重難專攻（十一）概率中的綜合問題

概率中的綜合問題是考查學(xué)生應(yīng)用意識的重要載體，解決此類問題的關(guān)鍵是通過閱讀題意，彳勺出分析判斷，

獲取關(guān)健信息；搞清各數(shù)據(jù)、各事件間的關(guān)系，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，結(jié)合己有的

數(shù)學(xué)知識，對實際問題作出合理的解釋或決策.

概率與函數(shù)的交匯問題

［考點一〕,

（師生共研過關(guān)］

【例1】某電臺舉辦有獎知識競答比賽，選手答題規(guī)則相同.甲每道題自己有把握獨立答對的概率為:，若甲自己

沒有把握答對，則在規(guī)定時間內(nèi)連線親友團(tuán)尋求幫助，其親友團(tuán)每道題能答對的概率為〃（0<pVl）,假設(shè)每道

題答對與否互不影響.

（1）當(dāng)p=;時，

4

①在甲答對了某道題的條件下，求該題是甲自己答對的概率：

②甲答了4道題，計甲答對題目的個數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的數(shù)學(xué)期望E（X）;

（2）乙答對每道題的概率為：（含親友團(tuán)），現(xiàn)甲、乙兩人各答兩道題，若甲答對題目的個數(shù)比乙答對題目的個

數(shù)多的概率不低于整，求甲的親友團(tuán)每道題答對的概率〃的最小值.

解：（1）①記事件A為“甲答對了某道題”，事件8為“該題是甲自己答對的”，

則P（A）P（AB）="所以P（BIA）=套=±

8

②由題意，X?B（4,J）,故E（X）=4X：=：.

（2）記事件A?為“甲答對了i道題“，事件從為“乙答對了i道題”,i=0,U2.

其中甲答對某道題的概率為：+］=：（1+p）,答錯某道題的概率為（1+p）=\（1-/9）,

則P（八|）=6：（1+〃）a（1-p）=：（I—p2）,p（A2）（1+p）I=：（1+〃）2,

p（Bo）=G）2=%P（BI）=6義|二4三，

所以甲答對題數(shù)比乙多的概率為P（XIB（）UA2B,UA2BO）=P+P（A2S）+尸（4氏）

=-（1—p2）（1+p）2--+-（1+p）2--=—（3/?2+10p+7）云”,

2r94194r936z136

解得即甲的親友團(tuán)每道題答對的概率〃的最小值為條

解題技法

概率與3數(shù)的交匯問題，多以概率問題為解題主線，通過設(shè)置變量，利用隨機(jī)變量的概率、均值與方差的計

算公式構(gòu)造函數(shù).求解時可借助二次函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性或?qū)?shù)確定最優(yōu)解.解決此類問題應(yīng)注意以下兩點：

（1）準(zhǔn)確構(gòu)造函數(shù)，利用公式搭建函數(shù)模型時，由于隨機(jī)變量的均值、方差，隨機(jī)事件概率的計算中涉及變量較

多，式子較為復(fù)雜，所以準(zhǔn)確運算化簡是關(guān)鍵；（2）注意變量的范圍，一是題中給出的范圍，二是實際問題中變

量自身范圍的限制.

E訓(xùn)練

甲、乙兩人進(jìn)行象棋比賽（沒有平局），采用“五局三勝”制.已知在每局比賽中，甲獲勝的概率為〃，0<p<l.

（1）設(shè)甲以3:1獲勝的概率為了（〃），求/（〃）的最大值；

（2）記（1）中/（p）取得最大值時的〃為匹，以po作為〃的值，，書X表示甲、乙兩人比賽的局?jǐn)?shù)，求X的分布

列和均值E（X）.

解：(I)甲以3：I獲勝，則前三局中甲要勝兩局?jǐn)∫痪?，第四局日再獲勝，

所以廣:p)=每戶(i-p).p=3p3-3p4,0<p<l,

則/(/?)=9〃2—]2p3=3p2(3—4p).

令/(p)>0,得0V〃V*令/(P)<0,得?V〃V1.

所以/：〃)在(o,》上單調(diào)遞增，在c，1)上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時，/(〃)取得最大值，為白.

(2)由(1)知〃=po=*

由題意知X的所有可能取值為3,4,5.

33

則P(X=3)=(-4)+(-4)=-64+-64=-1,6

P(X=4)=C?X(-)3X-+C|X-X(i)3=—,

3441344256256128

P(X=5)=C；X(r3義(1)2+cjx(》2X(1)3=言+言=言,

所以X的分布列為

X345

p74527

16128128

X的數(shù)學(xué)期望E(X)=3X^+4X竺+5X二=空.

