2026年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理

一,選擇題（共8小題）

1.給一些書編號(hào)，準(zhǔn)備用3個(gè)字符，其中首字符用A,B,后兩個(gè)字符用a,b,c（允許重復(fù)），則不同編

號(hào)的書共有（）

A.8本B.9本C.12本D.18本

2.5名學(xué)生相約第二天去春游，本著自愿的原則，規(guī)定任何人可以“去”或“不去”，則第二天可能出現(xiàn)的不

同情況的種數(shù)為（）

A.CIB.25C.52D.A|

3.用四種顏色給下圖的6個(gè)區(qū)域涂色，每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰區(qū)域不同色，共有多少種不同的涂法

（）

A.72B.96C.120D.144

4.有一排四個(gè)信號(hào)顯示窗，每個(gè)窗可亮紅燈、綠燈或不亮燈，則這排信號(hào)顯示窗所發(fā)出的信號(hào)種數(shù)是（）

A.12B.64C.81D.256

5.某學(xué)校組織高二學(xué)生參加社會(huì)實(shí)踐研學(xué)活動(dòng)，研學(xué)路線有成都、南京、西安共3條.學(xué)校安排3名男

教師和3名女教師一起負(fù)責(zé)研學(xué)活動(dòng)，若每條路線安排男、女教師各1名，則不同的分配方案種數(shù)為（）

A.36B.72C.108D.216

6.用1,2,3組成三位數(shù)，數(shù)字，最多用，次，其中i=l,2,3,則滿足條件的三位數(shù)個(gè)數(shù)是（）

A.15個(gè)B.18個(gè)C.19個(gè)D.27個(gè)

7.我們稱各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和為8的三位數(shù)為“幸運(yùn)數(shù)”，例如107和224,則所有的“幸運(yùn)數(shù)”共有（）

A.66個(gè)B.55個(gè)C.36個(gè)D.28個(gè)

8.用3種不同的顏色對(duì)圖中兩個(gè)區(qū)域涂色，要求兩個(gè)區(qū)域的顏色不相同，則不同的涂法有（）

12

A.4種B.5種C.6種D.9種

二.多選題（共4小題）

（多選）9.下列說(shuō)法正確的是（）

A.將4本不同的書分給3個(gè)人，則共有24種分配方法

B.將2個(gè)a,3個(gè)〃，1個(gè)c排成一排，則共有60種排法

C.將6個(gè)參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的名額分給甲、乙、丙三個(gè)班，每班至少?個(gè)名額，則共有10種方法

D.從4名男生和3名女生中選出3人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽,如果3人中必須既要有男生又有女生,則共有門盤盤

種選法

（多選）10.用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)和五位數(shù)，則（）

A.可組成360個(gè)四位數(shù)

B.可組成216個(gè)是5的倍數(shù)的五位數(shù)

C.可組成270個(gè)比1325大的四位數(shù)

D.若將組成的四位數(shù)按從小到大的順序排列，則第85個(gè)數(shù)為2301

（多選）II.由數(shù)字0,1,2,3組成一個(gè)沒有重愛數(shù)字的四位數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）

A.可以組成18個(gè)不同的數(shù)

B.可以組成12個(gè)偶數(shù)

C.可以組成8個(gè)奇數(shù)

D.若數(shù)字1和2相鄰，則可組成8個(gè)不同的數(shù)

（多選）12.用。到6這7個(gè)數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.Al+2AlB.AlAj

C.A^-AlD.Al+Al

三.填空題（共4小題）

13.1800有個(gè)不同的正因數(shù).

14.若正整數(shù)〃=從（〃,0都是整數(shù)），則稱〃和。為。的因數(shù),人135乂376的不同正因數(shù)的個(gè)數(shù)為

15.如圖，現(xiàn)要用6種不同的顏色對(duì)某市的4個(gè)區(qū)縣地圖進(jìn)行著色，要求有公共邊的兩個(gè)地區(qū)不能用同一

種顏色，共有__________種不同的著色方法.

16.已知某六名同學(xué)在CMO競(jìng)賽中獲得前六名（無(wú)并列情況），其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，則

這六名同學(xué)獲得的名次情況可能有種（用數(shù)字作答）.

四,解答題（共4小題）

17.（1）6名學(xué)生站成一排照相留念，其中男生4人，女生2人，2名女生必須相鄰而站，巨女生不站兩

端，有多少種不同的站法？

（2）某傳統(tǒng)文化學(xué)習(xí)小組有1（）名同學(xué)，其中男生5名，女生5名，現(xiàn)要從中選取4人參加學(xué)校舉行的

匯報(bào)展示活動(dòng)，男生甲與女生乙至少有1人參加，有多少種選法？

（3）從0,2,4,6中任取2個(gè)數(shù)字，從1,3,5中任取2個(gè)數(shù)字，一共可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字

的四位數(shù)？

18.從0、1、2、3、4這五個(gè)數(shù)字中任取三個(gè)不同的數(shù)字組成三位數(shù)，求：

（1）組成的三位數(shù)偶數(shù)的個(gè)數(shù)；

（2）組成的三位數(shù)中大于200的個(gè)數(shù).

