專題07立體幾何初步

□S

0n考點(diǎn)一：簡單幾何體的表面積和體積

1.（2024北京）小明同學(xué)在通用技術(shù)課上，制作了一個半正多面體模型.他先將正方體交于同一頂點(diǎn)的

三條棱的中點(diǎn)分別記為A8,C,如圖1所示，然后截去以V48C為底面的正三棱錐，截后幾何體如圖2所

示，按照這種方法共截去八個正三棱錐后得到如圖3所示的半正多面體模型.若原正方體的校長為6,則

此半正多面體模型的體積為（）

A.108B.162C.180D.189

【答案】C

【知識點(diǎn)】錐體體積的有關(guān)計算、求組合體的體積

【分析】正方體的體積減掉8個以VA8C為底面的正三棱錐的體積即得此半正多面體模型的體積.

【詳解】設(shè)此半正多面體模型的體積為V,

則丫=乙方體一8分三枝惟=63-8xlxlx33=180.

故選：C.

2.（2024福建）圓柱的底面半徑和高都是1,則該圓柱的體積為（）

A.-B.-C.-D.兀

432

【答案】D

【知識點(diǎn)】柱體體積的有關(guān)計算

【分析】根據(jù)給定條件，利用圓柱的體積公式計算即得.

【詳解】圓柱的底面半徑和高都是1,則該圓柱的體積丫=兀*2、1=兀.

故選：D

3.（2022河北）己知A是球。的球面上一點(diǎn)，過線段的中點(diǎn)。|作垂直于直線的平面，若該球被這

個平面截得的圓面的面積為9兀，則該球的表面積是（）

A.127rB.3671C.48兀D.326冗

【答案】C

【知識點(diǎn)】球的表面積的有關(guān)計算

【分析】本題涉及球的截面相關(guān)概念.球的截面是一個圓，根據(jù)圓的面積公式5=冗,（其中S為面積，r為

半徑），可求出截面圓的半徑.再利用球的截面性質(zhì)，設(shè)球的半徑為R,截面圓半徑為「，球心到截面的距

R

離d（這里d=,通過勾股定理收=r+〃2求出球的半徑進(jìn)而求出球的表面積S=4TIR2.

【詳解】已知截面圓的面積為9兀，根據(jù)圓的面積公式S="2,可得"2=9兀，解得r=3.

設(shè)球的半徑為因?yàn)椤?是。4的中點(diǎn)，所以球心。到截面的距離〃=

根據(jù)勾股定理七八1,將r=3,〃=與代入可得：

叱=32+（6］，則尸=9+g，則至=9,則斤=12,解得R=26.

根據(jù)球的表面積公式S=4TTN,將寵=26代入可得：

S=4兀x（2石產(chǎn)=471X12=487：

故選：C.

4.（2022河北）已知圓錐的母線長為2,母線與底面所成的角是60。，則該圓錐的體積是（）

A.—B.兀C.扃D.3兀

3

【答案】A

【知識點(diǎn)】錐體體積的有關(guān)計算

【分析】根據(jù)圓錐的性質(zhì)求得圓錐的高和底面半徑，再由體積公式計算.

【詳解】設(shè)圓錐的高為/?,底面半徑為「，又母線長為/=2,而母線與底面所成的角是601

則/?=；/=1,A=/sin600=5/3,

所以體積為V=-7Cr2/z=-7TXl2X=—71>

333

故選：A.

5.（2022北）若球。被一個平面所截，所得截面的面積為3兀，且球心。到該截面的距離為1,則球。的

表面積是（）

A.7?B.167cC.3ND.8冗

33

【答案】B

【知識點(diǎn)】球的截面的性質(zhì)及計算、球的表面積的有關(guān)計算

【分析】先求出截面圓的半徑，再利用勾股定理求得球的半徑，再根據(jù)球的表面積公式即可得出答案.

【詳解】因?yàn)榍虻囊唤孛娴拿娣e為3兀，所以截面圓的半徑為石，

又因?yàn)榍蛐?。到該截面的距離為1,

所以球的半徑為/?=’1+（石丫=2,

所以球。的表面積為4TTK=4兀X4=16TT.

故選：B.

6.（2022河北）已知圓錐的底面半徑為1,母線與底面所成的角是60。，則該圓錐的側(cè)面積是（）

A.雙況B.2兀C.—D.兀

33

【答案】B

【知識點(diǎn)】圓錐表面積的有關(guān)計算

【分析】根據(jù)給定條件，求出圓錐的母線長，再利用圓錐的側(cè)面積公式計算即得.

【詳解】由圓錐的母線與底面所成的角是60。，得圓錐軸截面等腰三角形且底角為60。，

所以圓錐軸截面等腰三角形是正三角形，因此圓錐母線長為2,

所以該圓錐的側(cè)面積是71x1x2=271.

故選：B

7.（2023廣西）己知圓柱的底面積為1,高為2,則該圓柱的體積為（）

A.1B.2C.4D.6

【答案】B

【知識點(diǎn)】柱體體積的有關(guān)計算

【分析】根據(jù)圓柱的體積公式計算可得答案.

【詳解】因?yàn)閳A柱的底面積為1，高為2,

所以該圓柱的體積為1x2=2.

