2026年中考數(shù)學(xué)強基訓(xùn)練：解直角三角形的應(yīng)用

一、單選題

I.如圖是簡化后的冬奧會跳臺滑雪的雪道示意圖，AA段為助滑道，8C段為著陸坡，著陸

坡的坡角為。，A點與8點的高度差為120米，A點與C點的高度差為〃米，則著陸坡8。的

長度為（）

A.-120）sina米B.(120-/?)cosa米

C.嗎米D.心里米

cosasina

2.某時刻海上點P處有一客輪，測得燈塔A位于P的北偏東30。方向，且相距50海里.客

2

輪以60海里/小時的速度沿北偏西60。方向航行孑小時到達B處，那么tan/BAP=（）

D.裝及

3.某車庫出口安裝的欄桿如圖所示，點A是欄桿轉(zhuǎn)動的支點，點E是欄桿兩段的連接點.當

車輛經(jīng)過時，欄桿AEr最多只能升起到如圖2所示的位置，其示意圖如圖3所示（欄桿寬

度忽略不計），其中EF//BC,Z4EF=I43°,AB=1.18米，人E=1.2米，那么適

合該地下車庫的車輛限高標志牌為（）（參考數(shù)據(jù):sin37OY）.60,cos37%0.80,tan37°H）.75）

：dZZ,!1

圖1圖2圖3

4.如圖，攔水壩的橫斷面為梯形A4CD,AF=DE=6m,斜面坡度i=l：1.5是指坡面的鉛

直高度A尸與水平寬度防的比，斜面坡度/=1:3是指OE與CE的比.根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，求出

斜坡A8的長為（）

A.13B.3歷C.3而D.II

5.如圖是跳臺滑雪比賽的某段賽道的示意圖，某運動員從離水平地面100m高的4點出發(fā)

（A8=l（X）m）,沿俯角為30。的方向先滑行?定距離到達。點，然后再沿俯角為60。的方向

滑行到地面的。處.若4D=140m,則該運動員滑行的水平距離BC為（）米？

A.120B.8()石C.140D.70x/3

6.如圖，一艘海輪位于燈塔P的南偏東45。方向，距離燈塔60nmi怕的A處，它沿正北方

向航行一段時間后，到達位于燈塔P的北偏東30。方向上的B處，這時，B處與燈塔P的距

離為（）

A.60/nmileB.6072nmileC.308nmileD.3072nmile

7.如圖，小雅家（圖中點。處）門前有一條東西走向的公路，經(jīng)測量得知有一水塔（圖中點A

試卷第2頁，共6頁

處）在她家北偏東60度500m處，那么水塔所在的位置到公路的距離AB是（）

*A

一O\4B小

A.250mB.250GmC.mD.250am

8.如圖，電線桿C。的高度為力，兩根拉線AC與8c互相雍直（A、。、8在同一條直線上）,

設(shè)NC48=a,那么拉線BC的長度為（）

ADB

h_hhh

A.------B.-------C.-------D.-------

sinacosatanacota

二、填空題

9.如圖，6。是?一條河的直線河岸,點4是河岸BC對岸上的一點，AB_LBC于站在河

岸8c的C處測得NBC4=5O。，BC=\0m,則橋長A8=__，〃（用計算器計算，結(jié)果精確到0.1

米）

K

BC

10.如圖，某數(shù)學(xué)小組要測量校園內(nèi)旗桿A8的高度，其中一名同學(xué)站在距離旗桿12米的

點。處，測得旗桿頂端A的仰角是30,此時該同學(xué)的眼睛到地面的高C。為1.5米，則旗

桿的高度為_米（結(jié)果精選到0.1米，73-1.73）.

A

CB

11.如圖，為測量旗桿AB的高度，在水平地面8的C處用測角儀測得旅桿頂端A的仰角

為6()。，在三樓窗臺。處測得旗桿頂端4的仰角為30。，已知6=9.6m,則旗桿44的高度

為m.

12.如圖，修建的二灘水庫大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬6m,壩高23m,斜坡AB的坡度

i=l：3,斜坡CD的坡度i=l：2.5,則壩底寬AD=_m.

13.如圖，熱氣球探測器顯示，從熱氣球A處測得一棟樓頂部。處的仰角是37，測得這棟

樓的底部8處的俯角是60",熱氣球與這棟樓的水平距離是30米，那么這棟樓的高度是一

米（精確到0.1米）.（參考數(shù)據(jù)：sin37*0.60,cos37?0.80,tan37念0.75,6U1.7）

14.如圖，一根竹竿垂直插在水中，露出水面部分長0.5米，若竹竿頂部偏離原地2米，此

時竹竿頂恰好與水面齊平，那么水深米，竹竿偏離角a=(精確到I度).

