-=lD.土+匕=1

9449

解析：C設(shè)II=相，IMF2I=〃，因?yàn)镮M*I?IMF2I=8,IF,F2I=2代，所以"戶(hù)+產(chǎn)

=20,澗〃=8,所以（加+〃）2=36,所以小+〃=2。=6,所以。=3.因?yàn)?，所以?JQ2—。2=2.所以橢圓

的方程是5+3=1.

2.過(guò)點(diǎn)P（3,且與橢圓卷+（=1有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______.

5156

答案噌+會(huì)1

解析：設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2+2=1（心心0）,則，2一/=9①.又點(diǎn)P（3,Y）在所求橢圓上，所以，+

-^-=1,即2+照=1②?由①@得/=25,〃=16,故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1+4=1.

匕/Q'25匕乙2516

橢圓的幾何性質(zhì)

3?.

（定向精析突破）

考向/離心率問(wèn)題

【例2】（1）（2023?新高考I卷5場(chǎng)）設(shè)橢圓G：《+產(chǎn)=1（〃>1）,C2：9+產(chǎn)=1的離心率分別為目，

02，若e2=V5ei，Ma=（）

A.竽B.V2

C.V3D.V6

（2）（2022?全國(guó)甲卷10題）橢圓C：（?>/?>（））的左頂點(diǎn)為A,點(diǎn)P,。均在C上，且關(guān)于），軸對(duì)稱(chēng).

若直線(xiàn)4P,AQ的斜率之積為%則。的離心率為（）

A4B片

C.12D.13

答案：（1）A（2）A

解析：⑴法一由題意知e戶(hù)巨，。2=%="，因?yàn)?2=心白，所以今=J5X￡H,得〃=等故選A.

a222a3

法二代入驗(yàn)證，若〃=野，則d=也~1=J（~-=1,又02=",所以02=百百，所以。=等符合題意，由

3a八3223

3

于是單選題，故選A.

n2

（2）法一設(shè)，（/〃，〃）（〃r0）,則Q（—//I,〃），易知A（—a,0）,所以匕〃?公---^―=2=7

m+a-zn+aa'-4

（*）.因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓。上，所以蕓?+芻=1,得〃2=4（/—〃[2）,代入（*）式,得看=；,結(jié)合〃=『—/,得

a2b2a2a24

3f=4d,所以e=￡=亙.故選A.

a2

法二設(shè)橢圓C的右頂點(diǎn)為&則直愛(ài)8尸與直線(xiàn)AQ關(guān)于），軸對(duì)稱(chēng)，所以心Q=一依外所以公P也戶(hù)=一公匠心Q=

--=e2—1,所以e=星故選A.

42

解題技法

求橢圓離心率的方法

（1）直接求出a,c的值，利用離心率公式直接求解:

（2）列出含有a,b,。的齊次方程（或不等式），借助于從=/一02消去/?,轉(zhuǎn)化為含有e的方程（或不等式）

求解；

（）利用公式《=求解.

37a2

考向2與橢圓性質(zhì)有關(guān)的最值（范圍）問(wèn)題

【例3】（1）已知B，后為橢圓《+《=1（〃>力>0）的左、右焦點(diǎn)，橢圓的離心率為5M為橢圓上一動(dòng)點(diǎn),

則的最大值為（）

A：B：

32

C.—D.—

34

（2）設(shè)8是橢圓C：j+r=l的上頂點(diǎn)，點(diǎn)〃在C上，則IPBI的最大值為（）

A.1B.V6

C.V5D.2

答案：（1）A（2）A

解析：（1）如圖所示，當(dāng)點(diǎn)M為橢圓的短軸頂點(diǎn)時(shí)，NQMB最大，???IMOI=b,IMBI=。，1061=

c,???sinNOMQ=，"2=￡=二：,^OMF2=-,故/尸1加尸2=:；?NFiM&的最大值為二

IMF21a2633

（2）設(shè)點(diǎn)P（x,），），則根據(jù)點(diǎn)夕在橢圓?+產(chǎn)=1上可得/=5-5/易知點(diǎn)8（0,1）,所以根據(jù)兩點(diǎn)間的距離

公式得IPBI2=『+（>-1）2=5-5/+（>-1）2=—4），2—2），+6=牛一卜丫+32.當(dāng)2），+：0,即產(chǎn)一：（滿(mǎn)

足IyIW1）時(shí)，IPBI2取得最大值學(xué)所以|PBI故選A.