16128128128

概率與數(shù)列的交匯問題

?:

(師生共研過關(guān))

【例2】(2023?新布考【卷21題)甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投

籃，若未命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中率均為

0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

(1)求第2次投籃的人是乙的概率；

(2)求第i次投籃的人是甲的概率；

(3)已知：若隨機(jī)變量X服從兩點分布，且P(M=1)=\~P(A；=0)=q"i=l,2,…，小則=

i=l

￡處記前〃次(即從第1次到第〃次投籃)中甲投籃的次數(shù)為Y,求石(丫).

i=l

解：(1)設(shè)''第2次投籃的人是乙”為事件4,

則P(A)=0.5X0.44-0.5X0.8=0.6.

(2)諛“第i次投籃的人是甲”的概率為

則第/-I次投籃的人是甲的概率為%,第i—1次投籃的人是乙的概率為1一4-1,

則Pi=06Pi+(1-Pi-i)X0.2(f>2),

即Pj=：+：PjT(i22),

則Pi~3=l(P1」T),

/oZ3o

(

???數(shù)列Pj—』是以3為首項，:為公比的等比數(shù)列.

365

APz----(當(dāng)LI,即PL」(當(dāng)

365653

???第i次投籃的人是甲的概率為:

653

(3)設(shè)第i次投籃時甲投籃的次數(shù)為X”則X的可能取值為?；?,當(dāng)％=0時，表示第，次投籃的人是乙，當(dāng)X,

=1時，表示第，次投籃的人是甲，

:.P(A/=l)=p〃P(X,=0)=1—pi,

：.E(X)=pi.

y=x+X2+X3+…+x”，

則E(7)=E(X1+X2+X3+…+X〃)=pi+P2+P3+…+p〃，

由(2)知，Pi=4+：X(I)E,

365

???Pl+/+p3+???+p產(chǎn)*X[l+《+(“葉…+6)?-']=＞如三^-三+)義[1-(1)"].

3o555Sb1--5loJ

解題技法

概率與數(shù)列問題的交匯，多以概,率的求解為主線，建立關(guān)于概率的遞推關(guān)系.解決此類問題的皋本步驟為：

(1)希準(zhǔn)定性，即明確所求概率的“事件屬性”，這是確定概率模型的依據(jù)，也是建立遞推關(guān)系的準(zhǔn)則：(2)

準(zhǔn)確建模，即通過概率的求解，建立遞推關(guān)系，轉(zhuǎn)化為數(shù)列模型問題；(3)解決模型，也就是遞推數(shù)列的求解,

多通過構(gòu)造的方法轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的問題求解.求解過程應(yīng)靈活運用數(shù)列的性質(zhì)，準(zhǔn)確應(yīng)用相關(guān)公式.

6訓(xùn)練

(2024.臨沂一模)從甲、乙、丙等5人中隨機(jī)地抽取三個人去做傳球訓(xùn)練.訓(xùn)練規(guī)則是確定一人第一次將球傳

出，每次傳球時，傳球者都等可能地洛球傳給另外兩個人中的任何一人，每次必須將球傳出.

(1)記甲、乙、丙三人中被抽到的人數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分布列；

(2)若剛好抽到甲、乙、丙三個人做傳球訓(xùn)練，且第1次由甲將球傳出，記〃次傳球后球在甲手中的概率為

n=1,2,3,….

①直接寫出〃I，pi，P3的值；

②求p“+i與P”的關(guān)系式,并求p〃(〃WN*).

解：(1)X的可能取值為1,2,3,

P(X=l)=華=三，P(X=2)=萼=2,

eg10eg5

P(X=3)=甯磊

所以隨機(jī)變量X的分布列為

XI23

331

P

10510

(2)①若剛好抽到甲、乙、丙三個人做傳球訓(xùn)練，且〃次傳球后球在甲手中的概率為

則有pi=0,〃2=京=點%

②記4表示事件“經(jīng)過〃次傳球后，球在甲手中

An+I=An-An+i+AnAn+it所以P“+1=P(414t+1+44+1)=PCAn-An+1)+P(44+1)=P(鼠)P(A”+

1IAn)+P(A“)P(A〃+1IAn)=11—p”)-1+/?/r0=1(1—p”)，

即p〃+i=-5%+(

所以p〃+i_g=_：(p”—?,且PL，=一:,

所以數(shù)列｛〃〃一目表示以一：為首項，一：為公比的等比數(shù)列，

所以（一”|,

所以〃產(chǎn)一/（一”】+河[1-（-1）?-1].