試卷第4頁，共6頁

三、解答題

15.如圖，武當山風(fēng)景管理區(qū)，為提高游客到某景點的安全性，決定將到達該景點的步行臺

階進行改善，把傾角由44。減至32。，已知原臺階AB的長為5米（BC所在地面為水平面）.

（1）改善后的臺階會加長多少？（精確到0.01米）

（2）改善后的臺階多占多長一段地面？（精確到0.01米）

16.海船以5海里/小時的速度向正東方向行駛，在A處看見燈塔B在海船的北偏東60。方

向，2小時后船行駛到C處，發(fā)現(xiàn)此時燈塔B在海船的北偏西45。方向，求此時燈塔B到C

處的距離.

17.如圖，河流的兩岸P。、互相平行，河岸MN上有一排間隔為50米的電線桿C、Q、

￡..某人在河岸P。的A處測得NC4Q=3O。，然后沿河岸走了110米到達B處，測得

ZDBQ=45°f求河流的寬度（結(jié)果精確到0.1,參考值：V2?1.414,73?1.732）

18.如圖，為測量學(xué)校旗桿AB的高度，小明從旗桿正前方3米處的點C出發(fā)，沿坡度為

i=l：G的斜坡CD前進2石米到達點D,在點D處放置測角儀，測得旗桿頂部A的仰角

為37。，量得測角儀DE的高為1.5米.A、B、C、D、E在同一平面內(nèi)，且旗桿和測角儀都

與地面垂百..

（1）求點D的鉛垂高度（結(jié)果保留根號）；

（2）求旗桿AB的高度（精確到0.1）.

（參考數(shù)據(jù):sin37°=0.60,cos37°=0.80,tan37°=0.75,73=1.73.）

A

試卷第6頁，共6頁

參考答案

題號12345678

答案DAABBBAB

1.D

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助

線是解題的關(guān)鍵.過點A作AG_LCG于點G,過點B作8EJLCG,垂足為E,過點B作

BFLAG,垂足為尸，可得四邊形BFGE矩形，從而得FG=BE,然后在心中，利

用銳角三角函數(shù)的定義，進行計算即可解答.

【詳解】解:過點A作AG_LCG于點G,過點。作4￡_LCG,垂足為E,過點。作B”_L4G,

垂足為尸，則四邊形3AGE矩形，

?.?4/=120米，4G=6米,

.?.”G=BE=(/L120)米,

BE/z-120

在RlBEC中,HC=-=—；------米,

sinasina

故選：D.

2.A

【詳解】試題分析：???燈塔A位于客輪P的北偏東30。方向，且相距50海里，???PA=50,

2

???客輪以60海里/小時的速度沿北偏西60。方向航行§小時到達B處，

2BP404

.\ZAPB=90°BP=60x-=40,AcanZBAP=—=—=一，故選A.

3AP505

3.A

【分析】延長84、FE,交于點。，根據(jù)A8_L3G所〃8c知NAQE=90。，由NAE/三143。

4n

知NAEO=37。，sinZAED=-—,AE=1.2米求出AD的長，繼而可得8。的值，從而得

AE

出答案.

【詳解】如圖，延長84、FE,交于點Q.

答案第1頁，共11頁

D

'：ABLBC.EF//BC,

：.BDLDF,即N4Z)E=90°.

,/ZAEF=143°,

/.ZAED=3T.

在RtAADE中，

AT)

VsinZ4FD=-----,AE=1,2米，

AE

???A。:4￡嘀11/4￡0=1.2*血37%0.72(米)，

貝I」BD=AB+AD=1.18+0.72=1.9(^).

故選：A.

【點睛】本題考查了解直用三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是結(jié)合題意構(gòu)建直角三角形，并熟練

掌握正弦函數(shù)的概念.

4.B

【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，勾股定理.根據(jù)題意求出8F,利用名股定

理即可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意得槳=上=。，

BF1.53

*.*AF=6m,

3

???BF=-AF=9m,

2

?/Z^EA=90°,

,AB=J8A〉+A尸=3^3m，

故選：B.

5.B

【分析】過點。作。石工八〃于點E,DFJLBC于點F,證明四邊形。底火廠是矩形，再計算

DE=BF=ADcos30°=70>/3(m),AE=A￡)sin30°=70(m),結(jié)合tan6(T=竺，結(jié)合

C卜

BC=BF+CF=80V3(m),解答即可.

