2025年秋季八年級(jí)開學(xué)摸底考試模擬卷

數(shù)學(xué)

（考試時(shí)間：90分鐘試卷滿分：120分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡_L對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，洛答案寫在答卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.考試范圍：七年級(jí)下冊(cè)+八年級(jí)上冊(cè)第1章（北師大版）

一、選擇題：本題共1。小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合

題目要求的.將唯一正確的答案填涂在答題卡上.

1.下列幾何圖形不一定是釉對(duì)稱圖形的是（）

A.角B.等邊三角形C.等腰三角形D.直角三角形

【答案】D

【詳解】根據(jù)釉對(duì)稱圖形的定義可知選項(xiàng)A、B、C都是軸對(duì)稱圖形，選項(xiàng)D不一定是釉對(duì)稱圖形，故選

D.

點(diǎn)睛：本題考查了軸對(duì)稱圖形，較為簡(jiǎn)單，掌握軸對(duì)稱圖形的定義是解決本題的關(guān)鍵.

2.下列各組數(shù)中，不能作為直角三角形的三邊長的是（）

A.—B.0.03,0.04,0.05

6810

C.7,24,25D.3,4,5

【答案】A

【分析】本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用.判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要

利用勾股定理的逆定理加以判斷即可.

根據(jù)勾股定理的逆定理，判斷各組數(shù)中最大數(shù)的平方是否等于另兩數(shù)的平方和。若相等，則能構(gòu)成直角三

角形；否則不能。

N（1Yf1Y1125+1641（1Y140041才曰吉缶一+后

【佯解】A、-+—=—+——=-----=-----,-=—=------*----,故不是直角二角形，故

UOJ6410016001600\6）36144001600

此選項(xiàng)符合題意；

B、0.032+0.042=0.052,故是直角三角形，故此選項(xiàng)不合題意；

c、72+242=252,故是直角三角形，故此選項(xiàng)不合題意；

D、32+42=5\故是直角三角形，故此選項(xiàng)不合題意.

故選:A.

3.下列運(yùn)算中，不丁已的是（）

A.（-a3）2=a9B.a3+a3=2a3C.a2.a3=a5D.2a3-5-a2=2a

【答案】A

【分析】利用整式的除法，合并同類項(xiàng)，同底數(shù)索的乘法及幕的乘方的法則判定即可.

【詳解】解：A、（-a3）W,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、a3+a3=2a3,故本選項(xiàng)正確；

C、a??a3;故本選項(xiàng)正確；

D、2a3-?a2=2a,故本選項(xiàng)正確.

故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式的除法，合并同類項(xiàng)，同底數(shù)幕的乘法及鬲的乘方，解題的關(guān)鍵是熟記整式

的除法，合并同類項(xiàng)，同底數(shù)幕的乘法及第的乘方法則.

4.下列長度的三段鋼條，不能組成一個(gè)三角形框架的是（）

A.2cm,3cm,4cmB.女m,7cm,7cm

C.2cm,2cm,6cmD.5cm,6cm?7cm

【答案】C

【分析】根據(jù)構(gòu)成三角形的條件，三角形的三邊關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于

第三邊.

【詳解】A」.?2+3>4,.??能組成一個(gè)三角形框架，故該選項(xiàng)不符合題意；

B,3+7>7,.??能組成一個(gè)三角形框架，故該選項(xiàng)不符合題意；

C.?;2+2<6,.?.不能組成?個(gè)三角形框架，故該選項(xiàng)符合題意；

D.v5+6>7,.??能組成一個(gè)三角杉框架，故該選項(xiàng)小符合題意；

故選C

【點(diǎn)睛】本題考查了構(gòu)成三角形的條件，掌握三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

5.目前我國能制造芯片的最小工藝水平已達(dá)到7納米，居世界前列，在5G時(shí)代贏得了一席之地，已知1

納米=0.000000001米，用科學(xué)記數(shù)法將7納米表示為（）

A.0.7xlO-8B.70x10"°C.7xl09D.7x10/°

【答案】C

【分析】根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的定義：科學(xué)記數(shù)法，數(shù)學(xué)術(shù)語，是指把?個(gè)大于10（或者小于I）的整數(shù)記為axl0"

的形式（其中|1|0。IVI10|）的記數(shù)法，即可得解.

【詳解】由已知得，7納米=0.000000007米=7x104米

故答案為C.