即〃次傳球后球在甲手中的概率是:口+匕=].

3271-1

概率中的證明問題

「考碼,

（師生共研過關(guān)）

【例3】（2022?新高考I卷20懣節(jié)選）一醫(yī)療團(tuán)隊為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生

習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組），同時在未患

該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù)：

不夠良好良好

病例組4060

對照組1090

從該地的人群中任選一人，4表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”，

船-與累寄的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對患該疾病風(fēng)險程度的一項度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R.

P"I8〉P(月I5)

(1)記明：R=

P(A\B)P(.AIB)

（2）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出尸（AIB）,P（AI月）的估計值，并利用（1）的結(jié)果給出R的估計值.

P⑶A）

P(8|4),P(另IQ

解：（1）證明：笈=國

P(BU)P(BIA)

P<B\A）

由題意知，證明甫選用移

P(Al8)P另)

即可,

P(A\D)P(AID)

PiAB)P(^S>

左邊=書房尸(A8)P(48)

(

P<A)PAByP(.AB)

PP(而)

方、力_PP<5>_P(48)，P(麗)

P(彳8)Pi")-pp(所)

P(B)P

左邊=右邊，故可黑片魯

P</1IB>P(.A\B)

(2)由調(diào)查數(shù)據(jù)可知P(A\B)=￡三,

ICO5

P(A\B)

10010

且尸(AI8)=\-P(AIB)=|,

P(A\B)=\-P(A\B)=—,

10

22

所以“多義里=6.

510

解題技法

解決概率中的證明問題的關(guān)鍵是理解隨機(jī)事件中互斥、對立、獨立事件的概念及相互關(guān)系，理解條件概率、

全梭率公式的意義及性質(zhì)，掌握隨機(jī)變量的分布列、均值、方差的計算公式，掌握二項分布、超幾何分布、正態(tài)

分布概率模型的特點及求解規(guī)律.會靈活運用上述定義、性質(zhì)及公式進(jìn)行邏揖推理、數(shù)學(xué)運茸，進(jìn)而推出要講結(jié)論

成立.

6訓(xùn)練

最新研發(fā)的某產(chǎn)品每次試驗結(jié)果為成功或不成功，且每次試驗的戊功概率為〃(OVp<l).現(xiàn)對該產(chǎn)品進(jìn)行獨立

重復(fù)試及，若試驗成功，則試驗結(jié)束；若

試驗不成功，則繼續(xù)試驗，且最多試驗8次.記X為試驗結(jié)束時所進(jìn)行的試驗次數(shù)，X的數(shù)學(xué)期望為石(X).

(1)記明：E(X)<-；

p

(2)某公司意向投資該產(chǎn)品，若〃=0.2,每次試驗的成本為。(?>0)元，若試驗成功則獲得8a元，則該公司應(yīng)

如何決策投資？請說明理由.

解：(1)證明：由題意，X=l,2,3,…，8,

故P(X=k)=p(1-/?)「Ik=\,2,…，7,P(X=8)=(1-p)

分布列如下表所示：

X1234

ppp(1—/?)p(1-p)2p(1—/?)2

X5678

pp(1-p)4p(1-/7)5p(1-p)6(l-p)7

所以X的數(shù)學(xué)期望石(X)=p(l-p)°+2p(I-p)'4-3/7(I-/?)2+…+7p(1-p)6+8(l-p)7,

記5=(1-p)°+2(1-p)1+3(1-/?)2+-+7(1-p)6,

(1-p)S=(1-p)'+2(1-p)2+3(1-/?)3+-+7(1-p)7,

作差可得，〃S=(1—〃)0+(1一〃),+(1-p)2+…+(1-p)6-7(I-〃)7二一(/)-7(1-p)7

則七(X)=pS+8(l-p)丁7+(]_〃)7=一(17)V

(2)由(1)可知E(X)<-=5,則試驗成本的期望小于”元，

p

試驗成功則獲利8。元，且8〃>5〃，則該公司應(yīng)該投資該產(chǎn)品.

