專題17多邊形與平行四邊形

考點(diǎn)01多邊形的內(nèi)角

1.（2025?北京?中考真題）若一個(gè)六邊形的每個(gè)內(nèi)角都是x。，則x的值為（）

A.60B.90C.120D.150

【答案】C

【分析】本題考查了多邊形內(nèi)角和公式，即（〃-2）x180。，其中，?為邊數(shù)，利用多邊形內(nèi)角和公式及正多邊

形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：???一個(gè)六邊形的每個(gè)內(nèi)角都是X。，

???每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為：xo=（6-2|xl80o^6=120°,

故選：C.

2.（2025?甘肅蘭州?中考真題）圖1是通過平面圖形的鑲嵌所呈現(xiàn)的圖案，圖2是其局部放大示意圖，由

正六邊形、正方形和正三角形構(gòu)成，它的輪廓為正十二邊形，則圖2中NA3C的大小是（）

圖1圖2

A.90°B,1200C.135°D.150°

【答案】D

【分析】本題考查了正多邊形的內(nèi)角和.根據(jù)正三角形的每個(gè)內(nèi)角為60。，正方形的每個(gè)內(nèi)角為90。，求解

即可.

1800360°

【詳解】解：正三角形的每個(gè)內(nèi)角為平=60。，正方形的每個(gè)內(nèi)角為號(hào)=90。,

JZ4BC=600+90°=150°,

故選：D.

3.(2025?四川自貢?中考真題)如圖，正六邊形與正方形的兩鄰邊相交，則。+尸=()

【答案】B

【分析】本題考查的是對(duì)頂角的性質(zhì)，多邊形和正多邊形的內(nèi)角和，熟練掌握正多邊形每個(gè)內(nèi)角的求解公

式是解題的關(guān)鍵.先根據(jù)正多邊形每個(gè)內(nèi)角為180。-」士,得到正六邊形和正方形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，再結(jié)

n

合四邊形的內(nèi)角和以及對(duì)頂角的性質(zhì)可得答案.

???正六邊形與正方形的兩鄰邊相交，

???ZA=90。，ZB=180°-^^=120°,

6

VZl+Z2+ZA+ZB=180°,Zl=a,N2=〃，

Zl+Z2=360°-90°-120°=l50°,

.\a+/7=Zl+Z2=15O°,

故選:B.

4.（2025?湖南長(zhǎng)沙?中考真題）如圖，五邊形ABCDE中,N8=I2O°,ZC=110°,ZD=105°,則

Z4+ZE=°,

【答案】2U5

【分析】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和求法，根據(jù)其公式解題即可.

【詳解】解：多邊形的內(nèi)角和為180。、(〃-2),

???五邊形ABCDE的內(nèi)角和為】80°x(5-2)=540°,

.\ZA+ZE=54()。-ZB-ZC-ZD=540。-12()°-11()°-105°=205°,

故答案為：205.

5.(2025?云南?中考真題)一個(gè)六邊形的內(nèi)角和等于()

A.360。B.540°C.720°D.9(X)0

【答案】C

【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式，掌握〃邊形內(nèi)角和為(〃-2)x180。是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式直接計(jì)算即可.

【詳解】解：由題意得：(6-2)xl80°=4xl80°=720°,

故選：C.

6.(2025?甘肅?中考真題)如圖，一個(gè)多邊形紙片的內(nèi)角和為1620。，按圖示的剪法剪去一個(gè)內(nèi)角后，所得

新多邊形的邊數(shù)為()

【答案】A

【分析】本題考查了多邊形內(nèi)角和問題，設(shè)原多邊形的邊數(shù)為〃，根據(jù)內(nèi)角和可解得〃，按圖示的剪法剪去

一個(gè)內(nèi)角后，新多邊形的邊數(shù)比原多邊形的邊數(shù)多1,即可解答，熟知多邊形內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：設(shè)原多邊形的邊數(shù)為〃，

則可得180(相-2)=1620,

解得〃二11,

按圖示的剪法剪去一個(gè)內(nèi)角后，

新多邊形的邊數(shù)比原多邊形的邊數(shù)多1,為12,

故選：A.

7.(2U21?青海西寧?中考真題)一個(gè)十二邊形的內(nèi)角和是°.

【答案】180031800度

【分析】本題考查的是多邊形內(nèi)角和，根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式計(jì)算即可.

【詳解】解：一個(gè)十二邊形的內(nèi)角和是（12-2）x180。=18（X）。,

故答案為：1800。.

8.（2024?江蘇南京?中考真題）如圖,在正〃邊形中，Zl=20°,則〃的值是（）

A.16B.18C.20D.36

【答案】B

【分析】本題主要考查了正多邊形與圓，圓周角定理，中心角，

先標(biāo)字母，將正〃變形看成一個(gè)圓，再根據(jù)圓周角定理求出/比可求出中心角的度數(shù)，進(jìn)而得出正多

邊形的邊數(shù).

【詳解】解：如圖所示，標(biāo)準(zhǔn)正方形的中心O,為中心角，將正〃變形看成一個(gè)圓，

???ZI=20°,

二ZBOC=2ZI=/1()°,

???Z4OB=ZAOC=20°,

?n360。以

20°

故選：B.

9.（2024.寧夏.中考真題）如圖，在正五邊形的內(nèi)部，以CO邊為邊作正方形CQFH,連接8H,

則/BHC=。二

A

【答案】81

【分析】本題考查正多邊形的內(nèi)角問題，正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等.先根據(jù)正多邊形內(nèi)角公式

求出/8CD,進(jìn)而求出N8C”,最后根據(jù)4c="C求解.

