第八章平面解析幾何

第3節(jié)圓的方程直線與圓的位置關(guān)系

經(jīng)學(xué)習(xí)導(dǎo)航站

口核心知識(shí)庫(kù)：重難考點(diǎn)總結(jié)，梳理必背知識(shí)、歸納重點(diǎn)

知識(shí)點(diǎn)1圓的定義及方

知識(shí)點(diǎn)2點(diǎn)與圓的位置關(guān)系★★★☆☆

知識(shí)點(diǎn)3直線與圓的位置關(guān)系★★★☆☆

(星級(jí)越高，重要程度越高)

婢限時(shí)訓(xùn)練挑戰(zhàn)場(chǎng)：感知真題，檢驗(yàn)成果，考點(diǎn)追溯

【知識(shí)梳理】

知識(shí)點(diǎn)1圓的定義及方程

定義平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合(軌跡)叫做圓

標(biāo)準(zhǔn)圓心C：3力

（X-4）2+。-Z?）2=/（7>0）

方程半徑：r

圓心：(一9，—f)

一般『+72+。犬+3+b=0（。2+/

方程—4Q0）半徑一=但產(chǎn)

知識(shí)點(diǎn)2點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x—。)2+()一8)2=/，點(diǎn)M(xo,和)，

(1)(xo—一/力'=戶臺(tái)點(diǎn)在圓H：

(2)(xo—a)2+(yo—Z?)2_>r<^點(diǎn)在圓外；

(3)(xo—a)?+(yo門三戶0點(diǎn)在圓內(nèi).

2.圓的一般方程x2+y2+Dr+E_y+尸=0,點(diǎn)M(xo,yo).

(1)焉+好+?？?互加+產(chǎn)=00點(diǎn)在圓上；

(2)A6+)3+Dxo+Eyi)+F>0<=^點(diǎn)在圓外；

(3謁+弼+。刈+￡>+尸￡0今點(diǎn)在圓內(nèi).

知識(shí)點(diǎn)3直線與圓的位置關(guān)系

設(shè)直線/：By+C=()(A2+BVO),

圓：(x-6r)2+(y-h)2=?(r>0),

\Aa±Bb±Q

d=為圓心3,。)到直線l的距離，聯(lián)立直線和圓的方程，消元后得

yjA2-\~B2

到的一元二次方程的判別式為A.

方法

幾何法代數(shù)法

位置關(guān)

相交d<rJ>0

相切d_=_『/_=_()

相離d>rJ<0

歸納拓展

1.圓心在過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線上.

2.圓心在任一弦的垂直平分線上.

3.以A(xi,yi),3(x2,>2)為直徑的兩端點(diǎn)的圓的方程是(戈一xi)(x—工2)+。-yi)(y

-.Y2)=O.

注：兒類特殊位置的圓的方程

標(biāo)準(zhǔn)方程的設(shè)法一般方程的設(shè)法

圓心在原點(diǎn)x24-y2=rx2-\-y2—r=O

過(guò)原點(diǎn)(x—a)2+(y-b)2=a2+b1/+9+6+玲=0

圓心在x軸上(X—4)2+)2=/f+V+.+QO

圓心在)，軸上/+&-。)2=戶/+V+Ey+/=O

x2+y2+Z)x+Ey+抄=0

與X軸相切(x—a)2+(y—h)2=b2

與y軸相切(x-a)2-\~^-h)2=a1f+尸+Dx+Ey+料=0

4.二兀二次方程AA2+Bxy+Cy1+Dx+Ey+"=0表示圓的條件：

A=CWO,

B=O,

D2+E2-4E>0.

5.(1)過(guò)圓/I)2=戶上一點(diǎn)P(刈，川)的圓的切線方程為xuvI)夢(mèng)=戶.

過(guò)圓(X—〃)2+(y一份2=/上一點(diǎn)P(xo,yo)的圓的切線方程為(工o—〃)(x—4)+(yo—

b)(y-b)=i2.

(2)過(guò)圓/+)2=戶外一點(diǎn)M(xo,yo)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在的直線方程

為xox~\-yoy=t2.

⑶過(guò)圓外一點(diǎn)P(xo,卯)引圓(1一。)2+()一與2=/(/+產(chǎn)+0尤+曰+/7=0)的切線，

則點(diǎn)P到切點(diǎn)的切線長(zhǎng)為(l=yj(xo—a)2+(j'o—b)2—r(d=-\lxQ-iyi+Dxo+Eyo~\~F).

【隨堂訓(xùn)練】

題組一走出誤區(qū)

1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“或“X”)

(1)確定圓的兒何要素是圓心與半徑.()

(2)圓心為(1,一1)且過(guò)原點(diǎn)的圓的方程為。+1)2+()，-1)2=2.()

(3)若A(2,0),2(0,—4),則以42為直徑的圓的方程為(工一1)2+()，+2)2=5.()

(4)方程。+。)2+()，+〃)2=["￡對(duì)表示圓心為(4,份，半徑為，的圓.()

(5)已知方程f+)，2-2〃tr+4y+5=0表示圓，則m的取值范圍是(1,+8).()

【答案】⑴J(2)X(3)7(4)X(5)X

題組二走進(jìn)教材

2.(選擇性必修IP88T4)圓。的圓心在X軸上,并且過(guò)點(diǎn)A(—1,1)和伏1,3),則

圓C的方程為.