答案笫2頁，共11頁

本題考查了俯角的計算，構(gòu)造輔助線，選擇適當?shù)娜呛瘮?shù)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】過點D作于點E,DF1BC于點、F,

，四邊形OEB尸是矩形，

,DE=BF、DF=BE,

Vz4D=140m,ZAD￡=30°,

DE=BF=ADcos30°=70x/3（m）,AE=ADsin3O0=7O（m）,

*/AB=100m,

DF=BE=AB-AE=30（m）,

BF

*/NDCF=60°,tan60°=—,

CF

：.CF==半=10百（m）,

tan60061）

5C=BF+CF=8073（m）,

故選B.

6.B

【詳解】如圖，作PEL4B于E.

在Rt△以E中，VZME=45°,M=60z/mile,

:.PE=AE=^x60=30&nmile,

在RQPBE中，???NB=30。，

:.PB=2PE=60x/2nmile.

故選B.

答案第3頁，共11頁

B

i2

7.A

【詳解】解：由已知得：乙4。8=30。，OA=500m.貝lj04=250/〃.故選A.

8.B

【詳解】解：???4C與AC互相垂直，

/AC8=90。，

???NC4O+NAC￡>=90。，/ACO+NBCD=90。，

：.ZCAD=ZBCD,

CD

在/?/△BCD中cosZBCD=—,

BC

BC二CD='

cos/BCDcosa

故選B.

【點睛】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握同角的余角相等和三角函數(shù)的定義是

解題的關(guān)鍵.

9.11.9

【詳解】解：在中，tanZACB=—,BPAB=tanZACBBC=tan50°x1011.9/??.

BC

【點睛】本題考查解直角三角形的知識，熟知三角函數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵.

10.8.4.

【分析】根據(jù)題意可得RUADE,利用銳角三角函數(shù)可得A石的大小，進而根據(jù)

計算可得旗桿AB的高.

【詳解】解：根據(jù)題意可知：OE=8C=12米，

L

則人E=Q￡>tan3（）o=12xyl=4G（米），

3

故旗桿的高度為：AB=AE+BE=4/+1.5=8.4（米）.

故答案為：8.4.

【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用?仰角俯角問題，解題的關(guān)鍵是借助仰角構(gòu)造直角三

答案笫4頁，共11頁

角形，并結(jié)合三角函數(shù)解直角三角形.

11.14.4

【分析】本題考查了解直用三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題、矩形的判定與性質(zhì)、等腰三角形

的判定；正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.作。E/AS于E,則乙4a=90。，四邊形BCDE

是矩形，得出8E=CD=9.6m,ZCDE=ZDEA=90°,求出NAOC=120°,證出

ZC4D=30°=ZACD,得出AQ=CD=9.6m,在Rt4OE中，由直角三角形的性質(zhì)得出

AE=-AD=4.8m,即可得出答案.

2

【詳解】解：作于￡如圖所示：

則NA￡D=90。，四邊形5CDE是矩形，

.\BE=CD=9.6(m),ZCDE=ZOEA=9()°,

/.ZADC=90°+30°=120°,

?.-46—60。，

/.ZACD=30°,

ZCAD=30°=ZACD,

AD=CD=9.6(in),

在Rt“OE中，ZAD￡=30°,

A石=：AO=4.8(m),

AB=AE+BE=4.8+9.6=14.4(m)；

故答案為14.4.

12.132.5.

【分析】根據(jù)斜坡AB的破度求出AE,再根據(jù)CD的坡度求出DF,最后根據(jù)根據(jù)

AD=AE+EF+DF,即可求出壩底寬AD.

【詳解】解：「AB的坡度1=1：3,

答案第5頁，共11頁

(anA=-,

3

.BE1

**~AE=3,

VBE=23,

AAE=69,

VBC=6,

AEF=6,

?；CD的坡度kl：2.5,

.、CFI

..tanD=-----=—，

DF2.5

?23_1

??而-7?'

ADF=57.5,

/.AD=AE+EF+DF=69+6+57.5=132.5(m).

答：壩底寬AD的長是132.5m.

故答案為132.5.

【點睛】本題考行了解直角三角形的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是利用銳角三角函數(shù)的概念和坡

度的概念求解.

13.73.5

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題、銳角三角函數(shù)，解答此類問題的

關(guān)鍵是明確題意，利用銳角三角函數(shù)解答.