故選：B.

8.（2024浙江）一個棱長為1的正方體頂點(diǎn)都在同一個球上，則該球體的表面積為（）

A.3兀B.2TUC.氐D.兀

【答案】A

【知識點(diǎn)】球的表面積的有關(guān)計算、多面體與球體內(nèi)切外接問題

【分析】棱長為1的正方體的八個頂點(diǎn)都在同一個球面上，球的直徑是正方體的對角線，從而得到結(jié)果.

【詳解】棱長為1的正方體的八個頂點(diǎn)都在同一個球面上，

二.球的直徑是正方體的對角線，

???球的半徑是「=且，

2

???球的表面積是4X7EX（日）

=371

故選：A

9.（2023吉林）一個棱長為2#的正方體的頂點(diǎn)都在同一個球面上，則這個球的體積是（）

A.18nB.18x/3n

C.D.36兀

【答案】D

【知識點(diǎn)】球的體積的有關(guān)計算、多面體與球體內(nèi)切外接問題

【分析】由已知可得所求球是棱長為2萬的正方體的外接球，代入正方體對角線公式，求出外接球的半徑,

代入球的體積公式，可得答案.

【詳解】若棱長為2石的正方體的八個頂點(diǎn)都在同一個球面上，

則該球是正方體的外接球，

球的半徑R辰區(qū)可=3,

4

則球的體積卜=§兀*=36兀.

故選：D.

10.（2024天津）一個圓柱的底面直徑和高都等于球。的直徑，則球。與該圓柱的體積之比為（）.

【答案】D

【知識點(diǎn)】柱體體積的有關(guān)計算、球的體積的有關(guān)計算

【分析】設(shè)球。的半徑為R（R>0）,即可求出球、圓柱的體積，從而得解.

【詳解】設(shè)球。的半徑為R（R>0），則％=爭"

依題意圓柱的底面半徑為/?,高為2R,所以％柱=兀&'2/?=2浦也

所以/_3_2.

%柱2束3

故選：D

11.（2023浙江）上、下底面圓的半徑分別為「、2r,高為3r的圓臺的體積為（）

A.7兀，B.2E/C.（5+2夜加③D.（5+夜卜，

【答案】A

【知識點(diǎn)】臺體體積的有關(guān)計算

【分析】根據(jù)圓臺的體積公式計算可得.

【詳解】因?yàn)閳A臺的上、下底面圓的半徑分別為「、2r,高為“，

所以V」兀[/+（2廳+2/]x3r=7兀

3

故選：A

12.（2024湖南）已知圓柱的底面半徑為3cm,體積為18n1一,則該圓柱的表面積為（）

A.I27tcmB.18兀cm2C.217rcm2D.SOncm2

【答案】D

【知識點(diǎn)】柱體體積的有關(guān)計算、圓柱表面積的有關(guān)計算

【分析】利用圓柱體積求得圓柱的高，再利用表面積公式計算即得.

【詳解】設(shè)圓柱的高為km,由題意，9汕=18兀，解得〃=2,

則圓柱的表面積為S&=2尤xT+2兀x3x2=30兀cm2.

故選：D.

13.（2024安徽）在△A8C中，AA=4,BC=3,zS4BC=120\若將△ABC繞8c所在的直線旋轉(zhuǎn)一周,

則所形成的幾何體的體積為.

【答案】1271

【知識點(diǎn)】錐體體積的有關(guān)計算、求旋轉(zhuǎn)體的體積

【分析】畫出旋轉(zhuǎn)體的圖象，根據(jù)圓錐體積公式求出幾何體的體積.

【詳解】如圖所示，

c

旋轉(zhuǎn)體是一個大圓錐去掉一個小圓錐，

所以O(shè)A=4xsin60'=2j5,O4=4xcos60'=2,

所以旋轉(zhuǎn)體的體積為：V=1x7rx（2>/3）2x[（3+2）-2]=127r.

故答案為：12兀

14.（2024云南）一商場門口有個球形裝飾品.若該球的半徑為1米，則該球的表面積為平方米.

【答案】4兀

【知識點(diǎn)】球的表面積的有關(guān)計算

【分析】由球的表面積公式求解.

【詳解】因?yàn)樵撉虻陌霃綖?米，所以該球的表面積為：4兀x『=4兀（平方米），

故答案為：4兀

15.（2024云南）若一個半徑為'em的球和一個上，下底面邊長分別為1cm和2cm的正四棱臺的體積相同，

則正四棱臺的高為cm.

▼木包、2727萬

【答案】叱/元

【知識點(diǎn)】球的體積的有關(guān)計算、臺體體積的有關(guān)計算

【分析】利用球和正四棱臺的體積公式直接建立等式計算即可.

【詳解】解：球的體積為匕=[兀x（|[①，

設(shè)正四棱臺的高為力，則正四棱臺的體積為％=：（1+4+向?=：/?②，

由乂=匕,

解得：人。.

14

故答案為：工97兀.

14

16.（2024浙江）上、下底面面積分別為1,4,高為3的圓臺體積為.

【答案】7

【知識點(diǎn)】臺體體積的有關(guān)計算

【分析】由圓臺體積公式V=《x（S]+S2+百用■）即可求解.