【點(diǎn)睛】此題主要考查用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)，熟練掌握，即可船題.

6.三角形的三邊長a,b,C滿足2"=（々-。）2-°2,則此三角形是（）

A.鈍角三角形B.銳角三角形C.直角三角形D.等邊三角形

【答案】B

【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，能熟記勾股定理的逆定理的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵.

首先將原等式變形為/+/=/+4他，然后得至卜2+從>02,杈據(jù)勾股定理的逆定理判斷即可.

【詳解】解：2ab=(a-b)2-c2,

***2ab=a'+b'-2ab-c2

即/+〃=c2+4ab,

*no

:.a2+b2>c2

???此三角形是銳角三角形，

故選:B.

7.一副直角三角板如圖放置，點(diǎn)C在人力的延長線上，AB//CF,AF=ZACB=90°,NA8C=30。，則/O8C

的度數(shù)為()

A.10°B.15°C.18°D.30°

【答案】B

【分析】根據(jù)/得ZABZ)=N3。9=45。，結(jié)合ZA3C+NO8C=ZA3￡)=45。，ZABC=30°,計(jì)算即

可，本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】VAB//CF,

JZABD=NBDF=45。,

'：ZABC+NDBC=ZABD=45°,/ABC=30°，

工ADBC=\50,

故選B.

8.某同學(xué)統(tǒng)計(jì)了聲音在空氣中傳播的速度與空氣溫度之間的關(guān)系的一些數(shù)據(jù)(如下表)：下列說法錯(cuò)誤的

是()

溫度

-20-100102030

(C)

聲速

318324330336342348

(m/s)

A.在這個(gè)變化過程中，聲速是溫度的函數(shù)

B.在一定范圍內(nèi)，溫度越高，聲速越快

C.當(dāng)空氣溫度為20c時(shí)，5s內(nèi)聲音可以傳播1740m

D.在一定范圍內(nèi)，溫度每升高1(TC,聲速增加6m/s

【答案】C

【分析】此題主要考查了函數(shù)的表示方法和有理數(shù)的混合運(yùn)算.從圖表中獲取相應(yīng)的信息是解題的關(guān)鍵.根

據(jù)圖表里的信息，以及聲音在空氣中傳播的速度與空氣溫度關(guān)系逐一判斷即可.

【詳解】解：A、在這個(gè)變化過程中，在這個(gè)變化過程中，聲速是溫度的函數(shù)，原說法正確，故選項(xiàng)不符合

題意：

B、根據(jù)數(shù)據(jù)表，可得溫度越高，聲速越快，原說法正確，故選項(xiàng)不符合題意；

C、342x5=171(Xm),當(dāng)空氣溫度為20℃時(shí)，5s內(nèi)聲音可以傳播1710m,原說法錯(cuò)誤，故選項(xiàng)符合題意；

D、V324-318=6(nVs),330-324=6(m/s),336-330=6(m/s),342-336=6(m/s),348-342=6(m/s),

???當(dāng)溫度每升高10C，聲速增加6m/s,原說法正確，故選項(xiàng)不符合題意；

故選：C.

9.如圖，將△八“C沿AC所在的直線翻折得到△/WC,再將△人*。沿A*所在的直線翻折得到△人*C,點(diǎn)兒

B',。在同一條直線上，NBAC=a,由此給出下列說法：③NCBB=2a.其

中正確的說法是()

A.①@B.①@C.②③D.①②③

【答案】D

【分析】①由翻折可得AABCgZkABC,AABC絲進(jìn)而可以進(jìn)行判斷；

②由翻折可得點(diǎn)B與點(diǎn)夕關(guān)于4c對(duì)稱，進(jìn)而可以進(jìn)行判斷；

③由翻折可得ZABlCl=ZAB'C,再根據(jù)角的和差即可進(jìn)行判斷.

【詳解】解：①由翻折可知：LAB'C^^AB'C,

???故①正確：

②由翻折可知：點(diǎn)8與點(diǎn)夕關(guān)于AC對(duì)稱，

：.ACLBB\故②正確；

③由翻折可知：ZB,AC,=ZB'AC=ZBAC=a,/A8'C'=NA8'C,

NAB'8=900-NB'4C=90°-a,

A/AR'C'=\^0o-7AB'R=]^0o-(90°-?)=90。+%

:.NA*C=900+a,

/.^CB,B=ZAB'C-ZAB'B=90°+a-(90°-a)=2a,

???NCg8=2a.故③正確.

