函數(shù)與導(dǎo)數(shù)：恒成立問題、能成立問題、導(dǎo)數(shù)新定義問題專項訓(xùn)練

考點目錄

恒成立問題能成立問題

導(dǎo)數(shù)新定義問題

考點一恒成立問題

1.(24-25高三上?廣東廣州?階段練習(xí))若當x>0時，疝-lnx-2N0,則a的取值范圍為()

A.卜2,+00)B.[4,e2]c.[4,+8)D.(4,+oo)

【答案】C

【詳解】令/=4，/>0，則疝-lnx-220可轉(zhuǎn)化為右-111尸-220，即6之>十一)，

t

令/⑺則/'(，)=半，

當0々<1時，當>1時，

所以在(0,1)單調(diào)遞增,在(1,+8)單調(diào)遞減，

故/心=/。)=2,

所以“N2,解得a",

則。的取值范圍是[4,+8),

故選：C.

2.(24-25高二下?新疆烏魯木齊?期末)若不等式e*+2.1-1之4仆+21n(4"+1)恒成立，則。的值為()

A.2B.1C.vD.7

24

【答案】D

【詳解】不等式e，+2x-1N4ax+2ln(4ar+1)恒成立，

若a=0,e'+2x-lN0恒成立，而當x<0時，此不等式不成立；

若a<(),則,而當了<0時，c'+2x-1<0,4ar+2ln(4?.r+Il>0,不符合題意；

4a

因止匕a>0,x>---,c'+2x-1>4ax+2ln(4t?x+1)<=>cr+2x>c,n|4,/t*11+2ln(4?x+1),

4a

令函數(shù)/(x)=e'+2x,求導(dǎo)得r(x)=e，+2>0,函數(shù)/(x)在(一」,也)上遞增，

不等式e*+2x-l>4ax+2ln(4ax+1)0/(A)2/(ln(4ax+1))ox2ln(4ax+1),

因此不等式e*24&丫+1在(一，-,+8)恒成立，令g(x)=e'-4ax-l,x?-，-,

4a4a

即g(x)NO恒成立，而g(0)=0,KlJgWrain=O,

又g?)=e”-4*當-1-<x<ln(4a)時，g'(x)<0；當x>ln(4a)時，gW>0,

4。

函數(shù)g(x)在(-ln(4a))上單調(diào)遞減，在(ln(4?),4<o)上單調(diào)遞增，

于是g(x)min=g(ln(4a))=4a-4rln(4a)-l=0,令h(x)=x-xInx-l,

求導(dǎo)得〃(x)=-Inx,當0cx<1時，h'(x)>0；當x>1時，h'(x)<0,

函數(shù)力(X)在(0,1)上單調(diào)遞增，在。,+3上單調(diào)遞減，/7。)由=僦1)=。，

則方程〃(幻=0有唯一解x=l,由4a-4aln(4a)—l=0,得4。=1,解得

4

所以。的值為;.

4

故選：D

3.(24?25高三上?福建厘門?階段練習(xí))已知不等式如/-12hu+x晅成立，則實數(shù)。的取值范圍是()

「]、

A.(-8,1]B.1,+8)C.[0,+8)D.-,+00

【答案】B

Inr4-r4-1

【詳解】由題意得〃之在x>0時恒成立，

xe

令/(x)=d-x-l,/f(x)=el-1=0=>x=0,

所以當x<0時，/'(x)=e'-l<0,單調(diào)遞減，

%>0時,f(x)=e-\>Qt/(X)單調(diào)遞增，

則/(￡此/(0)=0,即e、o+l,當x=o時取等，

.Itu+x+llnx+x+1lnx+x+1lnx+x+1,

所以一二丁丁二1^“記工小

當且僅當x+lnx=Inxe、=0，即xe"=1(明顯存在)時取等，

所以

故選:B.

4.(24?25高二下?陜西榆林?期末)已知函數(shù)/(x)=e-e-'-2sinx,若/(〃叫+/(17)>0恒成立，則。的取值范

圍是()

A.(一由B.(T)C.(FT?gm)

【答案】C

【詳解】因為/(-x)=er-e，-2sin(-x)=-/(x),所以/1)為R上的奇函數(shù).

又因為/'(x)=e*+e'-2cosx>2>/因｛v-2cosx=2-2co^x>0,

所以/(x)在R上單調(diào)遞增.

又/(S)+/(l-x)〉O恒成立，

所以/(前')>/。一1),則那八-1,

X-I

因此恒成立.

e

設(shè)且仁州二，則g'(x)=2f，令/(力=。，解得x=2.

ee

當x<2時，gz(A)>0,g(x)單調(diào)遞增；

當x>2時，g<x)<(),g(x)單調(diào)遞減，因此a>g(x)a=8⑵二4.

e

故選：C.