【答案】。-2)2+9=10

【解析】設(shè)圓心坐標(biāo)為C(a,0),

二點(diǎn)A(—1,1)和8(1,3)在圓。上，

：.\CA\=\CB\,

即｛(〃+])2+1=\伍-1)2+9,解得。=2,

，圓心為C(2,0),

半徑IC*=[(2+1產(chǎn)+1=回,

???圓C的方程為(%—2(+4=10.

3.(選擇性必修IP98T2(1))以點(diǎn)(2,一1)為圓心且與直線版一4)，+5=0相切的圓

的方程為()

A.。-2)2+0+1)2=3

B.(x+2)2+(y—1)2=3

C.(x—2)2+(y+1>=9

D.(x+2)2+(廠1/=9

【答案】C

【解析】因?yàn)閳A心(2,—1)到直線--4y+5=0的距離d=地土產(chǎn)1=3,所以

圓的半徑為3,即圓的方程為。-2)2+0，+1)2=9.故選C.

題組三走向高考

4.(2022?全國(guó)甲卷)設(shè)點(diǎn)M在直線2x+y—1=0上，點(diǎn)(3,0)和(0,1)均在。“上，

則OM的方程為.

【答案】(L1>+。+1)2=5

【解析】解法一：二點(diǎn)M在直線2x+y—1=0上，

，設(shè)點(diǎn)M為31—2〃),又因?yàn)辄c(diǎn)(3,0)和(0』)均在。M上，

???點(diǎn)M到兩點(diǎn)的距離相等且為半徑R,

：.d(〃_3)2+(l_2〃)2=,次+(_24)2=凡

。2—6。+9+4〃2_4。+1=5。2,解得〃=1,

AM(1,—1),R=#,

???。加的方程為。-1)2+&+1)2=5.

解法二：記A(3,0),8(0,1),則心8=一；.

從而可知A8中垂線的方程為3X一)，-4=0,

2x+y—1=0,

由r/八可求得M(l,-1),

[3x—y—4=0

又r=\MA\2=5.

AOM的方程為(x—I)2+日+1產(chǎn)=5.

5.(2023?高考全國(guó)乙卷)已知實(shí)數(shù)x,>滿足f十，一4x—2y—4=0,則x—y的最

大值是()

A.1+平B.4

C.1+3/D.7

【答案】C

【解析】解法一：由f+)2一?一2),一4=()可得(工-2)2+()，-1)2=9,設(shè)工一)，=上

則圓心到直線x—)，=/的距離d』寶”W3,解得1-3瓶4W1+3啦，故選

C.

解法二：f+)，-4x—2y—4=(),整理得(x—2)2+()，-1)2=9,令x=3cos0+2,y

=3sin9+l,其中?！闧0,2兀，貝Ix-y=3cos9-3sin。+1=3啦cos(e+^)+1,二

問(wèn)0,2兀，所以嗚(，y],則什；=2兀，即但與時(shí)，x—y取得最大值3啦

+1.故選C.

【必練核心題型】

考向一圓的方程——自主練透

1.圓。的半徑為2,圓心在上軸的正半軸上，直線31+4)，+4=0與圓C相切，

則圓C的方程為()

A.f+y2—2x—3=0B..d+y?—4JV=0

C.x2+y2+4x=0D.f+)?+2x-3=0

【答案】B

【解析】設(shè)圓心C(4,0)(4>0),由題意知。解得。=2,故圓C的方程

為(x—2)2=2?,即4尤=0,故選B.

2.(2022?高考全國(guó)乙卷)過(guò)四點(diǎn)(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方

程為.

【答案】(X—2)2+°,—3)2=13或(廠4

(X—2)2+()，-1)2=5(寫出其中一個(gè)即可)

【解析】依題意設(shè)圓的方程為f+)，2+Dr+E)，+F=(),

若過(guò)(0,0),(4,0),(-1,1),

代=0,產(chǎn)=0,

則｛16+4。+/=0,解得＜。=一4,

11+1—O+E+尸=0,[E=-6,

2

所以圓的方程為jr+y—4x—6y=0f

即。-2)2+°，-3)2=13；

同理可求過(guò)((),())，(4,0),(4,2)的圓的方程為/+)，2—4工一2>=0,即(工-2)2+。一

1)2=5；

8144,765

過(guò)(0,0),X-

3.F+y9，

過(guò)的圓的方程為2一號(hào)一?即

(-1,1),(4,0),(4,2)f+yx—2y=0,xI/+。，一

3.(2024.湖北武漢部分學(xué)校調(diào)研)圓心在直線x+y—1=0上且與直線2x-y-1

=0相切于點(diǎn)(1,1)的圓的方程是________________.

【答案】a+1)2+。-2)2=5

【解析】依題意，過(guò)切點(diǎn)(1,1)的圓的半徑所在直線方程為〉，一1=一；(穴一1),即x

\r+y-1=(),[x=-1,

+2)，-3=0,由J?；c八解得彳因此所求圓的圓心為(一1,2),

x+2v—3=0,y=2,

半徑,=4(一1一1)2+(2-1)2=小,所以所求圓的方程為(1+1)2+。-2)2=5.

【名師點(diǎn)撥】求圓的方程的兩種方法

I.直接法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫出方程.

2.待定系數(shù)法

根據(jù)條件設(shè)出圓的方程，再由題目給出的條件，列出等式，求出相關(guān)量.一般的，

與圓心和半徑有關(guān)，選擇標(biāo)準(zhǔn)式，否則，選擇一般式.不論是哪種形式，都要確

定三個(gè)獨(dú)立參數(shù)，所以應(yīng)該有三個(gè)獨(dú)立等式.