【詳解】由題意知&=1,02=4,〃=3,

J_____勺

所以1/=§X（S1+S2+V^）=§X（1+4+2）=7.

故答案為：7.

□S

□□考點(diǎn)二；空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系

1.（2024北京）如圖，在三棱柱ABC-A4G中，M，底面A4C,。是BC的中點(diǎn)，則直線（）

A.與直線AC相交B.與直線AC平行

C.與直線A4垂直D.與直線AA是異面直線

【答案】D

【知識點(diǎn)】異面直線的判定

【分析】由直二棱柱的特征逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】易知三棱柱ABC-A4G為直三棱柱，

由圖易判斷。G與4C異面，AB錯誤；

因?yàn)锳A/cc/G與CG相交但不垂直，所以O(shè)G與直線AA不垂直，C錯誤;

由圖可判斷OG與直線AA是異面直線，D正確.

故選：D

2.（2022河北）已知/是一條直線，是兩個不同的平面，有以下結(jié)論：

①若/_La,a〃/?,貝/_!_/?；②若貝

③若///////夕，則々///.④若則。///.

其中正確結(jié)論的序號是（）

A.①②B.②③C.③④D.①④

【答案】D

【知識點(diǎn)】線面關(guān)系有關(guān)命題的判斷、面面關(guān)系有關(guān)命題的判斷

【分析】根據(jù)空間中線面、面面之間的基本關(guān)系，依次判斷命題即可.

【詳解】①：若0,則/上/，故①正確；

②：若///a0_L〃，貝"u"或/與夕相交或////?,故②錯誤；

③：若///a1//夕，則?！?或a與夕相交，故③錯誤；

④：若/la,/_!_/,則1//夕，故④正確.

故選：D

3.（2024天津）若/,小是兩條不同的直線，。是一個平面，/_La,則"/_L〃?”是”的（）.

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【知識點(diǎn)】判斷命題的必要不充分條件、線面關(guān)系有關(guān)命題的判斷

【分析】根據(jù)空間中線線、線面的位置關(guān)系及充分條件、必要條件的定義判斷即可.

【詳解】因?yàn)?,，〃是兩條不同的直線，。是一個平面，/_L。，

若/_L/〃，則〃"/a或〃故充分性不成立；

若〃〃/a,則在平面a存在直線c,使得加/c,又/la,cua,所以/_Lc,所以/_L/〃，故必要性成立,

所以”是"mlla"的必要不充分條件.

故選：B

4.（2024北京）在空間中，若兩條直線，，與人沒有公共點(diǎn)，則。與力（）

A.相交B.平行C.是異面直線D.可能平行，也可能是異面直線

【答案】D

【知識點(diǎn)】異面直線的概念及辨析

【分析】根據(jù)空間直線的位置關(guān)系判斷，即可得答案.

【詳解】由題意知在空間中，兩條直線〃與〃沒有公共點(diǎn)，即〃與〃不相交，

則。與力可能平行，也可能是異面直線，

故選：D

5.（2023遼寧）設(shè)/,〃?，〃是三條不同的直線，a,夕，/是三個不同的平面，下列命題正確的是（）

A.若/〃"？，m//n,貝!]/〃〃B.若/〃〃z,m//a,則|/〃a

C.若a上0,6_Ly,則a_LyD.若/_!,〃?，I//at則〃

【答案】A

【知識點(diǎn)】線面關(guān)系有關(guān)命題的判斷、平行公理、面面關(guān)系有關(guān)命題的判斷、判斷面面是否垂直

【分析】選項(xiàng)A由平行的傳遞性可得；BCD由長方體中的線面、面面位置關(guān)系舉反例可知.

【詳解】選項(xiàng)A,若/〃機(jī)，/〃〃〃，則由平行的傳遞性可知，/〃〃，故A正確；

選項(xiàng)B,若/〃〃2,m//af貝lj/〃a或/ua都有可能，

如圖，長方體ABC。—A4GA中（以下同），

設(shè)直線8c為機(jī)，直線8C為/,底面ABC。為。，

滿足/〃〃?，〃?〃a,但/ua,/與。不平行，故B錯誤;

選項(xiàng)C,若a_L〃，〃_Ly,則。與7不一定垂直,

如圖，設(shè)上底面A4GA為。，下底面A3CQ為九平面380（為萬,

滿足。_L〃，八y,但a〃乙。與夕不垂直，故C錯誤;

選項(xiàng)D,若/_L〃z,/〃a,則〃或〃?ua或w與a相交都有可能,

如圖，設(shè)直線8c為加，直線為/,設(shè)上底面為。，

滿足l//af但〃?ua,“與。不平行，故D錯誤.

故選：A.

6.（2023黑龍江）如圖，在正方體八ACD-ATTC”中，與A8平行的是（）

C.DCD.B'C

【答案】C

【知識點(diǎn)】異面直線的判定

【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)結(jié)合空間中線線位置關(guān)系分析判斷.

【詳解】根據(jù)題意可知：A4'、4。與A3相交，DC與43平行，與A8異面，

故ABD錯誤，C正確.

故選：C.