綜上所述：正確的說法是：①②③.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì).

10.在矩形ABC。中，將邊長分別為〃和〃的兩張正方形紙片(〃>〃)按圖I和圖2兩種方式放置(兩張正

方形紙片均有部分重疊)，矩形中未被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，設(shè)圖I、圖2中陰影部分

的面積分別為S/.當(dāng)八。=卜8時(shí)，邑白的值為()

2AB

圖1圖2

4b33

A.|B.yc.-aD.-b

【答案】B

22

【詳解】由題圖，=ADAB-a-b(AD-a\S2=ADAB-a-b(AB-a),所以

S2-SI—[-b(AD-a)]-[-b(AD-a}]—b(AD-AD).AD=^AB,所以S2-S1,所以

S「S\=2上

ABAB2

二、填空題(本大題共6小題，每小題3分，共18分)請(qǐng)把答案直接填寫在橫線上

11.計(jì)算：2024。+|-3卜(￡)=.

【答案】0

【分析】本題考查了零指數(shù)幕，負(fù)整數(shù)指數(shù)幕，根據(jù)零指數(shù)幕，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)帚進(jìn)行計(jì)算即可

求解，掌握以上運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：2024。+|-3卜(3)=1+3-4=0

故答案為：0.

12.若W+2履+16是一個(gè)完全平方式，則k的值為.

【答案】±4

【分析】本題主要考查了完全平方式，根據(jù)平方項(xiàng)確定出這兩個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，熟記完全平

方公式對(duì)解題非常重要.先根據(jù)兩平方項(xiàng)確定出這兩個(gè)數(shù)，再根據(jù)完全平方公式的乘積二倍項(xiàng)即可確定女

的值.

【詳解】解:x2+2kx+\6=x2+2kx+42,

:.2kx=±2x-4,

解得A=±4.

故答案為：±4.

13.等腰三角形的一個(gè)角是70。，則它的另外兩個(gè)角的度數(shù)是.

【答案】70。、40?；?5。、55°

【分析】分70。的角為頂角和底角兩種情況結(jié)合三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行求解即可.

【詳解】解:當(dāng)?shù)妊切蔚牡捉鞘?0。時(shí)，則該等腰三角形的頂角度數(shù)為180。-70°><2=40。；

當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀鞘?0。時(shí)，則該等腰三角形的底角度數(shù)為號(hào)上=55。；

???該等腰三角形的另外兩個(gè)角的度數(shù)是7（尸、40?；?5。、55。，

故答案為：70。、40?；?5。、55。.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的定義，三角形內(nèi)角和定理，熟知等腰三角形兩底角相等是解題的關(guān)

鍵.

14.如圖，已知AC=OC,Z1=Z2,請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使得AA8C絲ADEC,這個(gè)條件可以是.

【答案】BC=EC

【分析】添加BC=EC,由等式的性質(zhì)可得?,?N1+NACD=N2+NACQ,進(jìn)而可得NACB=NECD,然后利用

SAS判定△A8C也△QEC即可.

【詳解】解：添加

VZ1=Z2,

???N1+NACD=N2+NACQ,

即ZACB=ZECD,

在△人8。和4OEC中，

EC=CB

NECD=NACB,

AC=DC

:?XABC/ADEC(SAS),

故答案為：BC=EC.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、〃L.注

意："4、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相

等時(shí)，角必須是兩邊的夾角.

15.在1x3的正方形網(wǎng)格格點(diǎn)上放三枚棋子，按圖所示的位置已放置了兩枚棋子，若第三枚棋子隨機(jī)放在

其它格點(diǎn)上，則以這三枚棋子所在的格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形的概率是一.

【答案】（2

【分析】此題考查了概率公式的應(yīng)用.注意用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.由題可知

共有6種等可能的結(jié)果，以這三枚棋子所在的格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形的有4種情況，然后直接

利用概率公式求解即可求得答案.