【變式訓(xùn)練】

1.已知圓。的圓心在x軸的正半軸上，點(diǎn)M(0,小)在圓C上，旦圓心到直線

2x~y=0的距離為竽，則圓C的方程為.

【答案】(x—2尸+)2=9

4^5_|2t/|

【解析】設(shè)圓C的圓心坐標(biāo)為(4,0),4〉0,半徑為一,??。=±2.

5

V?>0,???〃=2,???/=(2—。戶+①一小尸=9,二.圓C的方程為(x—2)2+)，2=9.

2.（2025?河南安陽(yáng)調(diào)研）過(guò)點(diǎn)。2）且與直線），=/一2相切，圓心在x軸上的圓的

方程為（）

A.(x+1)2+)2=3B.U+l)2+/=5

C.(X+2)2+)，2=4D.(x+2)2+y2=8

【答案】D

【解析】設(shè)圓心坐標(biāo)為（a,0）,則Y（a—0）2+（0—=-31,解得々=—2,又r2

=（一2—0）2+（0—2＞=8,故圓的方程為（尤+2）2+）2=8,.,?選D.

考向二直線與圓的位置關(guān)系——自主練透

1.（2024?河北滄州二模）若點(diǎn)A（2/）在圓/+）2—2〃田一2），+5=0（〃?為常數(shù)）外，

則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為（）

A.（一8,2）B.（2,一8）

C.（-8,-2）D.（-2,+8）

【答案】C

【解析】由題意知22+12-4/T?-2+5＞0,故加＜2,又由圓的一般方程1+產(chǎn)+

Dr+Ey+尸=0,可得即（一2"?）2+（—2戶一4X5＞0,即機(jī)＜—2或

加＞2,所以實(shí)數(shù)m的范圍為〃7＜—2.故選C.

2.（多選題）（2025?河南濮陽(yáng)質(zhì)檢）已知直線y=x與圓。：x2+y2—2my=4—in2W

兩個(gè)交點(diǎn)，則整數(shù)，〃的可能取值有（）

A.0B.-3

C.1D.3

【答案】AC

【解析】解法一：圓。：/+。一刈2=4,由題意知圓心（（），相）到直線y=x的距

離，=贄＜2,即一2巾＜用＜2巾,故選AC.

fy=x,

解法二：聯(lián)立；,

消去x可得2）2—2/股+加一4=0,則J=（—2/w）2—8（fn2—4）＞0,解得一26

＜加＜2隹故選AC.

3.（2025?遼寧三校質(zhì)檢）若直線/：），=丘+3—〃與曲線C：y=y]1—f恰有兩個(gè)交

點(diǎn)，則實(shí)數(shù)Z的取值范圍是()

惇2

A.+8B.

~4

D.

2

【答案】B

【解析】由/：丫一3=/八一1)知直線/過(guò)定點(diǎn)W.3),曲線C：兩邊平

方得f+)，2=l()，2()),所以曲線C是以((),())為圓心，半徑為1且位于直線x軸上

方的半圓，當(dāng)直線/過(guò)點(diǎn)A(—1,0)時(shí)，直線/與曲線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，此時(shí)

3

0=-2+3—白乂=5當(dāng)直線/與曲線。相切時(shí)，直線和圓有一個(gè)交點(diǎn)，圓心(0,0)

13一川4

到直線/的距離d==1,解得攵所以結(jié)合圖形可知直線/與曲線。

[1+R

43

恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則故選B.

4.(2025?湖北部分學(xué)校質(zhì)檢)若圓C：f+y2—2x—6y+l=()上恰有三點(diǎn)到直線/：

y=kx的距離為2,則k的值為()

A1B3

八,20,4

4

C.gD.2

【答案】C

【解析】由『+產(chǎn)一幼一6)，+1=0得。-1)2+()，-3)2=9,所以圓心C(l,3),半

徑一=3,因?yàn)閳A上恰有三點(diǎn)到直線)=質(zhì)的距離為2,所以圓心。(1,3)到直線y

改一3|4

=履的距離為1,即1==i,解得&=],故選C.

4不+1

【變式訓(xùn)練】本例4中，若圓C上到直線〃z：x—2)，+c=0的距離為2的點(diǎn)至少

有三個(gè)，則c的取值范圍為.

【答案】［5-小，5+小

【解析】由題意知圓心。(1,3)到直線〃7的距離解得5—小WcW5

+小.

【名師點(diǎn)撥】判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法

1.兒何法：利用圓心到直線的距離d與半徑〃的關(guān)系.

2.代數(shù)法：利用直線方程與圓的方程聯(lián)立得一元二次方程利用/判斷.

3.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過(guò)定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交.

4.判斷圓上到定直線的距離為定值的點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題的關(guān)鍵是比較定值、圓心到

直線的距離、半徑的大小.

【變式訓(xùn)練】

1.(多選題)(2021.新高考II卷)已知育線/：cuc-1-hy—r=0與圓C-.jr+y2=r2,

點(diǎn)A(a,b),則下列說(shuō)法正確的是()

A.若點(diǎn)A在圓。上，則直線/與圓。相切

B.若點(diǎn)A在圓。內(nèi)，則直線/與圓。相離

C.若點(diǎn)4在圓。外，則直線/與圓。相離

D.若點(diǎn)4在直線/上，則直線/與圓C相切

【答案】ABD

【解析】:點(diǎn)A在圓C上，，^+加二戶,

|0X6z+0X^-^|Jr2!