【詳解】解：?.?正五邊形A3COE中，Z￡?CD=^X(5-2)XI8(F=I08°,BC=DC,

正方形COE"中，NHCD=90。,HC=DC,

NBCH=/BCD—NHCD=T08O-900=18。,HC=BC,

2BHC=4HBC，

：.ZB//C=^(180°-ZBCH)=^x(180o-18o)=81°,

故答案為：81.

10.(2024.四川廣元?中考真題)點(diǎn)尸是正五邊形A8CQE邊OE的中點(diǎn)，連接4/并延長(zhǎng)與C。延長(zhǎng)線交于

點(diǎn)G,則N8GC的度數(shù)為.

【分析】連接30,BE,根據(jù)正多邊形的性質(zhì)可證“BEgKEXSAS),得到進(jìn)而得到3G是OE

的垂直平分線，HPZDFG=90°,根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式可求出每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，進(jìn)而得到NFDG=72。,

再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可解答.

【詳解】解：連接BO，BE,

A

;丑邊形ABCDE是正五邊形,

/.AB=BC=CD=AEfZA=ZC

???AA8-C3O（SAS）,

JBE=BD,

???點(diǎn)/是OE的中點(diǎn)，

，BG是DE的垂直平分線，

???ZDFG=90°,

51218Q

:在正五邊形ABCDE中，ZCDE=（-b°=108°,

???ZFDG=180O-ZCDE=72°,

???ZG=180°-ZDFG-NFDG=18O°-9O°-72°=18°.

故答案為：18。

【點(diǎn)睛】本題考杳正多邊形的性質(zhì)，內(nèi)角，全等三角形的判定及性質(zhì)，垂直平分線的判定，三角形的內(nèi)角

和定理，正確作出輔助線，綜合運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)02多邊形的外角

1.（2025?四川遂寧?中考真題）已知一個(gè)凸多邊形的內(nèi)角和是外角和的4倍，則該多邊形的邊數(shù)為（）

A.10B.11C.12D.13

【答案】A

【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和與外角和，熟知多邊形的內(nèi)角和與外角和公式是解題的關(guān)鍵，

根據(jù)多邊形內(nèi)角和與外角和公式，建立方程求解邊數(shù)即可.

【詳解】解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為小根據(jù)題意可得：（n-2）xl80°=4x360°

解方程，得〃=10

因此，該多邊形的邊數(shù)為10,

故選：A.

2.（2025?四川涼山?中考真題）己知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是它外角和的4倍，則從這個(gè)多邊形的一個(gè)頂

點(diǎn)處可以引（）條對(duì)角線

A.6B.7C.8D.9

【答案】B

【分析】本題主要考查了多邊形外角和和內(nèi)角和綜合，多邊形對(duì)角線條數(shù)問題，設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為〃，

〃邊形的內(nèi)角和為180。-（〃-2）,外角和為360。，從〃邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以引（〃-3）條對(duì)角線，據(jù)此根

據(jù)?個(gè)多邊形的內(nèi)角和是它外角和的4倍建立方程求出”的值即可得到答案.

【詳解】解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為〃，

由題意得，1800?（〃-2）=360°X4.

解得〃=10，

???這個(gè)多邊形是十邊形，

???從這個(gè)多邊形一個(gè)頂點(diǎn)可以引10-3=7條對(duì)角線，

故選：B.

3.（2024?四川攀枝花?中考真題）五邊形的外角和為（）

A.108°B.180°C.360°D.540°

【答案】C

【分析】本題考查了多邊形的外角和定理，多邊形的外角和與邊數(shù)無關(guān)，任意多邊形的外角科都是360。.

【詳解】解：正五邊形的外角和是360。.

故選C.

4.（2024?西藏?中考真題）已知正多邊形的一個(gè)外角為，則這個(gè)正多邊形的內(nèi)角和為（）

A.900°B.720°C.540°D.360°

【答案】B

【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和外角，先求出正多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式計(jì)算即可

得脩，根據(jù)多邊形的外角求出邊數(shù)是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???正多邊形的一個(gè)外角為個(gè)。,

，正多邊形的邊數(shù)為360。+60。=6,

???這個(gè)正多邊形的內(nèi)角和為180。x（6-2）=720°,

故選:B.

5.（2024?四川遂寧-中考真題）佩佩在“黃娥古鎮(zhèn)”研學(xué)時(shí)學(xué)習(xí)扎染技術(shù)，得到了一個(gè)內(nèi)角和為的正多

邊形圖案，這個(gè)正多邊形的每個(gè)外角為（）

A.36°B.40°C.45°D.60°

【答案】C

【分析】本題考查了正多邊形的外角，設(shè)這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為〃，先根據(jù)內(nèi)角和求出正多邊形的邊數(shù)，再

用外角和360。除以邊數(shù)即可求解，掌握正多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：設(shè)這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為〃，

則（〃一2）x18（）0=1080。，

/.〃=8,

???這個(gè)正多邊形的每個(gè)外角為36卞+8=45。，

故選：C.

6.（2023?甘肅蘭州-中考真題）如圖1是我國(guó)古建筑墻上采用的八角形空窗，其輪廓是一個(gè)正八邊形，

窗外之境如同鑲嵌于一個(gè)畫框之中.如圖2是八角形空窗的示意圖，它的一個(gè)外角（）

圖1圖2

A.45°B.60°C.110°D.135°

【答案】A

【分析】由正八邊形的外角和為360。，結(jié)合正八邊形的每一個(gè)外角都相等，再列式計(jì)算即可.

