第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)、不等式

第5節(jié)一元二次函數(shù)、方程和不等式

第一課時(shí)二次函數(shù)及其性質(zhì)

■學(xué)習(xí)導(dǎo)航站

二核心知識(shí)庫(kù)：重難考點(diǎn)總結(jié)，梳理必背知識(shí)、歸納重點(diǎn)

考點(diǎn)1二次函數(shù)解析式的三種形式★★★☆☆

考點(diǎn)2二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)★★★★☆

（星級(jí)越高，重要程度越高）

?限時(shí)【變式訓(xùn)練】挑戰(zhàn)場(chǎng)：感知真題，檢驗(yàn)成果，考點(diǎn)追溯

【知識(shí)梳理】

考點(diǎn)1二次函數(shù)解析式的三種形式

（1）一般式:yu尸.

（2）頂點(diǎn)式：兀￥尸〃（廠〃2）2-〃（4#0）,頂點(diǎn)坐標(biāo)為.

⑶零點(diǎn)式:/U）二。（廠川）（廠12）（。力（））,XI,X2為7U）的零點(diǎn).

坐標(biāo)

奇偶性當(dāng)加0時(shí)是偶函數(shù)，當(dāng)人工（）時(shí)是非奇非偶函數(shù)

在（-8,-同上單調(diào)遞減；在（一8，一卷］上單調(diào)遞增；

單調(diào)性

在卜&+8）上單調(diào)遞增在卜方,+8）上單調(diào)遞減

【解題技巧】

1.二次函數(shù)的單調(diào)性、最值與拋物線的開(kāi)口方向和對(duì)稱(chēng)軸及給定區(qū)間的范圍有關(guān).

2.若危尸加+歷:+以〃工0）,則當(dāng)｛:1，時(shí),恒有/5）＞0;當(dāng)｛；:、時(shí),恒有心）＜0.

傲林回歸】概念思考辨析+教材經(jīng)典改編

1.思考辨析（在括號(hào)內(nèi)打“4”或“X”）

⑴二次函數(shù)度加+法+c的圖象恒在x軸下方，則”（）且/＜（）.（）

（2）若二次函數(shù)y=or2+m+。的兩個(gè)零點(diǎn)確定，則二次函數(shù)的解析式確定.（）

⑶二次函數(shù)嚴(yán)加+法+中￡［加,川）的最值一定是竺?.（）

2.（北師大必修一P34Tl（2）改編）函數(shù)廣-3,F+⑵-8的最大值為.

3.（人教A必修一P100T4改編）若函數(shù)兀E）二41-28在［5,20］上單調(diào)，則實(shí)數(shù)k的

取值范圍為.

4.（人教B必修一P139T8改編）已知產(chǎn)/⑺為二次函數(shù)，若方/a）在產(chǎn)2處取得最小

值-4,且廣/⑺的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則函數(shù)解析式為.

【考向核心題型】

考點(diǎn)1二次函數(shù)的解析式

【典例】1.已知二次函數(shù)兀0滿足火2)=7,%1)=7,且JU)的最大值是8,則

共幻二，

【變式訓(xùn)練】1.已知二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(-3,0),(1,()),且頂點(diǎn)到工軸的距離等于

2,則二次函數(shù)的解析式為.

考點(diǎn)2二次函數(shù)的圖象

【典例】2.已知函數(shù)危)=加+bx+c,若a>b>ct且a+b+c=0,且函數(shù)人工)的圖象可能

是()

【典例】3.(多選)如圖是二次函數(shù)戶.F+法+c(〃W0)圖象的一部分，圖象過(guò)點(diǎn)

4(-3,()),對(duì)稱(chēng)軸為產(chǎn)-1.給出下面四個(gè)結(jié)論正確的為()

2

A./?>4/7r區(qū)2〃一加1

C.a-b+c=0D5a<b

【變式訓(xùn)練】2.(多選)二次函數(shù)戶Qf+bx+c的圖象如圖所示,則下列說(shuō)法正確的

是()

A.2a+b=0

B.4〃+2/?+c<()

C9a+3〃+c<0

D.abc<0

考點(diǎn)3二次函數(shù)的最值

【典例】4.(2025?福州段考)已知二次函數(shù)於尸加-x+2〃T.