二圓心C(0,0)到直線/的距離為d=，一+4r,直線與圓

C相切，故A正確;

???點(diǎn)A在圓C內(nèi)，???/+〃2v/,

|()義〃土0X或一戶|」尸|

???圓心C(U,0)到直線/的距離為d=yfcr-1-b2yja2-\-b2>r,???直線與圓

C相離，故B正確;

..?點(diǎn)A在圓C外，.?.02+招＞戶,

|0Xa+0X/i||3|

???圓心C(0,0)到直線/的距離為d=<rt??.直線與圓

。相交，故C錯(cuò)誤;

???點(diǎn)A在直線/上，，/+/二戶,

二圓心C（0,0）到直線/的距離為d1°Xcf1=力=r,???直線與圓

'cr+lr'出+b~

。相切，故D正確.故選ABD.

2.（2024.江蘇南京模擬）圓C：上恰好存在2個(gè)點(diǎn)，它到直

線），=小不-2的距離為1,則R的一個(gè)取值可能為（）

A.1B.2

C.3D.4

【答案】B

【解析】圓心C（0,2）到直線的距離為2,???陽(yáng)一2|<1,即1VRV3.故選B.

考向三圓的切線——師生共研

1.（2024.浙江強(qiáng)基聯(lián)盟聯(lián)考）過(guò)圓『+）2=1上點(diǎn)《一坐乎）的切線方程為

【答案】y=x+y[2

【解析】由題知，koP=T,則心故=1,所以切線方程為），=卜一卜陰卜孚，

即y=x+y[2.

2.（2024.四川達(dá)州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校測(cè)試）已知圓C：（%+1）2+（），-27=4,則過(guò)點(diǎn)H1,3）

與圓。相切的直線/的方程為.

【答案】x=1或3x+4y—15=0

【解析】當(dāng)過(guò)點(diǎn)尸的直線斜率不存在時(shí)，其方程為x=l,顯然到圓心。（一1,2）

的距離等于半徑2,故是圓的一條切線；當(dāng)過(guò)點(diǎn)P的直線斜率存在時(shí)，設(shè)其方程

為廠3=3-1）,即"），一攵+3=0,由匕與浮土3=2得仁一日，故切線

\jk--t-14

的方程為3x+4y—15=0.

【變式訓(xùn)練】本例2中過(guò)兩切點(diǎn)的直線方程為.

【答案】2x+y-4=0

【解析】解法一：設(shè)兩切點(diǎn)為A、B,由CA_LB4,CBLPB知P、A、。、5四點(diǎn)

共圓且其方程為《+（廠|）2=點(diǎn)兩圓方程相減得A8方程為Zt+y-4=0.

解法二：kpcf故可設(shè)過(guò)切點(diǎn)4、B的直線的方程為2x+y+c=0,設(shè)AB交

PC于H,由AC=2,尸。=,知。"=差=竽,即。到AB的距離曷=￥，解

得。=-4或4（舍去），故A8方程為2r+），-4=0.

【名師點(diǎn)撥】解決直線與圓相切問(wèn)題的策略

1.過(guò)圓。。一幻2十°，一32=/上一點(diǎn)尸（口，h）的切線方程，利用“切線垂直于

過(guò)切點(diǎn)的半徑”求解.

注：切線方程為（xo—a）（x—a）+。嗚-Z?）（y—。）=r.

2.過(guò)圓外一點(diǎn)或與定直線平行的切線方程，“利用”圓心到直線的距離等于半

徑求解，此時(shí)切線有兩條，謹(jǐn)防丟解.

注：若過(guò)點(diǎn)P（xo,yo）的圓C：（x—〃）2+（y—b）2=?的切線的切點(diǎn)分別為A、B,

則直線AB的方程為（旗一〃）（1一a）+（yo一份。，一〃）=戶.

【變式訓(xùn)練】（2025弓可南鄭州階段測(cè)試）平行于直線2E+），+1=0且與圓x2+）2=5

相切的直線的方程是（）

A.2r+），+5=0或2x+y-5=0

B.2x+），+小=0或2r+），一小=0

C.2工一），+5=0或2]—），-5=0

D.2工一），+小=0或2工一），一小=0

【答案】A

【解析】設(shè)所求直線為2x+），+c=0,由直線與圓相切得，消不=小,解得。

=±5.所以直線方程為2x+），+5=0或21+），-5=0.故選A.

考向四與圓有關(guān)的最值問(wèn)題——多維探究

1.角度1直線型、距離型最值

（多選題）（2025?湖北武漢江夏一中、漢陽(yáng)一中聯(lián)考）已知實(shí)數(shù)x,），滿足曲線C的

方程『+），2—*一2=0,則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.x2+y2的最大值是+1

-L1

B.冷V的最大值是2+#

C.卜一)，+3]的最小值是2啦一方

D.過(guò)點(diǎn)(0,6)作曲線C的切線，則切線方程為x—/)，+2=0

【答案】BD

【解析】由圓C：/+./—2x—2=0可化為(x—1)?+)2=3,可得圓心(1,0),半徑

為「?=#,由f+V表示圓。上的點(diǎn)到定點(diǎn)。(0,0)的距離的平方，所以它的最大

值為[4(1一())2+02+仍2=4+25,所以A錯(cuò)誤；

X-]vx=，5cos。+1,、

換兀法：令=cos0,q^=sin〃，即,L（0〈82兀），

ly=V3sin仇

貝Ur+VnScosZe+zV5cos。+1+3sii？9=2小cos9+4W4+2#.