7.（2022浙江溫州）已知加，〃是不同的直線，。，夕是不同的平面，下列命題中，正確的是（）

A.若加//a,n/la,則m//n

B.若〃7_La,n±a,貝

C.若〃J〃ua,，〃//￡,n/tp,則a//￡

D.若〃z_La,n/la則，〃_Ln

【答案】D

【知識點(diǎn)】線面關(guān)系有關(guān)命題的判斷、面面關(guān)系有關(guān)命題的判斷

【分析】根據(jù)空間中的直線與直線，直線與平面以及平面與平面的位置關(guān)系和符號表示，判斷選項(xiàng)中的命

題是否正確即可.

【詳解】在A中，若/〃//a,〃//。，則用與〃相交、平行或異面，故A錯誤；

在B中，若〃/_La,〃_La,貝！!〃?〃〃，故B錯誤；

在C中，必須平面內(nèi)有兩條相交直線分別與平面平行，此時兩平面才平行，故C錯誤；

在D中，〃//a時，過〃作平面yca=/,所以〃〃/,且〃?_!_/,所以〃?_L〃，故D正確.

故選：D.

8.（2023天津）已知空間三條直線“，b,J若g,〃_Lc,貝！1（）

A.人與c平行B.〃與。相交

C.〃與（?異面D.匕與。平行、相交、異面都有可能

【答案】D

【知識點(diǎn)】異面直線的判定

【分析】根據(jù)線線關(guān)系舉例可得答案.

【詳解】如圖，在長方體中，alhta_Lc,則〃與c平行、相交、異面都有可能.

故選：D.

9.（2023廣東）已知“和/?是兩個不同平面，A：aI/0,生。和夕沒有公共點(diǎn)，則A是〃的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D,既不充分也不必要條件

【答案】C

【知識點(diǎn)】充要條件的證明、面面關(guān)系有關(guān)命題的判斷

【分析】根據(jù)面面平行的定義判斷.

【詳解】兩個平面平行的定義是：兩個平面沒有公共點(diǎn)，則這兩個平面平行，因此A是4的充要條件.

故選：C.

10.（2023江蘇）已知直線/〃平面a,直線mu平面a,貝心與力不可能（）

A.平行B.相交C.異面D.垂直

【答案】B

【知識點(diǎn)】線面關(guān)系有關(guān)命題的判斷

【分析】若/與〃，相交，得到/與。有交點(diǎn)，這與題設(shè)矛盾，得到答案.

【詳解】直線/〃平面直線，〃u平面a,貝!!/與:"可能平行，異面和垂直，

若/與小相交，l［｝m=A,則Aw!,Aem,直線”?u平面a,故

即/與。有交點(diǎn)，這與題設(shè)矛盾.

故選：B

HO

□□考點(diǎn)三：異面直線所成角

1.（2024浙江）在正四面體A3c。中，E是A8的中點(diǎn)，戶在的延長線上，b=6C,則異面直線防

和DE所成角的正弦值為（）

A.1B.辿C.1D.巫

3355

【答案】B

【知識點(diǎn)】求異面直線所成的角

［分析］連接EC,“即或其補(bǔ)角為異面直線AF和DE所成角,在^CDE中由余弦定理求得cos/CEO及AF

和DE所成角的正弦值.

【詳解】連接EC,因?yàn)閎=8C,E是A8的中點(diǎn)，所以EC//AF,

所以Z.CED或其補(bǔ)角為異面直線"'和DE所成角，

設(shè)正四面體48co的棱長為2,貝"。=瘋/。=6,

在,CDE中由余弦定理得cos/CED==JAA=I，

2Cn-IJ1L2x，3>\/33

所以"和OE所成角的正弦值為Jl-=半，

故選：B

2.（2022河北）如圖，在正方體ABC。-4司GR中，E是棱4A的中點(diǎn)，則異面直線DE和C4所成角的

A,&B.巫C.叵D.我

52105

【答案】C

【知識點(diǎn)】求異面直線所成的角

【分析】設(shè)尸為的中點(diǎn)，連接EEOF，A8,可證/。所或其補(bǔ)角即為異面直線和CR所成的角，故

可求它的余弦值.

設(shè)尸為48的中點(diǎn)，連接EEOF，A8,

由正方體的性質(zhì)可得則四邊形為平行四邊形,

故A&/RC,而民尸為所在棱的中點(diǎn)，散EFHN，

故EFHD.C,故所或其補(bǔ)角即為異面直線DE和CD,所成的角，

設(shè)正方體的棱長為2,則DE=DF=?,EF=>/i,

5/2r—

故c/,）尸尸_三—W，故異面直線DE和8所成的角的余弦值為",

COSZ-LJtLr=―T=-=--1n

x/510IU

故選：c.

3.（2024云南）如圖，在正方體中，異面直線BG與8Q所成的角等于（）

【答案】C

【知識點(diǎn)】求異面直線所成的角

【分析】連接AR.ABI，分析可知異面直線BG與8a所成的角為（或其補(bǔ)角），結(jié)合正方體的性

質(zhì)分析求解.

【詳解】連接AR,A修，

因?yàn)锳BIlGQ,A8=G2,可知A8GA為平行四邊形，

則ARIIBC、,可知異面直線8G與8A所成的角為乙4。與（或其補(bǔ)角），

由正方體可知A"=A4=42,即為正三角形，可知乙4。蜴二1,

所以異面直線BC與BQ所成的角等于

故選：C.

