必刷小題19計數(shù)原理與概率

［分值:73分］

一、單項選擇題（每小題5分，共40分）

1.已知一個系統(tǒng)由48兩個部件并聯(lián)組成，當(dāng)力或8正常工作時，系統(tǒng)就能正常工作，若力正常工作的

概率為0.65,8正常工作的概率為0.6,則該系統(tǒng)正常工作的概率為（）

A.0.86B.0.75

C.0.47D.0.14

答案A

解析根據(jù)題意，A,6兩個部件都不能正常工作的概率為（1-0.65）X（l-0.6）=0/4,所以該系統(tǒng)正常工

作的概率為1-0.14=0.86.

2.在（亨-盍f的二項展開式中，x的系數(shù)為（）

TB片

c-4Di

答案B

解析因為（李了的展開式的通項公+尸唱6）6%?2）3?"=（）,1,2,6）,

所以當(dāng)攵=2時，x的系數(shù)為4（3?（?2>=.

3.甲、乙等四個人一起隨機手牽手圍成一圈做游戲，甲與乙牽手的概率是（）

11

AA2Bn3

CiD-

答案D

解析以甲為中心，其他三人的位置是甲的左邊、右邊、對面，共有心種情況，其中乙在甲的左邊或右邊,

即甲與乙能牽手有2必種情況，所以所求概率為P=翁二|.

4.現(xiàn)有一批產(chǎn)品共9件，已知其中5件正品和4件次品，現(xiàn)從中選4件產(chǎn)品進(jìn)行檢測，則下列事件中互為

對立事件的是（）

A.恰好兩件正品與恰好四件正品

B.至少三件正品與全部正品

C.至少一件正品與全部次品

D.至少一件正品與至少一件次品

答案C

解析根據(jù)題意，選項A中事件為互斥事件，不是對立事件；選項B,D中事件可能同時發(fā)生，全部正品

是至少三件正品的子事件；選項C中事件為對立事件，全部次品不能存在有正品的事件.

5.（2024?大同模擬）某商場舉辦購物抽獎活動，其中將抽到的各位數(shù)字之和為8的四位數(shù)稱為“幸運數(shù)”（如

2024是“幸運數(shù)”，并獲得一定的獎品，則首位數(shù)字為2的“幸運數(shù)”共有（）

A.32個B.28個

C.27個D.24個

答案B

解析依題意，首位數(shù)字為2的“幸運數(shù)”中其他三位數(shù)字的組合有以下七類：

①“0,0,6”組合，有以種，②“0,1,5”組合,有房種，③“0,2,4”組合，有用種，④“0,3,3”

組合，有己種，⑤“1,1,4”組合，有乙種，⑥“1,2,3”組合，有用種，⑦“2,2,2”組合，有1

種.

由分類加法計數(shù)原理，首位數(shù)字為2的“幸運數(shù)”共有3G+3A#1=9+18+1=28（個）.

6.已知甲袋中有6個紅球和4個白球，乙袋中有8個紅球和6個白球，隨機取一袋，再從袋中任取一球，

發(fā)現(xiàn)是紅球，則此球來自甲袋的概率為（）

AA-A12B-。7

c型D

41Z41

答案D

解析設(shè)“取到甲袋”為事件4則。5）=0（彳）=今

設(shè)“取到紅球”為事件8,則P（為4）二次=1尸（5①=卷=]

由全概率公式可得尸⑻=P（B\A）P（A）+P{B\A）P（A）=+1x1=南

3Vl

所以口餉=粵粵二尊

7.在二項式（2近-3）”的展開式中，二項式系數(shù)的和為64,把展開式中所有的項重新排成一列，奇次項

（未知數(shù)x的指數(shù)為奇數(shù)的項）都互不相鄰的概率為（）

A—D1

A，35%

C-D-

答案A

解析在二項式白的展開式中，二項式系數(shù)的和為2〃=64=26,所以〃=6.