I當(dāng)夕=0時(shí)取等號(hào)，即？+)，2的最大值為4+2#..'.A錯(cuò)誤7

設(shè)空'=A,即)，+1=/+1),由圓心(1,0)到直線的距離〃=隼*或小，解得

x十1

2—加WZ2+%,所以由的最大值為2+般,所以B正確;

令x—y=c,則由圓心C到直線x—y—c=0的距離一^-《小，知1—

+A/6,>+3|=|c+3]￡[4—加，4+y[69即|x—y+3]的最小值為4—加，所

以C錯(cuò)誤；

(由卜一)，+3|表示圓上任意一點(diǎn)到直線工一丁+3=()的距離的5倍，圓心到直線的

距離4=e=2/，所以其最小值為也(2/一小)=4一加，所以C錯(cuò)誤；)

因?yàn)辄c(diǎn)(0,陋)滿足圓。的方程，即點(diǎn)(0,也)在圓C上，則點(diǎn)。與圓心連線的

斜率為佑=一地，可得切線的斜率為％=—==嘩，所以切線方程為一也=噂

KI乙

(x-0),即工一/y+2=0,所以D正確.故選BD.

角度2線段和、差的最值

2.(2024江蘇鎮(zhèn)江二模舊知。。。-1)2+。-1)2=3,點(diǎn)A為直線/：)，=一1上

的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作直線與。。相切于點(diǎn)P,若0(—2,0),則|AP|+|AQ|的最小值

為.

【答案】小

【解析】。關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)為欣一2,-2）,過(guò)"的直線與圓C切于N,交

直線/于A',則|AP|+|AQ|2|A'M+IA'M=|MM=d（—2—1）—（—2—0）2=

四.

角度3面積型最值

3.（2025?云南昆明一中雙基檢測(cè)）已知圓O：f+產(chǎn)=2,點(diǎn)。為直線/：工+），-4

=0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，QE,Q歹是圓C的兩條切線，E,尸是切點(diǎn)，當(dāng)四邊形OEQF

面積最小時(shí)，直線七b的方程為（）

A.x+y—1=0B.x—y+l=0

C.x+2），-1=0D.l2rH=0

【答案】A

［解析］由題意知SoEQb=2S^oQE=y{2EQ=y［2,\l\OQ\~—2，，當(dāng)|OQ|最小時(shí)SOEQF

4廠

最小，此時(shí)OQ_L/,又OQ±EF,：?EF〃/，:?kEF=ki=-l,又|。。|=亞=26,

10”|=［幺?=噂，設(shè)EBy=-x+C,則由隼'=算知C=1或一1（舍去），故

I《，丫IN7二乙

所求直線方程為x+y-l=0,故選A.

注:①SOEQF最小O切線長(zhǎng)|EQ|最小oNEQF最大O|最小，且SOEQF最小為2小.

\y-x,

②由OQ_L/知加Q=1,，0。：y=x,由彳,,八知。（2,2）,又?！阓LEQ,

支+廠4=0,

OFA.FQ.，0、E、。、F四點(diǎn)共圓，其方程為（犬-1）2+。-1/=2.由兩圓方程

相減得上2x+y—1=0.故選A.

【名師點(diǎn)撥】與圓有關(guān)最值問(wèn)題的解法

（1）形如等轉(zhuǎn)琴服從C、d、6、/為常數(shù)）的最值問(wèn)題，可令其為Z,轉(zhuǎn)化為直

線與圓（或圓瓠）的位置關(guān)系問(wèn)題，用圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系（或直線所經(jīng)

過(guò)的特殊點(diǎn)）解決.

（2）形如。―02+。一切2形式的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的

最值問(wèn)題.

（3）圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)（定直線）距離的最大值與最小值可轉(zhuǎn)化為圓心到定點(diǎn)（定直線）

距離與半徑的和與差.

（4）折線段的最值問(wèn)題的基本思路：

①“動(dòng)化定”，把與圓上動(dòng)點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為與圓心的距離；

②“曲化直”，即將折線段之和轉(zhuǎn)化為同一直線上的兩線段之和，一般要通過(guò)對(duì)

稱性解決.

【變式訓(xùn)練】

1.（角度1）（2025?貴州聯(lián)考）若點(diǎn)P在曲線Cf+），2-2L6y+1=0上運(yùn)動(dòng)，則壬

的最大值為.

【答案】專24

【解析】曲線C方程化為5—1）2+0，-3）2=9,是以（1,3）為圓心，3為半徑的圓，

設(shè)%=心即直線/：日一），+3攵=0,又P在圓上運(yùn)動(dòng)，故直線與圓C有公共點(diǎn)，

?AIJ

則暴詈這3,化簡(jiǎn)得7F—24A<0,解得04W早，故土的最大值為筆

2.（角度2）（2024?江蘇徐州銅山區(qū)調(diào)研）已知圓Ci：（x-l）2+（y-2）2=l,圓。2：

（x—3）2+（），+4）2=4,M>N分別是圓Ci,C2上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P是x軸上動(dòng)點(diǎn)，則|PN|

一|PM|的最大值是()

A.2g+3B.2啦+5

C.2^10+3D.2^10+5

【答案】A

【解析】由題意知，圓G的圓心為G(l,2),半徑門=1,圓C2的圓心為。2(3,

-4),半徑9=2,作02(3,—4)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)。3(3,4),如圖所示，\PN\~

|PMW(|PC2|+n)-(|PG|~r\)=|PC2|一|PCi|+n+為=儼。|一|PG|+n+

n^lCiCjl+n+n=^/22+22+2+1=3+2^/2,當(dāng)P,Ci,C3共線時(shí)等號(hào)成立，

所以|PN|一|PM|的最大值為3+2，1故選A.