4.（2024湖南）如圖，在正方體人BCO-ABGQ中，異面直線與優(yōu)。所成的角為（）

【答案】C

【知識點(diǎn)】求異面直線所成的角、棱柱的結(jié)構(gòu)特征和分類

【分析】根據(jù)給定條件，利用幾何法求出異面直線所成的角.

【詳解】在正方體ABC。-A"3c2中，連接四邊形4BCQ是其對角面，

則四邊形ABCQI是矩形，BCJ5D、,于是44力內(nèi)是異面直線"G與所成的角,

而AB、=AD】=BQ=OAB,即△從耳烏為正三角形，/.AD^=,

所以異面直線BQ與4。所成的角為g.

5.（2023湖南）如圖，在正方體ABC。-4與GR中，異面直線AC與8a所成的角為（）

【答案】D

【知識點(diǎn)】求異面直線所成的角

【分析】由異面直線所成角的概念求解,

【詳解】由題意，正方體中得故異面直線AC與所成的角，即正方形對角線AC與8。的夾

角7

故選：D

6.（2023云南）在正方體A8CQ-A8cA中，異面直線AC與A。所成角的大小為（）

乃

D2L

64?2

【答案】C

【知識點(diǎn)】求異面直線所成的角

【分析】把4。平移到4C,連結(jié)A8C構(gòu)成等邊三角形，異面直線AC與4。所成角即為

【詳解】連結(jié)8。、ABlt如下圖:

??,在正方體ABCD-ABGR中，且A由=￡>C；

???四邊形AM。。為平行四邊形，則AO〃BC；

又?:在正方體ABC。-ABCA中，△ABC為等邊三角形,

NA*就是異面直線AC與所成角，乙4C4

???異面直線AC與A。所成角的大小為%

故選：C.

7.（2023安徽）如圖，在正方體ABC。-A用GR中，直線。。與8a所成的角是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】C

【知識點(diǎn)】求異面直線所成的角

【分析】連接AR,4C,證明ADJ/AC,則/人。。即為直線C。與BG所成的角或其補(bǔ)角，根據(jù)正三角

形即可求解.

【詳解】連接A，，4C,在正方體4BCO-A8G。中，

因?yàn)锳B//D￡,且AB=〃G，所以四邊形為平行四邊形，所以A〃//4C,則NA〃C即為直線CR

與BG所成的角或其補(bǔ)角，由正方體的性質(zhì)可得：△人RC為正三角形，所以NARC=6()。，則直線C。與8G

所成的角是60。，

故選：C.

8.(2023河北)如圖，在正方體八BCD-ABCQ中，點(diǎn)此尸分別是棱4O,CG的中點(diǎn)，則異面直線AE與BF

所成角的大小為.

【答案】y

【知識點(diǎn)】異面直線所成的角的概念及辨析、求異面直線所成的角

【分析】先取A。中點(diǎn)為G,連接AG,G/,記AE與AG交點(diǎn)為M,根據(jù)平行可知4E與8尸所成角即為AE與

AG所成角，通過正方體性質(zhì)可得△A4E豈△AOG,即ZAA.E=/D4G,根據(jù)ZDAG+AG=4相石=］可

知乙ME+幺AG=即乙4MA=5即可知AE與5尸所成角為:

乙乙乙

【詳解】取。Q中點(diǎn)為G,連接AG,G%記AE與AG交點(diǎn)為例，如圖所示:

因?yàn)镚,F分別是棱。。,CG的中點(diǎn)，

所以GF//AB，且G/=A3,故四邊形ABGF為平行四邊形，

所以AG〃△尸，所以4萬與B廠所成角即為AE與AG所成角,

因?yàn)檎襟wABCD-A片GA,E,G是棱AD,A。的中點(diǎn)，

所以AA=A。,AE=GD、ZA.AD=NADG=],

所以△4人石主△AOG,即/A4,E=NO4G,

jrjr

因?yàn)?36+/446=//14,￡1=上,所以/例￡：+/446=上,

所以/AMA】=7i_(N/V\E+NAAG)=二，

故.與AG所成角為宗即AE與3戶所成角為名

故答案為彳

□S

0n考點(diǎn)四：直線與平面所成角

1.（2024湖南）如圖，人8為圓柱底面直徑，BC為母線，若AB=BC,則AC與圓柱底面所成角的大小

為（）

【答案】B

【知識點(diǎn)】求線面角、線面垂直證明線線垂直

【分析】根據(jù)線面角定義得為所求的角，再利用等腰直角三角形性質(zhì)即可得到答案.

【詳解】因?yàn)槟妇€4CJ■底面，

則AC與圓柱底面所成角即為NCA8,又因?yàn)槿?為圓柱底面直徑，則8CJ.A8,

因?yàn)樗訬CA8=45、.

故選：B.

2.（2023江蘇）如圖，正方體/1BCO-ABGR中，直線8。與平面ABC拉所成角的正切值為（）

A.1B.且C.顯D.B

223

【答案】C

【知識點(diǎn)】求線面角

【分析】連接80,平面ABC。，故N。的是叫與平面A8CD所成角，計算得到答案.