【詳解】解：???正八邊形的外角和為360。，

??“弛=45。，

8

故選A

【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形的外角問題，熟記多邊形的外角和為360c是解本題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)03平行四邊形的判定

1.（2024?四川樂山?中考真題）下列條件中，不能判定四邊形是平行四邊形的是（）

A.AB〃CD、AD〃BCB.AB=CD,AD=BC

C.OA=OC,OB=ODD.AB//CD,AD=BC

【答案】D

【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理分別進(jìn)行分析即可.

【詳解】解：A.AB//CD.AD//BC,

???四邊形ABCO是平行四邊形，故此選項(xiàng)不合題意：

B、VAB=CD,AD=BC,

???四邊形43co是平行四邊形，故此選項(xiàng)不合題意；

C、?：OA=OC,OB=OD、

???四邊形A58是平行四邊形，故此選項(xiàng)不合題意；

D.AB//CD,AD=BC,不能得出四邊形人BC。是平行四邊形，故此選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題主要考查平行四邊形的判定，解題的關(guān)鍵是熟知平行四邊形的判定定理.

2.（2023?黑龍江大慶?中考真題）下列說法正確的是（）

A.一個(gè)函數(shù)是一次函數(shù)就一定是正比例函數(shù)

B.有一組對(duì)角相等的四邊形一定是平行四邊形

C.兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形一定全等

D.一組數(shù)據(jù)的方差一定大于標(biāo)準(zhǔn)差

【答案】C

【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的定義、平行四邊形的判定、直角三角形全等的判定、標(biāo)準(zhǔn)差的概念對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)

行判斷，選出正確答案即可.

【詳解】解：A、一個(gè)函數(shù)是一次函數(shù)不一定是正比例函數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、有兩組對(duì)角相等的四邊形一定是平行四邊形，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形一定全等，故本選項(xiàng)符合題意；

D、一組數(shù)據(jù)的方差不一定大于這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，故本選項(xiàng)不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考直了正比例函數(shù)的定義、平行四邊形的判定、直角三角形全等的判定、標(biāo)準(zhǔn)差的概念等知

識(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)的概念.

3.（2024?山東濟(jì)寧?中考真題）如圖，四邊形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)O,,請(qǐng)補(bǔ)充一個(gè)條件，使四

邊形是平行四邊形.

AD

【答案】AD//BC（答案不唯一）

【分析】本題考查平行四邊形的判定，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可求解.

【詳解】解：添加條件：AD//BC,

證明：VAD//BC,

：?4DA0=4BC0,

在2Mo。和.COB中，

ZDAO=ZBCO

AO=CO,

ZAOD=^COB

???QAg.BCO（ASA）

：.AD=BC,

???四邊形ABC。是平行四邊形.

故答案為：AD//BC（答案不唯一）

4.（2024?湖北武漢?中考真題）如圖，在中，點(diǎn)，分別在邊：上，.

（1）求證：△ABEgACDF；

（2）連接￡廠.請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)與線段相關(guān)的條件，使四邊形A班?”是平行四邊形.（不需要說明理由）

【答案】（I）見解析

（2）添加A尸=HE（答案不唯一）

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，全等三角形的判定：

（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AB=C。，4結(jié)合己知條件可得分=8E,即可證明

△ABEWACDF；

（2）添加=依據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，即可求解.

【詳解】(1)證明：???四邊形ABC。是平行四邊形,

AAB=CD,AD=BC,Zfi=ZD，

,:AF=CE,

JAD-AF=BC-CE即DF=BE,

在與VCO尸中，

AB=CD

ZB=ND,

BE=DF

.?.4^BE^ACDF（SAS）；

（2）添加4尸=B石（答案不唯一）

如圖所示,連接EF.

???四邊形A4c。是平行四邊形，

：.AD//BC,即A/〃8E,

當(dāng)A尸=4七時(shí)，四邊形ABE"是平行四邊形.

5.(2025?青海?中考真題)如圖，在中，點(diǎn)O,D分別是邊，的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連

接，.

(1)求證：四邊形AE8O是平行四邊形；

(2)若A4=AC,試判斷四邊形A￡8￡＞的形狀，并證明.

【答案】(1)見解析

(2)當(dāng)AB=4。時(shí)，四邊形AE9是矩形，理由見解析

【分析】本題考查的是平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì):

(1)先證明△AEgOQO(AAS),可得AE=8D,結(jié)合AE〃以)可得結(jié)論；

(2)由A8=AC',點(diǎn)。是AC邊上的中點(diǎn)，可得即乙位膽=90。，結(jié)合由(1)得四邊形A￡7〃)是

平行四邊形，從而可得結(jié)論.

【詳解】（1）證明：???點(diǎn)。為4B的中點(diǎn)

：.OA=OB,

???AE//BC

AAEAO=ZOBD,ZAEO=ZBDO,

在△A￡O和ABDO中

NEAO=NOBD

ZAEO=ABDO

OA=OB

.,?么AEO^BDO(AAS),

，AE=BD

AE//RD

???四邊形4E8O是平行四邊形：

（2）證明：當(dāng)/W=AC時(shí)一，四邊形4E8D是矩形，

理由如下：

,:AB=AC,點(diǎn)。是BC邊上的中點(diǎn)，

???4。/3。即/4。8=90。，

由3）得四邊形AEBZ）是平行四邊形，

???四邊形AEBO是矩形.

6.（2025?湖南長(zhǎng)沙?中考真題）如圖，正方形中，點(diǎn)E,F分別在，上，且.

⑴求證：四邊形AEb是平行四邊形；

（2）連接律，若BC=12,BE=5,求政的長(zhǎng).

【答案】（1）見解析

（2）2737

【分析】該題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)

點(diǎn).