(1)若火x)在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞減,求a的取值范圍；

⑵若〃>(),設(shè)函數(shù)入丫)在區(qū)間［1,2］上的最小值為gm),求g(〃)的表達(dá)式.

【變式訓(xùn)練】3.已知函數(shù)於尸f+(2aT)x-3.

(1)當(dāng)奸2,工￡［-2,3］時(shí),求函數(shù)人好的值域；

(2)若函數(shù)7U)在卜1,3］上的最大值為1,求實(shí)數(shù)a的值.

【限時(shí)訓(xùn)練】（限時(shí):60分鐘）

一、單選題

1.函數(shù)尸產(chǎn)2以+3在（…,3]上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是（）

A」3,+8）B.（-8,3]

5-3,+8）D.（-OO,-3]

2.若二次函數(shù)觀幻滿足g⑴=l,g（7）=5,且圖象過(guò)原點(diǎn)，則四）的解析式為（）

A.g（x）=2?-3xB.ga）=3f-2x

C.g（x尸3f+2xD./＞（X）=-3X2-2X

3.函數(shù)y=at+b和y=a~%x+c在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可以是（）

4.已知凡￥尸一1,則（）

A必）＞況4-1）刁（々+1）

B必）次〃-1）枳〃+1）

C/）勺如-

Djm+i）?gT）次。）

5.已知a,b,c￡R,函數(shù)人幻=以2+云+C,若火0月⑷次1),則()

Az/>0,4。+〃=0B.Q<0,4“+/?=0

Czz>0,2〃+b=0D.〃<0,2a+b=0

6.已知函數(shù)40=f-4盧1的定義域?yàn)閇1,/],在該定義域內(nèi)函數(shù)的最大值與最小值之

和為-5,則實(shí)數(shù)，的取值范圍是()

A.(l,3]B.[2,3]

C.(l,2]D.(2,3)

7.已知函數(shù)/U)=x2-2(6t-l)x+f/,若對(duì)于區(qū)間[T,2]上任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)箱,X2,

都有J3)汽”2),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(-8,0]BJO,3]

C.(-8,o]U[3,+8)D.[3,+8)

8.(2025?廣州調(diào)研)設(shè)a,b,且函數(shù)g(x)=加+尿+c，7U尸(x+2)g(x),若

/")貿(mào)七戶0,則下列判斷正確的是()

A.g(x)的最大值為-4

B.g(x)的最小值為-4

C.g(2+x)=g(2-x)

D.g(2+x)=g(-x)

二、多選題

9.設(shè)abc<0,則函數(shù)y=a>r+bx+c的圖象可能是()

10.己知函數(shù)人外二加-2bL1,則下列結(jié)論正確的是])

A.若./U)是偶函數(shù)，則/尸0

B.若/W<0的解集是(T,1),則ab=\

C.若片1,則/E)>0恒成立

D.VaWO,從0,於)在(-8,0)上單調(diào)遞增

11.已知函數(shù)人￥)=(-2d〃(。>()),實(shí)數(shù)tn滿足/(〃?)<(),則下列關(guān)系一定成立的是

()

Ay(w+l)>0B次〃z+2)>0

cy(w-l)<oD次〃廠2)>()

三、填空題

12.(2025?寧波段考)已知二次函數(shù)兒E)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,3),且圖象被x軸截得的線

段長(zhǎng)為2,并且對(duì)任意xeR,都有/(2r)=/(2+x),則於)的解析式

為.

13.若函數(shù)3(］尸/+〃必-1|在［(),+8)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)〃z的取值范圍是.

14.(2025?徐州質(zhì)檢)函數(shù)/(x)=f-4x+2在區(qū)間儂,句上的值域?yàn)椋?2,2］,則的