【詳解】解：???共有6種等可能的結(jié)果，以這二枚棋子所在的格點(diǎn)為頂點(diǎn)的二角形足直角二角形的有4種

情況，

42

，以這三枚棋子所在的格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形的概率為：-=

63

2

故答案為：

16.甲、乙兩人在同一直線道路上同起點(diǎn)、同方向、同時(shí)出發(fā)，分別以不同的速度勻速跑步1500米，當(dāng)甲

超出乙200米時(shí)，甲停下來等候乙，甲、乙會(huì)合后，兩人分別以原來的速度繼續(xù)跑向終點(diǎn)，先到終點(diǎn)的人

在終點(diǎn)休息，在跑步的整個(gè)過程中，甲、乙兩人的距離y（米）與乙出發(fā)的時(shí)間x（秒）之間的關(guān)系如圖所

示，則甲到終點(diǎn)時(shí)，乙跑了一米.

,V秒

t6ZK400600女秒

【答案】1450

【詳解】乙的速度為：1500:600=2.5（米/秒），

甲的速度為：2.5+200:400=3（米/秒），

甲、乙會(huì)合地離起點(diǎn)的距離為：400x3=1200（米），

甲到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，乙離起點(diǎn)的距離為：1200+（1500-1200）+3x2.5=1450（米）.

故答案為1450.

點(diǎn)睛：根據(jù)“速度=路程+時(shí)間''結(jié)合函數(shù)圖象即可算出乙的速度，再根據(jù)“甲的速度=乙的速度+兩者速度差”

即可求出甲的速度，進(jìn)而即可求出甲、乙會(huì)臺(tái)地離起點(diǎn)的距離，結(jié)合總路程及二者的速度即可得出甲到終

點(diǎn)時(shí)，乙離起點(diǎn)的距離，此題得解.

三、解答題（本大題共8小題，共72分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.計(jì)算下列各題：

（I）（2x2），）'.（_7xy2）+14x4y3；

⑵［（2x+y）（x—y）+y2卜2K.

【答案】（D-4/V

⑵舊》

【分析】（1）原式利用器的乘方與積的乘方運(yùn)算法則計(jì)算，再利用單項(xiàng)式乘除單項(xiàng)式法則計(jì)算即可得到結(jié)

果；

（2）原式中括號(hào)里利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則計(jì)算，去括號(hào)合并后利用多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則計(jì)算即可得到

結(jié)果.

【詳解】⑴解：（2X2>>）-.（-7x/）^14x4/

=8X6/?（7取2）?14x4/

=-56x7/,14x4/

=-4/）,2

（2）解：［（2x+y）（x-y）+），2卜2x

=（2x2-2劃+封-/+），）+2x

=（2f-

1

【點(diǎn)睛】此題考查了整式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

18.如圖所示，轉(zhuǎn)盤被等分成八個(gè)扇形，并在上面依次標(biāo)上數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8.

（1）自由轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，當(dāng)它停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，指針指向的數(shù)正好能被4整除的概率是多少？

（2）請(qǐng)你用這個(gè)轉(zhuǎn)盤設(shè)計(jì)一個(gè)游戲，當(dāng)自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤停止時(shí)，指針指向的區(qū)域的概率為9（注：指針指

4

在邊緣處，要重新轉(zhuǎn)，直至指到非邊緣處）

【答案】（1）7：（2）見解析

4

【分析】（I）根據(jù)正好被4整除的數(shù)在整個(gè)圓盤中所占的份數(shù)即可解答；

（2）根據(jù)幾何概率的意義，只需是滿足條件的區(qū)域有6個(gè)即可，如當(dāng)自由轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤停止時(shí)，指針指向區(qū)域

的數(shù)小于7的概率（答案不唯一）.

【詳解】解：（1）根據(jù)題意分析可得：

轉(zhuǎn)盤被等分成八個(gè)扇形，并在上面依次標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8；正好能被4整除的有2個(gè)，

2I

故自由轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，當(dāng)它停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，指針指向的數(shù)止好能被4整除的概率是

84

3

（2）根據(jù)隨機(jī)事件概率的求法：當(dāng)自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤停止時(shí)，指針指向的區(qū)域的概率為:，只需是滿足條件

4

的區(qū)域有6個(gè)即可；如當(dāng)自由轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤停止時(shí)，，指針指向區(qū)域的數(shù)小于7的概率（答案不唯一）.

【點(diǎn)睛】本題考查隨機(jī)事件率的求法與運(yùn)用，?般方法為：如果?個(gè)事件有〃種可能，而且這些事件的可

能性相同，其中事件A出現(xiàn)泄種結(jié)果，那么事件A的概率P（4）二竺.

n

19.如圖，A、C、E三點(diǎn)在同一條直線上，AB=AD,/B=NDAC,BC=AE.