(1)根據(jù)四邊形A8CO是正方形，得出A8〃CQ且AB=CD.結(jié)合BE=DF,得出AE=CF.結(jié)合AE//CF,

即可證明四邊形AEC"是平行四邊形.

(2)過點(diǎn)、E作EH工CD于點(diǎn)、H.根據(jù)四邊形488是正方形，8c=12,得出

CD=BC=\2^B=/.BCD=90°.結(jié)合NE"C=90。，證出四邊形E8C”是矩形.得出

EB=HC=5,EH=BC=12.結(jié)合DF=BE=5,得出“/=2.在Rt△a小中，由勾股定理求出律.

【詳解】(1)證明：???四邊形4BCO是正方形，

AAB//CDWAB=CD.

又?:BE=DF,

:.AB-BE=CD-DF.

..AE=CF.

又?.?AE//CF.

???四邊形AEC廠是平行四邊形.

(2)解：過點(diǎn)E作EHLCD于點(diǎn)、H.

???四邊形A8CD是正方形，=12,

.?.CD=BC=12,NB=/.BCD=90°.

X-.-ZE7/C=90°,

???四邊形￡3C”是矩形.

.,EB=HC=5,EH=BC=\2.

又；DF=BE=5,

：,HF=CD-DF-CH=\2-5-5=2.

在/中，由勾股定理得"=+在"2="12?+2?=4^=2西.

7.(2024-內(nèi)蒙古-中考真題)如圖，，平分，.

c

BD

AFE

(1)求證：四邊形旗￡尸是平行四邊形；

⑵過點(diǎn)8作于點(diǎn)G,若CB=AF,請(qǐng)可修寫出四邊形8GEQ的形狀.

【答案】(1)證明見詳解

(2)四邊形BGED為正方形

【分析】(1)由角平分線的定義可得出NC4B=NB4/，由平行線的性質(zhì)可得出加7)=/84尸，等量代

換可得；HNC4B=NEFD,利用ASA證明zMCB四△正。，由全等三角形的性質(zhì)得出45=田，結(jié)合已知條

件可得出四邊形45。廠是平行四邊形.

(2)由已知條件可得出N8GE=NOEG=90。，由平行四動(dòng)形的性質(zhì)可得出4?！ˋE,RD=AF,根據(jù)平

行線的性質(zhì)可得出NG8O=90°,NEDB=90。,由全等三角形的性質(zhì)可得出C8=石。，等量代換可得出

BD=ED,即可得出四邊形BGED為正方形.

【詳解】(1)證明：???A4平分/C4E,

???^CAB=ZBAF,

AB//DF.

:.ZEFD=ZBAF,

???/CAB=NEFD,

在"CB和"ED中,

NACB=/FED

?AC=FE,

/CAB=NEFD

:—AC的肝ED(ASA).

???AB=FD,

由：AB//DF,

，四邊形/WW是平行四邊形.

(2)四邊形8GED是正方形.

過點(diǎn)小作石于點(diǎn)G,

/.ZBG￡=ZDEG=900,

???網(wǎng)邊形ABDF是平行四邊形.

ABD//AE,BD=AF,

???4GBD+ZBGE=180°,/DEG+/EDB=180°,

AZGBD=90°,NEO8=90。，

由（1）AAC噲.FED,

：?CB=ED,

CB=AF,

???ED=AF,

???BD=ED,

???四邊形BGEO是正方形.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定以及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定，正方形的判定，以及平

行線的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定以及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定，正方形的判定定理是解題的關(guān)

鍵.

考點(diǎn)04平行四邊形的性質(zhì)

1.（2025?貴州?中考真題）如圖，小紅想將一張矩形紙片沿AO,8C剪下后得到一個(gè)。A8CO,若Nl=70。,

則/2的度數(shù)是（）

【答案】B

【分析】本題考杳平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行，結(jié)合平行線的性質(zhì)，即可得出結(jié)果.

【詳解】解：???048CD,

AD//BC,

Z2=Z1=7O°；

故選B.

2.（2025?貴州?中考真題）如圖，在中，A3=3,8C=5,48C=60。，以A為圓心，A8長(zhǎng)為半徑

作弧，交BC于點(diǎn)、E,則EC的長(zhǎng)為（）

A.5B.4C.3D.2

【答案】D

【分析】本題考當(dāng)?shù)冗吶切蔚呐卸ê托再|(zhì)，根據(jù)作圖得到43=AE,進(jìn)而推出為等邊三角形，得到

BE=AB=3,再根據(jù)線段的和差關(guān)系進(jìn)行求解即可.

【詳解】解?：根據(jù)作圖可知：AB=AE，

ZABC=60°,

???&■為等邊三角形，

JBE=AB=3,

：.CE=BC-BE=5-3=2；

故選D.

3.（2025?河北?中考真題）平行四邊形的一組鄰邊長(zhǎng)分別為3,4,一條對(duì)角線長(zhǎng)為〃.若〃為整數(shù)，則〃的

值可以為.（寫出一個(gè)即可）

【答案】2（答案不唯一）

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，不等式組的整數(shù)解，根據(jù)題意得出進(jìn)

而寫出一個(gè)整數(shù)解即可求解.

【詳解】解：依題意，4-3<〃<4+3

1<72<7,

???〃為整數(shù)，

，〃可以是2,3,4,5,6

故答案為：2（答案不唯一）.

4.（2025?江蘇連云港?中考真題）如圖，在菱形A38中，AC=4,BD=2,E為線段4c上的動(dòng)點(diǎn)，四

邊形為平行四邊形，則3E+3尸的最小值為.