19.從0,1,2,3,4五個(gè)數(shù)字中選出3個(gè)數(shù)字組成一個(gè)三位數(shù).

（1）可以組成多少個(gè)三位數(shù)？

（2）可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

（3）可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)？

20.對(duì)于集合A,B,定義運(yùn)算符“△"：.隹8兩式恰有一式成立},|A|表示集合力中元素的個(gè)

數(shù).

（1）設(shè)4=1],8=[（）,2],求4AB；

（2）對(duì)于有限集A,R.C,證明12MAe1，并求出固定八，C后使該式取等號(hào)的△的數(shù)量：

（用含4,C的式子表示）

（3）若有限集A,B,C滿足HA8|+|BAC]=|AAC|,則稱有序三元組（A,B,C）為“聯(lián)合對(duì)”，定義1=

{I,2,…,〃},nGN*,u={（A,B,C）|A,B,CQI].

①設(shè)加/,求滿足|AAC|=〃?的“聯(lián)合對(duì)”（A,B,C）￡〃的數(shù)量；（用含〃?的式子表示）

②根據(jù)（2）及（3）①的結(jié)果，求〃中“聯(lián)合對(duì)”的數(shù)量.

2026年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理（2025年10月）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題）

題號(hào)12345678

答案DBCCACCC

二.多選題（共4小題）

題號(hào)9101112

答案BCBCDACDABC

一.選擇題（共8小題）

1.給一些書編號(hào)，準(zhǔn)備用3個(gè)字符，其中首字符用A,B,后兩個(gè)字符用。，b,c（允許重復(fù)），則不同編

號(hào)的書共有（）

A.8本B.9本C.12本D.18本

【考點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理.

【專題】計(jì)算題.

【答案】D

【分析】首先確定首字符，不重復(fù)，然后再確定第二和第三個(gè)字符，允許重復(fù)，最后利用分布乘法原理

求值.

【解答】解：分兩步：

第一步：選定首字符，有2種可能；

第二步：選后兩個(gè)字符，又分兩小步：第二字符，有3種可能，第三個(gè)字符，也有3種可能，

所以利用乘法原理，最終就有2x3x3=18種不同的組合情況，也就是說(shuō)可以編18本書.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分步乘法原理，解答的關(guān)鍵是明確首字符不重復(fù)，后兩個(gè)字符允許重復(fù)，是基礎(chǔ)題

也是易錯(cuò)題.

2.5名學(xué)生相約第二天去春游，本著自愿的原則，規(guī)定任何人可以“去”或“不去”，則第二天可?能出現(xiàn)的不

同情況的種數(shù)為（）

C225A2

A.5B.D.5

【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用.

【專題】計(jì)算題：對(duì)應(yīng)思想；數(shù)學(xué)模型法：排列組合.

【答案】B

【分析】直接利用分步乘法計(jì)數(shù)原理得答案.

【解答】解：不妨設(shè)5名同學(xué)分別是A,B,C,E,

對(duì)于A同學(xué)來(lái)說(shuō)，第二天可能出現(xiàn)的不同情況有去和不去2種，

同樣對(duì)于B,C,E都是2種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，

第二天可能出現(xiàn)的不同情況的種數(shù)為2x2x2x2x2=25（種）.

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查分步乘法計(jì)數(shù)原理，是基礎(chǔ)的計(jì)算題.

3.用四種顏色給下圖的6個(gè)區(qū)域涂色，每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰區(qū)域不同色，共有多少種不同的涂法

()

A.72B.96C.120D.144

【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用.

【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；排列組合；運(yùn)算求解.

【答案】C

【分析】根據(jù)分類相加計(jì)數(shù)原理，先分四種顏色都用和只有三種顏色兩種情況，再根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原

理，將涂色過(guò)程分成若干步，每一步確定一個(gè)區(qū)域的顏色，再根據(jù)相鄰區(qū)域不同色的條件，確定每一步

的涂色方案數(shù)，最后將各步方法數(shù)相乘得到總的涂色方案數(shù).

【解答】解：設(shè)四種顏色分別為1、2、3、4,

（1）四種顏色只用其中的三種顏色：

即當(dāng)A,。同色，B,。同色，E,〃同色，共有4x3x2=24種不同的涂法.

（2）四種顏色都用：

先涂區(qū)域有4種填涂方案，不妨設(shè)涂顏色1,

再涂區(qū)域C,有3種填涂方案，不妨設(shè)涂顏色2,

再涂區(qū)域E,有2種填涂方案，不妨設(shè)涂顏色3,

若區(qū)域A填涂顏色4,則區(qū)域。，尸填涂顏色1、3或4、3,

若區(qū)域A填涂顏色2,則區(qū)域。，尸填涂顏色1、4或4、3,

共4種不同的填涂方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，共有4x3x2x4=96種不同的涂法；

綜上所述，根據(jù)分類相加計(jì)數(shù)原理可得，共有24+96=12（）種不同涂法.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題.