'課時1關(guān)健能力分層施練素養(yǎng)重提升……|課后嫁習(xí)

I.為了豐富孩子們的校園生活，某校團(tuán)委牽頭，發(fā)起同一年級兩個級部A、8進(jìn)行體育運動和文化項目比賽，由A

部、8部爭奪最后的綜合冠軍.決賽先進(jìn)行兩天，每天實行三局兩勝制，即先贏兩局的級部獲得該天勝利，此時該

天比賽結(jié)束.若A部、B部中的一方能連續(xù)兩天勝利，則其為最終冠軍；若前兩天、A部、B部各寐一天,則第三天

只進(jìn)行一局附加賽，該附加賽的獲勝方為最終冠軍.設(shè)每局比賽八部獲勝的概率為〃(OVpVl),每局比賽的結(jié)果

沒有平局且結(jié)果互相獨立.

(1)記第一天需要進(jìn)行的比賽局?jǐn)?shù)為X.

①求E(X),并求當(dāng)E(X)取最大值時〃的值：

②結(jié)合實際，談?wù)劉僦薪Y(jié)論的意義.

(2)當(dāng)〃=泄，記一共進(jìn)行的比賽局?jǐn)?shù)為匕求P(VW5).

解：(1)①X的所有可能取值為2,3.

P(X=2)=p2+(1-p)2=2〃2-2〃+1；

P(X=3)=2p(l-p)=_2/產(chǎn)十2P.

故￡(X)=2(2p2—2p+l)+3(-2p?+2p)=-2/r+2p+2,

即E(X)--2(〃一；)2+1,則當(dāng)「一；時，E(X)取得最大值.

②結(jié)合實際，當(dāng)時，雙方實力最接近，

比賽越激烈，則一天中進(jìn)行比賽的局?jǐn)?shù)會更多.

(2)當(dāng)時，雙方前兩天的比分為2：0或0：2的概率均為:義3=3

比分為2：1或I：2的概率均為2X：X=X；="

2224

FW5則Y=4或Y=5.

y=4即獲勝方兩天均為2：0獲勝，

故P(r-4)-2xixi=i;

448

y=5即獲勝方前兩天的比分為2：0和2：1或者2：0和0：2再加附加賽，

故P(y=5)=2X(-X-X2+-XiX2X-)=-.

444428

所以p(YW5)=P(y=4)+。(丫=5)

882

2.(2024?朔州模擬)某校數(shù)學(xué)組老師為了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)整體發(fā)展水平，組織本校8000名學(xué)生進(jìn)行針對

性檢測(檢測分為初試和復(fù)試)，并隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的初試成績，繪制了頻率分布直方圖，如圖所示.

頻率

獺

0.03()

0.024

0.020

0.012

o.oior-

().(X)4

°'35455565758595初試成績/分

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本平均數(shù)的估計值；

(2)若所有學(xué)生的初試成績X近似服從正態(tài)分布N(山。2),其中p為樣本平均數(shù)的估計值，14.初試成績不

低于90分的學(xué)生才能參加亞試，試估計能參加亞試的人數(shù)；

(3)復(fù)試共三道題，規(guī)定：全部答對獲得一等獎；答對兩道題獲得二等獎；答對-?道題獲得三等獎；全部答錯不

獲獎.已知某學(xué)生進(jìn)入了復(fù)試，他在復(fù)試中前兩道題答對的概率均為.，第三道題答對的概率為。若他獲得一等獎

的概率為:，設(shè)他獲得二等獎的概率為P，求P的最小值.

O

附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(ao2),則P(/—oWXWpi+o)=0.6827,P(p—2oWXWp+2°)=0.954

5,P(R-3GWXqi+3G)=0.9973.

解:(1)設(shè)樣本平均數(shù)的估計值為七則±=IOX(40X0.014-50X0.024-60X0.03+70X0.024+80X0.012+

90X0.004)=62.

所以樣本平均數(shù)的估計值為62.

(2)因為學(xué)生的初試成績X近似服從正態(tài)分布N卬，a2),其中R=62,0^14.

所以p-F2a^62+2X14=90.

所以P(X290)=P(X以n+2o)4X(1-0.9545)=0.02275.

所以估計能參加復(fù)試的人數(shù)為0.02275X8000=182.

(3)由該學(xué)生獲得一等獎的概率為J可知：油T

O8

則尸=/(1—b)+C]a(1—a)6=/+2aZ?—

令P=/(a)=/+專一也0Va〈"(a)=2a18a3-l(2a-l)(4a2+2a+l)

當(dāng)0<a<g時，f(a)<0；

當(dāng)時，f(。)>0.

所以/、）在區(qū)間（0,夕上單調(diào)遞減，在區(qū)間0,1）上單調(diào)遞增.