【答案】屈

【分析】利用四邊形加F為平行四邊形，得出防=4),EF=AD,由E為線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，可知E、

產(chǎn)運(yùn)動(dòng)方向和距離相等，利用相對(duì)運(yùn)動(dòng)，可以看作所是定線段，菱形人4a＞在人C方向上水平?運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)

8作AC的平行線MN,過點(diǎn)E作關(guān)于線段MN的對(duì)稱點(diǎn)￡,由對(duì)稱性得BE=BE,則

BE+BF=BE+BFWEF,當(dāng)且僅當(dāng)￡、B、尸依次共線時(shí)，+H/取得最小值ET,此時(shí)，設(shè)4c與8。

交干點(diǎn)O.EE受MN于點(diǎn)、H,延長(zhǎng)EE交尸。延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,分別證明四邊形EO8”和四邊形OOEG是

矩形，求出Gb=G￡)+O/=E0+AE=AO=2,GE=EH=E'H=1,再利用勾股定理求出E77即可

【詳解】解：???四邊形。4杯為平行四邊形，

AEF=AD,DF=AE,

???E為線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，

???可以看作石產(chǎn)是定線段，菱形ABCD在AC方向上水平運(yùn)動(dòng)，

則如圖，過點(diǎn)8作AC的平行線MV,

過點(diǎn)E作關(guān)于線段MN的對(duì)稱點(diǎn)E'，

由對(duì)稱性得況=BE，

；?BE+BF=BE+BFWEF,當(dāng)且僅當(dāng)￡、B、尸依次共線時(shí)，AE+4尸取得最小值￡T,

此時(shí)如圖，設(shè)AC與8。交于點(diǎn)。，EE'交MN于點(diǎn)H,延長(zhǎng)￡￡交互)延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,

???麥形A6CD中，AC=4,BD=2,

：.A0=-AC=2BO=DO=-BD=\,ACJ.BD,

2f2

由題可得AC"MN,

???由對(duì)稱性可得E〃_LH8，

???AC1GH,

???Z.OEH=NEOB=/EHB=90°,

???阿邊形EOB"是矩形，

:?EH=EH=OB=T,

???四邊形DAEF為平行四邊形，

ADF=AE,DF//AC,

：.GDLDO,

J4GDO=/DOE=NGEO=驕,

???明邊形OOEG是矩形，

:,GD=EO,GE=DO=\,

：.GF=GD+DF=EO+AE=AO=2,GE=GE+EH+EH=3,

JE!F=VGF2+GE/2=V22+32=V13，

即BE+8/的最小值為J",

故答案為：.

【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)，兩點(diǎn)

之間線段最短，根據(jù)題意結(jié)合相對(duì)運(yùn)動(dòng)得出運(yùn)動(dòng)軌跡，再利用將軍飲馬解決問題是解題的關(guān)鍵.

5.（2025?山西?中考真題）如圖，在平行四邊形ABC。中，點(diǎn)。是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊人。的中點(diǎn),

連接O￡.下列兩條線段的數(shù)量關(guān)系中一定成立的是（）

AED

//

BL-

A.0E=-ADB.0E=-BC

22

c.OE=-ABD.0E=-AC

22

【答案】C

【分析】本題考自了三角形中位線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，由三角形中位線的性質(zhì)得OE=；C。，進(jìn)而

由平行四邊形的性質(zhì)得OE=：AB,即可求解，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???點(diǎn)0是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊A。的中點(diǎn)，

???0E是“18的中位線，

：.OE=-CD,

2

???四邊形488是平行四邊形，

???AB=CD,

???OE=-AB,

2

故選:C.

6.（2025?新疆?中考真題）如圖，在oAHC力中，/8C。的平分線交A3于點(diǎn)E若40=2,則8E二

【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，等角對(duì)等邊，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得到人8〃6,/\。=5。=2,

得到/Oar=NC￡8,角平分線的定義，得到NOCE=N8CE,進(jìn)而得到N4CE=NB￡C,進(jìn)而得到跖=8C

即可.

【詳解】解：*：nABCD,AD=2,

：.AB//CD,AD=BC=2,

:,少CE=/CEB,

???NBC￡＞的平分線交AB于點(diǎn)E,

???/DCE=/BCE,

??./BCE=NBEC,

，BE=BC=2；

故答案為：2.

7.（2025?四川宜賓?中考真題）如圖，點(diǎn)E是平行四邊形A8CO邊CO的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交8C的延

長(zhǎng)線于點(diǎn)F,AD=5.求證：△4）EZZ\FCE,并求所的長(zhǎng).

【答案】見解析，10

【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)，由平行四邊形的性質(zhì)得到

BC=AD=5,BC//AD,則由平行線的性質(zhì)可得=NECF=NEDA,再證明CE=OE,即

可利用AAS證明△ADE會(huì)△/CE，則可得到b=AO=5,據(jù)此可得答案.

【詳解】證明：???四邊形A88是平行四邊形,

ABC=AD=5,BC//AD,

?"EFC=NEAD,/ECF=/EDA,

???點(diǎn)E是平行四邊形ABCD邊CO的中點(diǎn),

:?CE=DE,

AADE^AFCE(AAS),

：,CF=AD=5,

???BF=BC+CF=5+5=\0.

8.（2024?寧夏?中考真題）如圖，在oA8c。中，點(diǎn)〃,N在斗。邊上，AM=DN,連接CM并延長(zhǎng)交84的

延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接8N并延長(zhǎng)交CQ的延長(zhǎng)線于點(diǎn)￡求證：AE=D尸.小麗的思考過程如下:

平行四邊形

三角形相似

對(duì)應(yīng)邊成比例

AE=DF

參考小麗的思考過程，完成推埋.