（1）求證：BC=DE+CEi

（2）當(dāng)VAAC滿足_________時(shí)，BC〃DE?

【答案】（1）見解析

⑵乙4c8=90。

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的

判定方法，證明

（1）根據(jù)SAS證明△然（?經(jīng)得出=即可證明8C=AE=AC+C￡=DE+CE：

（2）根據(jù)NAC3=90。，得出N8CE=90。，根據(jù)三角形全等的性質(zhì)即可得出NAC8=NCE￡>=90。，得出

NBCE=NCED=90。,根據(jù)平行線的判定得出8。〃￡>石.

【詳解】（1）證明：在V4BC和ADAE中

AB=AD

ZB=ADAC,

BC=AE

:.LABC^DAE（SAS）：

：.AC=DE,

AE=AC+CE=DE+CE,

，BC=DE+CE.

（2）解：當(dāng)NAC3=90。時(shí)，BC//DE.理由加卜.:

???ZACB=90°,

/./BCE=90。，

,/XABC94ADE,

，ZACB=ZCED=9O°.

:./BCE=NCED.

BC//DE.

20.如圖，在VA3c中，AC=6,BC=4.

c

（l）用尺規(guī)作圖作線段44的垂直平分線交AC于點(diǎn)。，交48于點(diǎn)E（保留作圖痕跡，不要求寫作法）

（2）求△C8D的周長.

【答案】（1）見解析；（2）10

【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可.

（2）證明4。=。8,可得結(jié)論.

【詳解】解：（1）如圖，直線OE即為所求.

，'BCD的周長=CD+/%+4C=CQ+AO+4GAe+406+4=10.

【點(diǎn)睛】本題考杳作圖-基本作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握線段的垂直平分線

的作法，學(xué)會(huì)利用線段的垂直平分線的性質(zhì)解決問題.

21.在某次大型活動(dòng)中，張老師用無人機(jī)進(jìn)行航拍，在操控?zé)o人機(jī)時(shí)需根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)狀況調(diào)節(jié)高度.已知無人

機(jī)在上升和下降過程中速度相同，設(shè)無人機(jī)的飛行高度〃（米）與操控?zé)o人機(jī)的時(shí)間/（分鐘）之間的關(guān)系

如圖中的實(shí)線所示，根據(jù)圖象回答下列問題：

（1）無人機(jī)在50米高的上空停留的時(shí)間是多少分鐘？

（2）在上升或下降過程中，無人機(jī)的速度為多少米/分鐘？

（3）圖中出〃表示的數(shù)分別是多少？

（4）求第14分鐘時(shí)無人機(jī)的飛行高度是多少米？

【答案】（1）4分鐘；

（2）25米/分：

（3）a-7；〃-15；

（4）25米.

【分析】（1）根據(jù)圖象信息得出無人機(jī)在50米高的上空停留的時(shí)間6-2=4分鐘即可；

（2）根據(jù)“速度=路程?時(shí)間”計(jì)算即可；

（3）根據(jù)速度、時(shí)間與路程的關(guān)系列式計(jì)算解得即可；

（4）根據(jù)速度、時(shí)間與路程的關(guān)系列式計(jì)算解得即可；

【詳解】（1）解：根據(jù)圖象，無人機(jī)在50米高的上空停留的時(shí)間是6-2二4（分鐘）；

（2）解：在上升或下降過程中，無人機(jī)的速度m=25（米/分）；

（3）解：圖中a表示的數(shù)是6+m里;7（分鐘）；

。表示的數(shù)是12+7*5=15（分鐘）；

（4）解：在第14分鐘時(shí)無人機(jī)的飛行高度為75-（14-12）x25=25（米）.

【點(diǎn)睛】此題考杳函數(shù)圖象問題，從圖象中獲取信息是學(xué)習(xí)函數(shù)的基本功，要結(jié)合題意熟練掌握.

22.【探究發(fā)現(xiàn)】我國三國時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽利用四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖1所示圖形，其中四邊形

和四邊形CPG”都是正方形，巧妙地用面積法得出了直角三角形三邊長b,c之間的一個(gè)重要結(jié)

論：a2+b2=c2

【深入思考】

如圖2,在V4BC中，ZC=90°,BC=a,AC=b,AB=c,以AB為直角邊在AB的右側(cè)作等腰直角△48。，

其中"=爾），?ABD90?,過點(diǎn)。作?！阓LC3,垂足為點(diǎn)E.