【詳解】如圖所示：連接身），因?yàn)?。RJL平面ABC。，故明線8。與平面A8CZ）所成角，設(shè)正方體棱

長為1,則0A=1,。3=血，

AB

故選：c

3.（2023河北）如圖，在三棱柱A8C-AMG中，所有的棱長都相等，側(cè)棱底面相C,則直線的

與平面6CG4所成角的正弦值為（）

叵

L.-----

45

【答案】A

【知識點(diǎn)】證明線面垂直、求線面角、線面垂直證明線線垂直

【分析】取4c的中點(diǎn)。，連接人。與。，根據(jù)題意，先得到AO_L平面8CC石，則所求直線與平面所成的

角為N4B。，通過幾何關(guān)系求其正弦值即可

【詳解】取8c的中點(diǎn)。，連接AO，M。，易得5C_LAO

因?yàn)閭?cè)棱AAJ_底面?zhèn)壤釳〃側(cè)棱網(wǎng),

所以側(cè)棱84，底面ABC,AOu底面

所以881_LA。,

因?yàn)?4nBe=3,Z?q,4Cu平面BCCg,

故AOJL平面8CC4,

所以所求直線與平面所成的角為“4。,

由AO_L平面BCC.B、,B&U平面BCC,B、可得AO±B0,

因?yàn)樗械睦忾L都相等，不妨假設(shè)棱長為2,貝IJAO=G,O4=X/5,AB、=2后,

則sinZAB.O=^==—.

2724

4.（2023安徽）如圖，在直三棱柱ABC-A中，AB/AC.若A8=AC=1,A4,=e，則4。與平面MGC

所成的角的大小為.

【答案】1/30

O

【知識點(diǎn)】求線面角、線面垂直證明線線垂直

【分析】根據(jù)線面垂直可得線面角的幾何角，即可利用三角形的邊角關(guān)系求解.

【詳解】連接A。，

由于直三棱柱A6C—A4G中，平面ABC,A8u平面ABC,

故AA_L/W,又人8工人。,44八4。=4,/141，4。匚平面446。，

故A3_L平面AAG。，

由于AB//%跖所以ABJ平面AAGC,

故ZB.CA,為B?與平面AACC所成的角，

由于/V7—AC-1，M-0，所以二JA」'十AC-,

tanWA假=9邛’

由于/用觥為銳角，所以

6

故答案為：7

6

S.（2024浙江）已知一個各棱均相等的四面體成A-ACD,則棱AB與平面區(qū)。）的夾角的余弦值為

【答案】^/iV3

【知識點(diǎn)】求線面角

【分析】作AO_L平面AC。，由480即為所求的角，然后利用正棱錐的性質(zhì)結(jié)合條件即得.

【詳解】

在四面體成A-BCD中，作AOJ_平面8c。，連接80,

則乙"。即為棱A3與平面8C、。的夾角，令A(yù)B=2,

由四面體的棱長均相等，則。為ABC。的中心，

所以6。=父2。?

33

亞r

cosZA^O=—=^-=—,

AB23

故答案為：B.

3

6.（2023四川）如圖，在正方體ABC。-AqGR中，直線8%與平面ABC。所成角的正切值為.

【答案】李

【知識點(diǎn)】求線面角

【分析】根據(jù)正方體性質(zhì)及線面角定義求解.

【詳解】設(shè)正方體的棱長為1,

在正方體中，平面A8C。，

故。山在平面A8C。上的射影為BD,

所以NR8。為直線與平面八8。。所成角，

如anRBI）=端=也=當(dāng).

故答案為：4

2

7.（2023湖南）如圖，在正方體人BCD-AeGR中，E是。。的中點(diǎn)，則直線BE與平面力〃。。所成角

的正弦值為.

【答案w

【知識點(diǎn)】求線面角

【分析】根據(jù)線面角的知識求得正確答案.

【詳解】連接80,由于OEJ_平面48C。，

所以/E8。是直線BE與平面A8CD所成角，

設(shè)正方體的邊長為2,則。七=1,8。=2夜,8￡=3,

所以sinZEBD=1,

所以直線BE與平面ABCD所成角的正弦值為1.

故答案為：g

DxC,

小

c

AB

考點(diǎn)五：二面角

1.(2023河北)如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面A3CQ為矩形，△PC。是等邊三角形，平面28_1底

面A4CO,4)=3,四棱錐尸-9。的體積為186，E為尸C的中點(diǎn).平面PA3與平面AAC。所成二面

角的正切值是()

【答案】B

【知識點(diǎn)】面面垂直證線面垂直

【分析】由PG1底面43。。得出8=6,進(jìn)而由外'_LA8,AGIAA得出平面Q48與平面/WC。所成二

面角的正切值.

【詳解】分別取的中點(diǎn)為G,尸，連接PF,/GQG,八G8G,

設(shè)。力=%,(〃>0),貝l」PG=>/5a.

因?yàn)椤鱌C。是等邊三角形，所以PG_LC。，

又因?yàn)槠矫鍼C。_L平面48c。，平面"C￡)n平面48CD=CD,PGu平面PCQ,

尸G_L底面ABC。，

因?yàn)樗睦忮FP-ABCD的體積為,

所以:(3x2a)xGa=18G,解得a=3.