【答案】見解析

【分析】本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，先證明可得

AEAMde-DFDN,^AEDF

---=?同理口］得：=,再進(jìn)一步址明na=即cn可r.

DCDMABANDCAB

【詳解】證明：?.?四邊形是平行四邊形

:.AB=CD,AB//CD,

AEAM

??=?

DCDM

同理可得，AFDNsgBN,

.DFDN

;.AM+MN=DN+MN

即A7V=￡>M,

.AEDF

,~DC~~AB

又?；AB=CD,

:.AE=DF.

9.(2024?吉林?中考真題)如圖，在oA8c。中，點(diǎn)。是A8的口點(diǎn)，連接CO并延長(zhǎng)，交D4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

E,求證：AE=BC.

E

【答案】證明見解析

【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)，先根據(jù)平行四邊形對(duì)邊平行推出

/OAE=NOBC,N()CB=NE,再由線段中點(diǎn)的定義得到04=OB,據(jù)此可證明zMOE四△BOC(AAS),

進(jìn)而可證明心=以，

【詳解】證明：???四邊形ABC。是平行四邊形,

???AD//BC,

:.乙OAE=4OBC,NOCB=/E,

???點(diǎn)。是A8的中點(diǎn),

：.OA=OB.

/\AOE^AROC(AAS),

JAE=HC.

10.(2024?四川瀘州?中考真題)如圖,在QABCD中,E,產(chǎn)是對(duì)角線8。上的點(diǎn),且DE=M.求證：Z1=Z2.

【答案】證明見解析

【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，先由平行四邊形的性質(zhì)得到

AD=CB,AD//CB,則NAOE=NC8/"再證明△40E絲△CBF(SAS),即可證明N1=N2.

【詳解】證明：???四邊形ABC。是平行四邊形，

:.AD=CB,AD//CB,

/.ZADE=ZCBF,

又：DE=BF,

???△ADE咨MBF(SAS),

JZ1=Z2.

11.(2017.山東淄博.中考真題)己知：如圖，E,〃為EJABCQ對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，RAE=CF,連接BE,

DF,求證：BE二DF.

【答案】證明見解析.

【分析】利用SAS證明△AEBgzXCPO,再根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得.

【詳解】???四邊形/WC。是平行四邊形,

：,ABHDC,AB=DC,

，NBAE=NDCF,

在么4七8和4CH）中,

AB=CD

ZBAE=ZDCF,

AE=CF

:.\AEB@XCFD（SAS）,

工BE=DF.

【點(diǎn)睛】本題考杳了平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)05平行四邊形的判定與性質(zhì)綜合

1.（2025?安徽?中考真題）在如圖所示的oA8co中，E,G分別為功AQ,8c的中點(diǎn)，點(diǎn)尸，〃分別在

邊AB,CD上移動(dòng)（不與端點(diǎn)重合），且滿足A/=C〃，則下列為定值的是（）

A.四邊形瓦‘GH的周長(zhǎng)B.NKFG的大小

C.四邊形EFG”的面積D.線段"7的長(zhǎng)

【答案】C

【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，熟練掌握平行四邊形對(duì)邊平行且相等的性質(zhì)，通過全

等三角形轉(zhuǎn)化面積美系，是解題的關(guān)鍵.利用平行四邊形的性質(zhì)，通過證明三角形全等分析四邊形EPG”各

邊、角、面積等是否為定值，重點(diǎn)關(guān)注面積能否通過轉(zhuǎn)化為平行四邊形面積的一部分來判斷.

【詳解】解：連接EG,

在oABCO中，E,G分別為4。，8C中點(diǎn),

。且AO=8C,AE=-AD,BG=-BC,

22

?,?阻的且AE=5G,

四邊形A3GE是平行四邊形，

AB||EG,

同理￡G||C。，且EG=AB=CD.

???四邊形DCGE是平行四邊形，

則&G石尸與渣石”的面積分別為QABGE與oEGCD面枳的?半，

四邊形EFGH的面積=S.GEF+S.，

???四邊形EFGH的面積始終為面積的一半，是定值.

選項(xiàng)A：EF、"G等邊長(zhǎng)隨尸、，移動(dòng)變化，周長(zhǎng)不定，錯(cuò)誤.

選項(xiàng)B：NEFG隨尸位置改變，錯(cuò)誤.

選項(xiàng)D：切長(zhǎng)度隨產(chǎn)、“移動(dòng)改變，錯(cuò)誤.

綜上，四邊形EFG〃的面積是定值，

故選：C.

2.(2025?江蘇蘇州?中考真題)如圖，C是線段AB的中點(diǎn)，/A=NECB,CD〃BE.

(1)求證：△DAgAECB；

(2)連接DE,若=16,求DE的長(zhǎng).

【答案】(1)詳見解析

(2)8

【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)判定定理和性質(zhì)，

是解題的關(guān)鍵：

(1)中點(diǎn)得到AC=3C,平行線的性質(zhì)，得到NACD=NB,利用ASA證明4c之△ECB即可；

(2)根據(jù)△D4C%△EC8,得到CO=BE,進(jìn)而得到四邊形CMD為平行四邊形，進(jìn)而得到0￡=8C,即

可得出結(jié)果.

【詳解】(1)證明：是線段A8的中點(diǎn)，

..AC=CB=-AB.

2

-：CD//BE,

:.ZDCA=^B.

在△D4C和AECB中，

Z=NECB,

AC=CR.

NDCA=NB、

「.△DAC絲△EC8(ASA).

(2)v4B=16,C是線段八B的中點(diǎn)，

BC=-AB=S.

2

???△DACdECB，

:.CD=BE.