5.(24?25高二下?浙江杭州?期末)設(shè)函數(shù)/(x)=(4-4)(1門-3，若/(x)NO恒成立，則”-/，的最小值是()

A.2-21n2B.In2C.1D.3-21n2

【答案】A

【詳解】因為函數(shù)/*)的定義域為(0,+力)，

當時，4-。>0,

由〃刈20恒成立，則有Inx-bNO恒成立，

因為y=lnx的值域為R,

所以lnT-620不一定恒成立，故不成立，

當。>0時，，由五-a=,4x-a<0=>0<x<a2f

fhInx-Z>>0=>x>eA?Inx—“<0=0<x<e"，

所以要使得〃x)>0恒成立,則/=/即b=2Ina,

所以。-8二。-21n。，

設(shè)/?(〃)=a-21na(o>0),

貝|」/?可=1-2=^--,

當〃>2時，/(a)〉o,所以在(2,+8)單調(diào)遞增，

當0<q<2時，力'(。)<0,所以〃(。)在(0,2)單調(diào)遞減，

所以〃⑷有最小值M2)=2-21n2,

所以的最小值是2-21n2,

故選：A.

6.(24-25高二下?湖北武漢期末)關(guān)于x的不等式?2"+'.山</+2必對Vxe(0，l)恒成立，實數(shù)。的取值范圍為

()

-1)

A.,0B.一二■,十/

L2

C.(-8,0]D.[0,+力)

【答案】B

【詳解】由e~"T<x~+2ax可得v2。，x，即<>2。，=，

xeee

當。20時，轉(zhuǎn)<0,含>0,不等式含在(0，1)上顯然成立；

當"0時，令/(幻=三，則/(1M)</(2Q+X)在(0,1)上恒成立，

e

由/'(方==，在工?-％1)上ra)>o,所以/a)在(一咫1)上單調(diào)遞增，

e

又xw(0,1)時,lnxe(-a>,o),2a+x?f1),

所以只需IMv2a+x在(0,1)上恒成立，即2a>恒成立.

令g(x)=ln…,Mg(x)=—>0,即g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,

x

其中g(shù)⑴=lnl-l=-l,故2aNg(l)=-l,所以此時有一1W2a<0.

綜上，a2——.

故選：B.

7.(24?25高二下?海南海口?期末?多選)若Inx—44+1?0對X￡(0：+<30)恒成立，則上的值可能是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】CD

【詳解】由A4之InxI1得左4之21n4I1,所以A。1>21n77,

令=則4/-1之21n/Q)0),

令尸公-1,/(/)=21n/(/>0),

由題意可知”〃/）恒成立.

設(shè)與/“）圖象相切且與直線y=k-l平行的直線為4,切點M（，o,21n%）,

所以/'&）=；，/'&）=〃=；，即4=半，切點M］，21H

z

fookIKJ

又因為y=A-l,過點N（o,-1）,

21n2+12

rh=2=k?解得k=~^=,

I

2

由yN/。）恒成立得人之不，CD正確.

故選：CD

8.（24?25高三上?湖北武漢?階段練習(xí)?多選）若對于"0,不等式2hu+2x+2W〃，+2x）恒成立，則關(guān)于整數(shù)。

的取值下列正確的有（）

A.IB.2C.3D.4

【答案】BCD

【詳解】因為x>0,所以不等式21M+2X+2W4X2+2X）恒成立等價于。之嗎逑產(chǎn)對Vx>0恒成立.

八(、21nx+2x+2八一一2"十l)(2hu+戈)

設(shè)g(x)=F=，g(小…)2.

1、

設(shè)"（x）=21nx+x,則〃（x）在（0,+司卑調(diào)遞增，且〃-=21n-+-=-ln4+-<0,/z(l)=l>0,

222

；，“，使得go)=O,

所以由零點存在性定理可得存在與e

1//

，/、一2（x+l）?〃（x）

當0<x<x°時，//（x）<0,g*）-.—J，函數(shù)g。）在（Of。）上單調(diào)遞增;

、-2(X4-1)-//(X)

當時，〃(x)>0,g(*)=/，r\2—<0,函數(shù)g(x)在(%,+8)上單調(diào)遞減,

(x+2x1

所以函數(shù)g（x）的最大值為g（%）,且21叫+與=0,

所以g（）「g。。卜生奘產(chǎn)=三竽=：，所以。斗.

人0T/人040十/40人0人0

又所以，之(1，2),所以整數(shù)〃的最小值為2.

12JX。

故選：BCD.