所以/mm=f

所以。的最小值為W

3.（2024?石家莊一模）為了弘揚中國優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化，某校將舉辦一次剪紙比賽，共進(jìn)行5輪比賽，每輪比賽結(jié)

果互不影響.比賽規(guī)則如下：每一輪比賽中，參賽者在30分鐘內(nèi)完成規(guī)定作品和創(chuàng)意作品各2幅，若有不少于3幅

作品入選，將獲得“巧手獎”.5輪比賽中，至少獲得4次“巧手獎”的同學(xué)將進(jìn)入決賽，某同學(xué)繹歷多次模擬訓(xùn)

練，指導(dǎo)老師從訓(xùn)練作品中隨機(jī)抽取規(guī)定作品和創(chuàng)意作品各5幅，其中有4幅規(guī)定作品和3幅創(chuàng)意作品符合入選

標(biāo)準(zhǔn).

（I）從這1（）幅訓(xùn)練作品中，隨機(jī)抽取規(guī)定作品和創(chuàng)意作品各2幅，試預(yù)測該同學(xué)在一輪比賽中獲“巧手獎”的

概率；

（2）以上述兩類作品各自入選的頻率作為該同學(xué)參賽時每幅作品入選的概率.經(jīng)指導(dǎo)老師對該同學(xué)進(jìn)行賽前強(qiáng)化訓(xùn)

練，規(guī)定作品和創(chuàng)意作品入選的概率共提高了玲，以獲得“巧手獎”次數(shù)的期望為參考，試預(yù)測該同學(xué)能否進(jìn)入決

賽？

解：（1）由題可知，所有可能的情況有:

①規(guī)定作品入選1幅，創(chuàng)意作品入選2幅的概率乩=昭=卷；

CgCg25

②規(guī)定作品入選2幅，創(chuàng)意作品入選1幅的概率夕2=4弊=9；

C5C525

③規(guī)定作品入選2幅，創(chuàng)意作品入選2幅的概率尸3=第=白，

Cj,Cg50

故所求的概率蝗+於+±得

⑵設(shè)強(qiáng)化訓(xùn)練后，規(guī)定作品入選的概率為“，創(chuàng)意作品入選的概率為〃2,則Pl+P2=：+升2匚，

3OAv4

由已知可得，強(qiáng)化訓(xùn)練后該同學(xué)某一輪可獲得“巧手獎”的概率為：P=C加（1-pi）CQa+C如卜廢P2（I-

P2）+ClplClpl=2p\p2（PI+“2）—3（pg）2=3pg-3（pg）2.

,.,pi+p2=q且pi考，〃2黑，也即，一〃2岑，，一Pl咨即P2W.,PlW高

故可得（WpiW],[WpzW],

PvP2=P\（1—/^l）=—（PL.2+^?

?一r2714-.

?,PM[帝逅]，

令PW2=E,則p（Z）=-3/2+3/=—3（/—1）2+j在慮,由上單調(diào)遞減,

:?p⑺WPG）=-3x（力2+-<-.

50SO44

,??該同學(xué)在5輪比賽中獲得“巧手獎”的次數(shù)X?8（5,〃），

AE（X）=5尸V5X：=：<4,故預(yù)測該同學(xué)不能進(jìn)入決賽.

44

4.（2024.寧波一模）某中學(xué)在運動會期間，舉行了繩子打結(jié)計時的趣味性比賽，若現(xiàn)場有〃（〃￡N*）根繩子，共

有2〃個繩頭，每個繩頭只打一次結(jié)，且每個結(jié)僅含兩個繩頭，所有繩頭打結(jié)完畢視為結(jié)束.

（1）當(dāng)〃=3時，記隨機(jī)變量X為繩子圍成的圈的個數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

（2）求證：這〃根繩子恰好能圍成一個圈的概率為"

（2n）!

解：（1）由題知，隨機(jī)變量X的所有可能取值為1,2,3,

GG8

P(X=Dclcld15

P（X=2）=粽=:H，

P（X=3）=申=高

所以X的分布列為

X123

821

P

15515

所以E（X）=1X三+2又2+3乂2=另

*OAO*OAO

（2）正明：不妨令繩頭編號為1,2,3,4,2〃，可以與繩頭1打結(jié)形成一個圈的繩頭有2〃一2種可能，假設(shè)

繩頭I與繩頭3打結(jié)，那么相當(dāng)于對剩下〃一1根繩子進(jìn)行打結(jié).令〃（〃WN*）根繩子打結(jié)后可圍成一個圈的種數(shù)

為知，那么經(jīng)過一次打結(jié)后，剩下〃一1根繩子打結(jié)后可圍成一個圈的種數(shù)為?1,由此可得知=（2〃-2）4一,

〃22,

所以至=2〃-2,芝=21,…，廣2,

所以區(qū)=（2〃-2）X（2〃-4）X-X2=2,,_,-（〃-1）!,

顯然m=l,故。“=2"L（n-1）!.