4.有一排四個(gè)信號(hào)顯示窗，每個(gè)窗可亮紅燈、綠燈或不亮燈，則這排信號(hào)顯示窗所發(fā)出的信號(hào)種數(shù)是（）

A.12B.64C.81D.256

【考點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理.

【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；排列組合；運(yùn)算求解.

【答案】C

【分析】由分步乘法計(jì)算可得.

【解答】解：有一排四個(gè)信號(hào)顯示窗，每個(gè)窗可亮紅燈、綠燈或不亮燈，

由題意可得每個(gè)信號(hào)燈有三種情況，各自獨(dú)立，所以一共有34=81種.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查分步乘法計(jì)數(shù)原理，屬于中檔題.

5.某學(xué)校組織高二學(xué)生參加社會(huì)實(shí)踐研學(xué)活動(dòng)，研學(xué)路線有成都、南京、西安共3條.學(xué)校安排3名男

教師和3名女教師一起負(fù)責(zé)研學(xué)活動(dòng)，若每條路線安排男、女教師各1名，則不同的分配方案種數(shù)為（）

A.36B.72C.108D.216

【考點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理.

【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；排列組合；運(yùn)算求解.

【答案】A

【分析】根據(jù)全排列即可求解.

【解答】解；學(xué)校安排3名男教師和3名女教師一起負(fù)責(zé)研學(xué)活動(dòng)，若每條路線安排男、女教師各I

名，

每條路線安排一男一女，故總的分配方法有用心=36.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題.

6.用1,2,3組成三位數(shù)，數(shù)字，?最多用，次，其中i=l,2,3,則滿足條件的三位數(shù)個(gè)數(shù)是（）

A.15個(gè)B.18個(gè)C.19個(gè)D.27個(gè)

【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用；古典概型及其概率計(jì)算公式.

【專題】計(jì)算題：方程思想；轉(zhuǎn)化思想：綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)：運(yùn)算求解.

【答案】C

【分析】分三個(gè)不同數(shù)字各出現(xiàn)一次，一個(gè)數(shù)字出現(xiàn)兩次，一個(gè)數(shù)字出現(xiàn)三次，三種情況討論即可.

【解答】解：根據(jù)題意，分3種情況討論：

①當(dāng)三個(gè)不同數(shù)字各出現(xiàn)一次時(shí)，有“=6個(gè)滿足條件的三，'立；

②當(dāng)一個(gè)數(shù)字出現(xiàn)兩次，其他兩個(gè)數(shù)字各出現(xiàn)一次時(shí)，重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字只能是2或3,

則有廢廢廢=12個(gè)滿足條件的三位；

③當(dāng)一個(gè)數(shù)字的現(xiàn)三次，則僅有數(shù)字3符合條件，則有1個(gè)滿足條件的三位數(shù)：

綜上所述，滿足條件的三位數(shù)共有6+12+1=19個(gè).

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考杳分類計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，注意數(shù)字可以重復(fù)，屬于基礎(chǔ)題.

7.我們稱各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和為8的三位數(shù)為“幸運(yùn)數(shù)”，例如107和224,則所有的“幸運(yùn)數(shù)”共有（）

A.66個(gè)B.55個(gè)C.36個(gè)D.28個(gè)

【考點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理.

【專題】分類討論：綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解.

【答案】C

【分析】按照首位數(shù)字為I?8進(jìn)行分類，相加得到答案.

【解答】解：當(dāng)首位數(shù)字為8時(shí)，后兩位相加為0,“幸運(yùn)數(shù)”是800,共1個(gè);

當(dāng)首位數(shù)字為7時(shí),后兩位相加為1，“幸運(yùn)數(shù)”分別是701,710,共2個(gè):

當(dāng)首位數(shù)字為6時(shí),后兩位相加為2,“幸運(yùn)數(shù)”分別是602,620,61L共3個(gè);

當(dāng)首位數(shù)字為5時(shí),后兩位相加為3,“幸運(yùn)數(shù)”分別是503,530,512,521,共4個(gè);

當(dāng)首位數(shù)字為4時(shí),后兩位相加為4,“幸運(yùn)數(shù)”分別是404,440,413,431,422,共5個(gè);

當(dāng)首位數(shù)字為3時(shí),后兩位相加為5,“幸運(yùn)數(shù)”分別是305,350,314,341,323,332,共6個(gè);

當(dāng)首位數(shù)字為2時(shí),后兩位相加為6,“幸運(yùn)數(shù)”分別是206,260,215,251,224,242,233,共7個(gè);

當(dāng)首位數(shù)字為I時(shí),后兩位相加為7,“幸運(yùn)數(shù)”分別是116,161,125,152,134,143,107,170,共

8個(gè);

所以所有的“幸運(yùn)數(shù)”共有1+2+3+4+5+6+7+8=36個(gè).

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考宣計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

8.用3種不同的顏色對(duì)圖中兩個(gè)區(qū)域涂色，要求兩個(gè)區(qū)域的顏色不相同，則不同的涂法有（）

A.4種B.5種C.6種D.9種

【考點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理.

【專題】對(duì)應(yīng)思想：定義法；排列組合；運(yùn)算求解.

【答案】C

【分析】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.