0xT

9.(24?25高二下?江蘇南京?期中)若xw(0、*o),￡—Nx+l-Mx-a恒成立，則實數(shù)。的取值范圍為.

x

【答案】a>\

【詳解】由x?0,+co),原不等式等價于。之x+1-lnx-J,

令g(x)=x+l-lnx-土j,所以aNg(x)心

g‘Q「一金”3山

XX-x~

設(shè)G)=x-e，T/(x)=l-eZ,

當x?0,lM(x)>0”x)單調(diào)遞增；當x?l,+8)/(x)<0"x)單調(diào)%減；

且?1)=1七=0,所以?)2=0,所以?用(1)=0,

所以當xe(O,l),g'(x)>O,g(x)單調(diào)遞增；當x?L+0o),g'(x)<0,ga)單調(diào)遞減;

所以")而=8(1)=2-41，所以。1

故答案為：^>1.

10.(24-25高二下?河南南陽?期末)設(shè)函數(shù)/(?二歸一力1心叫，若〃上0恒成立，則〉/，的最小值

為.

3

【答案】-/1.5

【詳解】由已知可得：當則c*-a恒正，ln(x-與不恒為正，所以不成立；

故Q>0.

而夕二^一4,y=In(x-6)均遞增且與x軸均只有一個交點，

所以要使得/330，只需要兩個函數(shù)與x軸交于同一點，Uplna=Z>+l,

222

所以t一6=幺-In4+1,令0(Q)=+-lna+l(Q>0),

222

貝ij(p'(a)=a--=——-,(t7>0),

aa

=a--=-——-<0,(a>0)=>0<a<1?(p'(a)=a--=-——->0,(q>0)na>1,

所以°(a)在(0,1)單調(diào)遞減，在(Le0單調(diào)遞增,

故*(〃)2。(1)=方，即與一人的最小值為方.

故答案為：

11.(24?25高二下?四川自貢?期末)若關(guān)于X的不等式lnQ+幻-反W0在定義域內(nèi)恒成立，則/的最大值

b

為.

【答案】三事

22

【詳解】令/卜)=3%+4)-阮.丫>-%“、1-bx-ab+l-''一石+"),

/(x)=-----b=---------=---------

x+ax+ax+a

若!即力<0時，則/(力>。在(-4,內(nèi))上恒成立，

b

則/(X)在(-d+8)上單調(diào)遞增，

當》>1一〃且x>0時，ln(x+Q)>0,—取>0,即/(力>0與/(x)?0矛盾：

^--a>-a,即b>0時，4,/(x)>00<x<--a；/(x)<0得x>,-a,

bbb

則在W上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

則/(X)的最大值為/7-a=-\nb-b[\--a=-\r\b+ab-\,

因不等式ln(x+a)-反40在定義域內(nèi)，亙成立，則一歷6+H一140,即匕絲

b

n.a,1+ln力

則六k

令g(b)=￥，則/⑻72加分，

則ge)>0得0<b<eT；g優(yōu))<°得力>—；

則g(?在,,e[上單調(diào)遞增，在卜工,+ooj上單調(diào)遞減，

2

則gg)的最大值為JeRj+me2=±,

I)「2

則:的最大值為:.

b2

故答案為：5

12.(24-25高二下?甘肅白銀?期末)已知函數(shù)/(x)=akr+^^7T；.

人I人I1I4

⑴當4=1時，求曲線y=/W在點（1]⑴）處的切線方程;

⑵若/1產(chǎn)經(jīng)0對xe（O,+8）恒成立，求。的取值集合；

eIn

⑶設(shè)再＞。，證明:

G…X”=l,X,i=l，2,3,…2Jxz1+Yj-2-

【答案】（i）y=；?—!

44

唔

（3）證明見解析

【詳解】（1）當°=1時，/（1）=（）,

\12x+11

八、）二一時廣則廣⑴中

故曲線y-/（x）在點（1,/⑴）處的切線方程為y=

（2）因為/（力=川值+島pF；，所以/'（、）=必察二號辿，

x（x+1J/x-（x+\）

乂因為/（1）=0，〃x）NO恒成立，所以X=1是/（》）的極小值點,

則/'（卜二4〃一^4二。，可得3

(X-1)(3X2+9X+4)

當〃=（時，/0）=

4.r(x+1)2

當xe(。/)時，/'(x)<0,當xe(l,+s)時，/'(x)>0,

所以/（x）在（0,?）上單調(diào)遞減，在（1,?。┥蠁握{(diào)遞增，

所以/（力之/（1）=0,

故。的取值集合為

[4J

1、13|1、13]

（3）記明：由（2）知訴/一j叫所以而旬之5一7皿'

貝哆夫）*刎"，3

￡1n

因為55=1,所以自訴訂用.