又?:CD〃BE,

???四邊形BSE是平行四邊形，

DE—BC=8.

3.(2025?新疆?中考真題)如圖，在等腰直角三角形48c中，44=90。，BC=4,AD=aBN,點(diǎn)M是AB

的中點(diǎn)，點(diǎn)。和點(diǎn)N分別是線段AC和上的動(dòng)點(diǎn).

(1)當(dāng)點(diǎn)D和點(diǎn)N分別是AC和8c的中點(diǎn)時(shí)，求a的值；

(2)當(dāng)〃=及時(shí)，以點(diǎn)C,Q,N為頂點(diǎn)的三角形與△4MN相似，求BN的值;

(3)當(dāng)〃=&時(shí)，求用N+ND的最小值.

【答案】(1)。=立

2

(2)BN=3-右

⑶麗

【分析】(1)勾股定理求出ARAC的長(zhǎng)，中點(diǎn)求出AD的長(zhǎng)，8N的長(zhǎng)，根據(jù)AO=a及V,求出。的值即

可;

（2）設(shè).BN=x,得到AD=VL，CN=BC-BN=4-X,進(jìn)而得到CO=AC-AO=2后一缶，分

△CDNS&BMN和兩種情況進(jìn)行討論，列出比例式進(jìn)行求解即可；

（3）作。E||4GAELDE于點(diǎn)、E,連接班"易得△AED為等腰直角三角形，得到40=&DE=^AE，

ZDAE=45°,進(jìn)而得到四邊形可加"為平行四邊形，得到4￡=?？桑瑢B繞點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)90度得到，連

接NF,MF,證明仍^4BM7,得到8E=OF,進(jìn)而得到。產(chǎn)=DV,得到MN+ND=MN+NFNMF,

勾股定理求出的長(zhǎng)即可.

【詳解】（】）解：???等腰直角三角形A8C中，AB=AC,Z4=90°,BC=4,AB2+AC2=2AB2=BC2,

AAB=AC=—BC=2y/2,

2

:點(diǎn)。和點(diǎn)N分別是AC和BC的中點(diǎn)，

AAD=-AC=>/2I3N=-BC=2,

2t2

?：AD=aBN,

.AD&

??〃==

BN2

(2)???〃=&，AD=aBN,

AD=6BN，

設(shè)BN=x,則：AD=V2x，CN=BC-BN=4-x,

???等腰直角三角形48C中，NA=90。，BC=4,

JA8=AC=20，

；?CD=AC-AD=2五-五x，

???加是AB的中點(diǎn)，

AM=BM=e，

AZB=ZC=45°,

當(dāng)點(diǎn)C,D,N為頂點(diǎn)的三角形與△8MN相似時(shí)，分兩種情況:

CDCN

①當(dāng)ACDNSABMN時(shí),則:

BMBN

.2x/2-V2x_4-x

一加二丁

此方程無解，不符合題意；

②當(dāng)ziCNDs△用MV時(shí)，則：要=?，

BMBN

.4-x_2V2-V2x

??75一x'

解得：x=3+>/5（不符合題意，舍去）或x=3-6;

：?BN=3-sf5;

綜上：BN=3-&

(3)，：°=6,AD=aBN、

:?八D=?BN，

作DE〃BC,AELDE于點(diǎn)E,連接8E,

則：ZADE=NC=45。,

???△AEO為等腰直角三角形，

/.AD=42DE=>j2AE^ZDAE=45°,

:,AE=DE=BN,4AE=45。，

又DE〃BN、

???四邊形為平行四邊形，

???BE=DN、

將A8繞點(diǎn)3旋轉(zhuǎn)90度得到斯，連接NF,MF,則：BF=AB=2&NABF=90。，

???Z4BC=45°,

???"BF=45°=/BAE,

又；AB=BF,AE=BN,

：?MEB^ABNF,

???BE=NF,

:?DN=NF,

???MN+ND=MN+NFNMF,

???當(dāng)點(diǎn)N在線段M/上時(shí)，MN+ND的值最小為MF的長(zhǎng)，

在Rt△何B產(chǎn)中，BM=-AB=j2.BF=242,

2

,MFCBM'BF?=而，

???MN+NO的最小值為JIU.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，

勾股定理，求線段和的最小值，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，合理添加輔助線，構(gòu)造特殊圖形，是解題的關(guān)鍵.

4.（2024?遼寧?中考直撅）如圖，048co的對(duì)角線AC,AD相交干點(diǎn)。，DE//AC.CE〃BD、若AC=3、

瓦）=5,則四邊形OCE。的周長(zhǎng)為（）

A.4B.6C.8D.16

【答案】C

【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

由四邊形ABC。是平行四邊形得到。0=2.5,0C=\.5,再證明四邊形OCE。是平行四邊形，則

DE=OC=}\CE=OD=2.5,即可求解周長(zhǎng).

【詳解】解：???四邊形A8CO是平行四邊形，

ADO=-DR=2.5.OC=-AC=1.5,

22

VDE//AC,CE//BD,

???四邊形OCE。是平行四邊形，

???DE=OC=\\CE=OD=2.5t

???周長(zhǎng)為：2x（l.5+2.5）=8,

故選：C.

5.（2024?浙江?中考真題）尺規(guī)仕圖問題:

圖1圖2

如圖1,點(diǎn)￡是oABCO邊4。上一點(diǎn)（不包含A,D）,連接CE.用尺規(guī)作A尸〃CE,尸是邊上一點(diǎn).

小明：如圖2.以C為圓心，AE長(zhǎng)為半徑作弧，文BC于點(diǎn)、F,連接AF,則A尸〃CE.