【解答】解：用3種不同的顏色對(duì)圖中兩個(gè)區(qū)域涂色，要求兩個(gè)區(qū)域的顏色不相同,

先涂區(qū)域1，有3種涂法；再涂區(qū)域2,有2種涂法.

故不同的涂法有3x2=6種.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題.

多選題（共4小題）

（多選）9.下列說(shuō)法正確的是（）

A.將4本不同的書分給3個(gè)人，則共有24種分配方法

B.將2個(gè)a,3個(gè)力，1個(gè)c排成一排，則共有60種排法

C.將6個(gè)參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的名額分給甲、乙、丙三個(gè)班，每班至少?個(gè)名額，則共有10種方法

D.從4名男生和3名女生中選出3人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，如果3人中必須既要有男生又有女生，則共有弓戲程

種選法

【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用.

【專?題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；排列組合；運(yùn)算求解.

【答案】BC

【分析】根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理判斷A，根據(jù)順序一定問(wèn)題，列式判斷從根據(jù)隔板法，列式判斷C,根據(jù)

分類計(jì)數(shù)原理，或是無(wú)序問(wèn)題，判斷。.

【解答】解：對(duì)于A,根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有34=81種分配方法，故A錯(cuò)誤;

鹿

對(duì)于B,將2個(gè)a,3個(gè)b,1個(gè)c排成一排，共有=60種排法,故B正確;

AjAj

對(duì)于C,將6個(gè)名額分給甲、乙、丙三個(gè)班，每班至少一個(gè)名額，采用隔板法，共有底=10種方法,

故C正確;

對(duì)于。，如果3人中必須既要有男生乂有女生,

共有或6+ClCl=30或』4：產(chǎn)=30種選法，故［）錯(cuò)誤.

故選：BC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題.

（多選）10.用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)和五位數(shù)，則（）

A.可組成360個(gè)四位數(shù)

B.可組成21G個(gè)是5的倍數(shù)的五位數(shù)

C.可組成270個(gè)比1325大的四位數(shù)

D.若將組成的四位數(shù)按從小到大的順序排列，則第85個(gè)數(shù)為2301

【考點(diǎn)】數(shù)字問(wèn)題.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解.

【答案】BCD

【分析】對(duì)是否包含。進(jìn)行分類討論即可求解A,b選項(xiàng):而對(duì)于C,D選項(xiàng),我們需要對(duì)四位數(shù)的開

頭若干位進(jìn)行分類討論，從而得到比某個(gè)特定數(shù)大或比某個(gè)特定數(shù)小的選取方式個(gè)數(shù).

【解答】解：當(dāng)組成四位數(shù)時(shí)，我們要做的是從這6個(gè)數(shù)中我4個(gè).

選取以后，不包含0的取法有第=5種，此時(shí)有41=24種排列方式；

包含0的取法有以=10種，此時(shí)要保證首位不為0,故只有4!-3!=24-6=18種排列方式.

所以總共能組成的四位數(shù)有5*24+10-18=300個(gè)，A錯(cuò)誤；

當(dāng)組成5的倍數(shù)的五位數(shù)時(shí)，我們需要組成末位是0或5的五位數(shù).

如果末位數(shù)是0,則剩下四位可以任意從1,2,3,4,5中選招并任意排列，此時(shí)有底-4!=5?24=120

個(gè)；

如果末位數(shù)是5,則剩下四位可以任意從0,I,2,3,4中選擇，但排列時(shí)。不能排在首位.

而不包含0和包含0的選擇方式各有以=1種和廢=4種，故此時(shí)有1?4!+4?（4!-3!）=24+4*18=96

個(gè).

所以總共能組成5的倍數(shù)的五位數(shù)有120+96=216個(gè)，B正確:

當(dāng)組成比1325大的四位數(shù)時(shí)，以2,3,4,5開頭的有4?4-3!=4?10?6=240個(gè)，

以14,15開頭的有2?廢?2!=2?6?2=24個(gè),

以134,135開頭的有2?廢?1!=2?3?1=6個(gè)，

所以總共能組成比1325大的四位數(shù)有240+24+6=270個(gè)，C正確；

當(dāng)組成比2301小的四位數(shù)時(shí)，以1開頭的有1-6^-3!=1-10-6=60個(gè)，以20,21開頭的有2?廢?2!=

2-6-2=24個(gè),

所以總共能組成比2301小的四位數(shù)有60+24=84個(gè)，從而2301是從小到大排列的第85個(gè)數(shù)，。正確.

故選：BCD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查分類計(jì)數(shù)原理的運(yùn)用，排列組合的簡(jiǎn)單應(yīng)用，是中檔題.

（多選）II.由數(shù)字0,1,2,3組成一個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）

A.可以組成18個(gè)不同的數(shù)

B.可以組成12個(gè)偶數(shù)

C.可以組成8個(gè)奇數(shù)

D.若數(shù)字1和2相鄰，則可組成8個(gè)不同的數(shù)

【考點(diǎn)】數(shù)字問(wèn)題.

【專題】對(duì)應(yīng)思想；分析法；排列組合；運(yùn)算求解.