13.(24-25高三上?江蘇鎮(zhèn)江?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=Wnx-a(x+l).

⑴若直線x+j，+3=0是函數(shù)/(x)的一條切線，求實數(shù)。的值：

(2)對于xw(O,+。)，不等式/*)Ain工成立，求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)。=2

(2)67<0

【詳解】(1)對函數(shù)求導(dǎo)得/'(x)=lnx+x(-q=lnx+l-q.

因為直線x+P+3=O是函數(shù)〃x)的一條切線，

所以斜率為-1，設(shè)切點為(小，%)，

lnxn+l-t?=-l

所以1/V

A0lnx0-a(x0+l)=-x0-3

解得，％=1，。=2.

(2)令g(x)=/(x)-lnx,所以g(”=xlnx-“x+l)-1nx,x>0.

要使/(㈤2Inx在xe(0,+8)上恒成立，

所以g(x)=xInx—a(x+1)—Inx=(x-I)Inx—a(x+1)20恒成立.

①當x=l時，a<0可使得不等式恒成立；

②當"1時，不等式化他為六生迎”.

x+1

令〃")=色!如，求導(dǎo)得

V7X+1

(X-\\2i

,Fnx+G-J(x+lHxT)lnx(xinx+x-l)(x+l)-(x-x)lnx2\nx+x--

(x+1)2-x(x+l)2-(x+1)2

1V2_1

當x>l時，21nx>0,x——=:---->0.

XX

所以"(X)>O,所以函數(shù)M*在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以〃(x)>Mi)=o.所以為了使不等式恒成立，^<o.

當0<%<1時，21nx<O,x」=^Lo,

XX

所以所以函數(shù)〃(X)在(0,1)上單調(diào)遞減，此時力(力的>-1)=0.

為了使得不等式恒成立，此時a$0.

綜合以上分析，實數(shù)〃的取值范圍為aZO.

14.(24-25高二下?福建三明期末)已知函數(shù)/(x)=21nx-2or,g(x)=av2-2x-2(t/eR).

⑴若〃=；，求函數(shù)/(》)的極值；

(2)若awZ,且不等式/(x)Mg(x)在(0,+e)上恒成立,求〃的最小值.

【答案】⑴極大值為：/⑵=21n2-2；無極小值.

(2)2

【詳解】(1)當〃時，/(x)=21nx-x,x>0.

所以r(x)=2-l==，x>0.

XX

由/'(x)>0=>0<x<2；由/'(x)<0=>x>2.

所以/㈤在(0,2)上單調(diào)遞增，在(2,+8)上單調(diào)遞減.

所以當x=2時，函數(shù)/⑴有極大值，為/(2)=21n2-2；無極小值.

(2)不等式/(x)<g(x)2Inx-2ax<ax2-2x-2?

所以不等式2(lnx4-l)<ax2+2ax-2x在(0,+oc)上恒成立，

所以a221n：+：+2x在。內(nèi))上恒成立.

x2+2x

、幾，/、21nx+2+2x//(V)-2(x+I)(x+21nx)

設(shè)"X=-―,則rill"(X)-/2,0\2，

廠+2x(X+2x)

當x>0時，x+1>0,(x2+2x)->0>

又例x)=x+21nx在(0,+8)上是增函數(shù)，e(；)=；-21n2<0,^(1)=1>0,

所以存在XowQ』)，使得。(?％)=0，

當0<x</時，(p(x)<0,h\x)>0；

當x>而時,(p(x)>0,h\x)<0,

即h(x)在(0,/)上單調(diào)遞增，在伍,+力)上單調(diào)遞減,

^(xo)=xo+21nxo=O,lnx0=-^-,

則依)皿=2。)=2嗔：丁2&二蕓二二L所以〃2匕

%+2.%%

因為所以5'32)，

又因為〃eZ,所以，=2,

所以。的最小值為2.

15.(24-25高二下?江蘇南通?階段練習(xí))己知函數(shù)/(x)=a(x-l『+ln(2x-x2),aeR.

⑴當l〈x<2時，/r(x)<0,求。的最大值;

(2)證明：曲線y=/(x)的圖象是軸對稱圖形；

(3)若/(力40,求。的取值范圍.