解題技法

與橢圓性質(zhì)有關(guān)的最值（范圍）問(wèn)題的求解策略

6訓(xùn)練

1.若橢圓C捻+\=1（a>b>0）的短軸長(zhǎng)等于焦距，則橢圓的離心率為（）

A士B4

23

MD.立

24

解析：C依題意可知，。=力，又a=1b2+c2=6c,，橢圓的離心率e=￡=芋.

Ya2

2.（2021?全團(tuán)乙卷11題）設(shè)8是橢圓C：^+^=1Ca>b>0）的上頂點(diǎn)，若C上的任意一點(diǎn)戶(hù)都滿(mǎn)

足IPBIW24則。的離心率的取值范圍是（）

A殍1）Bg,1）

C.（0,f]D.（0,i]

解析：C法一依題意，B（0,b）,設(shè)P（acos0,bsinO）,0日0,2兀），因?yàn)閨P3|W2A,所以對(duì)任意

OG[0,2n）,（acos0）2+（Z?sin0—Z?）?W4b?恒成立,即（a2—Zr）sinS+Z/sin0+3/一/20對(duì)任意06[0,

2兀）恒成立.令sinB=f,，￡[—1,1],/（r）=（<?—從）產(chǎn)+2。2/+3序一層，則原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意，w[—1,

1],恒有/（/）20成立.因?yàn)?（—I）=0,所以只需一？一.施）W-1即可,所以2/2/,則離心率0=

斤最《當(dāng)，所以選C.

法二依題意，B（0,/?）,設(shè)橢圓上一點(diǎn)P（xo,加），則IyoI&b,,+招=1,可得或=。2一3羽，

貝I]IPBI2=瑤+（并一匕）2=瑤+%一2妤o+/?2=一捻羽一2妤o+/+02《4尻因?yàn)楫?dāng)yo=-b時(shí)，IPBI2=4/?2,

所以一白一以得2/W/,所以離心率6=衿當(dāng)，故選C.

3.（2024?山東師大附中一模）如圖，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓=+1=1（〃>0）的離心率e=：,F,A分別是橢圓的左

42

焦點(diǎn)和右頂點(diǎn)，尸是橢圓上任意一■點(diǎn)，則兩?同的最大值為.

答案：4

解析：由題意知。=2,因?yàn)閑=￡=；,所以。=1,所以〃=〃2一。2=3,故橢圓的方程為1+《=1.設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為

a243

（xo,川），所以一2WM）W2,一遍WyoWH.因?yàn)镕（—1,0）,A（2,0）,所以而=（一1一為），一和），百？

=（2—必，—yo）,所以而,同=詔-xo—2+戴=（以-K（）+1=[（xo-2）所以當(dāng)?shù)?—2時(shí)，而?福取得最大

值4.

'課時(shí)1關(guān)健能力分層施練素養(yǎng)重提升……|課后嫁習(xí)

A級(jí)?基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

1.橢圓上+上=1的焦距為4,則m=(）

10—min—2

A.4B.8

C.4或8D.12

解析：C當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，10—〃?>〃?一2>0,1（）—〃?一（7/2—2）=4,，〃?=4.當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，m~2>1（）

一機(jī)>0,in~2—（10一〃?）=4,???/%=8.；?〃?=4或8.

2.已知橢圓C：盤(pán)+?=1（心0）的一個(gè)焦點(diǎn)為點(diǎn)（I,0）,則橢圓。的離心率為（）

A.工B.-

32

C.它D%

23

解析：B由橢圓C：馬+：=1的一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,0）,得〃2—3=1,解得〃=2（負(fù)值已舍去）.所以橢圓

a43

c的離心率為e=￡=2.故選B.

a2

3.已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2,0）,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A5+,2=1

416

C.式+)2=1或f+”=l

44

D.彳+)2=1或彳+k=1

解析：D當(dāng)焦點(diǎn)在x軸時(shí)，則。=2,。=1,此時(shí)方程為9+)，2=1；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸時(shí)，則6=2,。=4,此時(shí)方程

為。+1=1.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。+產(chǎn)=1或三用=1.故選D.