【答案】ACD

【分析】先排千位，再排其它三位，即可判斷A;

分步分類計(jì)數(shù)求出奇數(shù)個(gè)數(shù)，即可得偶數(shù)個(gè)數(shù)，即可判斷BC；

分千位為3,千位百位為1和2,兩種情況求個(gè)數(shù)，結(jié)合排列，組合數(shù)，求出四位數(shù)的個(gè)數(shù)，即可判斷

D.

【解答】解：A：千位的選法有廢種，其它三位任意排有用種，

故組成不同的數(shù)有G?收=18個(gè)，正確：

c：奇數(shù)個(gè)數(shù)：先把1或3安排到個(gè)位有?種，則千位有廢種，其它數(shù)位有屬種，共有66

個(gè)，正確；

B：由AC知：偶數(shù)有18?8=10個(gè)，錯(cuò)誤：

D：當(dāng)千位為3,將1和2全林有掰種，作為整體與。全排列有掰種，則有心抬=4個(gè)；

當(dāng)千位，百位為/和2,有牛種,再將。和3全排列有國(guó)種,則有心抬=4個(gè),

所以可以組成8個(gè)不同的數(shù)，正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考行排列組合的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

（多選）12.用0到6這7個(gè)數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

3212

4+244力

A.66B.66

C.A^-AjD.Al+Al

【考點(diǎn)】數(shù)字問(wèn)題.

【專題】對(duì)應(yīng)思想；分析法；排列組合；運(yùn)算求解.

【答案】ABC

【分析】根據(jù)最高位不能為0,利用間接法、分步、分類法計(jì)算可得.

【解答】解：用。到6這7個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，

若不考慮最高位是否為0,則有心個(gè)，乂最高位不能為0,故當(dāng)最高位為0時(shí)有煦個(gè)，

故可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有心-就個(gè)，故C正確；

首先排最富位，有4種，再排十位、個(gè)位，有羔種，

故共有川照個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，故8正確；

若選到的數(shù)字沒有0,則有雇個(gè)，

若選到的數(shù)字有0,先排0,有2種方法，再?gòu)钠溆?個(gè)數(shù)字選2個(gè)排到其余位置，故有2煦個(gè)，

綜上可得共有短+2煦個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，故人正確，。錯(cuò)誤.

故選：ABC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

三,填空題（共4小題）

13.1800有36個(gè)不同的正因數(shù).

【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用.

【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；排列組合；運(yùn)算求解.

【答案】36.

【分析】根據(jù)題意，1800=23X32X52,結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理，即可得到結(jié)果.

【解答】解：根據(jù)題意1800=23x32x52,

每一個(gè)正因數(shù)都可表示為2%?3。2?5a3,

其中0%f3,0<?2<2,0<a3<2,且m,。2,。3均為非負(fù)整數(shù),

對(duì)。3有3種可能選法，即0,1,2,

對(duì)。2有3種可能選法，即0,1,2,

對(duì)m有4種可能選法，即0,1,2,3,

由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，1800的正因數(shù)有4x3x3=36個(gè).

故答案為：36.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題.

14.若正整數(shù)a=〃c（A,c?都是整數(shù)），則稱。和c?為。的因數(shù),74x135x376的不同正因數(shù)的個(gè)數(shù)為210

【考點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理.

【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；排列組合；運(yùn)算求解.

【答案】210.

【分析】根據(jù)給定條件，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理列式計(jì)算得解.

【解答】解：已知若正整數(shù)。=加（4c都是整數(shù)），則稱〃和。為〃的因數(shù)，

正整數(shù)74x135x376的正因數(shù)形如7~13N371，

其中re{0,I,2,3,4},$曰0,I,2,3,4,5},正以0,1,2,3,4,5,6},

因此依次確定入s,f的值即得一個(gè)確定的正因數(shù)，確定r,s,f分別有5種、6種、7種方法,

由分步乘法計(jì)數(shù)原理得不同正因數(shù)個(gè)數(shù)為5x6x7=210.

故答案為：210.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題.

15.如圖，現(xiàn)要用6種不同的顏色對(duì)某市的4個(gè)區(qū)縣地圖進(jìn)行著色，要求有公共邊的兩個(gè)地區(qū)不能用同一

種顏色，共有480種不同的著色方法.

【考點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理.

【專題】整體思想；綜合法；排列組合：運(yùn)算求解.

【答案】480.

【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理求解即可.

【解答】解：由題意可知，先給/地區(qū)涂色有6種，再給II地區(qū)涂色有5種，再給III地區(qū)涂色有4種,

再給IV地區(qū)涂色有4種，

由分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的著色方法共有6x5x4x4=480種.

故答案為：480.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

16.已知某六名同學(xué)在CMO競(jìng)賽中獲得前六名（無(wú)并列情況），其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，則

這六名同學(xué)獲得的名次情況可能有144種（用數(shù)字作答）.

【考點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理..

【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；排列組合；運(yùn)算求解.

【答案】144.

【分析】利用分步計(jì)數(shù)原理，結(jié)合優(yōu)先特殊元素或特殊位置來(lái)解決問(wèn)題.