【答案】

(2)證明見解析

(3)?<1

【詳解】(1)/(x)=a(x-l『+ln(2x-x2),4eR的定義域為(0,2),

人力2“-1)+左營，

由于:(x)W0,即2“'-1)+1~冬￡0,

2x-x

由于l<x<2,故aK.12

2x-x~

廿微二)|,當且僅當x=l取到等號,

由于1<入v2,/.2-4>0,故2x-V=戈(2-切￡=

2

因止匕0<2x-f<i,,

ZX-X

故1

(2)/(x)=4x-l)2+ln(2xT)4eR的定義域為(0,2),關(guān)于x=l對稱,

任意的xw(O,2),則2-xw(O,2),

i^/(2-x)=a(2-x-l)2+ln^2(2-x)-(2-x)-=a(x-l)'+ln(2x-x2)=/(x),

故/(x)的圖象是軸對稱圖形，且關(guān)于x=l對稱，

(3)/(x)=a(x-l)'+ln(2x-x?)=tf(x-l)'+ln|^-(x-l)'+]],

令/=則ze[0,l),

記g?)=G+ln(T+l),Ze[0,l),g'⑺="+—!-=?+-!-

當QSU時，f-lG[-l,O),.\€(-<?,-l],6Z+yyj-<0,故g'(/)SO,

此時g9)在上單調(diào)遞減，

故g(f)?g(O)=O+lnl=O,符合題意,

當時，令夕(。二0+工=。，則r=l-』，

t-\a

故當冷(0,1-￡(時，8'")>0送(，)在/￡(0,1-￡)單調(diào)遞增，

當8'(。<0遭。)在法(1-，1)單調(diào)遞減，

故g(o)<g]i-J,

由于g(0)=0,故g(l-￡|>0,不符合/(x)WO,故舍去，

綜上可得。工1

16.(24-25高二下?河南南陽?期末)已知函數(shù)/(x)=/I/丫加。(a>0且awl)

⑴求/(x)的極小值：

⑵當時，/(X)在x=l處切線的斜率為e+1,^g(x)=xf(x)-x3+x2+—

X

(i)判斷g(x)零點個數(shù)并說明理由；

(ii)函數(shù)MM=(x+l)1nx_("2)x+L若對任意的正實數(shù)一都有〃(x)Ng(x)恒成立,求實數(shù)％的取值范圍.

.V

【答案】(1)1

⑵(i)一個，理由見解析(ii)kG0

【詳解】(1)方法一：f\x)=ax\na^2x-\na=2x+(ax-\)\na.

因為當。>1時，\na>Q,函數(shù)歹=(a'-1)lna在R上是增函數(shù)，

當0<。<1時，lna<0,函數(shù)y=(。'-l)lna在R上是增函數(shù)，

所以,'(X)是R上的增函數(shù)，

又/'(0)=0,所以/")>0的解集為(O,+B),/")<0的解集為(fO),

故函數(shù)/(x)的增區(qū)間為(0,+。)，減區(qū)間為(-00，。)，

所以函數(shù)/(X)在x=0處取得極小值：.

方法二：因為/'（工）=優(yōu)Ina+2x-lna,令〃（x）=/,（x）=a*lna+2x-lna=a*（Ina）'+2＞0,

所以/'（x）在R上單調(diào)遞增，

又/'（0）=0,所以/'（x）＞0的解集為（0,+e）,/'（力＜0的解集為（-oo,0）,

所以函數(shù)/（X）的增區(qū)間為（。，+力），減區(qū)間為（f，0），

所以函數(shù)/（x）在x=0處取得極小值1.

(2)(i)因為/'(x)=a'lna+2x-ln。，

所以/'⑴=〃lna+2-ln〃(。>1),

設(shè)尸小!14+2-Ina,貝”=l+lna-L>0,

a

所以y=alna+2-Ina在(1,+8)單調(diào)遞增，

且當a=e時，y=e+l,故〃=e,

2r

1、YInxxe+lnx

又g(x)=xe+——=---------,

xx

令+1nx,^(x)=(x2+2.rjcv+—>(),

所以。(x)在(0,+的單調(diào)遞增，且夕(l)=e>0,

當x->0時，

所以存在唯一為w（O,l）,使得*（/）=0,即。（力在（0,+功只有一人零點,

即g（”只有一個零點.

（ii）由題知，對任意x＞（）都有g(shù)3X-（a-2）x+lOe、+皿恒成立,

XX

即(左一2)xW1nx-xe'+1,x>0,

所以對任意x＞°,都有h匕詈--+2.

人/、1+lnxrmi，/、-Inxx2e'+lnx

txr

令〃(x)=-------e'+2,則/(力=「__e=-----；—

X'A

由⑴知^=X濘+lnx在（0,+e）上單調(diào)遞增，且在（0,1）上有唯一零點七,

當X?0,Xo）時，”'（4）＞0,當X€（%+8）,MZ（X）＜O,

所以當XG(O,/),“(X)單調(diào)遞增，當工0(.％,2),“(X)單調(diào)遞減，

且Xf+=o,〃(X)->YO.

所以M》)無最小值，

故我0.

17.(2025?河北秦皇島?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(》)="(。>0,且"1).