4164416

4.在平面直角坐標(biāo)系xO.y中，已知△月8C的頂點(diǎn)A(—4,0)和C(4,0),頂點(diǎn)8在橢雕|十?=1上，則

sin/1+sirC()

sinB

A.-4B.3-

C.：D；

S4

解析：D根據(jù)題意，由橢圓的方程可得a=5,b=3,則其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-4,0)和(4,0),恰好是A、C兩

點(diǎn)，則AC=2c=8,BC+BA=2a=10.由正弦定理可得則空警=更著=不故選D.

sinfiAC4

5.(多選)已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)Q,尸2在)，軸上，把軸長(zhǎng)等于2,離心率為冷，過(guò)焦點(diǎn)Q作)，軸

的垂線(xiàn)交橢圓。于P,。兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是()

A.橢圓。的方程為＜+f=l

?5

B.橢圓。的方程為?+)?=I

C.IPQI=苧

D.A尸入。的周長(zhǎng)為4百

解析：ACD由已知得，2h=2,h=I,￡=當(dāng)，又〃2=反+。2,解得々2=3.，橢圓方程為f+《=i,.?.\PQ\=

GJ3

—=4=^,△P&Q的周長(zhǎng)為

av33

6.寫(xiě)出一個(gè)長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于離心率8倍的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

答案：?十六1(答案不唯一)

解析：不妨設(shè)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，槽圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為真+3=1,因?yàn)殚L(zhǎng)軸長(zhǎng)等于離心率的8倍，故

24=8：即M=4C,不妨令C=],則層=4,匕2=3,所以滿(mǎn)足條件的一個(gè)橢圓方程為。+《=1.

7.橢圓9+產(chǎn)=1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是Q,6,點(diǎn)。是橢圓上任意一點(diǎn)，則兩?書(shū)的取值范圍是.

答案：[0,U

解析：設(shè)R為左焦點(diǎn)，則由橢圓方程得Fi(-1,0),F2(I,0),設(shè)P(x,y),一五WxW近，：西=(-

1—X,—y),PF；=(1—x,—y),則1=/￡[0,1].

g.已知橢圓C：0+3=1,焦點(diǎn)為(-C,0),FCC,0),左頂點(diǎn)為A,點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,c),

Q/匕42

4到直線(xiàn)硒的距離為*

(1)求橢圓。的離心率；

(2)若戶(hù)為橢圓C上的一點(diǎn)，ZFIPF2=60°,△PQB的面積為百，求橢圓。的方程.

解：(1)由題意得，A(一〃，())，EFizx+y=c,

因?yàn)锳到直線(xiàn)研的距離為與，即早工="兒

2心+122

所以。+。一0〃，

即(a+c)2=3從，又/=/一，，

所以(a+c)2=3(a2—c2),所以2c2+ac-4=0,

因?yàn)殡x心率e=:

a

所以2d+e-l=0,

解得或e=—1(舍)，

所以橢圓C的離心率為:

(2)由(1)知離心率0=￡=工，即a=2c,①

a2

因?yàn)镹~IPF2=6()。，△PFI尸2的面積為A/5,

則工IPFIIIPF2Isin600=V3,

所以IPFXIIPFiI=4,

(IPFjI+IPF2I=2a,

又<222

(IP&I+IPF2I-2IPFillPF21cos60。=(2c),

所以,一/=3,(2)

聯(lián)立①②得4=2,C=I,所以從=/—C、2=3,

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為?+?=l.