【解答】解：已知某六名同學(xué)在CMO競(jìng)賽中獲得前六名（無(wú)并列情況），其中甲或乙是第一名，丙不

是前三名，

第一步，優(yōu)先排丙，只能排第四、五、六名，共有3種；

第二步，再排第一名，只有甲或乙，共有2種；

第三步，剩下四個(gè)人排剩下四個(gè)位置，共有川=24種，

利用分步計(jì)數(shù)乘法原理可得：總共可能的排名情況有：3x2x24=144種.

故答案為：144.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題.

四.解答題（共4小題）

17.（1）6名學(xué)生站成一排照相留念，其中男生4人，女生2人，2名女生必須相鄰而站，巨女生不站兩

端，有多少種不同的站法？

（2）某傳統(tǒng)文化學(xué)習(xí)小組有10名同學(xué)，其中男生5名，女生5名，現(xiàn)要從中選取4人參加學(xué)校舉行的

匯報(bào)展示活動(dòng)，男生甲與女生乙至少有1人參加，有多少種選法？

（3）從0,2,4,6中任取2個(gè)數(shù)字，從1,3,5中任取2個(gè)數(shù)字，一共可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字

的四位數(shù)？

【考點(diǎn)】數(shù)字問(wèn)題.

【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解.

【答案】（1）144；

（2）140；

（3）378.

【分析】（I）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析；①將4名男生全排列，②將2名看成一個(gè)整體，安排在男生

中間的3個(gè)空位中，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案；

（2）根據(jù)題意，用間接法分析：先計(jì)算”在10人中任選4人”的選法，排除其中“甲乙都沒有參力口”的情

況，即可得答案；

（3）根據(jù)題意，分取出的數(shù)名有0與沒有。兩種情況討論，先將數(shù)字取出再進(jìn)行排列，按照分步、分

類計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.

【解答】解：（1）根據(jù)題總，分2步進(jìn)行分析：

①將4名男生全排列，有題=24種排法，

②將2名看成一個(gè)整體，安排在男生中間的3個(gè)空位中，有掰瑪=6種情況，

則有24x6=144種排法；

（2）根據(jù)題意，在10人中任選4人，有（九種選法，

若甲乙都沒有參加，有或種選法，

則有第）一或=140種選法；

（3）根據(jù)題意，分2種情況討論：

①若取出的數(shù)字有0,則有瑪?shù)赚敗?162個(gè)符合題意的四位數(shù)，

②若取出的數(shù)字沒有0,則有廢廢用=216個(gè)符合題意的四位數(shù)，

綜上可得一共有162+216=378個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列、組合的應(yīng)用，涉及分步、分類計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

18.從0、I、2、3、4這五個(gè)數(shù)字中任取三個(gè)不同的數(shù)字組成三位數(shù)，求：

（1）組成的三位數(shù)偶數(shù)的個(gè)數(shù)；

（2）組成的三位數(shù)中大于200的個(gè)數(shù).

【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用；分類加法計(jì)數(shù)原理；分步乘法計(jì)數(shù)原理.

【專題】計(jì)算題：轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解.

【答案】（1）30.

（2）36.

【分析】（1）組成三位數(shù)的偶數(shù)，需要分個(gè)位是。和個(gè)位不是。兩種情況討論；

（2）組成大于200的三位數(shù)，百位數(shù)字只能是2、3、4,進(jìn)而求解即可.

【解答】解：（1）當(dāng)個(gè)位數(shù)字不為。時(shí)，個(gè)位數(shù)字只能從2、4中選一個(gè)，有2種選法;

百位數(shù)字不能為0,所以百位數(shù)字可以從剩下的3個(gè)非。數(shù)字中選一個(gè)，有3種選法：

十位數(shù)字可以從剩下的3個(gè)數(shù)字中選一個(gè)，有3種選法.

根據(jù)乘法原理，此時(shí)組成的偶數(shù)個(gè)數(shù)為2x3x3=18.

當(dāng)個(gè)位數(shù)字為。時(shí)，

百位數(shù)字可以從1、2、3、4這4個(gè)數(shù)字中任選一個(gè)，有4種選法；

十位數(shù)字可以從剩下的3個(gè)數(shù)字中任選一個(gè)，有3種選法.

根據(jù)乘法原理，此時(shí)組成的偶數(shù)個(gè)數(shù)為4x3=12個(gè).

將兩種情況的個(gè)數(shù)相加，得到組成的三位數(shù)是偶數(shù)的總個(gè)數(shù)為12+18=30個(gè).

（2）百位數(shù)字可以從2、3、4這3個(gè)數(shù)字中任選一個(gè)，有3種選法；

十位數(shù)字可以從剩下的4個(gè)數(shù)字中任選一個(gè)，有4種選法；

個(gè)位數(shù)字可以從剩下的3個(gè)數(shù)字中任選一個(gè)，有3種選法.

根據(jù)乘法原理，組成的三位數(shù)中大于200的個(gè)數(shù)為3x4x3=36個(gè).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，是中檔題.