⑴當Q=e時，證明：〃x)21+x.

(2)若不等式^~->/(X)恒成立，求Q的值.

X

【答案】(1)證明見解析；

(2)a=yR.

【詳解】(1)證明：因為。二e,

所以/(x)=e、，

gW=f(x)-(x+1)=ex-(x+l),x€R,

則g，(x)=eT,

令g，(x)=O,解得x=0,

所以當xc(-8,O)時，gV)<0,g(x)單調(diào)遞減；

當xw(0,+co)時，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增；

所以g(X)mm=g(O)=。，

所以g(X)20,

即/(x)-(x+l)NO,

所以/(x)2x+l；

(2)解：令0(x)=^----,x0,

x

則d(x)=至二曰=任二隼±1,

JT廠

二」(x7)e'+l[(x-l)ex+iy..xex..ex1

又因為hm-----；----=hrm----------L=lim—=Iim—

22

x->oxXTO(x/e>2x1。22

所以向))在x=。處的值為g，

又因為/'(4)=

所以no)=in%

由ln〃=；,解得〃二五；

當"、名時，

令"1(X)=^——--c2>

X

下面證明w(x)>0恒成立，

當x>0時，

令〃(x)=e'-1-xe2，

則n\x)=eT-e^(l+j)=(e^-j-1),

由(1)可知e*2x+l，當x=0時等號成立，

所以0N'+I,即土—120,當x=0時等號成立,

22

又因為x>0,

所以〃'(x)>0,

所以n(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以〃(x)>“(0)=0,

所以廿一1_>0,ex-1>xe**

ex-li

所以—>e2；

x

當xvO時，

令f=-x>0,

r_i2i_e-f.￡

則」e,e2,即為工>e2,

xt

令人”)=1-/-山>0，

則”(-嗎+”)，

令5(1)=-1+：+晨7/>0,

則$'(/)4產(chǎn)=：(1—e4)，

因為0<e%，

所以s'(f)>0,$⑺單調(diào)遞增，

所以$Q)>s(O)=O,

所以〃'(/)>0,

所以力(f)在(0,+on)上單調(diào)遞增，

所以咐>/?(0)=0,

即一82,

X

綜上，當4=血時，恒有上4成立.

X

故〃=、6.

18.(24-25高二下?福建福州?期末)已知函數(shù)/(加―

⑴若g(x)=/(x)+x,求證:g(x)在R上單調(diào)遞增;

⑵若J\x)>ax在(0,+8)上恒成立，求。的取值范圍：

(3)求證：/[〃x)]=x在(0,+句上有且只有1個解.

【答案】(1)證明過程見解析

(2)67<e-2

(3)證明過程見解析

【詳解】(1)g(x)=/(^)+x=cv-x2+x-l,

gf(x)=e'-2x4-1,令/i(x):g[x)=c'-2x+l,故/(x)=e，一2,

令/?xj>0得x>M2,令力'(x)<0得x<ln2,

故在(-oo』n2)上單調(diào)遞減，在(M2,+8)上單調(diào)遞增，

故〃CKlnZbeim-ZlnZ+yinZ〉。，

所以g(x)在R上單調(diào)遞增；

(2)由題意得歌-f_1>>在(0,+8)上恒成立,

故'一,一”a在(0,+e)上恒成立，

x

人(\e、一廣—]

令夕⑺=--------，

X

則L，一2x)x-(e，-丁-1)_(x-l)eyi)(x+l)_(x-*e--1)

廠kXT

令w(x)=c‘一工一1,則卬‘(工)=。'一1>0在(0,+8)上恒成立，

故w(x)=e:工一1在(0,+。)上單調(diào)遞增，>v(.v)>vv(0)=0,

故ev-工一I>0在(。,十8)上恒成立，

令/(xj>0得x>l,令/(x)<0得0<x<1,

故夕(力=-在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

X

故夕Oin=9(l)=e-2,所以〃<e-2：

(3)設(shè)滿足〃x)=x的x值為/(x)的不動點,

滿足/[/(%)]=x的x值為/(x)的穩(wěn)定點,

下面證明，若/(X)為定義域內(nèi)的嚴格增函數(shù)，則“X。是/(X)的不動點”是“小是/(X)的穩(wěn)定點”的充要條件,

充分性，因為X。是/(X)的不動點，故/(X0)=X°,則/[/(/)]=/卜)=/，

故X。是/(X)的穩(wěn)定點，充分性成立，

必要性，設(shè)X。是/(X)的穩(wěn)定點，即人/(.%)」=/,

假設(shè)/(%)=%，而/(X)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，

若MX，則/[/(/)]=/(盟)>/(%)=穌>/，與/[/(0)]=%矛盾;