則PGL/G,PG工AG,PG人BG,所以。4=9，PFLAB,

又因?yàn)榈酌鍭BC。為矩形，所以尸G_ZA8,

所以ZPFG為平面幺6與平面45C。所成二面角的平面角，

tanZPFG=—=—=V3.

FG3

故二選：B

P

8c

2.（2024浙江）如圖，在底面邊長為2的菱形的四棱錐P-A3CD中，44=28=2,平面FABJ_平面A8CD,

Z4BC=60°,設(shè)E是棱心上一點(diǎn)，三棱錐E-ACD的體積為;.

DC

⑴證明：PCA.AB；

⑵求BE；

⑶求二面角E-CD-A的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

[2}BE=\

【知識點(diǎn)】線面垂直證明線線垂直、求二面角、證明線面垂直、錐體體積的有關(guān)計算

【分析】（1）取中點(diǎn)〃，連結(jié)PH,CH,證明A3_L平面CHP,再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；

（2）作KM_L/\A于M,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)證明平面ABCD,再根據(jù)三棱錐的體積公式即可得解；

（3）作MN_LCD交于OC的延長線于點(diǎn)N,連接EN,證明CDJ"平面則CO_L￡7V,則即

為二面角E-C7）-A的平面角，再解AENM即可.

【詳解】（1）取人8中點(diǎn)〃，連結(jié)PH,CH,

因?yàn)?4二28=2,所以PHLAB,

在菱形A5C。中，NA3c=60。，則VA4C是等邊三角形，

所以C7/_LAB,

又PHf）CH=H,PH,CHu平面CHP,

故A/3_L平面C”P,

又C?u平面所以A8_LCP；

(2)作EMJ.A3于M,

因?yàn)槠矫?43_L平面ABC。，平面P4Ac平面/WCO=/W,EWu平面98,

所以日WJ■平面ABC。，

所以喔.Ae=；SAA“3=；x；x2xG.￡M=；,所以EM=烏,

所以班;=1;

(3)作MNJ_C。交于OC的延長線于點(diǎn)N,連接EN,

由EM_L平面/WC。，COu平面八AC。，得EM_LC力,

又WNnEM=M,MMEMu平面EMN,

所以CO_L平面EMN,

又ENu平面EMN,所以COJ_EN,

所以ZENM即為二面角E-CD-A的平面角,

3.(2024浙江)如圖，在四棱錐戶-A8CZ)中，底面A8CO為正方形，側(cè)面B4O_L底面A8CD,點(diǎn)M在

線段PD上且AD=2DM=2,ZADP=60.

(1)求證：/WJ_平面PCQ；

⑵求三棱錐M-ABD的體積；

(3)求一面角的M-3C-A正切值.

【答案】(1)證明見解析

【知識點(diǎn)】面面垂直證線面垂直、求二面角、證明線面垂直、錐體體積的有關(guān)計算

【分析】(1)利用面面垂直的性質(zhì)證明CO_L平面則有C7)_LA何，再利用勾股定理證明A/WJ.W3

再根據(jù)線面垂直的判定定理即可得證；

(2)過M作MN/4。，交4。于點(diǎn)N,利用面面垂直的性質(zhì)證明MNJ_平面A8。，再根據(jù)棱錐的體積公

式即可得解；

(3)過N作NHtBC交BC于點(diǎn)H,則即為二面角M-BC-4的平面角，再解RtZXMN”即可.

【詳解】(1);CO_LA。，平面"4O_L平面ABC。，COu平面A8CO,

平面PADc平面ABCD=AD,

\CD八平面E4。，

又AMu平面BA。，vCD±AM,

又AD=2DM=2,ZADP=60°,

由余弦定理得AM2=AD2+DM2-2ADDMcos60°=3,

則心+4”=?！?,..AMLPD,

又POcCD=O,PD,COu平面PCDt

?.?4W_L平面PCD；

(2)過〃作MN1AD,交4)干點(diǎn)N,

因?yàn)槠矫嬉?。，平面ABC。，平面/%Oc平面A8CD=AO,AWu平面尸A。，

所以MN_L平面A3O,則MN=迫，

2

所以Vw-A8,)=gxgx2x2x*=9；

(3)過N作M7_L8C交8C于點(diǎn)〃，連接4M,

因?yàn)镸NJL平面A8O,4Cu平面A8O,

所以MNA.RC,

則/MHN即為二面角M-8C-A的平面角，

在RlZXMN"中，MN=—,NH=2f所以tan/MHN=@,

24

所以二面角的M-BC-A正切值為立.

4.(2023浙汀)如圖，在二棱錐~一/WC中，PAJL平面AAC,AC1.BC,PA=AC=\,BC=&.

⑴求三棱錐P-ABC的體積；

（2）求證：平面PAC_L平面P8C；

⑶設(shè)點(diǎn)。在棱柱上，AD=CDt求二面角。-AC-B的正弦值.

【答案】（1）立

6

⑵證明見解析

喈

【知識點(diǎn)】錐體體積的有關(guān)計算、求二面角、證明面面垂直

【分析】（1）先求出底面積，再利用體積公式求解體積即可.