B級(jí)?綜合應(yīng)用

9.明朝的一個(gè)葡萄紋橢圓盤(pán)如圖①所示，清朝的一個(gè)青花山水樓閣紋飾橢圓盤(pán)如圖②所示，北宋的一個(gè)汝窯橢圓盤(pán)

如圖③所示，這三個(gè)橢圓盤(pán)的外輪廓均為橢圓.已知圖①、②、③中橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的比值分別為*工，

設(shè)圖①、②、③中橢圓的離心率分別為你，62,63,則()

圖①圖②圖③

Ae>C3>?2B.e2>C3>Cl

C.ei>e2>^3D.e2>e\>e3

解析：A因?yàn)闄E圓的離心率6.=后=］手=J—滬J—圖)［所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的比值越

大,離心率越大.因?yàn)镮s?1.44,含5tfl.24,77^1.43,則。言所以g>63>?2.故選A.

94579745

10.已知橢圓C：3+?=1的左、右焦點(diǎn)分別為尸|，尸2，點(diǎn)M在橢圓C上，當(dāng)△河為"2的面積最大時(shí)，△用片廠2內(nèi)

切圓半徑為()

A.3B.2

解析：D因?yàn)闄E圓為|^+白=1,所以a=5,b=3,c=JQ2一爐=4.當(dāng)△MRQ的面積最大時(shí)，點(diǎn)M為橢圓C的

短軸頂點(diǎn)，不妨設(shè)點(diǎn)M為橢圓C的上頂點(diǎn)，點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，△M/i&內(nèi)切圓半徑為々則I"尸1I=II=

a=5,IF1F2I=2c=8,IOMI=b=3,SAMF1Fz=i(II+IMF2I+IFIF2I)r=1I尸歷I?IOMI，

所以「=/故選D.

11.(多選)如圖，兩個(gè)橢圓1+1=1,<+1=1內(nèi)部重疊區(qū)域的邊界記為曲線(xiàn)C,。是曲線(xiàn)C上的任意一點(diǎn)，下

列四個(gè)說(shuō)法正確的為()

A.P到R(-4,0),尸2<4,0),Ei(0,-4),E2(0,4)四點(diǎn)的距離之和為定值

B.曲線(xiàn)C關(guān)于直線(xiàn)y=玄y=-x均對(duì)稱(chēng)

C.曲線(xiàn)。所圍區(qū)域面積必小于36

D.曲線(xiàn)C總長(zhǎng)度不大于6兀

解析：BC易知F,(-4,0),F2(4,0)分別為橢圓［+<=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，￡i(0,-4),E?(0,4)分別為

橢圓，+9=1的兩個(gè)焦點(diǎn).若點(diǎn)尸僅在橢圓，+9=1上，則尸到Q(-4,0),Fi(4,0)兩點(diǎn)的距離之和為定

值，到B(0,-4),E2(0,4)兩點(diǎn)的距離之和不為定值，故A錯(cuò)誤；兩/卜橢圓關(guān)于直線(xiàn)y=x,)，=一1均對(duì)

稱(chēng)，則曲線(xiàn)C關(guān)于直線(xiàn))，=x,y=—x均對(duì)稱(chēng)，故B正確；曲線(xiàn)C所圍區(qū)域在邊長(zhǎng)為6的正方形內(nèi)部，所以面積必

小于36,故C正確；曲線(xiàn)C所圍區(qū)域在半徑為3的圓外部，所以曲線(xiàn)的總長(zhǎng)度大于圓的周長(zhǎng)6兀，故D錯(cuò)誤.故選

B、C.

12.(多選)已知橢圓C：［+［=1的左、右焦點(diǎn)分別是Q，&，左、右頂點(diǎn)分別是4,人2,點(diǎn)尸是橢圓C上異

169

于A，A2的任意一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是()

A.IPRI+IPFiI=4

B.存在點(diǎn)尸滿(mǎn)足NR尸入=90。

C.直線(xiàn)PAi與直線(xiàn)P4的斜率之積為一盤(pán)

16

D.若△RPB的面積為2夕，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為土竽

解析：CD由橢圓方程知〃=4,b=3,c=夕，IPQI+IP尸2I=2。=8,A錯(cuò)誤；當(dāng)尸在橢圓上、下頂點(diǎn)

時(shí)，COSNFIPF2=%"=3>0，即/QPF2的最大值小于90。，B錯(cuò)誤；設(shè)P(廣，)，')，則岫&=￡，kPA2=

三，有?！叭水a(chǎn)蜷三，且3+?=1，所以一16)，'2=9(—一⑹，即有如心人產(chǎn)一荒C正確；△QPB的

面積為26,即在產(chǎn)=2e，故y'=±2,代入橢圓方程得./=土竽，D正確.