3.(角度3)(2024.湖南“一起考”大聯(lián)考)直線x+)，+2=0分別與x軸，)，軸交于

A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓位-2)2+)，2=2上，則面積的取值范圍是()

A.[2,6B.[4,8

C.詆3^2D.[2「3啦

【答案】A

【解析】:直線x+y+2=0分別與x軸，)，軸交于A,8兩點(diǎn)，.??4-2,0),8(0,

-2),則|A用=2啦，

???點(diǎn)尸在圓(x—2/+y=2上,

???圓心為(2,0),則圓心到直線距離&苗'=2故點(diǎn)Q到直線工+)，+2

=()的距離力的范圍為[啦，3&,則5”即=/48|4=啦4￡[2,6,故選A.

【知識(shí)拓展】圖索的方程

1.(2025.河北保定部分學(xué)校月考)圓心在直線”一廠4=0上，且過(guò)兩圓

一6=()和x2+)，2—4)，-6=0的交點(diǎn)的圓的方程為.

［分析此題若求兩圓交點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)算繁瑣，注意到兩圓交點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程f+

y2—4x—6+〃f+)，2—4y—6)=0,故只需根據(jù)題意求出2,并判斷其為圓的方程

即可.

【答案】。-3)2+()，+1)2=16

【解析】由題意設(shè)圓的方程為/+)2—4工一6+”1+)，2—4N-6)=0,整理得x2

+V—*7—?jiǎng)?wù)一6=0,圓心坐標(biāo)為島,備)，所以左一M一4=0,

解得2=-g,所以圓的方程為f+>2—6工+2y—6=0,即(x—3)2+。+1/=16.

【名師點(diǎn)撥】?jī)蓚€(gè)圓系方程

(1)過(guò)直線Ar+3y+C=0與圓^+/+Dx+Ey+F=0交點(diǎn)的圓系方程為d+V

+Ox+￡>+b+，(Ar+By+。=0(2￡R)；

(2)過(guò)圓Ci：f+V+Qix+Eiy+Fiu。和圓f+V+Dir+Ezy+BuO交點(diǎn)的

圓系方程為^2+)'2+。無(wú)+田丁+尸|+2。2+)?+?！?及)，+五2)=0(2:/：-1)(其中不

含圓。2,所以注意檢驗(yàn)C2是否滿足題意，以防丟解).

【變式訓(xùn)練】

經(jīng)過(guò)直線x-2y=0與圓/+32—4x+2)，-4=0的交點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)(1,0)的圓的方程

為.

【答案】x1+y2+3x-\2y-4=Q

【解析】設(shè)過(guò)已知直線和圓的交點(diǎn)的圓系方程為：x2+y2—4x+2y—4+x(x-2y)

=0,二所求圓過(guò)點(diǎn)(1,0),???-7+2=0,解得2=7,所以圓的方程為『+)，2—4x

+2y—4+7(x—2y)=0,即x2+)2+3x—12)，-4=0.

【限時(shí)訓(xùn)練】(限時(shí)：6()分鐘)

【基礎(chǔ)必刷題】

一、單選題

1.(2025.湖北云學(xué)名校聯(lián)盟調(diào)研)如果直線ax+by=4與圓f+)2=4有兩個(gè)不同

的交點(diǎn)，那么點(diǎn)P(〃，份與圓的位置關(guān)系是()

A.P在圓外

B.P在圓上

C.P在圓內(nèi)

D.尸與圓的位置關(guān)系不確定

【答案】A

匚4|

【解析】由題意得<2,所以點(diǎn)(a,。)在圓外,故選A.

2.(2025?山西臨汾模擬)已知直線/過(guò)圓/-2%+)2=0的圓心，且與直線2x+y

-3=0垂直，則/的方程為()

A.x—2y+l=0B.x~\~2y—1—0

C.2x+y-2=0D.x~2y~l=0

【答案】D

【解析】由2x+)2=00(x—1)2+)2=],所以圓心坐標(biāo)為(1,0),因?yàn)橹本€2x

+y—3=()的斜率為一2,所以與直線2r+y-3=0垂直的直線/的斜率為去所

以/的方程為：1),即x—2)，一1=0,故選D.

3.(2024.河南洛陽(yáng)期中)如圖，一座圓拱橋，當(dāng)拱頂離水面2米時(shí)，水面寬12米,

則當(dāng)水面下降1米后，水面寬為()

A.四米B.病米

C.2小米D.2病米

【答案】D

【解析】如圖建立直角坐標(biāo)系，則拱圓的方程為f+G，—份2=凡又8(6,0)((0,2),

36+戶=/，伍=—8,

仍―2)2=/，解得f，=ioo,???拱圓方程為f+(y+8)2=100,當(dāng)y=-]

時(shí)，工=為回，.二水面寬為2方.故選D.

A

4.已知直線3氏+4），-4=0與圓C相切于點(diǎn)7（0』），圓心C在直線x-y=0上,

則圓C的方程為（）

A.(x-3)2+(廠3)2=13

B.(x-3)2+(y+3)2=25

C.(x+3)2+0-3)2=13

D.(x+3)2+0+3)2=25

【答案】D

a—14

【解析】由題意，設(shè)C（a,a）（a#0）,圓C的半徑為，?，kcr=~~l=y解得a

二一3,所以圓心。（一3,—3）,半徑，=|。71=寸（一3—0）2+（—3—1戶=5,所以

圓C的方程為（x+3）2+（y+3）2=25.故選D.