若穌</，則/[/(/)]=/(為)</(%)=，0</，與/[/(%)]=%矛盾；

故必有No=X。,即/[/(%)]=/(%)=/(%)=No=X。，

即/(/)=/，故%是/(X)的不動點”，必要性成立，證畢；

r(x)=e*-2x,令。x)=/'(x),則，(x)=e'-2,

令/(x)=c'-2>0得x>In2,令/(x)<0得xvIn2,

故〃(力=/(力在(31n2)上單調(diào)遞減，在(M2,+8)上單調(diào)遞增，

其中/'(山2)=2-2山2>0,故/'(x"/'(ln2)>0恒成立，

故/⑴=e、-_1在R上單調(diào)遞增，

令/3=%得1---1=]，令，(x)=e-—I,x>0,

貝lj*x)=e、-2x-l,令〃(x)=r(x),則/a)=e'-2,

令J(x)=e'-2>0得%>山2,令〃'(x)<0得x之加2,

故〃(x)=?x)在(7,加2)上單調(diào)遞減,在(M2,十8)上單調(diào)遞增,

其中*ln2)=2-21n2-l=l-21n2<0,(0)=0,r'(l)=c-3<0,Zf(2)=c2-5>0

由零點存在性定理可知，存在X?1,2),使得/'(%)=0,即e--2x「l=0,

當xe(。,再)時，/(x)<。，當xe(x，+8)時，，'(x)>0,

故f(x)=e，-/7-1在xe(0,再)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

其中，(。)=。，，(xj=e"-X：-xi-1=2xi+\-x~-X|-1二一3(,vt-I)<0,

r(2)=e2-7>0,故存在唯一的馬■(和2),使得f(/)=。，

故/(力=/-/-4-1有唯一的零點，即/(x)=x有唯一的不動點，

故/[/(x)]=x在(。，+8)上有唯一的穩(wěn)定點，/[/(x)]=x有且只有1個解，證畢

19.(2024?河北?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/'(x)=x+lnx-1.

⑴若/(.r)〈依-衣對Br>0恒成立，求k的值：

⑵若3J)<x2,使|/(xJ|=|/(x2)|=a成立，求證：x,>由再.

【答案】(1))=2

(2)證明見解析.

【詳解】(1)令g(x)=x+lnx-l-(依一k),

則g(x)?0對Vx>0恒成立；g'(x)=l-k+L

.X

當—NO,即《41時，g1x)N0,此時函數(shù)g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

而g⑴=0，

則當xw(l,+s)時,g(x)>0,這與g(K”0對Vx>0恒成立.矛盾，故〃不符合題意.

當1-上<0,即I>1時,

令g'(x)>0，f#o<x<—!-；令g'(x)<0,得x>L

k-\k-\

士,+8上單調(diào)遞減,

則函數(shù)g(x)在0,上單調(diào)遞增；在

k-T，

l__^j^_-ln(fr-l)<0,恒成立.

+In----1kx=2

k-\I

令"=h(x)=x-\nx-\,x>0,則=

令得X>1；令，7'(x)<0,得O<X<1;

則函數(shù)。(力在(0,1)上單調(diào)遞減；在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以〃(x)m,n=lTnl_1=。，

所以04〃一2—11]化一1)40,即上一2—ln(Z—l)=0,得A=2.

(2)證明：由/(x)=x+lnx-l可得：

函數(shù)〃產(chǎn))定義域為(0,+女),/(i)=o,r(x)=i+i>o,

X

所以函數(shù)/⑺在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，且當xc(O,l)時，/(x)<o,當xe(l,+司時，/(x)>0.

若也<W，使|/(七)|=|/(乙)|=。成立，

則占￡(0,1),/(X1)=-￡?；x2G(l,+O>|,f(x2)=a；(j>0.

所以有X]+InM-1=一。①，々+InX2T=4②.

令/=d,則/>1,/=囪③.

玉

由(1)②③可得：5+1nf=2--21nxi.

令〃=ln/,則有e"玉+〃=2-$一21nx],且〃w(0,+e).

令°3=eF+〃，則函數(shù)次)在(0,y)上單調(diào)遞增.

要證》2>/工「只需要證明即證

結(jié)合①，只需要證明〃

令丫=一五竽二1結(jié)合函數(shù)p⑴在(0,+司上單調(diào)遞增，只需要證明0(〃)>以可，

即證e"w+u>e'x,+v,

即證2一再一21n玉〉e-X)+1--!~丁—I.

-/1+叫-1(x|_1V

即證2_*_2用內(nèi)_e2玉+_±Y——nx^1—L

<2

cn1￥/；(再+InX[-1)

=2-x,-21nx,-e2-(x,)2.e2x,+^—!―—J

=|-1^|-|ln^-Vee2.喜>0.