19.從0,1,2,3,4五個(gè)數(shù)字中選出3個(gè)數(shù)字組成一個(gè)三位數(shù).

（1）可以組成多少個(gè)三位數(shù)？

（2）可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

（3）可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)？

【考點(diǎn)】數(shù)字問(wèn)題.

【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；排列組合；運(yùn)算求解.

【答案】（I）100；

（2）48；

（3）30.

【分析】（1）根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果；

（2）根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果；

（3）根據(jù)組成三位偶數(shù)，末位數(shù)字可分兩類，末位數(shù)字是0或者不是0,根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理和分

類加法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.

【解答】解：（1）三位數(shù)的首位不能為0,但可以有重復(fù)數(shù)字，首先考慮首位的排法，除0外共有4種

方法，

笫二、三位可以排0,因此，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理共有4x5x5=100（個(gè)）.

（2）三位數(shù)的首位不能為0,首先考慮首位的排法，除0外共有4種方法，第二位可以排0,

除首位排的數(shù)字共有4種方法，第三位除前兩位排的數(shù)字共有3種方法，

因此，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理共有4x4x3=48（個(gè)）.

（3）偶數(shù)末位數(shù)字可取0,2,4,因此，可以分兩類：

一類是末位數(shù)字是0,則有4x3=12（種）排法；

一類是末位數(shù)字不是0,則末位有2種排法，即2或4,再排首位，因0不能在首位，

所以有3種排法，十位有3種排法，因此有2x3x3=18（種）排法.

因此有12+18=30（種）排法.即可以排成30個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步、分類計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

20.對(duì)于集合A,B,定義運(yùn)算符“△"：A^={x\xfzA,X”兩式恰有一式成立},|川表示集合A中元素的個(gè)

數(shù).

（1）設(shè)4=[-1,1],8=[0,2],求A△&

（2）對(duì)于有限集A,B,C,證明|A△陰+山AC121A△（1并求出固定A,C后使該式取等號(hào)的4的數(shù)量;

（用含A,C的式子表示）

（3）若有限集A,B,C滿足HAB|+|BAC|=|AAC1，則稱有序三元組（A,B,C）為“聯(lián)合對(duì)”，定義/=

{1,2,…，ii],“WN*,u={（A,B,C）|A,B,CQ/j.

①設(shè)〃左/,求滿足=的“聯(lián)合對(duì)”（A,B,C）J,的數(shù)量；（用含〃?的式子表示）

②根據(jù)（2）及（3）①的結(jié)果，求〃中“聯(lián)合對(duì)”的數(shù)量.

【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；集合；二項(xiàng)式定理；運(yùn)算求解.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】（I）根據(jù)新定義，對(duì)區(qū)間逐一分析即可得解；

（2）利用韋恩圖及新定義，求出不等式等號(hào)成立的條件，利用集合的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為求子集個(gè)數(shù)；

（3）①分別求出（A,C）,8取法的種數(shù)，再由分步乘法計(jì)數(shù)原理得解②結(jié)合（2）及（3）①的結(jié)果，

利用二項(xiàng)式定理求解.

【解答】解：（1）當(dāng).悵[-1,2],.悵A,八連8,故.母AA以

當(dāng)屆（1,2],.的，.隹3,故EAB；

當(dāng)x￡[0,1],xGA,xGB,故.近人Aa

當(dāng)0）,xEA,xEB,故xEAAB；

所以-1,0）U（1,21.

（2）如圖，畫出怩〃〃圖，將AUBUC劃分成7個(gè)集合S1,…，S7,

根據(jù)題干已知新定義,得|AAB|=|SI|+|S4|+|S5|+|S6|,|AAC1=|SI|+|S2|+|S6|+|S7|,|BAQ=|S2|+|S5|+|定|+陶,

所以+由ACI?■△C|=2|S4|+2|S5|加成立，當(dāng)且僅當(dāng)S5=$4=0時(shí)取等號(hào)，

55=0等價(jià)于8G(4UC),54=0等價(jià)于(ADC)GB,所以當(dāng)且僅當(dāng)(ACC)GBG(AUC)取等號(hào).

令8=(ACC)UD,其中集合。與ACIC無(wú)交集，

因?yàn)锳AC=(AUC)(AAC),所以有0GQ￡(AUC)(4C1C)=AAC,

所以。為AAC的某一子集，有種，因此使上式取等的8有2心0個(gè).

(3)①令X=AACG〃，有因=〃?，所以X有CH種取法，

對(duì)于每一個(gè)x,可知X中每一個(gè)元素x有兩種情形：娃A,xWC或.詫A,10C.

且/中每一個(gè)元素x有兩種情形：xWA,xEC或xEA,.館C.

所以八日，k共有兩種選擇，所以這樣的(A,C)有加=2"種，

對(duì)于每一個(gè)(4,C),根據(jù)第二問(wèn)可知B有21AAe種取法.

所以由乘法原理，這樣的“聯(lián)合對(duì)”(A,B,C)有福?2"+小個(gè).