5.（2024?湘豫名校聯(lián)考）已知直線/：y=2啦/+人與圓C：（九一1）2+。+1）2=9相

切，則實(shí)數(shù)人=（）

A.8—2啦或一10一2吸

B.一11或9

C.11或一9

D.-8+2班或10+2吸

【答案】A

|2/一(一1)+""乃

【解析】依題知圓心C（l,-1）,半徑為3,則」丫；=3,解得6=8

叱26產(chǎn)+(—1)2

—2理或6=—10—2m.故選A.

6.（2024?江蘇常州一中調(diào)研）點(diǎn)（My）在曲線y=、14T-2上，則“一4），+4］的

取值范圍為（）

'2_18

A.亍TB.[2,18

19-

C.[1,9D.彳5

【答案】B

【解析】如圖，曲線)，=74—x2—2為圓J+()，+2)2=4的上半圓,圓心A(0,—

2),半徑為2,8(2,-2),

令版一4丁=八則當(dāng)直餞/：3工一4)，一/=0過(guò)點(diǎn)8(2,—2)時(shí)，r=14；

當(dāng)直線/與半圓相切時(shí)

即，=—2,???3L4y￡[—2,14,從而|3%—4y+4|￡[2,18.故選B.

7.(2024?湖南部分校摸底諾圓心在第一象限的網(wǎng)過(guò)點(diǎn)(2,0),且與兩坐標(biāo)軸部相

切，則圓心到直線2x+y—ll=0的距離為()

A.1B.平

C.2D.小

【答案】D

【解析】由題設(shè)可設(shè)圓心為(。，。)(。>0),則圓的半徑為故圓的方程為(x—幻2

+(y—a)2=a2,再把點(diǎn)(2,0)代入得(2—〃>+⑴―。)2=〃2,解得。=2,故圓的方程

為。一2)2+。一2)2=4,故所求圓的圓心為(2,2),故圓心到直線2%+y-ll=()的

12X2+2-111

距離=小.故選D.

d=卷十7

8.(2024.河南鄭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校月考)一條光線從點(diǎn)(一2,一3謝出，經(jīng)y軸反射后

與圓(x+3)2+()，-2戶=1相切，則反射光線所在直線的斜率為()

A.—|?Jc—|B.-,或一彳

【答案】D

【解析】圓。+3)2+()，-2)2=1的圓心為C(-3,2),半徑r=1.如圖，作出點(diǎn)A(一

2,-3)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)3(2,-3).由題意可知，反射光線的反向延長(zhǎng)線一定

經(jīng)過(guò)點(diǎn)正設(shè)反射光線的斜率為k,則反射光線所在直線的方程為)，一(-3)=網(wǎng)工

-2),即9一)，-2A—3=0.由反射光線與圓相切可得限—3,北攵-3|=],即麻

+5|=、1+F,整理得12S+25hH2=0,即(3%+4)(以+3)=0,解得％=—y或

3

z=-W，故選D.

9.(2025?湖北武漢江夏一中、漢陽(yáng)一中聯(lián)考諾圓f+)，2+4x-4)L10=0上至少

有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線/：辦+外=0的距離為2、伉，則直線/的斜率的取值范圍

是()

A.[2-3，2+小B.[—2—小，—2+小

C.[—2—y[3t2+A/5D.1—2一小,2一小

【答案】B

【解析】根據(jù)題意，圓f+)?+4x—4y—1()=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+2)2+(y—2)2=

18,其圓心為(一2,2),半徑—=36，若圓?+產(chǎn)+4]一4丫-10=0上至少有三個(gè)

不同的點(diǎn)到直線/：ar+外=0的距離為2啦,則圓心(一2,2)到直線/的距離dW3小

—2/=/，直線/：以+b=0的斜率攵=一齊.,,直線/：lcx—y=0,則有才

《也，解得一2一火《一2+小，故選B.

二、多選題

1().(2025?貴州貴陽(yáng)摸底)在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線以一y+l=0與圓f

+/=2的位置可能為()

【答案】ABD

【解析】直線〃狀一y+1=()過(guò)定點(diǎn)(()/)，顯然點(diǎn)(0,1)在圓『+產(chǎn)=2內(nèi)，因此直

線〃a—y+1=()與圓f+)?=2必相交，C錯(cuò)誤；而直線/成-y+1=()表示平面

內(nèi)過(guò)點(diǎn)(0,1)的除直線x=()外的任意直線，因此選項(xiàng)ABD都可能.故選ABD.

II.(2025?湖南部分學(xué)校聯(lián)考)已知直線1(m+15+2y+2加-2=0與圓C：R

+y2—2)，—8=0,貝立)

A.直線/與圓C一定相交

B.直線/過(guò)定點(diǎn)(一2,2)

C.圓心。到直線/距離的最大值是2啦

D.使得圓心。到直線/的距離為2的直線/有2條

【答案】AB

【解析】由題意可知直線/過(guò)定點(diǎn)4—2,2),圓心。的坐標(biāo)為(0,1),半徑為3,

則點(diǎn)A在圓C內(nèi)，從而直線/與圓。一定相交，故A,B正確；設(shè)圓心C到直

線/的距離為4則d4|ACl=/,則C錯(cuò)誤；因而胃==2得〃尸|,所

以使得圓心。到直線/的距離為2的直線/有且僅有1條，則D錯(cuò)誤.