二項式卜機_專）即為卜《一套）,

展開式的通項為71+產(chǎn)器26-*（?1）3〉,k=0,1,2,―,6,

故展開式共有7項，當(dāng)人二0,2,4,6時，第左+1項為奇次項，

把展開式中所有的項重新排成一列，奇次項都互不相鄰，即把其他的3個偶次項先任意排，

再把這4個奇次項插入其中的4個空中，方法共有A%：種，

故奇次項都互不相鄰的概率為。二饕二白

8.某規(guī)范化考場的規(guī)格為每場30名考生，分為6排5歹九依照如表所示的方式進(jìn)行座位號的編排.為了確保

考試的公平性，考生的試卷分為力卷和8卷，座位號為奇數(shù)的考生使用力卷，座位號為偶數(shù)的考生使用8

卷.已知甲、乙、丙三名考生在同一考場參加考試，且三人使用的試卷類型相同，三名考生中任意兩人不得

安排在同一排或同一列，則甲、乙、丙三名考生的座位安排方案共有（）

第5列第4列第3列第2列第1列

2524131201第1排

2623141102第2排

2722151003第3排

2821160904第4排

2920170805第5排

3019180706第6排

A.20I6種B.1008種

C.1440種D.720種

答案A

解析先考慮甲、乙、丙三人使用力卷，則這三個人的座位號都為奇數(shù)，分以下幾種情況討論：

（1）若這三人都在奇數(shù)列，則有一人需在第1列選一個奇數(shù)號的座位，有3種情況，

然后有一人在第3列要選一個奇數(shù)號的座位，但與第一人不能在同一排，只有2種情況，

最后一人只能在第5列選擇一個奇數(shù)號的座位，但該人不能與前兩人在同一排，最后一人的座位只有一種

選擇,

此時，不同的排法有3X2X1XA；36（種）；

（2）三人中只有兩人在奇數(shù)列，首先在第1,3,5列中選兩列，有魅種選擇，

其次，第一個人在其中的第一個奇數(shù)列中選擇一個奇數(shù)號的位置，有3種選擇，

第二個人在另一個奇數(shù)列中選擇一個奇數(shù)號的位置，有2種選擇，

第三個人在兩個偶數(shù)列中選擇一個奇數(shù)號的位置，有6種選擇，

此時，共有。X（3X2X6）XA；648（種）不同的排法；

（3）三人中只有一人在奇數(shù)列，第一個人在第1,3,5列中隨便選擇一個奇數(shù)號的位置，有9種選擇，

其次，第二個人在第2列中選擇f奇數(shù)號的位置，有3種選擇，例如第二個人選擇11號座位，

由于第三個人不能與第二個人同排或同列，則第三個人只有2種選擇，即19號和21號兩個位置可供選擇,

此時，不同的排法有9X3X2*A*324（種）.

綜上所述，當(dāng)三人都使用A卷時，不同的排法種數(shù)為36+648+324=1008.

由對稱性可知，當(dāng)三人都使用8卷時，不同的排法種數(shù)也為1008.

綜上，當(dāng)三人的試卷類型相同時，不同的座位安排方案種數(shù)為1008X2=2016.

二、多項選擇題（每小題6分，共18分）

9.二項式（々-：）6的展開式中（）

A.前三項系數(shù)之和為22

B.二項式系數(shù)最大的項是第4項

C.常數(shù)項為15

D.所有項的系數(shù)之和為0

答案BCD

解析二項式(a-：)6展開式的通項為

小尸球(a)6”(_：y=(-，瑪，卷e=0,1,2,…，6),前三項的系數(shù)之和為(-1代”(-1)Q+(-

2

l)Ci=10fA錯誤；

二項式系數(shù)C依=0,1,2,…,6］中最大的是京，恰好是第4項，B正確;

要求常數(shù)項，通項公式中應(yīng)滿足3-竽=0,得k=2,即八=(-1)2%。=15,C正確；

將x=l代入，可得所有項的系數(shù)之和為0,D正確.