小麗：以點(diǎn)A為圓心，CE長(zhǎng)為半徑作弧，交8c于點(diǎn)?，連接AF,則A/〃CE.

小明：小麗,你的作法有問題，小麗:哦……我明白了！

（1）證明人產(chǎn)〃CE；

（2）有出小麗作法中存在的問題.

【答案】（1）見詳解

（2）以點(diǎn)4為圓心，CE長(zhǎng)為半件作弧，與BC川能有兩個(gè)交點(diǎn)，故存在問題

【分析】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，

（1）根據(jù)小明的作圖方法證明即可；

（2）以點(diǎn)A為圓心，。七長(zhǎng)為半徑作弧，與8c可能有兩個(gè)交點(diǎn)，據(jù)此作答即可.

【詳解】（1）〈□ABCD,

：.AD//BC,

又根據(jù)作圖可知：AE=CF,

???四邊形4EC尸是平行四邊形，

.?.AF||EC：

（2）原因：以點(diǎn)A為圓心，CE長(zhǎng)為半徑作弧，與8C可能有兩個(gè)交點(diǎn),

故無法確定〃的位置，

故小麗的作法存在問題.

AED

a

bF'FC

6.（2025?河南?中考真題）如圖，四邊形同伙;力是平行四邊形，以3c為直徑的圓交AO于點(diǎn)E.

ED

--------------\C

(1)請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)作出圓心。(保留作圖痕跡，不寫作法).

(2)若點(diǎn)E是A。的中點(diǎn)，連接0A.eE.求證：四邊形A0CE是平行四邊形.

【答案】(1)作圖見詳解

(2)證明過程見詳解

【分析】本題主要考查圓的基本性質(zhì)，尺規(guī)作垂線，平行四邊形的判定和性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是關(guān)鍵.

(1)運(yùn)用尺規(guī)作直徑8c的垂直平分線即可；

(2)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合題意得到AE||0C,AE=^AD,OC=^BC,即AE=OC,由?組對(duì)邊平

行且相等的四邊形是平行四邊形即可求證.

【詳解】(1)解：如圖所示，

???BC是直徑，

，運(yùn)用尺規(guī)作直徑BC的垂直平分線角3。于點(diǎn)0,

???點(diǎn)。即為所求點(diǎn)的位置；

(2)證明：如圖所示，

???科邊形4BCQ是平行四邊形，

???AD\\BC,AD=BC,

???點(diǎn)QE分別是8GAp的中點(diǎn),

AE\\OC,AE=^AD,OC=^BC,即AE=OC,

???四邊形AOCE是平行四邊形.

7.（2024.四川雅安?中考真題）如圖，點(diǎn)。是oABCO對(duì)角線的交點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交AO,BC于點(diǎn)

E,F.

（1）求證：△ODE^/^OBF；

（2）當(dāng)砂時(shí)，。石=15cm,分別連接DF,求此時(shí)四邊形3瓦廠的周長(zhǎng).

【答案】（1）見解析

（2）60cm

【分析】本題主要考杳了平行四邊形和菱形.熟練掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，全等三角

形的判定和性質(zhì)，是解決問題的關(guān)鍵.

（1）由題目中的0月8。。中，0為對(duì)角線的中點(diǎn)，可以得出3>=。6,/0日）=/。氏8,結(jié)合/力。石=/80戶,

可以證得兩個(gè)三角形全等，進(jìn)而得出結(jié)論；

（2）由（I）中得到的結(jié)論可以得到結(jié)合。石〃4廠得出四邊形/芷刀〃是平行四邊形，進(jìn)而利用

￡FJ_BQ證明出四邊形4紅尸為菱形，根據(jù)Df=15cm即可求*菱形的周長(zhǎng).

【詳解】（1）??,四邊形A8CD是平行四邊形，

AD//CB,

???/OED=NOFB,

???點(diǎn)。是°A8C。對(duì)角線的交點(diǎn)，

：,OD=OB,

NOED=NOFB

在A△ODE和中，</DOE=ZBOF,

OD=OB

???^ODE^OBF(AAS).

(2)由(1)知，△ODE0AOBF,

DE=BF,

*/DE〃BF,

???四邊形"是平行四邊形，

■:EF1BD,

，口班阻尸是菱形，

DF=BF=BE=DE=15cm?

...DF+?F+/?E+DE=4DE=4xl5=60(cm),

???四邊形BEDF的周長(zhǎng)為6()cm.

8.（2024?黑龍江大慶?中考真題）如圖，平行四邊形ABCO中，AE、C尸分別是一班。，N8C。的平分線,

且E、尸分別在邊8C,A。上.

（1）求證：四邊形是平行四邊形；

（2）若NADC=60°,DF=2AF=2,求4GZ）尸的面積.

【答案】（1）見解析

（2電G°F=：G.

【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得到N8AO=N8C￡>,AD//BC,結(jié)合角平分線的條件得到

/DAE=NBCF,由4O〃BC得到NOFC=N3b,ZDAE=ZDFC,根據(jù)平行線的判定得到AE〃/C,

根據(jù)平行四邊形的判定即可得到4比戶是平行四邊形；

4

（2）求得△?；?。是等邊三角形，得到=DC=b=2,CE=4戶=1,證明4DFGS4ECG,求得/G=§,

作GHJ.DF于點(diǎn)H,在汨中，求得GH=g6,據(jù)此求解即可.

【詳解】（1）證明：???四邊形A8CO是平行四邊形，

:?/BAD=NBCD,AD//BC,

VAE,B分別是—BA。、/BCD的平分線,

???/BAE=ZDAE=-ZfiAD,ZBCF=/DCF=-/BCD,

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