三、填空題

12.(2024?廣東摸底聯(lián)考)已知直線/：4x-3y-4=0,請(qǐng)寫出一個(gè)滿足以下條件

的圓歷的方程____________.

①圓M與x軸相切；

②圓歷與直線/相切；

③圓M的半徑為2.

【答案】『十。-2)2=4或。-5)2+()，-2)2=4或。-2)2+。+2)2=4或。+3產(chǎn)+

()，+2尸=4(寫出其中的一個(gè)即可)

|4。一10|

【解析】當(dāng)圓心為M(〃,2)時(shí)，圓M與直線/相切，即=2,解得。=0或

[42+32

|4〃+2|

〃=5.當(dāng)圓心為M(〃，-2)時(shí)，圓M與直線/相切，即2,解得。=2或

〃=—3.所以圓的方程為f+(y—2產(chǎn)=4或(x—5)2+()，-2)2=4或(x—2)2+。+2)2

=4或(K+3)2+()，+2)2=4.

13.(2023?廣東佛山模擬)已知點(diǎn)4(1,()),8(3,0),若或而=2,則點(diǎn)2到直線/：

3x—y+4=()的距離的最小值為.

【答案】①一小

【解析】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),

.'.^4=(1—x,—y),PB=(3—x,—y)f

,??麗揚(yáng)=2,Z.U-2)12+/=3,

即P的軌跡是以(2,())為圓心，半徑為3的圓，點(diǎn)(2,0)到直線/的最短距離為麗，

則可得點(diǎn)P到直線/的距離的最小值為皿一切.

14.(2022.新課標(biāo)II卷)設(shè)點(diǎn)4一2,3),B(0,a),直線AB關(guān)于直線y=a的對(duì)稱

直線為/,己知/與圓C(l+3)2+。+2)2=1有公共點(diǎn)，則a的取值范圍為

13

【答案】谷a韋

【解析】因?yàn)楣?=三，所以直線AN關(guān)于直線)，=。的對(duì)稱直線為(3—a)x—2y

3

|3(tf-3)+4+2c/|-

+24=(),由題意得W1,2

、/4+(3-4

四、解答題

15.(2024河南許昌中學(xué)定位考試)已知圓。過(guò)點(diǎn)M(0,-2),N(3,T),且圓心C

在直線x+2)，+l=0上.

⑴求圓C的方程；

(2)設(shè)直線以一＞，+1=0與圓C交于A,B兩點(diǎn),是否存在實(shí)數(shù)小使得過(guò)點(diǎn)打2,0)

的直線/垂直平分弦AB?若存在，求出實(shí)數(shù)。的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理曰.

【解析】(1)解法一：,:kMN=l,

-?MN中垂線的方程為y+1=—(工一方)，

即x+y—1—0,

x+y—1=0,

由j.1n得C(3,-2),又/=|。切2=9,

+1=0,

，圓。的方程為。-3)2+()，+2)2=9,

即f+y2—6x+4y+4=0.

解法二：設(shè)圓C的方程為f+)2+Di+Ey+尸=0,

-y-E+l=(),[D=-6,

解得《七=4,

依題意得＜4-2E+尸=(),

IF=4,

、1()+3O+E+F=(),

所以圓。的方程為f+y2—6x+4y+4=0.

(2)不存在這樣的實(shí)數(shù)內(nèi)使得過(guò)點(diǎn)P(2,0)的直線I垂直平分弦AB.

理由如下：假設(shè)符合條件的實(shí)數(shù)。存在.

由(1)得圓心C為(3,-2),因?yàn)橹本€/垂直平分弦48,

所以圓心C(3,—2)必在直線/上，

所以直線/的斜率ZPC=-2.

又kAB=a=一看，所以^=2-

又圓C的半徑，=3,圓心C到直線%—)，+1=0的距離

所以不存在這樣的實(shí)數(shù)叫使得過(guò)點(diǎn)P(2,0)的直線/垂直平分弦AB.

【鞏固必刷題】

1.(2023?貴州銅仁適應(yīng)性考試)過(guò)4(0,1)、8(0,3)兩點(diǎn)，且與直線y=x-l相切的

圓的方程可以是()

A.。+1)2+。-2)2=2

B.(L2)2+&-2)2=5

C.。-1)2+3—2)2=2

D.。+2)2+°，-2)2=5

【答案】C

【解析】因?yàn)锳(0,l),6(0,3),則線段A8的垂直平分線所在直線的方程為)，=2,

1/—9-111/—31

設(shè)圓心為C(t,2),則圓C的半徑為r—,又因?yàn)閞=|AC]=

、產(chǎn)+(2—1)2=7^，所以號(hào)=，對(duì)，整理可得》+9-7=0,解得t=\

或，=—7,當(dāng)1=1時(shí)，r=HC|=/,此時(shí)圓的方程為(x—1)2+()，-2/=2；當(dāng)/

=-7時(shí)，r=|AQ=5出此時(shí)圓的方程為。+7)2+()，-2)2=50.綜上所述，滿足

條件的圓的方程為a-l)2+()，-2)2=2或。+7)2+()，—2)2=5().故選C.

2.(2025?湖北八校聯(lián)考)已知點(diǎn)4(—1,。)，8(0,3),點(diǎn)尸是圓。-3)2+)2=1上任

意一點(diǎn)，則△布8面積的最小值為()

n

A.6B.~2

C.￡D.

6

【答案】D

【解析】?jī)牲c(diǎn)A(—1,0),8(0,3),則|A8|=N(—1)?+32=E，直線48方程為y

=3x