10.已知力，B是一個隨機試驗中的兩個事件，且P(4)=0.6,P⑻=0.3,則下列結(jié)論一定正確的是()

A.P(^B)=0.18

B.J,B不可能為互斥事件

C.若P(48)=0.42,則事件力，〃相互獨立

D.若％8相互獨立，貝1」"(了+與)=0.7

答案BC

解析若PC詬)=0.18=P(4)P位)，則事件4萬相互獨立，無法確定，故A錯誤；

若48為互斥事件，則P(48)=0,所以P(4+8)=尸(4)+尸(8)=0.6+1-0.3=故48不可能為

互斥事件，故B正確；

若尸(43)=0.42二%4)尸(8),則事仁48相互獨立，故C正確；

若4,5相互獨立，則彳，與相互獨立，WUZP(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.4+0.3-0.4X0.3=0.58,故

D錯誤.

11.五一假期過后，車主小王選擇去某市新開的48兩家共享自助洗車店洗車.已知小王第一次去4B兩

家洗車店洗車的概率分別為多吃如果小王第一次去力洗車店，那么第二次去4洗車店的概率為:；如果小

王第一次去8洗車店，那么第二次去力洗車店的概率為￡則下列結(jié)論正確的是()

A.小王第一次去8洗車店，第二次也去8洗車店的概率為￡

B.小三第二次去B洗車店的概率比第二次去A洗車店的概率大

C.若小王第二次去了A洗車店,貝施第一次去A洗車店的概率為焉

D.若小王第二次去了13洗車店，則他第一次去A洗車店的概率為葛

答案AC

解析記第，次去月洗車店為事件4,第，?次去8洗車店為事件8,1=1,2,

由題意可知，尸(4)耳

尸(前小)/，

32

產(chǎn)(力2岡)P$2出1)二￡

對于A,尸(囪&)=尸⑶)尸例5i)=:xJ=<故A正確;

對于B,P(B2)=P(AI)P(B2IAI)+P(^I)P(^2|BI)=|x|+=磊

P.2)=P(小)尸⑷小)+P⑶)P—［囪+|x|=焉故B錯誤;

234OOOU

31

對于C,尸(4|生)二器竽二**2二號二素故C正確；

對于D,四尸嘴=組爵3=卷=弟故D錯誤.

三、填空題(每小題5分，共15分)

12.小耿與小吳參與某個答題游戲，此游戲共有5道題，小耿有3道題不會，小吳有1道題不會，小耿與小

吳分別從這5道題中任意選取1道題進(jìn)行回答，且兩人選題和答題互不影響，則小耿與小吳恰有1人會答

的概率為.

答案卷

解析小耿與小吳恰有1人會答，包括兩種情況，小耿會小吳不會和小吳會小耿不會.則小耿與小吳恰有1

人會答的概率為電:+=^7-

JJJO

13.無人酒店是利用人工智能與物聯(lián)網(wǎng)技術(shù)，為客人提供自助入住等服務(wù)的新型酒店，勝在科技感與新奇感.

去某地旅游的游客有無人酒店和常規(guī)酒店兩種選擇，某游客去該地旅游，第一天隨機選擇一種酒店入住，

如果第一天入住無人酒店，那么第二天還入住無人酒店的概率為0.8,如果第一天入住常規(guī)酒店，那么第

二天入住無人酒店的概率為06則該游客第二天入住無人酒店的概率為.

答案0.7

解析記事件小二“第一天入住無人酒店”，A2="第二天入住無人酒店”，Bk”第一天入住常規(guī)酒

店”，

根據(jù)題意可知尸(4)=P(S)=0.5,

P(4HD=0.8,2(42岡)=0.6,

則由全概率公式可得P(A2)=尸(4)尸(悶小)+尸(囪)尸(彳2岡)=0.7.

14.(2024?廣州模擬)如圖是一個3義3的九宮格，小方格內(nèi)的坐標(biāo)表示向量，現(xiàn)不改變這些向量坐標(biāo)，重新

調(diào)整位置，使得每行、每列各三個向量的和為零向量，則不同的填法種數(shù)為.

(T，1)(0,1)(1,1)

(-1,