13.（2021.浙江布考16班）已知橢圓［+［=1＜〃＞占＞0）,焦點(diǎn)尸1（一°,0）,F2（。，0）（。＞0）.若過(guò)后的

直線(xiàn)和圓［一片）2+3,2=。2相切，與橢圓在第一象限交于點(diǎn)p,且尸軸，則該直線(xiàn)的斜率是，橢圓

的離心率是.

林案?迪病

解析：設(shè)過(guò)Q的直線(xiàn)與圓的切點(diǎn)為M,圓心陪和0），則lAMl=c,|AQ|=》所以I"石I=等，所以

好

該直線(xiàn)的斜率攵=+鋁=擊=等?因?yàn)镻B_Lx軸，所以IPF2I=?,又IFRI=2c,所以

1~2CaC

14.已知Q,尸2是橢圓C：捺+，=1ia＞Q0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，。為C上的點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）若APOF?為等邊三角形，求C的離心率；

（2）如果存在點(diǎn)P,使得PFiJ_PB，且△EPF2的面積等于16,求〃的值和〃的取值范圍.

解：（1）連接尸人（圖略）.由△POF2為等邊三角形可知在△RPB中，/BPB=90。，IPF2I=c,IPFiI=

V3c,亍是2〃=IPF1I+IPFI=（V3+1）c,故。的離心率為e=￡=V5—1.

2a

（2）由題意可知，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)F（x,y）存在，且;IyI?2c=16,.黃7=一匕靠十云=1'

即clyl=16,①

f+餐，②

S+S=L③

由②?及々2=〃+/得）2=9.

又由①知）2=罷，故b=4.

由?@及〃2=力2+,2得~=斗（r2—/?2）.

c￡

所以/）〃，從而/=〃+（?222〃2=32,故〃24夜.

當(dāng)力=4,夜時(shí)，存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)只

所以Z?=4,a的取值范圍為［4或，+°°）.

C級(jí)?能力提升

15.（多選）已知飛船在以地球?yàn)榻裹c(diǎn)的橢圓軌道上繞地球運(yùn)行時(shí)，其運(yùn)行速度是變化的，速度的變化服從面積守

恒規(guī)律，即飛船的向徑（衛(wèi)星與地球的連線(xiàn)）在相同的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相等.設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、焦距分別為2a,

2c,下列結(jié)論正確的是（）

A.飛船句徑的取值范圍是［a-c,a+c］

B.飛船在左半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)間大于其在右半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)間

C.飛船向徑的最小值與最大值的比值越大，橢圓軌道越扁

D.飛船運(yùn)行速度在近地點(diǎn)時(shí)最大，在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)最小

解析：ABD根據(jù)橢圓定義知飛船向徑的取值范圍是〔a-c,a+c］,A正確；當(dāng)飛船在左半橢圓瓠，運(yùn)行時(shí)，對(duì)

應(yīng)的面積更大，根據(jù)面積守恒規(guī)律，知在左半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)間大干其在右半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)間，B正確;

a+c

?一母一1,比值越大，則e越小，橢圓軌道越圓，C錯(cuò)誤；根據(jù)面積守恒規(guī)律，飛船在近地點(diǎn)時(shí)向徑最小，故

1+e1+e

速度最大，在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)向徑最大，故速度最小，D正確.

16.若兩個(gè)橢圓的離心率相等，則稱(chēng)它們?yōu)椤跋嗨茩E圓”.如圖，在平面直角坐標(biāo)系0冷，中，已知橢圓G：=+《=

1，4,4分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn).橢圓C2以線(xiàn)段44為短軸且與橢圓G為“相似橢圓”.