BED

圖1圖2

(1)求證：DE=a,BE=b.

(2)請(qǐng)你用兩種不同的方法表示梯形ACE。的面枳，并證明：a2-b2=c2

【答案】(1)詳見解析

(2)S梯形ACED=他+；C?,詳見解析

【分析】本題考杳了勾股定理的驗(yàn)證和運(yùn)用，全等三角形的性質(zhì)與判定，理解勾股定理解決問題的關(guān)鍵.

(1)依據(jù)題意，通過證明△回(*“/汨即可判斷得解；

(2)依據(jù)題意，用兩種方法分別表示出梯形ACEO=2謝"+Ss?+S皿D="+gc"D

S梯切皿=；(AC+DE)(CB+BE)=；(。+〃『，再列式變形即可得解?

【詳解】(1)證明：???OE_L8C,

:.ZE=90°,

/.2DBE+NBDE=9(r,

????ABD90?,

???/ABC+NOBE=90。，

???公BC=NBDE,

又NC=ZBED=90。，AB=BD,

???LABC^BDE(AAS).

??.BC=DE=a,AC=BE=b；

(2)證明：由題意得，第?種方法:

=S&ABC+SjBD+SdBED

-?/?+—c2+—ab

222

ab+—c2,

2

第二種方法:

S栩形ACW=J(AC+OE)(C8+8E)

=g(〃+Z?)(a+。)

=；("b)2,

+=ab+^c2,

：.a~+lab+b2=lab+c1,

a2+b2力；

23.如圖1,邊長為。的大正方形中有一個(gè)邊長為b的小正方形，把圖1中的陰影部分拼成一個(gè)長方形(如

圖2).

(1)上述操作能驗(yàn)證的乘法公式是________;(用含。，〃的式子來表示)

(2)根據(jù)(1)中的乘法公式解決問題：已知。+》=7,/_〃=28,求的值；

(3)壬上述兩個(gè)正方形按照如圖3所示的方式拼接，其中B,C,G三點(diǎn)在同一條直線上，若。+〃=20,(力=80,

求陰影部分的面積.

【答案】(1)(。+》)(〃—》)=/一/或/一〃=(.+〃)(〃-〃)

(2)5

⑶120

【分析】(1)用代數(shù)式表示圖1、圖2中陰影部分的面積即可；

(2)根據(jù)(1)的結(jié)論/-層=(”+〃)(〃一力，代入數(shù)值進(jìn)行計(jì)算，即可作答.

(3)延長ADGH,交于一點(diǎn)E,則S用影部分=S梯松*^S.'-S/H，再代入，+)=20,必=80,進(jìn)行計(jì)算

即可.

本題考查平方差公式的幾何背景，多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的計(jì)算

方法是正確解答的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：圖1中陰影部分的面積可以看作兩個(gè)正方形的面積差，即/-b2,所拼成的圖2是長為，

寬為〃的長方形，因此面積為3+初(〃-與，

a2-b2=(a4-b)(a-b),

故答案為:ci'-b~=(a+b)(a-b).

(2)解：Va2-b2=(a+b)(a-b),

且〃+。=7,八6=28,

:.a-b+\=(a2)+(a+〃)+l

=28+7+1=5.

（3）解:如圖3,延長A￡）,GH,交于一點(diǎn)E,

???四邊形A8C。是正方形,

???AD//BC

,.??+/?=20,ab=80,

Sp］影部分=S梯形皿&蜉--Sj1cH

=-a{a+b+b)——Z?(a-b)--ab

222

=-cr+ab--ab+—b'--ab

2222

121G

=-a-+-b-

22

：（/+〃）

J

=-[(a+b)2-2ab]

2

=-x(4(X)-16())

2

=120.

24.如圖，直線MN〃A4,直角三角尺COE的頂點(diǎn)C、。分別在直線MN、A3上（點(diǎn)M、A分別在點(diǎn)C、

。的左側(cè)），ZC￡）E=30°,ZE=90°,與石。始終保持平行.設(shè)/仞48=磯0。＜。＜90。）

MCN

AD

圖1

（1）如圖①，若-"8=100。，則a的度數(shù)為

（2）如圖②，/MCD的平分線交