②由①知，〃中“聯(lián)合對(duì)”的數(shù)量為￡[=0C^2n+m=2nX^=o制2加.甘-加=2?2+1)"=6"(二項(xiàng)

式定理)，

所以〃中“聯(lián)合對(duì)”(A,4,C)的數(shù)量為6〃.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合新定義問(wèn)題，屬于難題.

考點(diǎn)卡片

1.古典概型及其概率計(jì)算公式

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

1.定義：如果一個(gè)試驗(yàn)具有下列特征：

（I）有限性：每次試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果（即基本事件）只有有限個(gè)；

（2）等可能性：每次試驗(yàn)中，各基本事件的發(fā)生都是等可能的.

則稱這種隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型為古典概型.

*古典概型由于滿足基本事件的有限性和基本事件發(fā)生的等可能性這兩個(gè)重要特征，所以求事件的概率就

可以不通過(guò)大量的重復(fù)試驗(yàn)，而只要通過(guò)對(duì)一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行分析和計(jì)算即可.

2.古典概率的計(jì)算公式

如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有〃個(gè)，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個(gè)基本事件的概率

都是一；

n

如果某個(gè)事件A包含的結(jié)果有m個(gè),那么事件A的概率為PGO=用=

nW基本y事.件f總?數(shù)/”

【解題方法點(diǎn)撥】

1.注意要點(diǎn)：解決古典概型的向題的關(guān)鍵是：分清基本事件個(gè)數(shù)〃與事件A中所包含的基本事件數(shù).

因比要注意清楚以下三個(gè)方面：

（I）本試驗(yàn)是否具有等可能性：

（2）本試驗(yàn)的基本事件有多少個(gè)；

（3）事件A是什么.

2.解題實(shí)現(xiàn)步驟：

（I）仔細(xì)閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；

（2）判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件4

（3）分別求出基本事件的個(gè)數(shù)〃與所求事件人中所包含的基本事件個(gè)數(shù)小；

（4）利用公式P（A）=與求出事件4的概率.

3.解題方法技巧：

（I）利用對(duì)立事件、加法公式求古典概型的概率

（2）利用分析法求解古典概型.

2.分類加法計(jì)數(shù)原理

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

1.定義：完成一件事有兩類不同方案：在第1類辦法中有機(jī)種不同的方法，在第2類辦法中有〃種不同

的方法，那么完成這件事共有：N=〃?+〃種不同的方法.

2.推廣：完成一件事有〃類不同方案：在第1類辦法中有〃“種不同的方法，在第2類辦法中有利2種不

同的方法，…，在第〃類辦法中有刖種不同的方法,那么完成這件事共有:N=〃“+〃?2+…+,〃〃種不同的

方法.

3.特點(diǎn)：

（I）完成一件事的〃類方案相互獨(dú)立；

（2）同?類方案中的各種方法相對(duì)獨(dú)立.

（3）用任何一類方案中的任何一種方法均可獨(dú)立完成這件事；

4.注意：與分步乘法計(jì)數(shù)原理區(qū)別

分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理

相同點(diǎn)計(jì)算“完成一件事''的方法種數(shù)

不同點(diǎn)分類完成，類類相加分步完成，步步相乘

每類方案中的每一種方法都每步依次完成才算完成這件

能獨(dú)立完成這件事事情（每步中的每一種方法

不能獨(dú)立完成這件事）

注意點(diǎn)類類獨(dú)立，不重不漏步步相依，步驟完整

【辭題方法點(diǎn)撥】

如果完成一件事情有〃類方案，且每一類方案中的任何一種方法均能獨(dú)立完成這件事，則可使用分類加法

計(jì)數(shù)原理.

實(shí)現(xiàn)步驟：

（I）分類；

（2）對(duì)每一類方法進(jìn)行計(jì)數(shù)；

（3）用分類加法計(jì)數(shù)原理求和；

【命題方向】

與實(shí)際生活相聯(lián)系，以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，并綜合排列組合知識(shí)成為能力型題目，主要考查學(xué)生

分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力及分類討論思想.

例：某校開設(shè)A類選修課3門，B類選擇課4門，一位同學(xué)從中共選3門，若要求兩類課程中各至少選一

門，則不同的選法共有（）

A.30種A35種C.42種0.48種

分析：兩類課程中各至少選一門，包含兩種情況：A類選修課選1門，B類選修課選2門；A類選修課選2

門，B類選修課選1門，寫出組合數(shù)，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果.

解答：可分以下2種情況：①A類選修課選I門，B類選修課選2門，有廢戲種不同的選法；

②A類選修課選2門，B類選修課選1門，有底盤種不同的選法.

，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理知不同的選法共有廢戲+或C?=18+12=30種.

故選A.

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查分類計(jì)數(shù)原理、組合知識(shí)，以及分類討論的數(shù)學(xué)思想.本題也可以從排列的對(duì)立面

來(lái)考慮，寫出所有的減去不合題意的，可以這樣解：廢-盤=30.

3.分步乘法計(jì)數(shù)原理

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

1.定義：完成一件事需要分成詼個(gè)步驟：做第1步有〃，種不同的方法，做第2步有〃種不同的方法，那

么完成這件事共有：N=〃?x〃種不同的方法.

2.