另一方面，對2〃個繩頭進(jìn)行任意2個繩頭打結(jié)，打結(jié)種數(shù)N=」^

（2。

2nn!*

所以這〃根繩子恰好能圍成一個圈的概率P瑞=2"f；『）!=22n；嘉一"

2nn!

5.“每天鍛煉一小時，健康工作五十仁，幸福生活一輩子”.某公司組織全員每天進(jìn)行體育鍛煉，訂制了主題為

“百年風(fēng)云”的系列紀(jì)念幣獎勵員工，該系列紀(jì)念幣有4,4,小，4四種.每個員工每天自主選擇“球類”和

“田徑”中的一項進(jìn)行鍛煉.鍛煉結(jié)束后員工將隨機(jī)等可能地獲得一枚紀(jì)念幣.

（1）某員工活動前兩天獲得A”A4兩種紀(jì)念幣，則前四天恰好能集齊“百年風(fēng)云”系列紀(jì)念幣的概率是多少？

（2）通過抽樣調(diào)查發(fā)現(xiàn)，活動首日有［的員工選擇“球類”，其余的員工選擇“田徑”；在前一天選擇“球類”

的員工中，次日會有3的員工繼續(xù)選擇“球類”，其余的選擇“田徑”；在前一天選擇“田徑”的員工中，次日會

有3的員工繼續(xù)選擇“田徑”，其余的選擇“球類”.用頻率估計概率，記某員工第〃天選擇“球類”的概率為幾.

①計算P，P2,并求P”；

②該公司共有員工1400人，經(jīng)過足夠多天后，試估計該公司接下來每天各有多少員工參加“球類”和“田徑”運

動？

解：（1）設(shè)事件E為“該員工前四天恰好能集齊這4枚紀(jì)念幣”，

由題意知，樣本點總數(shù)N=4X4=16,

事件E包含的樣本點的個數(shù)〃=2X1=2,

所以該員工前四天恰好能集齊這四枚紀(jì)念幣的概率PCE）=。=：.

16o

（2）①由題意知，=1，

4

八_1n1/1__、_1__1__1__1>>3__3

P2=-P+一（1—01）=一/=---X-=一,

32262648

當(dāng)〃32時，匕=杷一十；（1一尸“7）=3一擊T，

JNZ6

所以凡一：=一：（P〃T—：）,

/O/

又因為河-景

所以(幾一芻是以白為首項，以一;為公比的等比數(shù)列，

7Zo6

所以HL：怖X—"I

/Zoo

即P?=-+—X(-i)

7286

②由①知，當(dāng)〃足夠大時，選擇''球類”的概率近似于

假設(shè)用自表示一天中選擇“球類”的人數(shù)，

貝ij自?8(1400,；),

所以E(匕)=1400X^=600,

即選擇“球類”的人數(shù)的均值為600,

所以選擇“田徑”的人數(shù)的均值為800.

即經(jīng)過足夠多天后，估計該公司接下來每天有600名員工參加球類運動，800名員工參加田徑運動.

6.(2024.大連一模)國學(xué)小組有編號為1,2,3,…，〃的〃位同學(xué)，現(xiàn)在有兩個選擇題，每人答對第一題的概率

為泉答對第二題的概率為點每個同學(xué)的答題過程都是相互獨立的，比賽規(guī)則如下：①按編號由小到大的順序依次

進(jìn)行，第I號同學(xué)開始第I輪比賽，先答第一題；②若第i(i=l,2,3,…，〃-1)號同學(xué)未答對第一題，則第i

輪比賽失敗，由第，十1號同學(xué)繼續(xù)比賽；③若第i(i=l,2,3,1)號同學(xué)答對第一題，則再答第二題，

若該生答對第二題，則比賽在第，?輪結(jié)束；若該生未答對第二題，則第i輪比賽失敗，由第i+1號同學(xué)繼續(xù)答第二

題，且以后比賽的同學(xué)不答第一題，答對第二題時比賽結(jié)束；④若比賽進(jìn)行到了第〃輪，則不管第〃號同學(xué)答題

情況，比賽結(jié)束.

(1)令隨機(jī)變量X”表示〃名同學(xué)參加比賽，