過點A作4D_LBC于點。，則4。二30米，在RtAQ8中和RjACD中，根據(jù)銳角三角

函數(shù)中的正切可以分別求得8D和CO的長，從而可以求得8C的長，本題得以解決.

【詳解】解：過點A作AO_L8C于點。，由題意可得，ZC4D=37°,ZBAD=60°,AD=30

米，ZADC=ZADB=90°,

答案笫6頁，共11頁

在RlADC中，tanZC>4Z）=—,

AD

:.CD=Ar>tan37°?30x0.75=22.5（米）,

在RlAO8中，tan/B4O=空，

AD

ADtan60=30x6=30>/5,

BC-BD+CD-22.5+3073*73.5（米），

即這棟樓的高度BC是73.5米.

故答案為：73.5.

14.—28°

4

【分析】利用勾股定理求竹竿的高度，從而求出水得深度，再根據(jù)三角函數(shù)的定義求出a的正

切函數(shù)值，繼而求出這個角的度數(shù).

【詳解】對圖中各點進行標注，如圖所示

設(shè)竹竿的長度為xm,則BC=x,AB=x-0.5

???AB±AC

???AB^AC^BC2（直角三角形勾股定理）

AB2+AC2=BC22BC=XAB=X-0.5AC=2

A（x-0.5）2+22=x2

解得x=4.25

故水的深度AB=x-0.5=3.75m

,/AB1AC

AC

，tanZABC=tana=——（三角函數(shù)定義）

AB

tana=AC=2AB=3.75

AB

/.tana^O.533

/.g28V.

答案第7頁，共11頁

【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熱練使用三角函數(shù).

15.⑴1.55米;(2)1.96米.

【分析】(1)要求臺階加長的部分，需求臺階改善后的新長度，改后的臺階組成的直角三角

形中，有坡角的度數(shù)，只要知道臺階的垂直距離便可，因為臺階修改前后高沒變，因此可根

據(jù)原臺階構(gòu)成的直角三角形來求出臺階的垂直高度.這樣，就能求出改后的臺階的長，也就

能求出增加了多少.

(2)修改前后的臺階構(gòu)成的兩個直角三角形中，已知了坡角，又求得了臺階的垂直高度，

那么他們的水平距離就都能求出了，多占的地面的長度其實就是這兩個水平距離的差.

【詳解】解：(1)如圖，在RSABC中,

AC=ABsin44°=5sin44°~3.473.

在RtAACD中，AD=A二=二4^=6.554.

sin32°sin32°

AAD-AB=6.554-5^1.55.

即改善后的臺階會加長L55米,

(2)如圖，在RIAABC中，

BC=ABcos44°=5cos44°^3.597.

在RtaACD中，CD=^^-=3473^5.558,

tan32°tan32°

ABD=CD-BC=5.558-3597=1.96,

即改善后的臺階多占L96米長的一段地面.

故答案為(1)故5米;(2)1.96米.

【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解直角三角

形的相關(guān)知識.

16.5（n—叵）海里

【詳解】本題考查的解直角三角形.對于6()。和45。一般是放在直角三角形中所以需要做輔

助線構(gòu)造直角三角形.

解：如圖，過B點作BD_LAC于D,設(shè)BD=x(1分)

答案第8頁，共11頁

北北

B

:.ZDAB=90°-60°=30°,ZDCB=90°-45°=45°（2分）

AL^—-------~-^C

在RSABD中，AD=xtan3O°=2^x（4分）

3

在RtABDC中BD=DC=xBC=Ax（6分）

又AD=5x2=10，當x-x=10（7分）得x=5（JJ_l）（8分）

???BC=0.5（6_1）=5（而"）（海里）（9分）

答：燈塔B距C處5（、后―/1）海里

17.河流的寬度約為82.0米

【分析】本題考查解直角三角形，平行四邊形的判定及性質(zhì).過點C作。尸，PQ于點尸,

過點。作。GJ.PQ于點G,可得到四邊形CFG。是平行四邊形，從而FG=CD=50,

CF

CF=DG,根據(jù)解直角三角形得到在Rt^AFC中，AF=———,在中，

tan/.CAF

BG=————，根據(jù)AB=A/+FG—8G即可求解.

tanZ.DBG

【詳解】解：過點。作C尸，尸。于點F,過點。作。G1PQ于點G,

???MN//PQ,

???四邊形CFG。是平行四邊形,

1FG=CD=5（）,CF=DG

CF

工在Rt