（1）求橢圓C2的方程；

（2）設(shè)P為橢圓。2上異于4,小的任意一點(diǎn)，過(guò)。作PQ_Lx軸，垂足為Q,線(xiàn)段PQ交橢圓G于點(diǎn)”.求證:

A}HLPA2.

解：（1）橢圓G：篙十^"=1的離心率為e=;=J]-與=￥.

設(shè)橢圓。2的方程為總+亮=1（。>6>0）,且勿=后，

因?yàn)閮蓚€(gè)橢圓為“相似橢圓"，所以e=Jl-^=y,解得>=12,

所以橢圓C2的方程為《+[=1.

126

（2）正明：不妨設(shè)尸（機(jī)，〃），其中〃>0,則貯+江=1,可得加=6—貯，

1262

把工=”代入橢圓G：?+?=1，可騫）,=」3一9,所以〃（加，卜一亨,

所以《H=1,kpA,=—

A-H/m3+1>/6"占m-瓜

、反個(gè)6-

所以4HJ_PA2.

第2課時(shí)直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系

考點(diǎn)分類(lèi)煲破（精選考點(diǎn)典例研析技法重悟通課堂演練

直線(xiàn)與桶圓的位置關(guān)系

I考點(diǎn)一______________________________________,

（基礎(chǔ)H學(xué)過(guò)關(guān)）

1.“。=1”是“直線(xiàn)產(chǎn)x+a與橢圓C：三用=1有公共點(diǎn)”的（）

2516

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

解析：A由4=],得直線(xiàn)），=x+l過(guò)點(diǎn)（0,1）.又點(diǎn)（0,1）在橢圓C：[+1=1內(nèi)部，故4=1一直線(xiàn)＞?=]+

2516

〃與橢圓C：1+1=1有公共點(diǎn)，而直線(xiàn)）=工+。與橢圓C1+[=1有公共點(diǎn)不一定有〃=1.所以“。=1”是

25162516

“直線(xiàn)）=x+n與橢圓C：'+\=1有公共點(diǎn)”的充分不必要條件.故選A.

2.若直線(xiàn)），=履+1與橢圓1+^=1總有公共點(diǎn)，則機(jī)的取值范圍是（）

5m

A.（1,+°°）B,（0,+8）

C.（0,1）U（1,5）D.[l,5）U（5,+8）

解析：D由y_}x+l；消夫），整理得（53+機(jī)）F+1MX+5（1—5）=0.由題意知A=100d-20

（1-in）（5爐+加）20對(duì)一切kWR恒成立，即5〃而+〃F—，〃20對(duì)一切化仁R恒成立，由于?。?且mW5,

?'?m21一5斤恒成立,且〃?#5.

3.已知點(diǎn)P（%,），）是橢圓?+?=1上任意?一點(diǎn)，則點(diǎn)尸到直線(xiàn)/：y=x+5的最大距離為（）

人S\/2+'/26「5y/2-y/26

A.------B.------

22

C.5V2-V26D.5加一畫(huà)

任+^=i,

解析：A設(shè)直線(xiàn)），="+〃？與橢圓相切，由194得131+18皿+9〃尸一36=0,AA=（18m）2—4X13

（y=x+m

（9/?r-36）=0,解得加=±g,切線(xiàn)方程為和y=x—J15,與/距離較遠(yuǎn)的是），=工一15,???所求

最大距離為公…與二二駕”故選

\22

練后悟通

研究直線(xiàn)與橢圓位置關(guān)系的方法

（1）研究直線(xiàn)和桶圓的位置關(guān)系，一般轉(zhuǎn)化為研究直線(xiàn)方程與橢圓方程組成的方程組解的個(gè)數(shù)問(wèn)題：

（2）對(duì)手過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)，也可以通過(guò)定點(diǎn)在橢圓內(nèi)部或橢圓上判定直線(xiàn)和橢圓有文點(diǎn).

弦長(zhǎng)問(wèn)題

（師生共研過(guò)關(guān)1

【例1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系。XV中，橢圓1+1=1（。＞人＞0）的離心率為;，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)廣作兩條互

相垂直的弦4B與CD當(dāng)直線(xiàn)AB的斜率為0時(shí)，148I=