（2）先利用線面垂直判定定理得到BC_L平面幺C,再利用面面垂直定理判定面面垂直即可.

（3）合理作圖，找到二面角的平面角，利用三角函數(shù)的定義求解即可.

【詳解】（1）因?yàn)锳CJ.8cAe=1,8C=血,

所以S^BC=；AC,BC=gxlxg=與,

因?yàn)镻A_L平面ABC,

所以三棱錐P-A8C的體積V=』xlx^二立.

326

(2)因?yàn)槭珹_L平面ABC,/3Cu平面P8C,

所以％_LBC,又AC_L8C,E4c4C=A,

PAACu平面FAC,所以Z?C_L平面FAC,

因?yàn)锳Cu平面PBC,所以平面PAC±平面PBC.

(3)

過點(diǎn)。作于E,取AC的中點(diǎn)廣，連接石￡

因?yàn)?。A_L平面A8C/Au平面04B,所以平面/<46_L平面ABC,

又平面PABc平面48C=A8,￡)￡u平面PAB,

所以O(shè)E_L平面/WCJ無：IIPA,

因?yàn)?0=CD且尸是AU的中點(diǎn)，

所以。產(chǎn)_1,4。,4。，?！?。尸門?！?。4。_1_平面?！?，

EF±AC,所以/DFE是二面角D—AC—8的平面角，

因?yàn)椤晔琠14。)。_18。,尸是4。的中點(diǎn)，所以E是AA的中點(diǎn),

又DEHPA,所以。是尸A的中點(diǎn)，

在RlZXO所中，DF=dDE?+EF2=，]，=與

V442

[_

所以$皿/。尸￡：=照=條=半，即二面角D一AC一8的正弦值為更.

DF型33

T

5.（2023浙江）如圖，在三棱柱A8C—/V8'C'中，已知C8_L平面AETA,A4=2,且A3_LAC_LAZT.

⑴求AY的長；

⑵若。為線段AC的中點(diǎn)，求二面角人-夕仁-。的余弦值.

【答案】(1)2

⑵西

10

【知識點(diǎn)】求二面角、證明線面垂直

【分析】

（1）根據(jù)題意可得A9_L平面A8C,進(jìn)而分析可知A39A正方形，即可得結(jié)果；

（2）根據(jù)題意利用補(bǔ)形法分析可得二面角的平面角為449。，利用余弦定理運(yùn)算求解.

【詳解】（1）連接48,

因?yàn)镃8_L平面A防W,A9u平面A防W,則C8_LA3',

又因?yàn)锳'C_LA8',4clCB=C,ACCBu平面A8C,

所以A"'J_平面ABC,

且A'Bu平面ABC,可得

因?yàn)锳BBW為平行四邊形，且A5_L88',則A8&A為矩形，

所以A3H4'正方形，可得AA'=4B=2.

（2）根據(jù)題意將三棱柱轉(zhuǎn)化為正四棱柱ABCE-A'BCE,

取CE,4B的中點(diǎn)P,Q,連接PQCP/'Q,則RDQ三點(diǎn)共線，且PQ//BC,

因?yàn)閎'C'〃6C,可得FQ〃⑶C,

所以平面BCD即為平面PQB'C',

同理平面ABC即為平面A&CE,

因?yàn)?C7/KC，C8JL平面ABB'A',則8'C'_L平面/WUA,

且B'Qu平面ABSA',則B'C1ABf,B'C±B'Q,

所以二面角A-B'C-D的平面角為ZAB'Q,

可得B'A=20,4Q=1,"Q=6，

8+5-13M

在AAB。中，則cosZAEQ=B與:巖

2x272x75-10

所以二面角A-ZTC-。的余弦值為嚕.

6.（2023湖南）如圖所示，平面A3莊_L平面A3c。，四邊形AEF8為矩形，I3C//ADfABLADt

AE=AD=2AB=4fBC=2.

E

⑴求多面體ABCDEF的體積；

（2）求二面角廠一8-A的余弦值.

【答案】⑴方40

*

【知識點(diǎn)】面面垂直證線面垂直、證明線面垂直、求組合體的體積、求二面角

【分析】（1）通過割補(bǔ)法，結(jié)合錐體體積計算公式求得正確答案.

（2）作出二面角尸-8-A的平面角，進(jìn)而計算出其余弦值.

【詳解】（1）如圖，連接3，

四邊形為矩形，

二AELAB,

平面尸平面ABCDf平面48E/c平面ABCD=AB,

AEu平面B/u平面

..AE_L平面A8CD,〃產(chǎn)_L平面A"CO,

AOu平面ABCDf

AE1AD,

又ADLAB,ABnAE=At48,AEu平面

AOJ_平面AE尸8,

I|32

%枝加=§S矩形但8-AD=-x4x2x4=—,

BC〃AD,ABLAD,

：.ABLBC.

]118

匕梭惟F-8S=§SA8C/5.8尸=§X3><2x2x4=§，

???多面體ABCOE尸的體積為

_32840

卜多3體八8C的=V四極傍D-AEF8+V三枝鈾尸-38=+=*

(2)如圖，過8作8G_LCD交DC的延長線于