T.IT.L」L/、

令<y(x)=-----x—Inx-Vee2>/xxe(O,l),

222?

則一紓爰

<0,

所以函數(shù)@（x）在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減，

則⑴=0,

所以T-g再—glnXI—Ve-e2>0在菁?（。,1）上怛成立,

從而證得：r、>e'?

考點二能成立問題

1.(24?25高二下?四川成都期末)已知函數(shù)/(x)=e，-at-〃3>0),若存在唯一的/使得/(/)=。，則。的值為

()

A.yB.1C.D.e

【答案】B

【詳解】由題意得/'(》)=/-%

因為。>0,令，(x)=e*-。=0,解得x=lna,

可知當xclnq時,Z(x)<0,即函數(shù)/⑶在(YO,ln〃)上單調(diào)遞減,

當x>ln。時，/'(幻>0,即函數(shù)/(x)在(ln〃,+8)上單調(diào)遞增，在x=Ina處取得極小值，

當X->YO時，當X->E時，/(x)^-KO,

若存在唯一的/使得/(/)=0,必有％=Ina,

所以/(Ina)=『"一oIna-〃=0,化簡得aIna=0,

因為。>0,所以Ina=0,解得a=l.

故選：B.

2

2.(24-25高二下?河南鄭州?期末)已知/a)=；--(e-1)x-elnx,g(A-)=-(x+l)+?,若土|<0,+8),

3x2eR,使得/(x)<g(xj成立，則實數(shù)。的取值范圍是()

QIQe

A,--,+0°B.-co,--C.一二，+8D.

I2)(2」L2

【答案】A

【詳解】ax,€(0,+oo),3x2eR,使得/(xj<g(、2)成立，

則/(加<8(力皿，

函數(shù)/(x)=-x2-(e-l)x-elnA-(x>0),

2

、/、e.v2-(e-l)x-e(x+l)(x-e)

/.f\x\=x-(e-l)--=——!——=————L,

XXX

令r(x)=0得x=e,當xc(o,e)時/(x)<0,/W單調(diào)遞減,

當X￡(e,+on)時,r(x)>0,/(X)單調(diào)遞增,

.?/(》)在;v=e處取極小值，也是最小值，

???函數(shù)人力的最小值為/(e)=-y,

???g(x)=_(x+l)2+a,

則g(x)1n「8(-1)=。，

所以。>-2.

2

故選：A.

3.(24?25高二下?內(nèi)蒙古包頭?階段練習(xí))已知不等式。e'(x+2)<x+l(x>-2)恰有1個整數(shù)解，則實數(shù)。的取值

范圍為()

(12"|「12[(21)「21、

A.—B.丁，一C.—■D.—

\3eeJL3eeJ^3e2JL3e2J

【答案】D

Y-4-1

【詳解】由不等式ae'(x+2)<x+l,x>-2,可得a(x+2)〈合，

設(shè)g(x)=?r+2),/(x)=耳,則/(x)W，

ee

當xvO時，f'(x)>0,當x>0時，/(x)<0,

則/(x)在(-oo,0)上單調(diào)遞增，在(0,+x)上單調(diào)遞減，

當x=0時，/㈤取極大值1;

又/(-1)=0,且x>—l時，/(x)>0,時，/(幻<0,

直線g(x)=a(x+2)恒過點(-2,0),

當。>0時，作出g(x)=a(x+2)與/(J)=土丁的圖象如下所示，

e

)可處:"(0)>2(0)2

_二恰有i個整數(shù)解，只需要滿足「“I二，解得三。<=,

W廣0X1/⑴Kg⑴3e2

當時，顯然g(x)</(x)有無窮多個整數(shù)解，不滿足條件，

所以，口的取值范圍為

_3e2J

故選：D.

4.(24?25高二下?廣東廣州期末)設(shè)函數(shù)/(x)=2xe'-Qx+*其口。<1,若存在唯一的整數(shù)％,使得

/(/)<(),則，，的取值范圍是()

A.-\1B.一“)C.衰,1)

【答案】D

【詳解】由題意/(x)=2xe、-"十〃，

令g(x)=2xe\h(x)=ax-a=a(x-1),

因為存在唯一的整數(shù).“，使得/(%)<0,即

g，(x)=e'(2x+2),

當xe(-x,-1)時，g'(x)<0,g(x)在(y,T)上單調(diào)遞減,

當xe(-l,+8)時，g\x)>0,g㈤在(T,+oo)上單調(diào)遞增,

故當x=-1時，函數(shù)g。)取得極小值也是最小值g(-l)=-2e-',

當x<0時，g(x)<0,當x〉0